2020北京數(shù)學(xué)高三一模20題匯編

2020北京數(shù)學(xué)高三一模20匯編1、（2020北京朝陽(yáng)一模）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；（Ⅲ）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．2、（2020北京東城一模）已知函數(shù)().（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若，求在區(qū)間上的最小值.3、（2020北京房山一模）已知函數(shù)f（I）求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；（II）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（III）若a>0,設(shè)函數(shù)gx=f4、（2020北京豐臺(tái)一模）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）直線，分別交軸于兩點(diǎn)，問：軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.5、（2020北京適應(yīng)一模）已知橢圓C的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A（0,1），B（0，-1），焦距為.（Ⅰ）求橢圓C的方程（Ⅱ）已知直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)設(shè)D為直線AN上一點(diǎn)，且直線BD，BM的斜率的積為，證明：點(diǎn)D在軸上.6、（2020北京自適應(yīng)一模）橢圓的離心率為，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為．求橢圓的方程：設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn)．7、（2020北京海淀一模）已知橢圓C:x2a2（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)M是橢圓C上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，若直線A1B與直線A2M交于點(diǎn)P，直線A1M與直線A8、（2020北京密云一模）已知橢圓C:x2a2(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)點(diǎn)P是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于Q，線段為M.直線AM與直線y=-1交于點(diǎn)N,D為線段BN的中點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷以O(shè)D為直徑的圓與點(diǎn)M的位置關(guān)系.9、（2020北京平谷一模）已知橢圓C:0)的兩個(gè)焦點(diǎn)是在橢圓C上,且O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l與直線OM平行,且與橢圓交于A,B兩點(diǎn).連接MA、MB與x軸交于點(diǎn)D，E.(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(II)求證:為定值.10、（2020北京人大附一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1,(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）①在圓中有如下結(jié)論：“過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)②利用①中的結(jié)論證明直線AB恒過定點(diǎn)(2211、（2020北京15中一模）．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F（c，0），左頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)B在直線l：x＝2上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的點(diǎn)，直線AP交直線l于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．12、（2020北京石景山一模）已知函數(shù)fx（Ⅰ）若f(x)>g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，過f(x)上一點(diǎn)(1，1)作13、（2020北京順義一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距和長(zhǎng)半軸長(zhǎng)都為2，過橢圓C（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)點(diǎn)A是橢圓C的左頂點(diǎn)，直線AP,AQ分別與直線x=4相交于點(diǎn)M,N求證：以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)F。14、（2020北京通州一模）已知函數(shù)，設(shè).（Ⅰ）求的極小值；（Ⅱ）若在上恒成立，求a的取值范圍.15、（2020北京西城一模）設(shè)橢圓E:x22+y2=1,直線l1經(jīng)過點(diǎn)M(m,0),直線l2經(jīng)過點(diǎn)N(n,0),直線l1∥直線l(Ⅰ)若M,N分別為橢圓E的左、右焦點(diǎn),且直線l1⊥x(Ⅱ)若直線l1的斜率存在且不為0,四邊形ABCD為平行四邊形,求證:m+n=0(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷四邊形ABCD能否為矩形,說明理由.16、（2020北京延慶一模）已知橢圓G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F-2,0,且經(jīng)過點(diǎn)C(-2,1),A,B（Ⅰ）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若PQ=3，求直線l（Ⅲ）若?BOP的面積是ΔBMQ的面積的4倍，求直線l的方程.答案：1、解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以，，．所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為．（Ⅱ）函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．理由如下：的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以在和上均單調(diào)遞增．因?yàn)?，，所以在上有唯一零點(diǎn)．因?yàn)椋?，所以在上有唯一零點(diǎn)．綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．（Ⅲ）曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則，，，即切點(diǎn)為．所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．因?yàn)槭堑囊粋€(gè)零點(diǎn)，所以．所以．所以這兩條切線重合．所以結(jié)論成立．…………15分2、解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以.又因?yàn)椋郧芯€方程為，即.…………4分（Ⅱ），設(shè)，當(dāng)時(shí),易證在單調(diào)遞增，不合題意.當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值.依題意，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則即，解得.又由于，，，由得實(shí)數(shù)的取值范圍為時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn).…………13分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上的最小值為.………15分3、解：（Ⅰ）由，，得曲線QUOTEy=fx在點(diǎn)QUOTE0，f0處的切線方程為（Ⅱ）定義域?yàn)镽，令，解得若，，在上單調(diào)遞增；若，在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增；若，上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增；（Ⅲ）若，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，即，由（Ⅱ）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，即，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極小值則，若，則，即綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為4、解：（Ⅰ）由題意解得.所以橢圓的方程為.…………5分（Ⅱ)假設(shè)存在點(diǎn)使得.設(shè)，因?yàn)?所以.則.即，所以.因?yàn)橹本€交橢圓于兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱.設(shè)，因?yàn)?，則直線的方程為：.令，得.直線的方程為：.令，得.因?yàn)?，所?又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以.所以.即.所以存在點(diǎn)使得成立.…………14分5、解答：（Ⅰ）由題意知，所以橢圓C的方程為：。（Ⅱ）由題意可設(shè),。則---①因?yàn)辄c(diǎn)D為直線AN上一點(diǎn)，所以，所以所以整理得將①代入整理得，，即所以點(diǎn)D在軸上。6、【解答】解：由題意可知，，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；證明：方法一：設(shè)點(diǎn)，，，，．其中，，由，，，，即，，注意到，，于是，，，所以，，滿足，由的任意性可知，，，即直線恒過一個(gè)定點(diǎn)．方法二：設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)且與圓相切的直線，，切點(diǎn)分別為，，由圓的知識(shí)可知，，是圓以為直徑的圓和圓的兩個(gè)交點(diǎn)，由，消去二次項(xiàng)得直線方程為，由的任意性可知，，，即直線恒過一個(gè)定點(diǎn)．方法三：由圓的極點(diǎn)極線可知，已知，為圓外一點(diǎn)，由點(diǎn)引圓的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，則直線的方程為，特殊地，知，為圓外一點(diǎn)，由點(diǎn)引圓的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，則直線的方程為．設(shè)點(diǎn)，由極點(diǎn)與極線可知，直線的方程，即，由的任意性可知，，，即直線恒過一個(gè)定點(diǎn)．所以直線恒過一個(gè)定點(diǎn)．7【解析】（1）由題得ca=∴橢圓C的方程為：x（2）方法一：設(shè)M可求得直線A1M：聯(lián)立y=y0x0同理：直線A直線A1B：可求得：BQ2BP2而x=4[=4(其中x===2∴BQ2∴?方法二：設(shè)M可求得直線A1M：聯(lián)立:y=y0同理：直線A直線A1B：線段PQ的中點(diǎn)H,y∴∵===∴PQ的斜率不存在∴PQ⊥AH∴?方法三：∵QPBQ2BP2而x=4[=4(其中x===∴BQ2∴?8、解：方法一因?yàn)?，所以令，?（1）當(dāng)時(shí)，方程無解，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)函數(shù)有唯一的一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).方法二（1）當(dāng)時(shí)因?yàn)?，所以函?shù)無零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)因?yàn)椋?，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在區(qū)間內(nèi)有且僅有唯一的零點(diǎn)；若，則，又因?yàn)椋裕春瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)．故當(dāng)時(shí)，有且僅有唯一的零點(diǎn)．（3）當(dāng)時(shí)因?yàn)?，，并且在區(qū)間單調(diào)遞減，所以在區(qū)間內(nèi)有且僅有唯一的零點(diǎn)；若，則，又因?yàn)?，所以．即函?shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)．故當(dāng)時(shí)，有且僅有唯一的零點(diǎn)．綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).9、解：（I）因?yàn)?，PF1+點(diǎn)M(2,1)在橢圓橢圓C的方程為x2（II）證明：設(shè)Ax1,y1,Bx2,與橢圓方程聯(lián)立得x2+2所以x1直線MA的直線方程為y-1=y1-1x1-2同理xE=-OD=22=代入整理得：OD所以O(shè)D+OE為定值············10、解：（Ⅰ）由F1F得c=2橢圓C的方程為：x2（Ⅱ）①類比圓的切線方程得：過橢圓C:x29x0②l的方程為：x=9設(shè)A(x1,y1)，由①的結(jié)論MA的方程為x1x9又其過M92同理有2x2+4t∴點(diǎn)A(x1,y1)，當(dāng)x=22,y=0時(shí)，方程∴直線AB過定點(diǎn)(22,0)11、解：（Ⅰ）依題可知B（a，0），a＝2因?yàn)椋詂＝1，故橢圓C的方程為．（Ⅱ）方法一：以BD為直徑的圓與直線PF相切．證明如下：由題意可設(shè)直線AP的方程為y＝k（x+2）（k≠0）．則點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，4k），BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2k），直線方程代入橢圓方程，可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則﹣2x0＝．所以x0＝，y0＝．因?yàn)辄c(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0），①當(dāng)k＝±時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，±），直線PF的方程為x＝1，D的坐標(biāo)為（2，±2）．此時(shí)以BD為直徑的圓（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1與直線PF相切．②當(dāng)k≠±時(shí)，則直線PF的斜率kPF＝＝．所以直線PF的方程為y＝（x﹣1），即．點(diǎn)E到直線PF的距離又因?yàn)閨BD|＝2R＝4|k|，故以BD為直徑的圓與直線PF相切．綜上得，當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以BD為直徑的圓與直線PF相切綜上得，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以BD為直徑的圓與直線PF相切．方法二：以BD為直徑的圓與直線PF相切．證明如下：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則①當(dāng)x0＝1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，±），直線PF的方程為x＝1，D的坐標(biāo)為（2，±2）．此時(shí)以BD為直徑的圓（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1與直線PF相切．②當(dāng)x°≠1時(shí)直線AP的方程為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，故直線PF的斜率為，故直線PF的方程為，即，所以點(diǎn)E到直線PF的距離故以BD為直徑的圓與直線PF相切．綜上得，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以BD為直徑的圓與直線PF相切．12、解：（I）令hx所以h令h'x=當(dāng)x變化時(shí)，h'x(0,a(h-0+h減極小值增··········5所以在(0,+∞)的最小值為ha令ha2所以當(dāng)0<a<2e時(shí)，hx>0恒成立，即fx（II）可作出2條切線············8理由如下：當(dāng)a=1時(shí)，g設(shè)過點(diǎn)(1,1)的直線l與gx=ln則g'x整理得x0令mx=xlnx-2x+1,則mx在(0,+∞)m'x=lnx-1,令當(dāng)x變化時(shí)，m'xx(0,e(m'-0+m減極小值增所以mx在(0,e)且mmme所以mx在1e2,e和e,e2上各有一個(gè)零點(diǎn)，即xlnx-2x+1=0有兩個(gè)不同的解所以，過點(diǎn)13、（I）由題意得2c=2a=2a2=故橢圓C的方程為x24(II)F1,0,A-2,0,直線l由y=k(x-1)3x直線l過橢圓C的焦點(diǎn)，顯然直線l橢圓C相交設(shè)Px1,y直線AP的方程為y=y1x1+2(x+2)同理：N(4,6∴FM又FM·F=9+=9+=9+=9-9=0∴以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)F-------14分14、解：（Ⅰ）………………1分由題意可知，所以………………2分當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；………………3分當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減………………4分所以在處取得極小值，為………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得當(dāng)時(shí)，………………6分所以在單調(diào)遞增，所以………………7分即時(shí)在恒成立.………………8分當(dāng)時(shí)，………………9分又，………………10分又由于在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；所以在上一定存在使得，………………11分所以在遞減，在遞增，所以………………12分所以在存在，使得，………………13分所以當(dāng)時(shí)，在上不恒成立所以a的取值范圍為.………………14分15、（I）由題意可得：AB所以S（II）由題意可設(shè)l由x=ty+mx2所以y且?=4m2AB==同理可得CD因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AB即m2=n2,因?yàn)椋↖II）不能為矩形。理由如下：點(diǎn)O到直線l1，直線l2的距離分別為所以點(diǎn)O到直線l1，直線假設(shè)平行四邊形是矩形，則OA那么x12所以x1=x這與直線l1即平行四邊形ABCD不能為矩形。16、解：（Ⅰ）法一：依題意可得解得（試根法）所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.…3分法二：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則，，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.…3分（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以直線的斜率存在，…4分設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)直線與該橢圓的交點(diǎn)為由可得，…5分易知，且，…6分則…7分，所以(負(fù)舍)，所以直線的方程為.…8分用到原點(diǎn)距離公式（未用弦長(zhǎng)公式）按照相應(yīng)步驟給分，設(shè)點(diǎn)，又解得：所以直線的方程為，即.（Ⅲ）設(shè)，，則，易知，.由，，所以直線的方程為.…9分若使的面積是的面積的4倍，只需使得，…10分法一：即=1\*GB3①.…11分設(shè)直線的方程為，由得，…12分由得，，…13分代入=1\*GB3①可得，即：（約分后求解）解得，所以.…15分法二：所以