幾何與拓?fù)湔n件

幾何與拓?fù)湫煨萝妿缀涡W(xué)：計(jì)算規(guī)則圖形的體積、面積和周長(zhǎng)，利用直尺和圓規(guī)作圖中學(xué)：平面幾何、解析幾何大學(xué)：立體幾何、高維的解析幾何更細(xì)的分類：歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數(shù)幾何學(xué)、射影幾何學(xué)、分形幾何、拓?fù)鋵W(xué)等等我們大家都比較熟悉的是：平面幾何和立體幾何，研究研究對(duì)象的長(zhǎng)短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系幾何學(xué)范疇歐氏幾何:與生活息息相關(guān),公元前3世紀(jì),歐幾里得《幾何原本》,平面三角15世紀(jì)成形,勾股定理現(xiàn)已經(jīng)有370多種證明射影幾何:應(yīng)用于航空航天,射影測(cè)繪,由笛沙格帕斯卡1639年開辟,成形于1847彭賽勒<位置幾何學(xué)>解析幾何:笛卡爾,費(fèi)馬1637<方法論>,產(chǎn)生了代數(shù)幾何非歐幾何:羅巴契夫斯基1826鮑爾1832開創(chuàng),黎曼1854年<關(guān)于作為幾何學(xué)的基礎(chǔ)的假設(shè)的演講>豐滿,1899年Hilbert<幾何基礎(chǔ)>成形微分幾何:研究一般的曲線和曲面在“小范圍”上的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科,法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日1807年《分析在幾何學(xué)上的應(yīng)用》最早,1827年，高斯《關(guān)于曲面的一般研究》,陳省身去巴黎跟從嘉當(dāng)微分幾何,進(jìn)而得到陳類,獲1984年wolf獎(jiǎng)拓?fù)鋵W(xué):歐拉開端,龐加萊建立,Hausdoff<點(diǎn)集論綱要>成形,現(xiàn)在有很多分支,如:代數(shù)拓?fù)?幾何拓?fù)?微分拓?fù)?低維拓?fù)涞鹊?/p>

拓?fù)渫負(fù)鋵W(xué)的英文名是Topology，直譯是地志學(xué)，也就是和研究地形、地貌相類似的有關(guān)學(xué)科。拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，不考慮圖形的大小、形狀，而是考慮其在拓?fù)渥儞Q的不變性和不變量等拓?fù)湫再|(zhì)。在拓?fù)鋵W(xué)里不討論兩個(gè)圖形全等的概念，但是討論拓?fù)涞葍r(jià)的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓?fù)渥儞Q下，它們都是等價(jià)圖形。下面的三樣?xùn)|西從拓?fù)鋵W(xué)的角度看，它們是完全一樣的。拓?fù)鋵W(xué)的由來有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了哥尼斯堡七橋問題多面體的歐拉定理，只存在五種正多面體（4.6.8.12.20）。四色猜想，1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里發(fā)現(xiàn),1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。莫比烏斯帶：我們通常講的平面、曲面通常有兩個(gè)面，就像一張紙有兩個(gè)面一樣。但德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來涂滿兩個(gè)側(cè)面。

哥尼斯堡七橋問題四色問題M?bius帶Euler示性數(shù)1736年歐拉解決七橋問題1976年9月四色問題得到解決

哥尼斯堡是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來。人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步哥尼斯堡七橋問題

一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。這個(gè)問題看起來很簡(jiǎn)單,有很有趣的問題吸引了大家.很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到?？磥硪玫揭粋€(gè)明確理想的答案還不那么容易哥尼斯堡七橋問題

哥尼斯堡七橋問題

Euler示性數(shù)

對(duì)于一個(gè)多面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會(huì)連續(xù)（不破裂）變形，最后可變?yōu)橐粋€(gè)球面。那么像這樣，表面經(jīng)過連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡(jiǎn)單多面體。棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡(jiǎn)單多面體。

歐拉定理告訴我們，簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F間有關(guān)系：V+F-E=2。

數(shù)學(xué)史上正式提出“四色問題”的時(shí)間是在1852年。當(dāng)時(shí)倫敦的大學(xué)的一名學(xué)生法朗西斯向他的老師、著名數(shù)學(xué)家、倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)教授莫根提出了這個(gè)問題，可是莫根無法解答，求助于其它數(shù)學(xué)家，也沒有得到答案。于是從那時(shí)起，這個(gè)問題便成為數(shù)學(xué)界的一個(gè)“懸案”。

一直到二十年前的1976年9月，《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通告》正式宣布了一件震撼全球數(shù)學(xué)界的消息：美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計(jì)算機(jī)證明了“四色問題”這個(gè)猜想是完全正確的！他們將普通地圖的四色問題轉(zhuǎn)化為2000個(gè)特殊圖的四色問題，然后在電子計(jì)算機(jī)上計(jì)算了足足1200個(gè)小時(shí)，最后成功地證明了四色問題。

“麥比烏斯圈”變成了拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)面問題之一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應(yīng)用到了建筑，藝術(shù)，工業(yè)生產(chǎn)中。運(yùn)用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。

拓?fù)涞膩碓?/p>

“拓?fù)洌═opology）”一次來自希臘文，它的原意是“形狀的研究”。拓?fù)鋵W(xué)時(shí)幾何學(xué)的一個(gè)分支，它研究在拓?fù)渥儞Q下能夠保持不變的幾何屬性——拓?fù)鋵傩浴Ｍ負(fù)鋵W(xué)的形成和發(fā)展

拓?fù)鋵W(xué)是研究圖形在保持連續(xù)狀態(tài)下變形時(shí)的那些不變的性質(zhì)，也成為“橡皮板幾何學(xué)”。例子：

設(shè)想一塊高質(zhì)量的橡皮，它的表面是歐幾里的平面，這塊橡皮可以任意被拉伸、壓縮，但是不能夠被扭轉(zhuǎn)或折疊。在橡皮的表面上有由結(jié)點(diǎn)、弧、環(huán)、面組成的可能任意圖形。

我們對(duì)橡皮進(jìn)行拉伸、壓縮，在橡皮進(jìn)行這些變換的過程中，圖形的一些屬性消失，一些屬性將繼續(xù)保持存在。設(shè)想象皮表面有一個(gè)多邊形，里面有一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)拉伸、壓縮橡皮時(shí)，點(diǎn)依舊在多邊形中，點(diǎn)和多邊形的位置關(guān)系不會(huì)發(fā)生變化，但是多邊形的面積會(huì)發(fā)生變化。所以：“點(diǎn)的內(nèi)置”是拓?fù)鋵傩?，而面積不是拓?fù)鋵傩裕旌蛪嚎s就是拓?fù)渥儞Q。

在地圖上僅用距離和方向參數(shù)描述地圖上的目標(biāo)之間的關(guān)系總是不圓滿的。

因?yàn)閳D上兩點(diǎn)之間的距離和方向會(huì)隨著地圖投影的不同而發(fā)生變化，故僅用距離和方向參數(shù)還不能夠確切地表示它們之間的空間關(guān)系。（如下圖）拓?fù)溥€是描述目標(biāo)間關(guān)系需要Longitude/Latitude投影Gauss-Krivger投影

從上圖可以看出，用拓?fù)潢P(guān)系表示，不論怎么變化，其鄰接、關(guān)聯(lián)、包含等關(guān)系都不改變。拓?fù)潢P(guān)系能夠從質(zhì)的方面和整體的概念上反映空間實(shí)體的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系。研究拓?fù)潢P(guān)系對(duì)于地圖數(shù)據(jù)處理和正確顯示將是十分重要的。該方面的華人數(shù)學(xué)家姜立夫(1890-1978)姜伯駒(1937-)

1980年院士江澤涵(1902-1994)南開大學(xué)，哈佛大學(xué)：拓?fù)鋵W(xué)研究開拓者

嚴(yán)志達(dá)(1917–1999)1940與陳省身就合作過49年法國(guó)博士,1993院士陳省身:(1911-2004)獲1984年wolf獎(jiǎng),15歲入南開理學(xué)院,因物理實(shí)驗(yàn)做砸了,轉(zhuǎn)讀數(shù)學(xué),與楊振寧類似.陳和楊都自認(rèn)為是姜立夫的學(xué)生.比華羅庚早一年入清華園（1910—1985）丘成桐(1949-):1983菲爾茲獎(jiǎng)(40歲下,諾貝爾),1994克雷福特獎(jiǎng)(填補(bǔ)諾貝爾獎(jiǎng)的缺失),2010年沃爾夫獎(jiǎng)(終身成就將)拓?fù)鋵W(xué)的分支點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)：偏重于用分析的方法來研的，或叫做分析拓?fù)鋵W(xué)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)：偏重于用代數(shù)方法來研究1945年，美籍中國(guó)數(shù)學(xué)家陳省身建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，并推進(jìn)了整體幾何學(xué)的發(fā)展。我們介紹的是點(diǎn)集拓?fù)?，是?shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程、概率論等其他許多數(shù)學(xué)分支中有廣泛的應(yīng)用度量空間有了開集的概念，就可以定義閉集、映射的連續(xù)等等概念例如一維歐式空間中的整個(gè)實(shí)數(shù)軸是既開又閉的集合，[0,1)是既不開又不閉的拓?fù)淇臻g也有鄰域、閉包、內(nèi)部、邊界、聚點(diǎn)等概念子空間二、連續(xù)映射連續(xù)映射的等價(jià)命題連續(xù)映射的構(gòu)造或驗(yàn)證映射的連續(xù)性利用映射來構(gòu)造性的拓?fù)淇臻g，回避繁雜的描述性語言收斂性,連續(xù)性的刻畫積空間和商空間三、基本的拓?fù)湫再|(zhì)可數(shù)性,可分性分離性連通性緊(緊致)性