高考數(shù)學(xué)(文)熱點(diǎn)題型和提分秘籍專題42復(fù)數(shù)(含答案解析)

1.理解復(fù)數(shù)的基本看法2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件3.認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義4.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算5.認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義熱點(diǎn)題型一復(fù)數(shù)的相關(guān)看法例1、(1)復(fù)數(shù)z滿足(z－3)(2－i)＝5(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)z為()A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i10(2)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a－3－i(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為()A．－3B．－1C．1D．3【答案】（1）D（2）D【提分秘籍】辦理相關(guān)復(fù)數(shù)的基本看法問題，要點(diǎn)是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，從定義出發(fā)，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)數(shù)問題來辦理?！矩灤┙蝗凇吭O(shè)a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則“ab＝0”是“復(fù)數(shù)

a＋bi為純虛數(shù)”的(

)A．充分不用要條件B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不用要條件【剖析】

ab＝0?a＝0或

b＝0，這時(shí)

a＋b＝a－bii

不用然為純虛數(shù)，但若是

a＋b＝a－ibi

為純虛數(shù)，則有

a＝0且

b≠0，這時(shí)有

ab＝0，由此知選

B。【答案】

B熱點(diǎn)題型二

復(fù)數(shù)的幾何意義例2、(1)復(fù)數(shù)z＝i·(1＋i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限－2(2)復(fù)數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝()iA．25B.41C．5D.5【答案】（1）B（2）C【提分秘籍】(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)→→Z及向量OZ相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?OZ。(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與剖析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀。提示：|z|的幾何意義：令z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝x2＋y2，由此可知表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是|z|的幾何意義；|z1－z2|的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z1，z2的兩點(diǎn)之間的距離。【貫穿交融】如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()A．AB．BC．CD．D【答案】B熱點(diǎn)題型三復(fù)數(shù)的運(yùn)算例3．(1)已知復(fù)數(shù)z＝3＋i2，z是z的共軛復(fù)數(shù)，則z·z＝__________。－32＋23＋(2)＝__________。－－(3)已知復(fù)數(shù)z滿足i＝2－i，則z＝__________。z＋i【剖析】(1)方法一：|z|＝|3＋i|2|＝1，z·z＝|z|2＝1。－324方法二：z＝3＋i＝－3＋i，－＋344z·z＝－3＋i－3－i＝1。444442＋23＋＝22(2)－－i[(1＋i)2]2＝2i(2i)2＝－42i。i＝2－i，得z＝i－i＝(3)由z＋i2－i【提分秘籍】

＋3－＝22＋4i＝2i(1＋i)4＝2－－2＋2i－1－i＝－1－3i。－i＝55555利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求復(fù)數(shù)的一般思路(1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足多項(xiàng)式的乘法法規(guī)，利用此法規(guī)后將實(shí)部與虛部分別寫出即可。(2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算主若是利用分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算化簡。(3)利用復(fù)數(shù)的相關(guān)看法解題時(shí)，平時(shí)是設(shè)出復(fù)數(shù)或利用已知聯(lián)立方程求解?！矩灤┙蝗凇吭O(shè)z＝1＋i，則2＋z2等于()zA．1＋iB．－1＋iC．－iD．1－i【剖析】2＋z2＝2＋(1＋i)2＝－＋2i＝－＋－＋2i＝1－i＋2i＝1＋i。z1＋i2【答案】A1.【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足zi3i，則z=（）（A）12i（B）12i（C）32i（D）32i【答案】C【剖析】由zi3i得，z32i，因此z32i，應(yīng)選C.2.[2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)]若z43i，則z＝（）|z|（A）1（B）1（C）43i（D）43i5555【答案】D3.【2016高考四川文科】設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1i)2=()(A)0(B)2(C)2i(D)2+2i【答案】C【剖析】由題意，(1i)212ii22i，應(yīng)選C.4.【2016高考山東文數(shù)】若復(fù)數(shù)z2，其中i為虛數(shù)單位，則z=（）1i（A）1+i（B）1-i（C）-1+iD）-1-i【答案】B【剖析】z22(1i)1i,z1i，選B.i(1i)(1i)15.【2016高考天津文數(shù)】i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2，則z的實(shí)部為_______.【答案】1【剖析】(1i)z221i，因此z的實(shí)部為1z1i1.【2015高考新課標(biāo)1，文3】已知復(fù)數(shù)z滿足(z1)i1i，則z（）（A）2i（B）2i（C）2i（D）2i【答案】C【剖析】∴(z1)i1i，∴z12i(12i)(i)i，應(yīng)選C.ii222.【2015高考山東，文2】若復(fù)數(shù)Z滿足zi，其中i為虛數(shù)單位，則Z=()i1（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i【答案】A【剖析】由題意zi(1i)1i,因此，z1i，應(yīng)選A.3.【2015高考湖南，文1】已知(1i)2i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z()z=1A、1iB、1iC、1iD、1i【答案】D【剖析】由題(1i)21i,z(1i)22i2i(1i)1i，應(yīng)選D.z1i1i24.【2015高考湖北，文1】i為虛數(shù)單位，i607（）A．iB．iC．1D．1【答案】A.5.【2015高考廣東，文2】已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)1i2（）A．2B．2C．2iD．2i【答案】D212ii212i12i，應(yīng)選D．【剖析】1i6.【2015高考福建，文1】若(1i)(23i)abi（a,bR,i是虛數(shù)單位），則a,b的值分別等于（）A．3,2B．3,2C．3,3D．1,4【答案】A【剖析】由已知得32iabi，因此a3,b2，選A．7.【2015高考安徽，文1】設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)1i12i（）（A）3+3i（B）-1+3i（3）3+i（D）-1+i【答案】C【剖析】由于(1i)(12i)12ii2i23i，應(yīng)選C.8.【2015高考北京，文9】復(fù)數(shù)i1i的實(shí)部為．【答案】1【剖析】復(fù)數(shù)i(1i)i11i，其實(shí)部為1.9.【2015高考重慶，文11】復(fù)數(shù)(1+2i)i的實(shí)部為________.【答案】-2【剖析】由于(1+2i)i=i+2i2=-2+i,故知其實(shí)部為-2，故填：-2.10.【2015高考四川，文11】設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)1＝_________.ii【答案】2i12i11.【2015高考天津，文9】i是虛數(shù)單位,計(jì)算的結(jié)果為．2i【答案】-i【剖析】12ii22iii22i.2i2ii12.【2015高考上海，文3】若復(fù)數(shù)z滿足3zz1i，其中i是虛數(shù)單位，則z.【答案】11i42【剖析】設(shè)zabi(a,bR)，則zabi，由于3zz1i，a144a1b1因此3(abi)abi1i，即4a2bi1i，因此2b12，，即z11i因此42.（2014·浙江卷）已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A．充分不用要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不用要條件【答案】A【剖析】由a，b∈R，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i,得a2－b2＝0，a＝1，2ab＝2，因此b＝1a＝－1，應(yīng)選A.或b＝－1.（2014·全國卷）設(shè)z＝10i，則z的共軛復(fù)數(shù)為()3＋iA．－1＋3iB．－1－3iC．1＋3iD．1－3i【答案】D1＋i2（2014·北京卷）復(fù)數(shù)＝________．1－i【答案】－11＋i2（1＋i）222i2【剖析】1－i＝（1－i）（1＋i）＝2＝－1.（2014·福建卷）復(fù)數(shù)z＝(3－2i)i的共軛復(fù)數(shù)z等于()A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i【答案】C【剖析】由復(fù)數(shù)z＝(3－2i)i＝2＋3i，得復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z＝2－3i.（2014·廣東卷）已知復(fù)數(shù)z滿足(3＋4i)z＝25，則z＝()A．－3＋4iB．－3－4iC．3＋4iD．3－4i【答案】D【剖析】本題觀察復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，利用分母的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行求解．由于(3＋4i)z＝25，因此z＝25＝25（3－4i）＝3－4i.（3－4i）（3＋4i）3＋4i（2014·湖北卷）i為虛數(shù)單位，1－i21＋i＝()A．－1B．1C．－iD．i【答案】A1－i2－2i【剖析】1＋i＝2i＝－1.應(yīng)選A.（2014·湖南卷）滿足z＋i＝i(i為虛數(shù)單位)的復(fù)數(shù)z＝()zA.1＋1iB.1－1i2222C．－1111i＋iD．－－2222【答案】B－是z的共軛復(fù)數(shù)，若－－10．（2014·江西卷）zz＋z＝2，(z－z)i＝2(i為虛數(shù)單位)，則z＝()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i【答案】D－【剖析】設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＝a－bi，因此2a＝2，－2b＝2，得a＝1，b＝－1，故z＝1－i.11．（2014·遼寧卷）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z－2i)(2－i)＝5，則z＝()A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i【答案】A【剖析】由(z－2i)(2－i)＝5，得z－2i＝5，故z＝2＋3i.2－i12．（2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ]（1＋i）3)（1－i）2＝(A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i【答案】D（1＋i）3（1＋i）2（1＋i）2i（1＋i）＝－1－i.【剖析】（1－i）2＝（1－i）2＝－2i13．（2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ]設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1＝2＋i，則z1z2＝()A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i【答案】A【剖析】由題知z2＝－2＋i，因此z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.14．（2014·山東卷）已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若a－i與2＋bi互為共軛復(fù)數(shù)，則(a＋bi)2＝()A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i【答案】D【剖析】由于a－i與2＋bi互為共軛復(fù)數(shù)，因此a＝2，b＝1，因此(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.應(yīng)選D.2－2i＝________．15．（2014·四川卷）復(fù)數(shù)1＋i【答案】－2i【剖析】2－2i＝2（1－i）2＝－2i.1＋i（1＋i）（1－i）16．（2014·天津卷）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)7＋i＝()3＋4iA．1－iB．－1＋i17＋3117＋25C.2525iD．－77i【答案】A1．已知復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝25，則z＝()A．－3－4iB．－3＋4iC．3－4iD．3＋4i【剖析】由(3－4i)z＝25?z＝25＝＋＝3＋4i，選D。－＋3－4i【答案】D1＋3i＝()2.1－iA．1＋2iB．－1＋2iC．1－2iD．－1－2i【剖析】1＋3i＝＋＋＝－1＋2i，應(yīng)選B。－＋i1－i【答案】B3．若復(fù)數(shù)z滿足z(1＋i)＝2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝()A．1B．2C.2D.3【答案】C4．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z－2i)(2－i)＝5，則z＝()A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i【剖析】方法一：由題知(z－2i)(2－i)＝5，因此z＝5＋2i＝＋＋2i＝2－＋2－i＋i＋2i＝2＋3i。方法二：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，因此[a＋(b－2)i](2－i)＝5，利用復(fù)數(shù)相等即實(shí)部與實(shí)2a＋b－2＝5，解得a＝2，部、虛部與虛部分別相等，獲取因此z＝2＋3i，應(yīng)選A。2b－4－a＝0，b＝3.【答案】A5．i為虛數(shù)單位，1－i21＝()＋iA．1B．－1C．iD．－i1－i2－2i【剖析】1＋i＝2i＝－1，選B。【答案】B6．已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若a＋i＝2－bi，則(a＋bi)2＝()A．3－4iB．3＋4iC．4－3iD．4＋3i22【剖析】由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，則(a＋bi)＝(2－i)＝3－4i。3＋i7．復(fù)數(shù)i2(i為虛數(shù)單位)的實(shí)部等于__________?！敬鸢浮浚?8．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，則x＝__________?！酒饰觥?x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，由復(fù)數(shù)相等的定義知x＝2。【答案】29．已知i是虛數(shù)單位，計(jì)算1－i2＝__________。＋1－i2＝1－i－－1－i【剖析】＝－2＝。＋2i21－i【答案】22＋2a－1510．要使復(fù)數(shù)2ai為純虛數(shù)，其中的實(shí)數(shù)a可否存在？若存在，z＝a－a－6＋2a－4求出a的值；若不存在，說明原由?！酒饰觥考僭O(shè)z為純虛數(shù)，a2－a－6＝0，①則有a2＋2a－15)a2－4≠0。②由①得a＝－2或a＝3。當(dāng)a＝－2時(shí)，②式左端沒心義。當(dāng)a＝3時(shí)，②式不行立。故不存在實(shí)數(shù)a，使z為純虛數(shù)。＋3a＋b11．復(fù)數(shù)z＝若復(fù)數(shù)0，1－i(a，b∈R)，且|z|＝4，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，z，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是正三角形的三個(gè)極點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a，b的值。＋2＋【剖析】z＝1－i(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi。由|z|＝4，得a2＋b2＝4。①∵復(fù)數(shù)0，z，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)