湖南省邵陽(yáng)市新邵縣2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022年上期高一期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷考生注意：1．本試卷分試題卷和答題卡兩部分，本試卷共22題，滿分150分，考試時(shí)量120分鐘．2．答題前，先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．3．選擇題的做題：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域無(wú)效．4．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)無(wú)效．一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，求出其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限.故選：C2.數(shù)據(jù)的平均值為4，的平均值為5，則這八個(gè)數(shù)的平均值為（）A.3 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的平均值計(jì)算和，再計(jì)算平均值即可.【詳解】數(shù)據(jù)的平均值為4，故，數(shù)據(jù)的平均值為5，故，所以這八個(gè)數(shù)的平均值為.故選：D.3.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則c=（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理計(jì)算．詳解】由已知．故選：B．4.在中，若點(diǎn)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量加減法公式，化簡(jiǎn)已知條件，即可判斷結(jié)果.【詳解】由條件可知，得.故選：A5.某人有3把鑰匙，其中僅有一把能打開(kāi)門(mén).如果他每次都隨機(jī)選取一把鑰匙開(kāi)門(mén)，不能打開(kāi)門(mén)時(shí)就扔掉，則他第二次才能打開(kāi)門(mén)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】題意說(shuō)明第一次不能打開(kāi)門(mén)，第二次打開(kāi)門(mén)，由此可計(jì)算概率．【詳解】由題意此人第一次不能打開(kāi)門(mén)，第二次打開(kāi)門(mén)，因此概率為．故選：B．6.袋中裝有紅球3個(gè)?白球2個(gè)?黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A.至少有一個(gè)白球；都是白球 B.至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球C.至少有一個(gè)白球；紅?黑球各一個(gè) D.恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義，依次判斷即得解【詳解】袋中裝有紅球3個(gè)?白球2個(gè)?黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，逐一分析所給的選項(xiàng)：在A中，至少有一個(gè)白球和都是白球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，至少有一個(gè)白球和至少有一個(gè)紅球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一個(gè)白球和紅?黑球各一個(gè)兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件，故C成立；在D中，恰有一個(gè)白球和一個(gè)白球一個(gè)黑球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D不成立.故選：C7.某興起小組為了測(cè)量某古塔的高度，如圖所示，在地面上一點(diǎn)A處測(cè)得塔頂B的仰角為60°，塔底C處測(cè)得A處的俯角為45°．已知山嶺高CD為256米，則塔高BC為（）

A.米 B.米 C. D.米【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直角三角形中的關(guān)系求解即可【詳解】由題可得，故米，米，故塔高BC為米故選：B8.如圖①所示，在平面四邊形中，，，，．現(xiàn)將沿折起，并連接，如圖②，只當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】沿邊折起，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的高最大，此時(shí)體積最大，然后求出外接球的半徑，即可求解外接球的體積．【詳解】解：由題意，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的高最大，此時(shí)體積最大，，，的高為，的投影在的中點(diǎn)，平面平面，三棱錐的高為，，，，又，，平面外接圓半徑，設(shè)球心到圓心的距離為，可得，①，②聯(lián)立①②解得．外接球的體積．故選：．二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A.的虛部為-1 B.C.為純虛數(shù) D.的共軛復(fù)數(shù)為【答案】AB【解析】【分析】首先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)后得：，然后分別按照四個(gè)選項(xiàng)的要求逐一求解判斷即可.【詳解】因?yàn)?，?duì)于A：的虛部為，正確；對(duì)于B：模長(zhǎng)，正確；對(duì)于C：因?yàn)椋什皇羌兲摂?shù)，C不正確；對(duì)于D：的共軛復(fù)數(shù)為，D不正確.故選：AB.10.有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，和一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，如果，，…，，其中為非零常數(shù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】BD【解析】【分析】A、B利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有、，即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷C、D的正誤.【詳解】選項(xiàng)A中，且，故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，，故方差相同，正確；選項(xiàng)C中，若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，由極差的定義知，若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：BD.11.已知向量，，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.的最大值為C.的最大值為 D.存在唯一的使得【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示可判斷AD，表示出、，運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)可判斷BC.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以若，則，即，故A正確；所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤，若，則同向，則有，，此時(shí)滿足，故D正確；故選：AD12.已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面半徑為，高為1，，是底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積是B.與底面所成的角是C.面積的最大值是D.該圓錐內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圓錐的性質(zhì)，計(jì)算基本量，判斷AB選項(xiàng)，根據(jù)的面積公式，計(jì)算頂角的取值范圍，計(jì)算面積的最值，利用圓錐和內(nèi)接圓柱的軸截面，計(jì)算側(cè)面積的最大值.【詳解】圓錐的母線，則圓錐的側(cè)面積，故A正確；設(shè)與底面所成的角是，，即，故B正確；軸截面的頂角是，當(dāng)頂角等于時(shí)，面積的最大值是，故C錯(cuò)誤；下圖是圓錐和圓柱的截面圖，設(shè)圓柱底面半徑，則高是，則圓錐內(nèi)接圓柱的側(cè)面積，當(dāng)時(shí)，側(cè)面積取得最大值，故D正確.故選：ABD三、填空題（本大題有4小題，每小題5分，共20分）13.向量，滿足，，與的夾角為120°，則___________.【答案】【解析】【分析】由于，然后代值求解即可【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，滿足，，與的夾角為120°，所以，故答案為：14.已知i是虛數(shù)單位，若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【解析】【分析】將代入，求解即可.【詳解】解：由題意知：是方程的一個(gè)根，將代入，得：，即，解得：故答案為：.15.若圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1，2，母線長(zhǎng)為，則該圓臺(tái)的體積為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】求出圓臺(tái)的高后由圓臺(tái)的體積公式計(jì)算．【詳解】由題意圓臺(tái)的高為，體積為．故答案為：．16.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，點(diǎn)在邊上，且，，，，則的面積的最大值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】由余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最大值，即可由面積公式求出.【詳解】解析：的面積，如圖，過(guò)作的平行線，交于點(diǎn).在中，，，，.由余弦定理，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為，故的面積，最大為.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知，．（1）求向量與夾角的余弦值；（2）若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，且向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別算出、、即可；（2）利用向量垂直的坐標(biāo)表示算出答案即可.【小問(wèn)1詳解】，，，，，所以所求余弦值為．【小問(wèn)2詳解】，，而向量與向量有垂直，，，解得．18.若的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，且，.（1）若，求的值；（2）若的面積，求b、c的值.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）由平方關(guān)系以及正弦定理，即可得出的值；（2）由三角形面積公式以及余弦定理，即可得出，的值.【詳解】（1）∵，且，∴.由正弦定理得，∴.（2）∵，所以由余弦定理得，∴19.甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是，．假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響，每人每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒(méi)有影響．（1）若甲、乙兩人各射擊一次，求均沒(méi)有擊中目標(biāo)的概率；（2）若甲連續(xù)射擊，命中為止，求甲恰好射擊3次結(jié)束射擊的概率；（3）若乙連續(xù)射擊，直至命中2次為止，求乙恰好射擊3次結(jié)束射擊的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件發(fā)生的概率公式計(jì)算；（2）甲第一二兩次沒(méi)有中，第三次中，根據(jù)概率公式計(jì)算；（3）分為第一三兩次中或者二三兩次中，即可得解.【詳解】（1）兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響，若甲、乙兩人各射擊一次，均沒(méi)有擊中目標(biāo)的概率為；（2）若甲連續(xù)射擊，命中為止，甲恰好射擊3次結(jié)束射擊的概率為；（3）若乙連續(xù)射擊，直至命中2次為止，分為第一三兩次中或者二三兩次中，所以乙恰好射擊3次結(jié)束射擊的概率為：．20.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求證：平面．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由底面為菱形，得，由四棱柱為直四棱柱，得平面，，從而平面，由此能證明平面平面．（2）設(shè)交于點(diǎn)，連接，，推導(dǎo)出為中點(diǎn)，從而，，推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，從而，由此能證明平面．【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以．因?yàn)樗睦庵鶠橹彼睦庵?，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)椋矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫?，所以平面平面．?）設(shè)交于點(diǎn)，連接，．因?yàn)榈酌鏋榱庑危詾橹悬c(diǎn)．因?yàn)橹悬c(diǎn)，所以，．又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，，所以，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以．因平面，平面，所以平面．21.《中華人民共和國(guó)民法典》于2021年1月1日正式施行.某社區(qū)為了解居民對(duì)民法典認(rèn)識(shí)程度，隨機(jī)抽取了一定數(shù)量的居民進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)試(滿分：100分)，并根據(jù)測(cè)試成績(jī)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計(jì)該組測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)和第57百分位數(shù)；（3）該社區(qū)在參加問(wèn)卷且測(cè)試成績(jī)位于區(qū)間和的居民中，采用分層隨機(jī)抽樣，確定了5人.若從這5人中隨機(jī)抽取2人作為該社區(qū)民法典宣講員，設(shè)事件“兩人的測(cè)試成績(jī)分別位于和”，求.【答案】（1）；（2）平均數(shù)，第57百分位數(shù)為；（3）.【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率和為1可求得；（2）用頻率分布直方圖中每組數(shù)據(jù)中間值乘以該組頻率相加即得均值，第57百分位數(shù)，即頻率對(duì)應(yīng)的值，先估算其在哪一組中，然后再根據(jù)比例求解；（3）確定位于區(qū)間和的人數(shù)，把人進(jìn)行編號(hào)，用列舉法寫(xiě)出任取2人的所有基本事件，并得出事件含有的基本事件，計(jì)數(shù)后可得概率．【詳解】解：（1）由己知，解得.（2）測(cè)試成績(jī)的平均數(shù).測(cè)試成績(jī)落在區(qū)間的頻率為，落在在區(qū)間的頻率為，所以設(shè)第57百分位數(shù)為，有，解得.（3）由題知，測(cè)試分?jǐn)?shù)位于區(qū)間?的人數(shù)之比為，所以采用分層隨機(jī)抽樣確定的5人，在區(qū)間中3人，用，，表示，在區(qū)間中2人，用，表示.從這5人中抽取2人的所有可能情況有：，，，，，，，，，，共10種.其中“落在區(qū)間和”有6種.所以.22.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，且三棱錐的體積是，試求二面角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得AO⊥平面BCD，即可證得結(jié)果；（2）先作出二面角平面角，根據(jù)體積公式求得高，最后利用三角形相似求出邊長(zhǎng)，即可