數(shù)學(xué)分析第四課件

一、區(qū)間套定理二、聚點定理與有限覆蓋定理三、實數(shù)完備性基本定理的等價性第1頁/共25頁一、區(qū)間套定理二、聚點定理與有限覆蓋定理三、實數(shù)完備性基本定定義1定義1中的條件1實際上等價于條件一、區(qū)間套定理第2頁/共25頁定義1定義1中的條件1實際上等價于條件一、區(qū)間套定理第2定理7.1(區(qū)間套定理)或者第3頁/共25頁定理7.1(區(qū)間套定理)或者第3頁/共25頁則任給>0,存在N,當(dāng)nN

時,推論設(shè){[an,bn]}是一個區(qū)間套,注1

該推論有著很強(qiáng)的應(yīng)用價值,請大家務(wù)必牢記.注2

區(qū)間套定理中的閉區(qū)間若改為開區(qū)間,那么結(jié)論不一定成立.例如對于開區(qū)間列,顯然第4頁/共25頁則任給>0,存在N,當(dāng)nN時,推論設(shè)但是定理1中的是不存在的,這是因為例1.用區(qū)間套定理證明連續(xù)函數(shù)根的存在性定理第5頁/共25頁但是定理1中的是不存在的,這是因為例1.用區(qū)間套定理證定義2

設(shè)S為數(shù)軸上的非空點集,為直線上的一個定點(當(dāng)然可以屬于S,也可以不屬于S).若對于任意正數(shù)

,在(,+)中含有S的無限個點,二、聚點定理與有限覆蓋定理則稱是S的一個聚點.即第6頁/共25頁定義2設(shè)S為數(shù)軸上的非空點集,為直線上的一為了便于應(yīng)用,下面介紹兩個與定義2等價的定義.定義2定義2″若存在各項互異的收斂數(shù)列下面簡單敘述一下這三個定義的等價性.若設(shè)S是

[0,

1]中的無理數(shù)全體,

則

S

的聚點集合

為閉區(qū)間

[0,1].第7頁/共25頁為了便于應(yīng)用,下面介紹兩個與定義2等價的定義.定義2定定義2定義2

由定義直接得到.定義2定義2

因為

那么第8頁/共25頁定義2定義2由定義直接得到.定義2定義互異,并且定義2定義2

由極限的定義可知這是顯然的.定理7.2(魏爾斯特拉斯Weierstrass聚點定理)

實數(shù)軸上的任意有界無限點集S必有聚點.第9頁/共25頁互異,并且定義2定義2由極限的定義可知這是顯然的.定我們再次使用區(qū)間套定理來證明聚點定理,請務(wù)必證因為S為有界點集,所以存在正數(shù)M,使現(xiàn)將[a1,b1]等分為兩個子區(qū)間[a1,c1],[c1,b1],中至少有一個區(qū)間含有S的無限多個點.記該區(qū)間為[a2,b2].要注意在區(qū)間套的構(gòu)成中所建立的性質(zhì)

(iii).第10頁/共25頁我們再次使用區(qū)間套定理來證明聚點定理,請務(wù)必證因為S為再將[a2,b2]等分為兩個子區(qū)間.同樣至少有一個子區(qū)間含有S的無限多個點,將這個區(qū)間記為[a3,b3].第11頁/共25頁再將[a2,b2]等分為兩個子區(qū)間.同樣至少有一個子區(qū)間(iii)每個閉區(qū)間[an,bn]均含S的無限多個點.無限重復(fù)這個過程,就可得到一列閉區(qū)間第12頁/共25頁(iii)每個閉區(qū)間[an,bn]均含S的無限多所以由所建立的性質(zhì)(iii)這就證明了是S的一個聚點.定理7.2有一個非常重要的推論(致密性定理).該定理在整個數(shù)學(xué)分析中,顯得十分活躍.第13頁/共25頁所以由所建立的性質(zhì)(iii)這就證明了是S的一個聚點證設(shè){xn}為有界數(shù)列,若{xn}中有無限項相等,取這些相等的項可成一個子列.該子列顯然是收斂若數(shù)列{xn}不含有無限多個相等的項,則{xn}作為點集是有界無限點集.由聚點原理,可設(shè)是{xn}的一個推論(致密性定理)

有界數(shù)列必有收斂子列.的.一個各項互異的子列收斂于

.聚點,那么再由定義

2,可知{xn}中有第14頁/共25頁證設(shè){xn}為有界數(shù)列,若{xn}中有無限項相等,定義3

設(shè)

S為數(shù)軸上的一個點集,H為一些開區(qū)間則稱H是S的一個開覆蓋.若H是S的一個開覆蓋,并且H中的元素(開區(qū)間)僅有有限個,則稱H是S的一個有限開覆蓋.一個開覆蓋.第15頁/共25頁定義3設(shè)S為數(shù)軸上的一個點集,H為一些開區(qū)間則稱H定理7.3(海涅－博雷爾有限覆蓋定理)設(shè)H是閉區(qū)間[a,b]的一個開覆蓋,則從H中可選海涅(Heine,H.E.1821-1881,德國)博雷爾(Borel,E.1871-1956,法國)

出有限個開區(qū)間,構(gòu)成閉區(qū)間

[a,b]的一個子覆蓋.證明：本定理證明方法多種，這里采用區(qū)間套定理。

第16頁/共25頁定理7.3(海涅－博雷爾有限覆蓋定理)設(shè)H是閉區(qū)間[a若定理不成立,也就是說[a,b]不能被

H中任何再將[a1,b1]等分成兩個子區(qū)間,其中至少有一個有限個開區(qū)間所覆蓋.將區(qū)間[a,b]等分成兩個子區(qū)間,那么這兩個子區(qū)間中至少有一個不能被H中任意有限個開區(qū)間所覆蓋,設(shè)該區(qū)間為[a1,b1].不能被H中有限個開區(qū)間所覆蓋.設(shè)該區(qū)間為顯然有第17頁/共25頁若定理不成立,也就是說[a,b]不能被H中任何再將(iii)對每一個閉區(qū)間[an,bn],都不能被H中有限個滿足下列三個性質(zhì):[a2

,b2].同樣有將上述過程無限進(jìn)行下去,可得一列閉區(qū)間第18頁/共25頁(iii)對每一個閉區(qū)間[an,bn],都不能被H這就是說,[aN

,bN]被H中的一個開區(qū)間所覆蓋,開區(qū)間所覆蓋.矛盾.第19頁/共25頁這就是說,[aN,bN]被H中的一個開區(qū)間所覆蓋區(qū)間(0,1).很明顯,H中的任何有限個開區(qū)間均不注定理7.3中的閉區(qū)間不可以改為開區(qū)間.能覆蓋

(0,1).例2：用有限覆蓋定理證明：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理。第20頁/共25頁區(qū)間(0,1).很明顯,H中的任何有限個開區(qū)間均不我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了關(guān)于實數(shù)完備性的六個定理,它三、實數(shù)完備性定理的等價性確界定理單調(diào)有界定理區(qū)間套定理下面證明這六個定理是等價的.們是:聚點定理（致密性定理）有限覆蓋定理柯西收斂準(zhǔn)則第21頁/共25頁我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了關(guān)于實數(shù)完備性的六個定理,它三、實數(shù)完備性定

柯西收斂準(zhǔn)則

區(qū)間套定理

聚點定理

確界定理

有限覆蓋定理

單調(diào)有界定理

654321第22頁/共25頁柯西收斂準(zhǔn)則區(qū)間套定理聚點定理例3

用有限覆蓋定理證明聚點定理.證設(shè)S是無限有界點集,則存在M>0,使得在上圖的等價性關(guān)系中,僅和尚未證明.這里46給出的證明,請大家自己閱讀教材.46第23頁/共25頁例3用有限覆蓋定理證明聚點定理.證設(shè)S是無限有界點很明顯,H覆蓋了閉區(qū)間[–

M,M].根據(jù)有限覆蓋設(shè)開區(qū)間集由H的構(gòu)造,所以矛盾.定理,存在

H中的有限子覆蓋覆蓋[-M,M

]，進(jìn)而覆蓋S.第24頁/共25頁很明顯,H覆蓋了閉區(qū)間[–M,M].根據(jù)有限覆感謝您的欣賞！第25頁/共25頁感謝您的欣賞！第25頁/共25頁一、區(qū)間套定理二、聚點定理與有限覆蓋定理三、實數(shù)完備性基本定理的等價性第1頁/共25頁一、區(qū)間套定理二、聚點定理與有限覆蓋定理三、實數(shù)完備性基本定定義1定義1中的條件1實際上等價于條件一、區(qū)間套定理第2頁/共25頁定義1定義1中的條件1實際上等價于條件一、區(qū)間套定理第2定理7.1(區(qū)間套定理)或者第3頁/共25頁定理7.1(區(qū)間套定理)或者第3頁/共25頁則任給>0,存在N,當(dāng)nN

時,推論設(shè){[an,bn]}是一個區(qū)間套,注1

該推論有著很強(qiáng)的應(yīng)用價值,請大家務(wù)必牢記.注2

區(qū)間套定理中的閉區(qū)間若改為開區(qū)間,那么結(jié)論不一定成立.例如對于開區(qū)間列,顯然第4頁/共25頁則任給>0,存在N,當(dāng)nN時,推論設(shè)但是定理1中的是不存在的,這是因為例1.用區(qū)間套定理證明連續(xù)函數(shù)根的存在性定理第5頁/共25頁但是定理1中的是不存在的,這是因為例1.用區(qū)間套定理證定義2

設(shè)S為數(shù)軸上的非空點集,為直線上的一個定點(當(dāng)然可以屬于S,也可以不屬于S).若對于任意正數(shù)

,在(,+)中含有S的無限個點,二、聚點定理與有限覆蓋定理則稱是S的一個聚點.即第6頁/共25頁定義2設(shè)S為數(shù)軸上的非空點集,為直線上的一為了便于應(yīng)用,下面介紹兩個與定義2等價的定義.定義2定義2″若存在各項互異的收斂數(shù)列下面簡單敘述一下這三個定義的等價性.若設(shè)S是

[0,

1]中的無理數(shù)全體,

則

S

的聚點集合

為閉區(qū)間

[0,1].第7頁/共25頁為了便于應(yīng)用,下面介紹兩個與定義2等價的定義.定義2定定義2定義2

由定義直接得到.定義2定義2

因為

那么第8頁/共25頁定義2定義2由定義直接得到.定義2定義互異,并且定義2定義2

由極限的定義可知這是顯然的.定理7.2(魏爾斯特拉斯Weierstrass聚點定理)

實數(shù)軸上的任意有界無限點集S必有聚點.第9頁/共25頁互異,并且定義2定義2由極限的定義可知這是顯然的.定我們再次使用區(qū)間套定理來證明聚點定理,請務(wù)必證因為S為有界點集,所以存在正數(shù)M,使現(xiàn)將[a1,b1]等分為兩個子區(qū)間[a1,c1],[c1,b1],中至少有一個區(qū)間含有S的無限多個點.記該區(qū)間為[a2,b2].要注意在區(qū)間套的構(gòu)成中所建立的性質(zhì)

(iii).第10頁/共25頁我們再次使用區(qū)間套定理來證明聚點定理,請務(wù)必證因為S為再將[a2,b2]等分為兩個子區(qū)間.同樣至少有一個子區(qū)間含有S的無限多個點,將這個區(qū)間記為[a3,b3].第11頁/共25頁再將[a2,b2]等分為兩個子區(qū)間.同樣至少有一個子區(qū)間(iii)每個閉區(qū)間[an,bn]均含S的無限多個點.無限重復(fù)這個過程,就可得到一列閉區(qū)間第12頁/共25頁(iii)每個閉區(qū)間[an,bn]均含S的無限多所以由所建立的性質(zhì)(iii)這就證明了是S的一個聚點.定理7.2有一個非常重要的推論(致密性定理).該定理在整個數(shù)學(xué)分析中,顯得十分活躍.第13頁/共25頁所以由所建立的性質(zhì)(iii)這就證明了是S的一個聚點證設(shè){xn}為有界數(shù)列,若{xn}中有無限項相等,取這些相等的項可成一個子列.該子列顯然是收斂若數(shù)列{xn}不含有無限多個相等的項,則{xn}作為點集是有界無限點集.由聚點原理,可設(shè)是{xn}的一個推論(致密性定理)

有界數(shù)列必有收斂子列.的.一個各項互異的子列收斂于

.聚點,那么再由定義

2,可知{xn}中有第14頁/共25頁證設(shè){xn}為有界數(shù)列,若{xn}中有無限項相等,定義3

設(shè)

S為數(shù)軸上的一個點集,H為一些開區(qū)間則稱H是S的一個開覆蓋.若H是S的一個開覆蓋,并且H中的元素(開區(qū)間)僅有有限個,則稱H是S的一個有限開覆蓋.一個開覆蓋.第15頁/共25頁定義3設(shè)S為數(shù)軸上的一個點集,H為一些開區(qū)間則稱H定理7.3(海涅－博雷爾有限覆蓋定理)設(shè)H是閉區(qū)間[a,b]的一個開覆蓋,則從H中可選海涅(Heine,H.E.1821-1881,德國)博雷爾(Borel,E.1871-1956,法國)

出有限個開區(qū)間,構(gòu)成閉區(qū)間

[a,b]的一個子覆蓋.證明：本定理證明方法多種，這里采用區(qū)間套定理。

第16頁/共25頁定理7.3(海涅－博雷爾有限覆蓋定理)設(shè)H是閉區(qū)間[a若定理不成立,也就是說[a,b]不能被

H中任何再將[a1,b1]等分成兩個子區(qū)間,其中至少有一個有限個開區(qū)間所覆蓋.將區(qū)間[a,b]等分成兩個子區(qū)間,那么這兩個子區(qū)間中至少有一個不能被H中任意有限個開區(qū)間所覆蓋,設(shè)該區(qū)間為[a1,b1].不能被H中有限個開區(qū)間所覆蓋.設(shè)該區(qū)間為顯然有第17頁/共25頁若定理不成立,也就是說[a,b]不能被H中任何再將(iii)對每一個閉區(qū)間[an,bn],都不能被H中有限個滿足下列三個性質(zhì):[a2

,b2].同樣有將上述過程無限進(jìn)行下去,可得一列閉區(qū)間第18頁/共25頁(iii)對每一個閉區(qū)間[an,bn],都不能被H這就是說,[aN

,bN]被H中的一個開區(qū)間所覆蓋,開區(qū)間所覆蓋.矛盾.第19頁/共25頁這就是說,[aN,bN]被H中的一個開區(qū)間所覆蓋區(qū)間(0,1).很明顯,H中的任何有限個開區(qū)間均不