數(shù)學(xué)分析第四課件

一、區(qū)間套定理二、聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理三、實(shí)數(shù)完備性基本定理的等價(jià)性第1頁(yè)/共25頁(yè)一、區(qū)間套定理二、聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理三、實(shí)數(shù)完備性基本定定義1定義1中的條件1實(shí)際上等價(jià)于條件一、區(qū)間套定理第2頁(yè)/共25頁(yè)定義1定義1中的條件1實(shí)際上等價(jià)于條件一、區(qū)間套定理第2定理7.1(區(qū)間套定理)或者第3頁(yè)/共25頁(yè)定理7.1(區(qū)間套定理)或者第3頁(yè)/共25頁(yè)則任給>0,存在N,當(dāng)nN

時(shí),推論設(shè){[an,bn]}是一個(gè)區(qū)間套,注1

該推論有著很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值,請(qǐng)大家務(wù)必牢記.注2

區(qū)間套定理中的閉區(qū)間若改為開(kāi)區(qū)間,那么結(jié)論不一定成立.例如對(duì)于開(kāi)區(qū)間列,顯然第4頁(yè)/共25頁(yè)則任給>0,存在N,當(dāng)nN時(shí),推論設(shè)但是定理1中的是不存在的,這是因?yàn)槔?.用區(qū)間套定理證明連續(xù)函數(shù)根的存在性定理第5頁(yè)/共25頁(yè)但是定理1中的是不存在的,這是因?yàn)槔?.用區(qū)間套定理證定義2

設(shè)S為數(shù)軸上的非空點(diǎn)集,為直線上的一個(gè)定點(diǎn)(當(dāng)然可以屬于S,也可以不屬于S).若對(duì)于任意正數(shù)

,在(,+)中含有S的無(wú)限個(gè)點(diǎn),二、聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理則稱是S的一個(gè)聚點(diǎn).即第6頁(yè)/共25頁(yè)定義2設(shè)S為數(shù)軸上的非空點(diǎn)集,為直線上的一為了便于應(yīng)用,下面介紹兩個(gè)與定義2等價(jià)的定義.定義2定義2″若存在各項(xiàng)互異的收斂數(shù)列下面簡(jiǎn)單敘述一下這三個(gè)定義的等價(jià)性.若設(shè)S是

[0,

1]中的無(wú)理數(shù)全體,

則

S

的聚點(diǎn)集合

為閉區(qū)間

[0,1].第7頁(yè)/共25頁(yè)為了便于應(yīng)用,下面介紹兩個(gè)與定義2等價(jià)的定義.定義2定定義2定義2

由定義直接得到.定義2定義2

因?yàn)?/p>

那么第8頁(yè)/共25頁(yè)定義2定義2由定義直接得到.定義2定義互異,并且定義2定義2

由極限的定義可知這是顯然的.定理7.2(魏爾斯特拉斯Weierstrass聚點(diǎn)定理)

實(shí)數(shù)軸上的任意有界無(wú)限點(diǎn)集S必有聚點(diǎn).第9頁(yè)/共25頁(yè)互異,并且定義2定義2由極限的定義可知這是顯然的.定我們?cè)俅问褂脜^(qū)間套定理來(lái)證明聚點(diǎn)定理,請(qǐng)務(wù)必證因?yàn)镾為有界點(diǎn)集,所以存在正數(shù)M,使現(xiàn)將[a1,b1]等分為兩個(gè)子區(qū)間[a1,c1],[c1,b1],中至少有一個(gè)區(qū)間含有S的無(wú)限多個(gè)點(diǎn).記該區(qū)間為[a2,b2].要注意在區(qū)間套的構(gòu)成中所建立的性質(zhì)

(iii).第10頁(yè)/共25頁(yè)我們?cè)俅问褂脜^(qū)間套定理來(lái)證明聚點(diǎn)定理,請(qǐng)務(wù)必證因?yàn)镾為再將[a2,b2]等分為兩個(gè)子區(qū)間.同樣至少有一個(gè)子區(qū)間含有S的無(wú)限多個(gè)點(diǎn),將這個(gè)區(qū)間記為[a3,b3].第11頁(yè)/共25頁(yè)再將[a2,b2]等分為兩個(gè)子區(qū)間.同樣至少有一個(gè)子區(qū)間(iii)每個(gè)閉區(qū)間[an,bn]均含S的無(wú)限多個(gè)點(diǎn).無(wú)限重復(fù)這個(gè)過(guò)程,就可得到一列閉區(qū)間第12頁(yè)/共25頁(yè)(iii)每個(gè)閉區(qū)間[an,bn]均含S的無(wú)限多所以由所建立的性質(zhì)(iii)這就證明了是S的一個(gè)聚點(diǎn).定理7.2有一個(gè)非常重要的推論(致密性定理).該定理在整個(gè)數(shù)學(xué)分析中,顯得十分活躍.第13頁(yè)/共25頁(yè)所以由所建立的性質(zhì)(iii)這就證明了是S的一個(gè)聚點(diǎn)證設(shè){xn}為有界數(shù)列,若{xn}中有無(wú)限項(xiàng)相等,取這些相等的項(xiàng)可成一個(gè)子列.該子列顯然是收斂若數(shù)列{xn}不含有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng),則{xn}作為點(diǎn)集是有界無(wú)限點(diǎn)集.由聚點(diǎn)原理,可設(shè)是{xn}的一個(gè)推論(致密性定理)

有界數(shù)列必有收斂子列.的.一個(gè)各項(xiàng)互異的子列收斂于

.聚點(diǎn),那么再由定義

2,可知{xn}中有第14頁(yè)/共25頁(yè)證設(shè){xn}為有界數(shù)列,若{xn}中有無(wú)限項(xiàng)相等,定義3

設(shè)

S為數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)集,H為一些開(kāi)區(qū)間則稱H是S的一個(gè)開(kāi)覆蓋.若H是S的一個(gè)開(kāi)覆蓋,并且H中的元素(開(kāi)區(qū)間)僅有有限個(gè),則稱H是S的一個(gè)有限開(kāi)覆蓋.一個(gè)開(kāi)覆蓋.第15頁(yè)/共25頁(yè)定義3設(shè)S為數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)集,H為一些開(kāi)區(qū)間則稱H定理7.3(海涅－博雷爾有限覆蓋定理)設(shè)H是閉區(qū)間[a,b]的一個(gè)開(kāi)覆蓋,則從H中可選海涅(Heine,H.E.1821-1881,德國(guó))博雷爾(Borel,E.1871-1956,法國(guó))

出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間,構(gòu)成閉區(qū)間

[a,b]的一個(gè)子覆蓋.證明：本定理證明方法多種，這里采用區(qū)間套定理。

第16頁(yè)/共25頁(yè)定理7.3(海涅－博雷爾有限覆蓋定理)設(shè)H是閉區(qū)間[a若定理不成立,也就是說(shuō)[a,b]不能被

H中任何再將[a1,b1]等分成兩個(gè)子區(qū)間,其中至少有一個(gè)有限個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋.將區(qū)間[a,b]等分成兩個(gè)子區(qū)間,那么這兩個(gè)子區(qū)間中至少有一個(gè)不能被H中任意有限個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋,設(shè)該區(qū)間為[a1,b1].不能被H中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋.設(shè)該區(qū)間為顯然有第17頁(yè)/共25頁(yè)若定理不成立,也就是說(shuō)[a,b]不能被H中任何再將(iii)對(duì)每一個(gè)閉區(qū)間[an,bn],都不能被H中有限個(gè)滿足下列三個(gè)性質(zhì):[a2

,b2].同樣有將上述過(guò)程無(wú)限進(jìn)行下去,可得一列閉區(qū)間第18頁(yè)/共25頁(yè)(iii)對(duì)每一個(gè)閉區(qū)間[an,bn],都不能被H這就是說(shuō),[aN

,bN]被H中的一個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋,開(kāi)區(qū)間所覆蓋.矛盾.第19頁(yè)/共25頁(yè)這就是說(shuō),[aN,bN]被H中的一個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋區(qū)間(0,1).很明顯,H中的任何有限個(gè)開(kāi)區(qū)間均不注定理7.3中的閉區(qū)間不可以改為開(kāi)區(qū)間.能覆蓋

(0,1).例2：用有限覆蓋定理證明：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理。第20頁(yè)/共25頁(yè)區(qū)間(0,1).很明顯,H中的任何有限個(gè)開(kāi)區(qū)間均不我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)定理,它三、實(shí)數(shù)完備性定理的等價(jià)性確界定理單調(diào)有界定理區(qū)間套定理下面證明這六個(gè)定理是等價(jià)的.們是:聚點(diǎn)定理（致密性定理）有限覆蓋定理柯西收斂準(zhǔn)則第21頁(yè)/共25頁(yè)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)定理,它三、實(shí)數(shù)完備性定

柯西收斂準(zhǔn)則

區(qū)間套定理

聚點(diǎn)定理

確界定理

有限覆蓋定理

單調(diào)有界定理

654321第22頁(yè)/共25頁(yè)柯西收斂準(zhǔn)則區(qū)間套定理聚點(diǎn)定理例3

用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理.證設(shè)S是無(wú)限有界點(diǎn)集,則存在M>0,使得在上圖的等價(jià)性關(guān)系中,僅和尚未證明.這里46給出的證明,請(qǐng)大家自己閱讀教材.46第23頁(yè)/共25頁(yè)例3用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理.證設(shè)S是無(wú)限有界點(diǎn)很明顯,H覆蓋了閉區(qū)間[–

M,M].根據(jù)有限覆蓋設(shè)開(kāi)區(qū)間集由H的構(gòu)造,所以矛盾.定理,存在

H中的有限子覆蓋覆蓋[-M,M

]，進(jìn)而覆蓋S.第24頁(yè)/共25頁(yè)很明顯,H覆蓋了閉區(qū)間[–M,M].根據(jù)有限覆感謝您的欣賞！第25頁(yè)/共25頁(yè)感謝您的欣賞！第25頁(yè)/共25頁(yè)一、區(qū)間套定理二、聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理三、實(shí)數(shù)完備性基本定理的等價(jià)性第1頁(yè)/共25頁(yè)一、區(qū)間套定理二、聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理三、實(shí)數(shù)完備性基本定定義1定義1中的條件1實(shí)際上等價(jià)于條件一、區(qū)間套定理第2頁(yè)/共25頁(yè)定義1定義1中的條件1實(shí)際上等價(jià)于條件一、區(qū)間套定理第2定理7.1(區(qū)間套定理)或者第3頁(yè)/共25頁(yè)定理7.1(區(qū)間套定理)或者第3頁(yè)/共25頁(yè)則任給>0,存在N,當(dāng)nN

時(shí),推論設(shè){[an,bn]}是一個(gè)區(qū)間套,注1

該推論有著很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值,請(qǐng)大家務(wù)必牢記.注2

區(qū)間套定理中的閉區(qū)間若改為開(kāi)區(qū)間,那么結(jié)論不一定成立.例如對(duì)于開(kāi)區(qū)間列,顯然第4頁(yè)/共25頁(yè)則任給>0,存在N,當(dāng)nN時(shí),推論設(shè)但是定理1中的是不存在的,這是因?yàn)槔?.用區(qū)間套定理證明連續(xù)函數(shù)根的存在性定理第5頁(yè)/共25頁(yè)但是定理1中的是不存在的,這是因?yàn)槔?.用區(qū)間套定理證定義2

設(shè)S為數(shù)軸上的非空點(diǎn)集,為直線上的一個(gè)定點(diǎn)(當(dāng)然可以屬于S,也可以不屬于S).若對(duì)于任意正數(shù)

,在(,+)中含有S的無(wú)限個(gè)點(diǎn),二、聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理則稱是S的一個(gè)聚點(diǎn).即第6頁(yè)/共25頁(yè)定義2設(shè)S為數(shù)軸上的非空點(diǎn)集,為直線上的一為了便于應(yīng)用,下面介紹兩個(gè)與定義2等價(jià)的定義.定義2定義2″若存在各項(xiàng)互異的收斂數(shù)列下面簡(jiǎn)單敘述一下這三個(gè)定義的等價(jià)性.若設(shè)S是

[0,

1]中的無(wú)理數(shù)全體,

則

S

的聚點(diǎn)集合

為閉區(qū)間

[0,1].第7頁(yè)/共25頁(yè)為了便于應(yīng)用,下面介紹兩個(gè)與定義2等價(jià)的定義.定義2定定義2定義2

由定義直接得到.定義2定義2

因?yàn)?/p>

那么第8頁(yè)/共25頁(yè)定義2定義2由定義直接得到.定義2定義互異,并且定義2定義2

由極限的定義可知這是顯然的.定理7.2(魏爾斯特拉斯Weierstrass聚點(diǎn)定理)

實(shí)數(shù)軸上的任意有界無(wú)限點(diǎn)集S必有聚點(diǎn).第9頁(yè)/共25頁(yè)互異,并且定義2定義2由極限的定義可知這是顯然的.定我們?cè)俅问褂脜^(qū)間套定理來(lái)證明聚點(diǎn)定理,請(qǐng)務(wù)必證因?yàn)镾為有界點(diǎn)集,所以存在正數(shù)M,使現(xiàn)將[a1,b1]等分為兩個(gè)子區(qū)間[a1,c1],[c1,b1],中至少有一個(gè)區(qū)間含有S的無(wú)限多個(gè)點(diǎn).記該區(qū)間為[a2,b2].要注意在區(qū)間套的構(gòu)成中所建立的性質(zhì)

(iii).第10頁(yè)/共25頁(yè)我們?cè)俅问褂脜^(qū)間套定理來(lái)證明聚點(diǎn)定理,請(qǐng)務(wù)必證因?yàn)镾為再將[a2,b2]等分為兩個(gè)子區(qū)間.同樣至少有一個(gè)子區(qū)間含有S的無(wú)限多個(gè)點(diǎn),將這個(gè)區(qū)間記為[a3,b3].第11頁(yè)/共25頁(yè)再將[a2,b2]等分為兩個(gè)子區(qū)間.同樣至少有一個(gè)子區(qū)間(iii)每個(gè)閉區(qū)間[an,bn]均含S的無(wú)限多個(gè)點(diǎn).無(wú)限重復(fù)這個(gè)過(guò)程,就可得到一列閉區(qū)間第12頁(yè)/共25頁(yè)(iii)每個(gè)閉區(qū)間[an,bn]均含S的無(wú)限多所以由所建立的性質(zhì)(iii)這就證明了是S的一個(gè)聚點(diǎn).定理7.2有一個(gè)非常重要的推論(致密性定理).該定理在整個(gè)數(shù)學(xué)分析中,顯得十分活躍.第13頁(yè)/共25頁(yè)所以由所建立的性質(zhì)(iii)這就證明了是S的一個(gè)聚點(diǎn)證設(shè){xn}為有界數(shù)列,若{xn}中有無(wú)限項(xiàng)相等,取這些相等的項(xiàng)可成一個(gè)子列.該子列顯然是收斂若數(shù)列{xn}不含有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng),則{xn}作為點(diǎn)集是有界無(wú)限點(diǎn)集.由聚點(diǎn)原理,可設(shè)是{xn}的一個(gè)推論(致密性定理)

有界數(shù)列必有收斂子列.的.一個(gè)各項(xiàng)互異的子列收斂于

.聚點(diǎn),那么再由定義

2,可知{xn}中有第14頁(yè)/共25頁(yè)證設(shè){xn}為有界數(shù)列,若{xn}中有無(wú)限項(xiàng)相等,定義3

設(shè)

S為數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)集,H為一些開(kāi)區(qū)間則稱H是S的一個(gè)開(kāi)覆蓋.若H是S的一個(gè)開(kāi)覆蓋,并且H中的元素(開(kāi)區(qū)間)僅有有限個(gè),則稱H是S的一個(gè)有限開(kāi)覆蓋.一個(gè)開(kāi)覆蓋.第15頁(yè)/共25頁(yè)定義3設(shè)S為數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)集,H為一些開(kāi)區(qū)間則稱H定理7.3(海涅－博雷爾有限覆蓋定理)設(shè)H是閉區(qū)間[a,b]的一個(gè)開(kāi)覆蓋,則從H中可選海涅(Heine,H.E.1821-1881,德國(guó))博雷爾(Borel,E.1871-1956,法國(guó))

出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間,構(gòu)成閉區(qū)間

[a,b]的一個(gè)子覆蓋.證明：本定理證明方法多種，這里采用區(qū)間套定理。

第16頁(yè)/共25頁(yè)定理7.3(海涅－博雷爾有限覆蓋定理)設(shè)H是閉區(qū)間[a若定理不成立,也就是說(shuō)[a,b]不能被

H中任何再將[a1,b1]等分成兩個(gè)子區(qū)間,其中至少有一個(gè)有限個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋.將區(qū)間[a,b]等分成兩個(gè)子區(qū)間,那么這兩個(gè)子區(qū)間中至少有一個(gè)不能被H中任意有限個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋,設(shè)該區(qū)間為[a1,b1].不能被H中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋.設(shè)該區(qū)間為顯然有第17頁(yè)/共25頁(yè)若定理不成立,也就是說(shuō)[a,b]不能被H中任何再將(iii)對(duì)每一個(gè)閉區(qū)間[an,bn],都不能被H中有限個(gè)滿足下列三個(gè)性質(zhì):[a2

,b2].同樣有將上述過(guò)程無(wú)限進(jìn)行下去,可得一列閉區(qū)間第18頁(yè)/共25頁(yè)(iii)對(duì)每一個(gè)閉區(qū)間[an,bn],都不能被H這就是說(shuō),[aN

,bN]被H中的一個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋,開(kāi)區(qū)間所覆蓋.矛盾.第19頁(yè)/共25頁(yè)這就是說(shuō),[aN,bN]被H中的一個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋區(qū)間(0,1).很明顯,H中的任何有限個(gè)開(kāi)區(qū)間均不