2022屆云南省永勝縣第二中學(xué)高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖在一個的二面角的棱有兩個點，線段分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于棱，且，則的長為（）A．4 B． C．2 D．2．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點橫坐標(biāo)的和為（）A． B． C． D．3．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，則m的值為（）A． B． C．1 D．34．設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時少100元，則目前該教師的月退休金為（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元6．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為（）A．－10 B．－9 C．－7 D．17．已知拋物線和點，直線與拋物線交于不同兩點，，直線與拋物線交于另一點．給出以下判斷：①直線與直線的斜率乘積為；②軸；③以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切.其中，所有正確判斷的序號是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③8．若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知中內(nèi)角所對應(yīng)的邊依次為，若，則的面積為（）A． B． C． D．10．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i11．黨的十九大報告明確提出：在共享經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域培育增長點、形成新動能.共享經(jīng)濟(jì)是公眾將閑置資源通過社會化平臺與他人共享，進(jìn)而獲得收入的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟(jì)對企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響，在四個不同的企業(yè)各取兩個部門進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對比試驗，根據(jù)四個企業(yè)得到的試驗數(shù)據(jù)畫出如下四個等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（）A． B．C． D．12．《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍.其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，，則的取值范圍是_____．14．在中，角所對的邊分別為，為的面積，若，，則的形狀為__________，的大小為__________．15．在區(qū)間內(nèi)任意取一個數(shù)，則恰好為非負(fù)數(shù)的概率是________.16．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在以為頂點的五面體中，底面為菱形，，，，二面角為直二面角.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.18．（12分）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點，且與圓相切．（1）求的值；（2）動點在拋物線的準(zhǔn)線上，動點在上，若在點處的切線交軸于點，設(shè)．求證點在定直線上，并求該定直線的方程．19．（12分）的內(nèi)角所對的邊分別是，且，.（1）求；（2）若邊上的中線，求的面積.20．（12分）數(shù)列滿足，且.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線上的點到直線距離的最小值和最大值.22．（10分）在中，角的對邊分別為.已知，且.（1）求的值；（2）若的面積是，求的周長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

由，兩邊平方后展開整理，即可求得，則的長可求．【詳解】解：，，，，，，．，，故選：．【點睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2．B【解析】

根據(jù)兩個函數(shù)相等，求出所有交點的橫坐標(biāo)，然后求和即可.【詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)的和，故選B.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3．A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡，結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡可得，因為是純虛數(shù)，所以，∴，故選：A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，求得對應(yīng)的坐標(biāo)，由此判斷對應(yīng)點所在象限.【詳解】，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點所在象限，屬于基礎(chǔ)題.5．D【解析】

設(shè)目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結(jié)果即可．【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元，則由題意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故選D．【點睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題．6．B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式，先求得的值，然后結(jié)合的奇偶性，求得的值.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，.故選：B【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值，考查數(shù)形結(jié)合思想.意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力，分析問題、解決問題的能力.7．B【解析】

由題意，可設(shè)直線的方程為，利用韋達(dá)定理判斷第一個結(jié)論；將代入拋物線的方程可得，，從而，，進(jìn)而判斷第二個結(jié)論；設(shè)為拋物線的焦點，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點．設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，，的半徑為，點到準(zhǔn)線的距離為，顯然，，三點不共線，進(jìn)而判斷第三個結(jié)論.【詳解】解：由題意，可設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程，有．設(shè)點，的坐標(biāo)分別為，，則，．所．則直線與直線的斜率乘積為．所以①正確．將代入拋物線的方程可得，，從而，，根據(jù)拋物線的對稱性可知，，兩點關(guān)于軸對稱，所以直線軸．所以②正確．如圖，設(shè)為拋物線的焦點，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點．設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，，的半徑為，點到準(zhǔn)線的距離為，顯然，，三點不共線，則．所以③不正確．故選：B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題．8．B【解析】

轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求函數(shù)最值，即得解.【詳解】由，可知．設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．所以．故的取值范圍是．故選：B【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.9．A【解析】

由余弦定理可得，結(jié)合可得a，b，再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故選：A.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.10．B【解析】

復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴，解得..故選：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.11．D【解析】根據(jù)四個列聯(lián)表中的等高條形圖可知，圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的差異最大，它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D．12．C【解析】

將圓錐的體積用兩種方式表達(dá)，即，解出即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則，又，故，所以，.故選：C.【點睛】本題利用古代數(shù)學(xué)問題考查圓錐體積計算的實際應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

計算出角的取值范圍，結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】，則，所以，，由正弦定理，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．14．等腰三角形【解析】∵∴根據(jù)正弦定理可得，即∴∴∴的形狀為等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴，即∵∴故答案為等腰三角形，15．【解析】

先分析非負(fù)數(shù)對應(yīng)的區(qū)間長度，然后根據(jù)幾何概型中的長度模型，即可求解出“恰好為非負(fù)數(shù)”的概率.【詳解】當(dāng)是非負(fù)數(shù)時，，區(qū)間長度是，又因為對應(yīng)的區(qū)間長度是，所以“恰好為非負(fù)數(shù)”的概率是.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型中的長度模型，難度較易.解答問題的關(guān)鍵是能判斷出目標(biāo)事件對應(yīng)的區(qū)間長度.16．【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義列方程，化簡求得的值.【詳解】由于為偶函數(shù)，所以，即，即，即，即，即，即，即，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）連接交于點，取中點，連結(jié)，證明平面得到答案.（Ⅱ）分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為，平面的法向量為，計算夾角得到答案.【詳解】（Ⅰ）連接交于點，取中點，連結(jié)因為為菱形，所以.因為，所以.因為二面角為直二面角，所以平面平面，且平面平面，所以平面所以因為所以是平行四邊形，所以.所以，所以，所以平面，又平面，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知兩兩垂直，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)設(shè)平面的法向量為，由，取.平面的法向量為.所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.18．（1）；（2）點在定直線上．【解析】

（1）設(shè)出直線的方程為，由直線和圓相切的條件：，解得；（2）設(shè)出，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，求得為切點的切線方程，再由向量的坐標(biāo)表示，可得在定直線上；【詳解】解：（1）依題意設(shè)直線的方程為，由已知得：圓的圓心，半徑，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，解得或（舍去）．所以；（2）依題意設(shè)，由（1）知拋物線方程為，所以，所以，設(shè)，則以為切點的切線的斜率為，所以切線的方程為．令，，即交軸于點坐標(biāo)為，所以，，，．設(shè)點坐標(biāo)為，則，所以點在定直線上．【點睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系的判斷，考查直線方程和圓方程的運(yùn)用，以及切線方程的求法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于綜合題．19．（1），（2）【解析】

（1）先由正弦定理，得到，進(jìn)而可得，再由，即可得出結(jié)果；（2）先由余弦定理得，，再根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可得，從而可求出，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得，所以，因為，所以，即，所以，又因為，所以，.（2）在和中，由余弦定理得，.因為，，，，又因為，即，所以，所以，又因為，所以.所以的面積.【點睛】本題主要考查解三角形，靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理即可，屬于?？碱}型.20．（1）證明見解析，；（2）【解析】

（1）利用，推出，然后利用等差數(shù)列的通項公式，即可求解；（2）由（1）知，利用裂項法，即可求解數(shù)列的前n項和.【詳解】（1）由題意，數(shù)列滿足且可得，即，所以數(shù)列是公差，首項的等差數(shù)列，故，所以.（2）由（1）知，所以數(shù)列的前n項和：==【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，以及“裂項法”求解數(shù)列的前n項和，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義和通項公式，合理利用“裂項法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.21．（1）（2）最大值；最小值.【解析】

（1）結(jié)合極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式可得；（2）利用參數(shù)方程，求解點到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)知識求解最值.【詳解】解：（1）因為，代入，可得直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線上的點到直線的距離，其中，.故曲線上的點到直線距離的最大值，曲線上的點到直線的距離的最小值.【點睛】