兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)分布

第五節(jié)

兩個(gè)隨量的函數(shù)的分布量函數(shù)的分布量函數(shù)的分布一、問題的引入二、離散型隨三、連續(xù)型隨四、小結(jié)一、問題的引入有一大群人,

令

X

和

Y

分別表示一個(gè)人的和體重,

Z

表示該人的血壓,

并且已知

Z

與X

,Y

的函數(shù)關(guān)系Z

g(X

,Y

),如何通過(guò)X

,Y

的分布確定Z

的分布.為了解決類似的問題下面隨

量函數(shù)的分布.二、離散型隨量函數(shù)的分布量的聯(lián)合分布律為若二維離散型隨P{

X

xi

,Y

y

j

}

pij

,

i,

j

1,2,則隨

量函數(shù)

YX)的,g(

Z分布律為P{Z

zk

}

P{g(

X

,Y

)

zk

}

pijzk

g(

xi

y

j

)k

1,2,.量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨(一)Z

X

Y

的分布設(shè)(X

,Y

)是二維連續(xù)型隨量

它具有概率密度f(wàn)

(

x,

y).

則Z

X

Y仍為連續(xù)型隨

量，其概率密度為f

X

Y

(z)

f

(z

y,

y)d

y,(5.1)或f

(

x,

z

x)d

x

.X

Yf

(z)

(5.2)又若X和Y相互獨(dú)立設(shè)

關(guān)于密度分別為f

X

(x),fY

(y),則(5.1),(5.2)分別化為和f

X

Y

(z)

f

X

(z

y)

fY

(

y)d

y,f

X

Y

(z)

f

X

(

x)

fY

(z

x)d

x

.(5.3)(5.4)

fY

,即YXf

f這兩個(gè)公式稱為f

X

和

fY

的卷積公式,

記為f

XX

Yf

(z

y)

f

(

y)d

y

f

X

(

x)

fY

(z

x)d

x

.FZ

(z)

P{Z

z}

f

(

x,

y)d

x

d

y,x

y

zxOyx

y

z這里積分區(qū)域G

:x

y

z是直線x

y

z及其左下方的半平面.將二重積分化成累次積分,得f

(

x,

y)d

x

d

y.

z

yFZ

(z)

證

先來(lái)求Z

X

Y的分布函數(shù)FZ

(z),

即有f

(x,y)d

x作變量變換z

y固定z和y對(duì)積分令x

u

y,

得z

yf

(u

y,

y)d

uf

(

x,

y)d

x

z于是f

(u

y,

y)d

u

d

y

z

F

(z)Zf

(u

y,

y)d

y

d

u.z

由概率密度的定義即得(5.1)式.

類似可證得(5.2)式.例1

設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.他們都服從(0,1)分布,其概率密度為e

x22

,2π1f

X

(

x)

e

y22

,2π1fY

(

y)

y

,

x

,求Z

X

Y的概率密度.解由((f(x)f)z(fdx)x,YXZ

d

x

x22π122(

z

x

)2e

ed

x,e2π1z24

2

e

x

z

22令t

x

z

,得d

t

z

22e-t2πf

Z

(z)

1

e4241

e

z2e

z24

.2

π1即Z服從N

(0,2)分布.說(shuō)明量的線性組合有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨仍然服從正態(tài)分布.1

1一般,設(shè)X

,Y相互獨(dú)立且X

~

N

(μ

,σ2

),Y

~N

(μ

,σ2

).由(5.4)式經(jīng)過(guò)計(jì)算知Z

X

Y

仍然服2

2從正態(tài)分布,且有Z

~

N

(

μ

μ

,σ2

σ2

).1

2

1

2解由(,R

的概率密度為f

R

(z)

f

(

x)

f

(z

x)d

x.例2

在一簡(jiǎn)單電路中,兩電阻

R1

和

R2

串聯(lián)連接，設(shè)R1

,R2

相互獨(dú)立,它們的概率密度均為f

(

x)50

0,

其他.求電阻R

R1

R2

的概率密度.10

x

, 0

x

10,僅當(dāng)0

x

10,

0

x

10,

0

z

x

10,

z

10

x

z,即z時(shí)上述積分的被積函數(shù)不等于零.參考下圖,即得xOx

zx

z

10x

1010

20f

(z)R0

z

10,10

z

20,f

(

x)

f

(z

x)d

x,z0f

(

x)

f

(z

x)d

x,10z10其他.0,將f

(x)的表達(dá)式代入上式得fR

(z)其他.0,

150000

z

10,(600z

60z2

z3

),1

1500010

z

20,(20

z)3

,1例3

設(shè)隨

量

,

YX相互獨(dú)立,

且分別服從參數(shù)為α,

;

,

的

分布(分布分別記成

X

~

(α,

),Y

~

(

,

)),X

,Y的概率密度分別為f

(

x)Xα

0,

0,x

0,xα1e

x

,1其他.0,

(α)fY

(

y)

0,

0.試證明Z

X

Y

服從參數(shù)為α

,

的

分布,即X

Y ~

(

,

).證

(5.4)式由

Y的XZ概率密度為f

Z

(z)

f

X

(

x)

fY

(z

x)d

x僅當(dāng)y

0,y

1e

y

,10,

其他.

(

)

z

x

0,

x

0,亦即

x

z,

x

0,時(shí)上述積分的被積函數(shù)不等于零,于是(參見下圖)知當(dāng)z

0時(shí)fZ

(z)

0,而當(dāng)z

0時(shí)有zxOfZ

(z)(z

x)

1

e(

z

x

)

d

xz1

(

)10xα

1e

x

(α)

d

x

(令x

zt

)x

(z

x)ze

z

10

1

(

)(

)t

(1

t

) d

tz

1e

z

110

1

(

)(

)記成

Az

1e

z

,其中

A

10

(

)(

)1t

1

(1

t

)

1

d

t現(xiàn)在來(lái)計(jì)算A.由概率密度的性質(zhì)得到:(5.5)Az

1ez

d

z01Zf

(z)d

zAd(z

)(z

)

e0z

1

A

(

),.1

(

)A

即有于是

f

(z)ZX

Y

~

(

,

).即z

0,z

1e

z

,1

(

)其他.0,(5.6)上述結(jié)論還能推廣到n

個(gè)相互獨(dú)立的分布變量之和的情況.即若

X1

,

X

2

,,

Xn

相互獨(dú)立,且n服從參數(shù)為αi

,β

的

分布.這一性質(zhì)稱為分布i

1的可加性.nXi

服從參數(shù)為αi

,β(i

1,2,,n)的

分布,則

Xii1密度

f

(

x,

y).

則ZXY

,Z

XY仍為連續(xù)型隨量,其概率密度分別為fY

X

(z)

x

f

(

x,

xz)d

x,xzXY

xf

()z

1

fx

(,).dxX設(shè)

YX),是(

二維連續(xù)型隨

量

它具有概率(二)Z

Y

的分布、Z

XY

的分布如果X和Y相互獨(dú)立.設(shè)(X

,Y

)關(guān)于密度分別為f

X

(

x),

fY

(

y),

則fY

X

(z)

x

f

X

(

x)

fY

(

xz)d

x.x

x1

f

(

x)

f

(

z

)d

x.X

Yf

XY

(z)

證XZ

Y

的分布函數(shù)為F(z)Y

X(5.7)(5.8)

f

(

x,

y)d

x

d

yG1

G2y

x

z

,

x0

f

(

x,

y)dydx

y

x

z

,

x0

f

(

x,

y)dydxP{Y X

z}FY

X

(z)f

(

x,

y)d

y

d

x

zx0

f

(

x,

y)d

y

d

x

zx0

xyOxy

zG1G2xO2GG1

yy

zxz

0xf

(

x,

xu)d

ud

x

0

zxf

(

x,

xu)d

ud

x

z0

(

x)

f

(

x,

xu)d

ud

x0

z令y

xu

xf

(

x,

xu)d

ud

x

z0

x

f

(

x,

xu)d

ud

x

z

x

f

(

x,

xu)d

x

d

uz

x

f

(

x)

f

(

xz)d

x.YXY

Xf

(z)

x

x1

f

(

x)

f

(

z

)d

x.X

Yf

XY

(z)

所以類似可得例4

某公司提供一種度為f

(

y)保險(xiǎn),保險(xiǎn)費(fèi)Y

25y

e

y

5

,

y

0,0,

其他,保險(xiǎn)賠付X的概率密度為g(

x)

5

1

e

x

5

,

x

0,0,

其他,設(shè)

X

,Y

相互獨(dú)立,

求

Z

Y X

的概率密度.解由(5.7)式知,當(dāng)z

0時(shí)fZ

(z)

0.當(dāng)z

0時(shí)

Z的概率密度為Zf

(z)

5

251

xz

xz

5

x

5

e

dxx

e0zx

e502dx

x

1

z

125z

(3)125

[(1

z)

5]3.(1

z)32z分布函數(shù)分別為FX

(x)和FY

(y).設(shè)

X

,Y

是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,

它們的M

max{

X

,Y

}及N

min{

X

,Y

}的分布函數(shù).由于M

max{X

,Y

}不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z,故有現(xiàn)求P{M

z}P{

X

z,Y

z}(三)M

max{X

,Y

}及N

min{X

,Y

}的分布又由于

X

,Y

相互獨(dú)立,

得到M

m分布函數(shù)為Fmax

(z)P{M

z}P{

X

z,Y

z}即有P{

X

z}P{Y

z}.Fmax

(z)

FX

(z)FY

(z).類似地,

可得N

min{

X

,Y

}的分布函數(shù)為1

P{

N

z}Fmin

(z)

P{

N

z}1

P{

X

z,Y

z}1

P{

X

z}

P{Y

z}.Fmin

(z)

1

[1

FX

(z)][1

FY

(z)].即它們的分布函數(shù)分別為

FX

(

xi

)

(

i

1,

2,,

n),

則iM

max{X1

,X

2

,,Xn

}及N

min{X1

,X

2

,,Xn

}的分布函數(shù)分別為Fmax

(z)

FX

(z)

FX

(z)FX

(z),1

2

nFmin

(z)

1

[1

FX

(z)][1

FX

(z)][1

FX

(z)]1

2

n21,,,

n

是

nX個(gè)X相X

互獨(dú)立的隨

量,推廣設(shè)當(dāng)X1

,X2

,,Xn相互獨(dú)立且具有相同的分布函數(shù)F

(x)時(shí)有F

(z)

[F

(z)]n

,maxF

(z)

1

[1

F

(z)]n

.min例5

設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1

,L2

連接而成,連接的方式分別為(i)串聯(lián),(ii)并聯(lián),(iii)備用(當(dāng)系統(tǒng)L1

損壞時(shí),系統(tǒng)L2

開始工作),如圖所示.、YX,已知它們的概率密度、L設(shè)2L1的

分別為分別為XYL1

L2XY2LL1XY2LL1

αex

,

x

0,

0,

x

0,f

X

(

x)

0,

y

0,

βe

βy

,

y

0,f

(

y)Y其中α

0,

β

0

且

α

β.

試分別就以上三種連接方式寫出

的

ZL的概率密度.解(i)串聯(lián)由于當(dāng)L12,

L

中有一個(gè)損壞時(shí),

系統(tǒng)

L

就停止工作,

所以這時(shí)

L

的

為Z

min{

X

,Y

}.X

,Y的分布函數(shù)分布為

0,

x

0,

1

ex

,

x

0,FX

(

x)FY

(

y)1

βe

βy

,

y

0,0,

y

0,Z

min{X

,Y

}的分布函數(shù)為Fmin

(z)

0,

z

0.

1

e(α

β

)

z

,

z

0,Z

min{X

,Y

}的概率密度為fmin

(z)(α

β)e(α

β

)z

,

z

0,

0,

z

0.(ii)并聯(lián)的情況由于當(dāng)且僅當(dāng)L1

,L2

都損壞時(shí),系統(tǒng)L

才停止工作,

所以這時(shí)

L

的

為

Z

max{

X

,Y

}.Fmax

(z)FX

(z)

FY

(z)(1

eαz

)(1

e