人教新課標(biāo)1帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)2

帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)是歷年來高考的必考題，題目的設(shè)置也是以能區(qū)分不同水平層次學(xué)生為目標(biāo)的，在高考復(fù)習(xí)中必須作為重點(diǎn)專題，指導(dǎo)學(xué)生掌握方法，在這必考的題目中爭取多得分。處理帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)問題，其本質(zhì)是平面幾何知識與物理知識的綜合運(yùn)用。重要的是正確建立完整的物理模型，畫出準(zhǔn)確、清晰的運(yùn)動(dòng)軌跡。下面對帶電粒子在磁場中圓周運(yùn)動(dòng)的單解和多解問題進(jìn)行分類解析。一、“帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)”的單解型問題找圓心、畫軌跡是解題的基礎(chǔ),是解題的“靈魂”，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)找?guī)щ娏Ｗ幼鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的圓心、求出半徑，再進(jìn)一步求其它物理量就不難了。1.圓心與軌跡確定帶電粒子進(jìn)入一個(gè)有界磁場后的軌道一定是一段圓弧，如何確定圓心是解決問題的前提，也是解題的關(guān)鍵，而圓心一定在與速度方向垂直的直線上.在實(shí)際問題中圓心位置的確定極為重要，通常有兩個(gè)方法：圖1如圖1所示，圖中P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn)，圖1已知入射方向和出射方向時(shí)，可以通過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心Ｏ.②如圖2所示，圖中A為入射點(diǎn)，圖2B為出射點(diǎn)，已知入射方向和出射點(diǎn)的圖2位置時(shí)，可以通過入射點(diǎn)做入射方向的垂線，連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作其中垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心Ｏ.③圓心與軌跡的確定又常常借助于“圓的幾何對稱規(guī)律”如從同一邊界射入的粒子，又從同一邊界射出時(shí)，速度與邊界的夾角一定相等(圖3)；在圓形磁場區(qū)域內(nèi)，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出（圖4）.圖3圖3圖4圖5a圖5aRc一般利用幾何知識解直角三角形.如圖5中，已知有界磁場的寬度為a，帶電粒子離開磁場時(shí)方向改變了30°，求粒子的軌道半徑。由直角三角形函數(shù)關(guān)系得：R=asin30°圖6*若并不知粒子離開磁場的偏轉(zhuǎn)角，而知道入射點(diǎn)與出射點(diǎn)相距為b，則利用直角三角形關(guān)系，R2=a2+(R-c)2c2=b2圖6由此可求R。3.運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定：先求周期T，再求出粒子運(yùn)動(dòng)這部分圓弧是整個(gè)圓周的幾分之幾，再求時(shí)間t如圖6所示，要求粒子從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間，粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不論沿順時(shí)針方向還是逆時(shí)針方向，從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，粒子速度偏向角(φ)等于圓心角(回旋角α)并等于AB弦與切線的夾角(弦切角θ)的2倍.即：φ=α=2θ=ωt.利用圓心角(回旋角α)與弦切角θ的關(guān)系，或者利用四邊形內(nèi)角和等于360°計(jì)算出圓心角α的大小，由公式t=T可求出粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.以下有7個(gè)以下有7個(gè)很好的選例可強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用上述方法解決帶電粒子在磁場中的更多問題圖示在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；一帶正電的粒子以速度V0從O點(diǎn)射入磁場中，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正方向的夾角為θ；若粒子射出磁場的位置與O點(diǎn)的距離為L。求①該粒子的電荷量和質(zhì)量比；②粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。aa分析：①粒子受洛侖茲力后必將向下偏轉(zhuǎn)，過O點(diǎn)作速度V0的垂線必過粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心O’；由于圓的對稱性知粒子經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)的速度方向與x軸正方向的夾角必為θ，故點(diǎn)P作速度的垂線與點(diǎn)O處速度垂線的交點(diǎn)即為圓心O’（也可以用垂徑定理作弦OP的垂直平分線與點(diǎn)O處速度的垂線的交點(diǎn)也為圓心）。再由洛侖茲力提供向心力得出粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑為故有解之由圖知粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角為，故粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：【例2】如圖以ab為邊界的二勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1＝2B2，現(xiàn)有一質(zhì)量為m帶電+q的粒子從O點(diǎn)以初速度V0沿垂直于ab方向發(fā)射；在圖中作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，并求出粒子第6次穿過直線ab所經(jīng)歷的時(shí)間、路程及離開點(diǎn)O的距離。（粒子重力不計(jì)）分析：粒子在二磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑分別為：由粒子在磁場中所受的洛侖茲力的方向可以作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。粒子從點(diǎn)O出發(fā)第6次穿過直線ab時(shí)的位置必為點(diǎn)P；故粒子運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為，而粒子的運(yùn)動(dòng)周期代入前式有。粒子經(jīng)過的路程：點(diǎn)O與P的距離為：【例3】如圖所示真空中寬為d的區(qū)域內(nèi)有強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場方向如圖，質(zhì)量m帶電-q的粒子以與CD成θ角的速度V0垂直射入磁場中；要使粒子必能從EF射出則初速度V0應(yīng)滿足什么條件？EF上有粒子射出的區(qū)域？分析：粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場后受洛侖茲力作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使粒子必能從EF射出，則相應(yīng)的臨界軌跡必為過點(diǎn)A并與EF相切的軌跡如圖示，作出A、P點(diǎn)速度的垂線相交于O’即為該臨界軌跡的圓心，臨界半徑R0由得：故粒子必能穿出EF的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡半徑R≥R0，即有：由圖知粒子不可能從P點(diǎn)下方向射出EF，即只能從P點(diǎn)上方某一區(qū)域射出；又由于粒子從點(diǎn)A進(jìn)入磁場后受洛侖茲力必使其向右下方偏轉(zhuǎn)，故粒子不可能從AG直線上方射出；由此可見EF中有粒子射出的區(qū)域?yàn)镻G，且由圖知?！纠?】如圖所示S為電子射線源能在圖示紙面上和360°范圍內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率相等的質(zhì)量為m、帶電-e的電子，MN是一塊足夠大的豎直檔板且與S的水平距離OS＝L，檔板左側(cè)充滿垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場；①若電子的發(fā)射速率為V0，要使電子一定能經(jīng)過點(diǎn)O，則磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的條件？②若磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，要使S發(fā)射出的電子能到達(dá)檔板，則電子的發(fā)射速率多大？③若磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，從S發(fā)射出的電子的速度為，則檔板上出現(xiàn)電子的范圍多大？分析：電子從點(diǎn)S發(fā)出后必受到洛侖茲力作用而在紙面上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于電子從點(diǎn)S射出的方向不同將使其受洛侖茲力方向不同，導(dǎo)致電子的軌跡不同，分析知只有從點(diǎn)S向與SO成銳角且位于SO上方發(fā)射出的電子才可能經(jīng)過點(diǎn)O。①要使電子一定能經(jīng)過點(diǎn)O，即SO為圓周的一條弦，則電子圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑必滿足R≥，由得B≤要使電子從S發(fā)出后能到達(dá)檔板，則電子至少能到達(dá)檔板上的O點(diǎn)，故仍有粒子圓周運(yùn)動(dòng)半徑:得：③解答：略【例5】圖中半徑r＝10cm的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，其邊界跟y軸在坐標(biāo)原點(diǎn)O處相切；磁場B＝0．33T垂直于紙面向內(nèi)，在O處有一放射源S可沿紙面向各個(gè)方向射出速率均為的α粒子；已知α粒子質(zhì)量為，電量，則α粒子通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角θ及在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間t各多少？解答：略【例6】一質(zhì)量m、帶電q的粒子以速度V0從A點(diǎn)沿等邊三角形ABC的AB方向射入強(qiáng)度為B的垂直于紙面的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域中，要使該粒子飛出磁場后沿BC射出，求圓形磁場區(qū)域的最小面積。解答：略【例7】有一粒子源置于一平面直角坐標(biāo)原點(diǎn)O處，如圖所示相同的速率v0向第一象限平面內(nèi)的不同方向發(fā)射電子，已知電子質(zhì)量為m，電量為e。欲使這些電子穿過垂直于紙面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場后，都能平行于x軸沿+x方向運(yùn)動(dòng)，求該磁場方向和磁場區(qū)域的最小面積s。二、“帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)”的多解型問題帶電粒子在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，出現(xiàn)多解原因包含以下幾個(gè)方面：（1）帶電粒子電性不確定形成多解受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負(fù)電，在初速度相同的條件下，正負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，導(dǎo)致形成多解.（2）磁場方向不確定形成多解有時(shí)題目中只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向.此時(shí)必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向的不確定而形成的多解.（3）臨界狀態(tài)不唯一形成多解帶電粒子在洛倫茲力作用下穿越有界磁場時(shí)，由于帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓周的一部分，因此帶電粒子可能穿越了有界磁場，也可能轉(zhuǎn)過180°能夠從入射的那一邊反向飛出（如例3），就形成多解.（4）帶電粒子運(yùn)動(dòng)的重復(fù)性形成多解帶電粒子在部分是電場、部分是磁場的空間中運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往具有重復(fù)性的運(yùn)動(dòng)，形成了多解.以下有以下有4個(gè)很好的選例可運(yùn)用上述的“不確定”解決帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)有幾種可能的問題【例8】在前面“【例4】”中若將檔板取走，磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，當(dāng)電子以速率從點(diǎn)S射出后要擊中O點(diǎn)，則點(diǎn)S處電子的射出方向與OS的夾角為多少？從S到點(diǎn)O的時(shí)間多少？【例9】一質(zhì)量m帶電q的粒子以速率V垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，粒子經(jīng)過一段時(shí)間受到的沖量的大小為mv，粒子重力不計(jì)。則此過程經(jīng)歷的時(shí)間為多少？【例10】在半徑為r的圓筒中有沿筒軸線方向的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；一質(zhì)量為m帶電+q的粒子以速度V從筒壁A處沿半徑方向垂直于磁場射入筒中；若它在筒中只受洛侖茲力作用且與筒壁發(fā)生彈性碰撞，欲使粒子與筒壁連續(xù)相碰撞并繞筒壁一周后仍從A處射出；則B必須滿足什么條件？帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間？【例11】如圖3-6-10所示，一對平行極板長為x，板間距離為y，板間有垂直向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場.一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的電子，從左側(cè)邊界線的中點(diǎn)處平行于極板且垂直于磁感線的方向射入磁場，欲使電子不飛出勻強(qiáng)磁場區(qū)，它的速率v應(yīng)滿足什么條件思路分析：電子在洛倫茲力作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)，根據(jù)左手定則可知，電子不可能向上偏轉(zhuǎn)，只能向下偏轉(zhuǎn).電子飛出磁場有兩種可能，一是運(yùn)動(dòng)半圓周后從下極板的左側(cè)飛出，二是從下極板的右側(cè)飛出.由此求出電子不飛出磁場的速率v的取值范圍.帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的六類高考題型歸類解析一、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中勻速圓周運(yùn)動(dòng)基本問題

找圓心、畫軌跡是解題的基礎(chǔ)。帶電粒子垂直于磁場進(jìn)入一勻強(qiáng)磁場后在洛倫茲力作用下必作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，抓住運(yùn)動(dòng)中的任兩點(diǎn)處的速度，分別作出各速度的垂線，則二垂線的交點(diǎn)必為圓心；或者用垂徑定理及一處速度的垂線也可找出圓心；再利用數(shù)學(xué)知識求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑及粒子經(jīng)過的圓心角從而解答物理問題。

（04天津）釷核發(fā)生衰變生成鐳核并放出一個(gè)粒子。設(shè)該粒子的質(zhì)量為、電荷量為q，它進(jìn)入電勢差為U的帶窄縫的平行平板電極和間電場時(shí)，其速度為，經(jīng)電場加速后，沿方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外的有界勻強(qiáng)磁場，垂直平板電極，當(dāng)粒子從點(diǎn)離開磁場時(shí)，其速度方向與方位的夾角，如圖所示，整個(gè)裝置處于真空中。

（1）寫出釷核衰變方程；

（2）求粒子在磁場中沿圓弧運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R；

（3）求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間。

解析:（1）釷核衰變方程

①

（2）設(shè)粒子離開電場時(shí)速度為，對加速過程有

②

粒子在磁場中有③

由②、③得

④

（3）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的回旋周期

⑤

粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間

⑥

由⑤、⑥得

⑦

二、帶電粒子在磁場中軌道半徑變化問題

導(dǎo)致軌道半徑變化的原因有：①帶電粒子速度變化導(dǎo)致半徑變化。如帶電粒子穿過極板速度變化；帶電粒子使空氣電離導(dǎo)致速度變化；回旋加速器加速帶電粒子等。②磁場變化導(dǎo)致半徑變化。如通電導(dǎo)線周圍磁場，不同區(qū)域的勻強(qiáng)磁場不同；磁場隨時(shí)間變化。③動(dòng)量變化導(dǎo)致半徑變化。如粒子裂變，或者與別的粒子碰撞；④電量變化導(dǎo)致半徑變化。如吸收電荷等?？傊?，由看m、v、q、B中某個(gè)量或某兩個(gè)量的乘積或比值的變化就會(huì)導(dǎo)致帶電粒子的軌道半徑變化。

（06年全國2）如圖所示，在x＜0與x＞0的區(qū)域中，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B1與B2的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，且B1＞B2。一個(gè)帶負(fù)電的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v沿x軸負(fù)方向射出，要使該粒子經(jīng)過一段時(shí)間后又經(jīng)過O點(diǎn)，B1與B2的比值應(yīng)滿足什么條件？

解析：粒子在整個(gè)過程中的速度大小恒為v，交替地在xy平面內(nèi)B1與B2磁場區(qū)域中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡都是半個(gè)圓周。設(shè)粒子的質(zhì)量和電荷量的大小分別為m和q，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為和r2，有

r1＝①

r2＝②

分析粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡。如圖所示，在xy平面內(nèi)，粒子先沿半徑為r1的半圓C1運(yùn)動(dòng)至y軸上離O點(diǎn)距離為2r1的A點(diǎn)，接著沿半徑為2r2的半圓D1運(yùn)動(dòng)至y軸的O1點(diǎn)，O1O距離

d＝2（r2－r1）③

此后，粒子每經(jīng)歷一次“回旋”（即從y軸出發(fā)沿半徑r1的半圓和半徑為r2的半圓回到原點(diǎn)下方y(tǒng)軸），粒子y坐標(biāo)就減小d。

設(shè)粒子經(jīng)過n次回旋后與y軸交于On點(diǎn)。若OOn即nd滿足

nd＝2r1

④

則粒子再經(jīng)過半圓Cn+1就能夠經(jīng)過原點(diǎn)，式中n＝1，2，3，……為回旋次數(shù)。

由③④式解得⑤

由①②⑤式可得B1、B2應(yīng)滿足的條件

n＝1，2，3，……⑥

三、帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題和帶電粒子在多磁場中運(yùn)動(dòng)問題

帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題的原因有：粒子運(yùn)動(dòng)范圍的空間臨界問題；磁場所占據(jù)范圍的空間臨界問題，運(yùn)動(dòng)電荷相遇的時(shí)空臨界問題等。審題時(shí)應(yīng)注意恰好，最大、最多、至少等關(guān)鍵字

（07全國1）兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點(diǎn)O為原點(diǎn)，如圖所示。在y>0，0<x<a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，在y>0，x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。在O點(diǎn)處有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q（q>0）的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮。入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值．已知速度最大的粒子在0<x<a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與在x>a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為2：5，在磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為7T/12，其中T為該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)的周期。試求兩個(gè)熒光屏上亮線的范圍（不計(jì)重力的影響）。

解析：粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)半徑為：

①

速度小的粒子將在x<a的區(qū)域走完半圓，射到豎直屏上。半圓的直徑在y軸上，半徑的范圍從0到a，屏上發(fā)亮的范圍從0到2a。

軌道半徑大于a的粒子開始進(jìn)入右側(cè)磁場，考慮r=a的極限情況，這種粒子在右側(cè)的圓軌跡與x軸在D點(diǎn)相切（虛線），OD=2a，這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界。

速度最大的粒子的軌跡如圖中實(shí)線所示，它由兩段圓弧組成，圓心分別為C和，C在y軸上，有對稱性可知在x=2a直線上。

設(shè)t1為粒子在0<x<a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，t2為在x>a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由題意可知

由此解得：

②

③

由②③式和對稱性可得

⑤

⑥

所以

⑦

即弧長AP為1/4圓周。因此，圓心在x軸上。

設(shè)速度為最大值粒子的軌道半徑為R，有直角可得

⑧

由圖可知OP=2a+R，因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標(biāo)

⑨

四、帶電粒子在有界磁場中的極值問題

尋找產(chǎn)生極值的條件：①直徑是圓的最大弦；②同一圓中大弦對應(yīng)大的圓心角；③由軌跡確定半徑的極值。

有一粒子源置于一平面直角坐標(biāo)原點(diǎn)O處，如圖所示相同的速率v0向第一象限平面內(nèi)的不同方向發(fā)射電子，已知電子質(zhì)量為m，電量為e。欲使這些電子穿過垂直于紙面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場后，都能平行于x軸沿+x方向運(yùn)動(dòng)，求該磁場方向和磁場區(qū)域的最小面積s。

解析：由于電子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R＝mv0/Be是確定的，設(shè)磁場區(qū)域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動(dòng)軌道如圖所示，因?yàn)殡娮又荒芟虻谝幌笙奁矫鎯?nèi)發(fā)射，所以電子運(yùn)動(dòng)的最上面一條軌跡必為圓O1，它就是磁場的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點(diǎn)O為圓心，以R為半徑的圓弧O1O2On。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場，故由幾何知識有電子的飛出點(diǎn)必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)。如對圖中任一軌跡圓O2而言，要使電子能平行于x軸向右飛出磁場，過O2作弦的垂線O2A，則電子必將從點(diǎn)A飛出，相當(dāng)于將此軌跡的圓心O2沿y方向平移了半徑R即為此電子的出場位置。由此可見我們將軌跡的圓心組成的圓弧O1O2On沿y方向向上平移了半徑R后所在的位置即為磁場的下邊界，圖中圓弧OAP示。綜上所述，要求的磁場的最小區(qū)域?yàn)榛AP與弧OBP所圍。利用正方形OO1PC的面積減去扇形OO1P的面積即為OBPC的面積；即R2-πR2/4。根據(jù)幾何關(guān)系有最小磁場區(qū)域的面積為S＝2（R2-πR2/4）＝（π/2-1）（mv0/Be）2。

五、帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)問題

復(fù)合場包括：磁場和電場，磁場和重力場，或重力場、電場和磁場。有帶電粒子的平衡問題，勻變速運(yùn)動(dòng)問題，非勻變速運(yùn)動(dòng)問題，在解題過程中始終抓住洛倫茲力不做功這一特點(diǎn)。粒子動(dòng)能的變化是電場力或重力做功的結(jié)果。

（07四川）如圖所示，在坐標(biāo)系Oxy的第一象限中存在沿y軸正方形的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E。在其它象限中存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里。A是y軸上的一點(diǎn)，它到座標(biāo)原點(diǎn)O的距離為h；C是x軸上的一點(diǎn)，到O點(diǎn)的距離為l，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電的粒子以某一初速度沿x軸方向從A點(diǎn)進(jìn)入電場區(qū)域，繼而通過C點(diǎn)進(jìn)入大磁場區(qū)域，并再次通過A點(diǎn)。此時(shí)速度方向與y軸正方向成銳角。不計(jì)重力作用。試求：

（1）粒子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)速度的大小合方向；

（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B。

解析：（1）以a表示粒子在電場作用下的加速度，有

①

加速度沿y軸負(fù)方向。設(shè)粒子從A點(diǎn)進(jìn)入電場時(shí)的初速度為v0，由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為t，則有

②

③

由②③式得

④

設(shè)粒子從點(diǎn)進(jìn)入磁場時(shí)的速度為v，v垂直于x軸的分量

v1＝

⑤

由①④⑤式得

v1＝＝

⑥

設(shè)粒子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸的夾角為α，則有

tanα＝

⑦

由④⑤⑦式得

⑧

（2）粒子經(jīng)過C點(diǎn)進(jìn)入磁場后在磁場中作速率為v的圓周運(yùn)動(dòng)。若圓周的半徑為R，則有

⑨

設(shè)圓心為P，則PC必與過C點(diǎn)的速度垂且有＝＝R。用β表示與y軸的夾角，由幾何關(guān)系得

⑩

⑾

由⑧⑩⑾式解得

R＝

⑿

由⑥⑨⑿式得

B＝

⒀

六、帶電粒子在磁場中的周期性和多解問題

多解形成原因：帶電粒子的電性不確定形成多解；磁場方向不確定形成多解；臨界狀態(tài)的不唯一形成多解，在有界磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)表現(xiàn)出來多解，運(yùn)動(dòng)的重復(fù)性形成多解，在半徑為r的圓筒中有沿筒軸線方向的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；一質(zhì)量為m帶電+q的粒子以速度V從筒壁A處沿半徑方向垂直于磁場射入筒中；若它在筒中只受洛倫茲力作用且與筒壁發(fā)生彈性碰撞，欲使粒子與筒壁連續(xù)相碰撞并繞筒壁一周后仍從A處射出；則B必須滿足什么條件？

帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分析：由于粒子從A處沿半徑射入磁場后必作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使粒子又從A處沿半徑方向射向磁場，且粒子與筒壁的碰撞次數(shù)未知，故設(shè)粒子與筒壁的碰撞次數(shù)為n（不含返回A處并從A處射出的一次），由圖可知其中n為大于或等于2的整數(shù)（當(dāng)n＝1時(shí)即粒子必沿圓O的直徑作直線運(yùn)動(dòng)，表示此時(shí)B＝0）；由圖知粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R，再由粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑可求出。

粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)周期為，粒子每碰撞一次在磁場中轉(zhuǎn)過的角度由圖得，粒子從A射入磁場再從A沿半徑射出磁場的過程中將經(jīng)過n+1段圓弧，故粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：，將前面B代入T后與共同代入前式得。

練習(xí)

1．一質(zhì)量為m，電量為q的負(fù)電荷在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中繞固定的正電荷沿固定的光滑軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若磁場方向垂直于它運(yùn)動(dòng)的平面，且作用在負(fù)電荷的電場力恰好是磁場力的三倍，則負(fù)電荷做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度可能是（）

A．B．C．D．

2．（07寧夏）在半徑為R的半圓形區(qū)域中有一勻強(qiáng)磁磁場的方向垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一質(zhì)量為m，帶有電量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圓直徑AD方向經(jīng)P點(diǎn)（AP＝d）射入磁場（不計(jì)重力影響）。

⑴如果粒子恰好從A點(diǎn)射出磁場，求入射粒子的速度。

⑵如果粒子經(jīng)紙面內(nèi)Q點(diǎn)從磁場中射出，出射方向與半圓在Q點(diǎn)切線方向的夾角為φ（如圖）。求入射粒子的速度。

3．（新題）如圖以ab為邊界的二勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1＝2B2，現(xiàn)有一質(zhì)量為m帶電+q的粒子從O點(diǎn)以初速度V0沿垂直于ab方向發(fā)射；在圖中作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，并求出粒子第6次穿過直線ab所經(jīng)歷的時(shí)間、路程及離開點(diǎn)O的距離。（粒子重力不計(jì)）

4．一質(zhì)量m、帶電q的粒子以速度V0從A點(diǎn)沿等邊三角形ABC的AB方向射入強(qiáng)度為B的垂直于紙面的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域中，要使該粒子飛出磁場后沿BC射出，求圓形磁場區(qū)域的最小面積。

5．如圖所示真空中寬為d的區(qū)域內(nèi)有強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場方向如圖，質(zhì)量m帶電-q的粒子以與CD成θ角的速度V0垂直射入磁場中；要使粒子必能從EF射出則初速度V0應(yīng)滿足什么條件？EF上有粒子射出的區(qū)域？

參考答案：

1．AC

2．

3．

4．

5．

與磁場有關(guān)的六種儀器的高考試題解析現(xiàn)代儀器很多都要用到磁場，利用帶電粒子在磁場中受洛倫茲力運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的軌跡來偏轉(zhuǎn)、分析、選擇粒子，而帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)又是高考的重點(diǎn)，所以把帶電粒子的運(yùn)動(dòng)和與磁場有關(guān)的儀器結(jié)合起來成為高考命題者追求的目標(biāo)，下面就近幾年來常考的幾種題型歸類如下：

1．速度選擇器

由正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場組成，帶電粒子必須滿足唯一的速度大小和方向才能通過，否則會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，由得，即只有的粒子才能通過。

（06重慶）有人設(shè)想用下圖所示的裝置來選擇密度相同、大小不同的球狀納米粒子。粒子在電離室中電離后帶正電，電量與其表面積成正比。電離后，粒子緩慢通過小孔O1進(jìn)入極板間電壓為U的水平加速電場區(qū)域I，再通過小孔O2射入相互正交的恒定勻強(qiáng)電場、磁場區(qū)域II，其中磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向如圖。收集室的小孔O3與O1．O2在同一條水平線上。半徑為r0的粒子，其質(zhì)量為m0、電量為q0，剛好能沿O1O3直線射入收集室。不計(jì)納米粒子重力。

（）

（1）試求圖中區(qū)域II的電場強(qiáng)度；

（2）試求半徑為r的粒子通過O2時(shí)的速率；

（3）討論半徑r≠r2的粒子剛進(jìn)入?yún)^(qū)域II時(shí)向哪個(gè)極板偏轉(zhuǎn)。

解析：（1）設(shè)半徑為r0的粒子加速后的速度為v0，則

設(shè)區(qū)域II內(nèi)電場強(qiáng)度為E，則

v0q0B=q0E

電場強(qiáng)度方向豎直向上。

（2）設(shè)半徑為r的粒子的質(zhì)量為m、帶電量為q、被加速后的速度為v，則

得：

（3）半徑為r的粒子，在剛進(jìn)入?yún)^(qū)域II時(shí)受到合力為：

F合=qE-qvB=qB（v0-v）

由可知，當(dāng)r>r0時(shí)，v<v0，F(xiàn)合>0，粒子會(huì)向上極板偏轉(zhuǎn)；

r<r0時(shí)，v>v0，F(xiàn)合<0，粒子會(huì)向下極板偏轉(zhuǎn)。

2．質(zhì)譜儀

主要用于分析同位素，測定粒子的質(zhì)量和比荷，主要由粒子源、加速電場、偏轉(zhuǎn)磁場等組成，有單聚焦質(zhì)譜儀、雙聚焦質(zhì)譜儀、飛行時(shí)間質(zhì)譜儀、串列加速質(zhì)譜儀，四極桿質(zhì)譜儀等。

下圖是一個(gè)質(zhì)譜儀原理圖，加速電場的電壓為U，速度選擇器中的電場為E，磁場為B1，偏轉(zhuǎn)磁場為B2，一電荷量為q的粒子在加速電場中加速后進(jìn)入速度選擇器，剛好能從速度選擇器進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場做圓周運(yùn)動(dòng)，測得直徑為d，求粒子的質(zhì)量。不考慮粒子的初速度。

解析：粒子在電場中加速，由動(dòng)能定理有，粒子通過速度選擇器有，進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場后，洛侖茲力提供向心力有，而聯(lián)立。

3．回旋加速器

由兩個(gè)D型金屬盒做外殼，加上交變電源，交變電源的周期與粒子圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等，金屬盒對帶電粒子可以起到屏蔽作用，粒子的最終速度和最大能量與D型盒的半徑有關(guān)，得。

（05天津）正電子發(fā)射計(jì)算機(jī)斷層（PET）是分子水平上的人體功能顯像的國際領(lǐng)先技術(shù)，它為臨床診斷和治療提供全新的手段。

（1）PET在心臟疾病診療中，需要使用放射正電子的同位素氮13示蹤劑。氮13是由小型回旋加速器輸出的高速質(zhì)子轟擊氧16獲得的，反應(yīng)中同時(shí)還產(chǎn)生另一個(gè)粒子，試寫出該核反應(yīng)方程。

（2）PET所用回旋加速器示意如圖，其中置于高真空中的金屬D形盒的半徑為R，兩盒間距為d，在左側(cè)D形盒圓心處放有粒子源S，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向如圖所示。質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為q。設(shè)質(zhì)子從粒子源S進(jìn)入加速電場時(shí)的初速度不計(jì)，質(zhì)子在加速器中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t（其中已略去了質(zhì)子在加速電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間），質(zhì)子在電場中的加速次數(shù)于回旋半周的次數(shù)相同，加速質(zhì)子時(shí)的電壓大小可視為不變。求此加速器所需的高頻電源頻率f和加速電壓U。

（3）試推證當(dāng)Rd時(shí)，質(zhì)子在電場中加速的總時(shí)間相對于在D形盒中回旋的時(shí)間可忽略不計(jì)（質(zhì)子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，不考慮磁場的影響）。

解析：

（1）核反應(yīng)方程為

（2）設(shè)質(zhì)子加速后最大速度為v，由牛頓第二定律有

質(zhì)子的回旋周期

高頻電源的頻率

質(zhì)子加速后的最大動(dòng)能

設(shè)質(zhì)子在電場中加速的次數(shù)為n，則

又

可解得

（3）在電場中加速的總時(shí)間為

在D形盒中回旋的總時(shí)間為

故

即當(dāng)R>>d時(shí)，t1可忽略不計(jì)。

4．電磁流量計(jì)

原理：流管由非磁性材料制成，導(dǎo)電流體在其中流動(dòng)，導(dǎo)電流體中的正負(fù)離子在洛倫茲力的作用下分別向相反方向偏轉(zhuǎn)，兩板間形成電勢差，當(dāng)自由電荷所受的電場力和洛倫茲力相平衡時(shí)，兩極的電勢差保持穩(wěn)定，由得，流量

（01全國）電磁流量計(jì)廣泛應(yīng)用于測量可導(dǎo)電流體（如污水）在管中的流量（在單位時(shí)間內(nèi)通過管內(nèi)橫截面的流體的體積）。為了簡化，假設(shè)流量計(jì)是如圖所示的橫截面為長方形的一段管道，其中空部分的長