應(yīng)力應(yīng)變分析及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系課件

§2應(yīng)力應(yīng)變分析及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§2.1應(yīng)力的概念一點處的應(yīng)力狀態(tài)1.

應(yīng)力的概念TM用截面法求某一截面上的內(nèi)力，得出該截面上的內(nèi)力分量：——截面分布內(nèi)力系向截面形心簡化后的等效力系為正確描述變形，應(yīng)在該截面上的每一點，描述內(nèi)力的狀況。xyz1§2應(yīng)力應(yīng)變分析及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§2.1應(yīng)力的概念1AA在P點取面元A，A上分布內(nèi)力合力為在m-m截面上P點處定義：m-m截面上P點的正應(yīng)力m-m截面上P點的切應(yīng)力（剪應(yīng)力）m-m截面上P點的全應(yīng)力應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m21Mpa=106Pa1Gpa=103Mpa=109Pa2AA在P點取面元A，A上分布內(nèi)力合力為在m-m截面2變形體內(nèi)某一點的應(yīng)力狀態(tài)——應(yīng)力張量的概念正應(yīng)力、切應(yīng)力（或全應(yīng)力）——均與過物體內(nèi)部的某一點的一個截面有關(guān)過物體內(nèi)部某點p的所有截面上的應(yīng)力分量的總體，稱為變形體在該點的應(yīng)力狀態(tài)描述變形體內(nèi)部某點的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)用二階張量描述3變形體內(nèi)某一點的應(yīng)力狀態(tài)——應(yīng)力張量的概念正應(yīng)力、切應(yīng)力（或32.應(yīng)力張量的表示方法（分量表示法）1)單元體的概念變形體內(nèi)某點處取出的邊長無限小的體積微元在直角坐標系下，單元體為無限小正六面體xyz單元體的三對表面：正面：外法向與坐標軸同向負面：外法向與坐標軸反向單元體是變形體的最基本模型42.應(yīng)力張量的表示方法（分量表示法）1)單元體的概念變形體42)應(yīng)力張量的表示方法單元體每個表面上，都有該點在該截面上的全應(yīng)力（力矢量），可分解為三個分量每對表面上的力矢量互為反作用力，共9個分量xyzxyz各應(yīng)力分量的記法該分量的指向所在面的法向兩腳標相同——正應(yīng)力兩腳標不同——切應(yīng)力52)應(yīng)力張量的表示方法單元體每個表面上，都有該點在該截面5故應(yīng)力張量的分量表示為：或或若記x=1,y=2,z=3,則6故應(yīng)力張量的分量表示為：或或若記x=1,y=2,z=3,則663)單元體的平衡條件xyzxCyCzC以單元體為分離體,過其形心C作xC,yC,zC軸：切應(yīng)力互等定理故應(yīng)力張量為二階對稱張量9個分量中，只有6個獨立分量！73)單元體的平衡條件xyzxCyCzC以單元體為分離體,7§2.2平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法若某點的單元體應(yīng)力狀態(tài)滿足：9個應(yīng)力分量有些為零，不為零的應(yīng)力分量作用線都在同一平面內(nèi)——稱為平面應(yīng)力狀態(tài)或二向應(yīng)力狀態(tài)xyz可簡化為平面單元體：xy8§2.2平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法若某點的單元體應(yīng)力狀態(tài)滿足：8例如當物體的表面不受力時在表面取出的單元體例如外力作用在板平面內(nèi)的薄板內(nèi)任意點取出的單元體9例如當物體的表面不受力時在表面取出的單元體例如外力作用在板平91.平面應(yīng)力狀態(tài)的工程表示方法xy正應(yīng)力，以拉為正切應(yīng)力，以使單元體順時針轉(zhuǎn)動為正應(yīng)力分量的正負號規(guī)定：故切應(yīng)力互等定理為：2.斜截面應(yīng)力公式——解析法若某點的應(yīng)力狀態(tài)已知，可求出該點任意外法線為n的斜截面上的應(yīng)力分量。101.平面應(yīng)力狀態(tài)的工程表示方法xy正應(yīng)力，10已知：某點單元體上的應(yīng)力分量xyn求該點外法線為n的斜截面——面上的正應(yīng)力,

切應(yīng)力。沿斜面將單元體切開取分離體，設(shè)斜面面積為dAnt同理可得：11已知：某點單元體上的應(yīng)力分量xyn求該點外法線為n的斜截面11平面應(yīng)力狀態(tài)的斜面應(yīng)力公式（2.12）(2.13)xyn12平面應(yīng)力狀態(tài)的斜面應(yīng)力公式（2.12）(2.13)xy123.主平面、主方向、主應(yīng)力、最大切應(yīng)力1)主平面主方向主應(yīng)力在變形體內(nèi)某一點處：若某一方向的斜截面上，則該截面稱為主平面該斜截面的方向角稱為主方向，記為P，則有(2.13)-~內(nèi)，得兩個值和，且主方向公式即這兩個主平面相互垂直133.主平面、主方向、主應(yīng)力、最大切應(yīng)力1)主平面主13主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式令即（2.14）式同樣有故，主平面上的正應(yīng)力達到極值即主應(yīng)力分別對應(yīng)于的極大值和極小值將P1，P2代入（2.12）得出主平面上的主應(yīng)力為：（2.15)主應(yīng)力公式14主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式令即（2.14）式同14以主平面為單元體的各面則稱為主單元體xy從變形體內(nèi)任意點取出的單元體稱為原始單元體主單元體的各表面上只有正應(yīng)力，沒有切應(yīng)力對平面應(yīng)力狀態(tài)，z平面也為一個主平面，其上的主應(yīng)力為零。故平面應(yīng)力狀態(tài)有三個主應(yīng)力：按代數(shù)值大小排列為123分別稱為第一主應(yīng)力，第二主應(yīng)力，第三主應(yīng)力.15以主平面為單元體的各面則稱為主單元體xy從變形體內(nèi)任意點取出15對任意的一般應(yīng)力狀態(tài)，同樣存在著三個相互垂直的主平面及三個主應(yīng)力。一般應(yīng)力狀態(tài)的分類；某點的三個主應(yīng)力全不為零——該點為三向應(yīng)力狀態(tài)某點有兩個主應(yīng)力不為零——該點為二向應(yīng)力狀態(tài)某點有一個主應(yīng)力不為零——該點為單向應(yīng)力狀態(tài)，簡單應(yīng)力狀態(tài)某點處所有截面上的正應(yīng)力，其極大值為1，極小值為316對任意的一般應(yīng)力狀態(tài)，同樣存在著三個相互垂直的主平面及三個主16單向、雙向、三向應(yīng)力狀態(tài)17單向、雙向、三向應(yīng)力狀態(tài)17172)某點單元體的最大切應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式求導(dǎo)(2.13)上式的兩個解S1，

S2為切應(yīng)力達到極值的平面S與主平面P相差45o，即P1與P2的角平分線方向為S1和

S2的方向。切應(yīng)力的極值為：PS45oxPi182)某點單元體的最大切應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式18注意同理，某點的三個主應(yīng)力中，任意二個主應(yīng)力都可找出一組切應(yīng)力極值，分別為：該點單元體的最大切應(yīng)力應(yīng)為三者當中的最大者，即（2.20）主切應(yīng)力所在平面所在平面所在平面19注意同理，某點的三個主應(yīng)力中，任意二個主應(yīng)力都可找出一組切應(yīng)19而最大切應(yīng)力所在平面的法向應(yīng)為1，3兩方向的角平分線方向。321max思考題：最大切應(yīng)力所在平面上的正應(yīng)力是多少？=？20而最大切應(yīng)力所在平面的法向應(yīng)為1，3兩方向的角平分線方向20已知初始單元體的應(yīng)力(單位：Mpa)，求主單元體上的應(yīng)力并畫出主單元體。解：xy例題1§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題由初始單元體上的應(yīng)力分量代入主應(yīng)力公式：故三個主應(yīng)力分別為21已知初始單元體的應(yīng)力(單位：Mpa)，求主單元體上的應(yīng)力并畫21求主方向：例題1§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題22求主方向：例題1§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系22§2.3平面應(yīng)力狀態(tài)的圖解法--應(yīng)力圓(莫爾圓)xy由斜面應(yīng)力公式可得(b)(a)上兩式兩邊平方后相加圓的方程：圓心()圓的半徑：上式在應(yīng)力坐標系中為一圓，稱為應(yīng)力圓(莫爾圓)23§2.3平面應(yīng)力狀態(tài)的圖解法--應(yīng)力圓(莫爾圓)xy由斜面應(yīng)23圓心()圓的半徑：R應(yīng)力圓的畫法：xy已知某點的平面應(yīng)力狀態(tài)為x面坐標Dx（）y面坐標Dy（）兩點連線與軸的交點為圓心C以CDx為半徑畫出應(yīng)力圓24圓心()圓的半徑24應(yīng)力圓的物理意義：圓周上任意一點的坐標值，為該點某一斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力xy角以逆時針為正R225應(yīng)力圓的物理意義：圓周上任意一點的坐標值，為該點某一斜截面上25因此，當連續(xù)變化至時，坐標繞應(yīng)力圓的圓心轉(zhuǎn)一周.應(yīng)力圓上一點，由繞圓心轉(zhuǎn)過角，對應(yīng)截面上的應(yīng)力Rxy226因此，當連續(xù)變化至時，坐標繞26從應(yīng)力圓上還可找到：主應(yīng)力，主方向，最大切應(yīng)力主應(yīng)力：主方向：方向最大切應(yīng)力：27從應(yīng)力圓上還可找到：主應(yīng)力，主方向，最大切應(yīng)力主應(yīng)力：主方向27yx單元體的主應(yīng)力、主方向、最大切應(yīng)力28yx單元體的主應(yīng)力、主方向、最大切應(yīng)力2828幾種工程上常見的應(yīng)力狀態(tài)的實例：（1）單向拉伸（2）單向壓縮單拉-

單壓29幾種工程上常見的應(yīng)力狀態(tài)的實例：（1）單向拉伸（2）單向壓縮29(3)純剪切（純剪）TT主單元體45o-30(3)純剪切（純剪）TT主單元體45o-30某點單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，確定該點的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元體及其上的應(yīng)力，并在應(yīng)力圓上標出圖示截面上的應(yīng)力，（單位：）例題2§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題31某點單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，確定該點的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元31解：例題2§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題與2對應(yīng)主應(yīng)力為：與1對應(yīng)D32解：例題2§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題32主單元體：

例題2§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題33主單元體：例題2§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系33已知應(yīng)力圓如圖，畫出該點的初始單元體及應(yīng)力，主單元體及應(yīng)力。（單位：）解：例題3§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題初始單元體xy半徑34已知應(yīng)力圓如圖，畫出該點的初始單元體及應(yīng)力，主單元體及應(yīng)力。34主單元體：例題3§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題xy112.5°35主單元體：例題3§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系35已知某點兩斜截面上應(yīng)力分量如圖，確定該點的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元體及其上的應(yīng)力.單位：例題4§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題36解：半徑已知某點兩斜截面上應(yīng)力分量如圖，確定該點的主應(yīng)力、主方向，畫36例題4§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題3760°例題4§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題3737xzy§2.4三向應(yīng)力狀態(tài)分析簡介將三個主應(yīng)力按代數(shù)量的大小順序排列因此根據(jù)每一點的應(yīng)力狀態(tài)都可以找到3個相互垂直的主應(yīng)力和3個正交的主方向xzy38xzy§2.4三向應(yīng)力狀態(tài)分析簡介將三個主應(yīng)力按代數(shù)38三向應(yīng)力圓空間任意方向截面上的應(yīng)力，可由三向應(yīng)力圓所夾陰影面中某點的應(yīng)力坐標表示。一點處最大的剪應(yīng)力K39三向應(yīng)力圓空間任意方向截面上的應(yīng)力，可由三向應(yīng)力圓所39求，，，解：在，平面內(nèi)例題5§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題為一個主應(yīng)力40求，，，解：在，平面內(nèi)例題5§240兩組載荷下某點的應(yīng)力狀態(tài)如下:例題6§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題xy+41求兩組載荷共同作用下該點的主應(yīng)力及最大切應(yīng)力.兩組載荷下某點的應(yīng)力狀態(tài)如下:例題6§2應(yīng)力應(yīng)變41例題6§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+42解：半徑例題6§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+442例題6§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+43解：例題6§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+443一點的變形有正應(yīng)變(線應(yīng)變)和切應(yīng)變(剪應(yīng)變)§2.5應(yīng)變的概念及一點處的應(yīng)變狀態(tài)1.某點處（單元體的）變形的描述——應(yīng)變

xyz正應(yīng)變——線段單位長度的改變量，無量綱切應(yīng)變——直角的改變量，單位：弧度

44xy一點的變形有正應(yīng)變(線應(yīng)變)和切應(yīng)變(剪應(yīng)變)§2.4445某點處的應(yīng)變——二階對稱應(yīng)變張量45某點處的應(yīng)變——二階對稱應(yīng)變張量452.平面應(yīng)變狀態(tài)（與平面應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的）xyxy462.平面應(yīng)變狀態(tài)（與平面應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的）xyxy4646在，坐標下，方向到方向夾角令，，與平面應(yīng)力狀態(tài)的分析類似有某點各個方位應(yīng)變的情況稱為該點的應(yīng)變狀態(tài)47在，坐標下，方向到方向夾角令47應(yīng)變分析公式斜面應(yīng)力公式§2.6平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析48應(yīng)變分析公式斜面應(yīng)力公式§2.6平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析448類似，也可求出該點的主應(yīng)變，主應(yīng)變方向49類似，也可求出該點的主應(yīng)變，主應(yīng)變方向4949應(yīng)變花：可證明：對各向同性材料來說，任一點的主應(yīng)力與主應(yīng)變的方向是重合的。可用于實驗測定一點處的應(yīng)變狀態(tài)120°120°45°45°50應(yīng)變花：可證明：對各向同性材料來說，任一點的主應(yīng)力與主應(yīng)變的5051競賽題目：承受靜載和沖擊載荷的高壓輸電塔架結(jié)構(gòu)模型設(shè)計第5周3-31日發(fā)布海報（通告大賽題目、報名網(wǎng)址）在網(wǎng)上公布比賽細則，網(wǎng)上報名。第6周4-12日講座第7周4-15日報名截止（統(tǒng)計、提交報名名單）第7周4-21日報名參賽隊到指定地點遞交設(shè)計方案、計算書第8周4-25日公布參賽資格第9周4-28日發(fā)放材料第11周5-17日預(yù)賽第13周5-26日決賽51競賽題目：承受靜載和沖擊載荷的高壓輸電塔架結(jié)構(gòu)模型設(shè)計51胡克定律比例系數(shù)稱為材料的彈性模量

比例系數(shù)稱為泊松比§2.7應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1.單向應(yīng)力狀態(tài)橫向應(yīng)變縱向應(yīng)變152胡克定律比例系數(shù)稱為材料的彈性模量比例系數(shù)稱為泊52在線彈性范圍內(nèi)剪切胡克定律——切變模量

可證明2.純剪應(yīng)力狀態(tài)53在線彈性范圍內(nèi)剪切胡克定律——切變模量可53只有作用時3.廣義胡克定律只有作用時只有作用時只有作用時54只有作用時3.廣義胡克定律只有作用時只有作54故某點為任意應(yīng)力狀態(tài)時應(yīng)滿足：55故某點為任意應(yīng)力狀態(tài)時應(yīng)滿足：5555對主單元體56對主單元體5656已知一構(gòu)件表面一點的應(yīng)變：求該點的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。例題5§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題57已知一構(gòu)件表面一點的應(yīng)變：求該點的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。例57解：則例題5§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題設(shè)xy58解：則例題5§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系58整理后例題5§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題平面應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律59整理后例題5§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系59某點的應(yīng)力狀態(tài)為純剪切，在該點測得與x軸夾角為-45?方向上的正應(yīng)變是，已知，求解：

例題6§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題xy由該點主方向上的廣義胡克定律：由于純剪切的主方向為與x軸夾角±45o方向，主應(yīng)力為，0，-yx60某點的應(yīng)力狀態(tài)為純剪切，在該點測得與x軸夾角為-45?方向上60取一體積為的單元體,受應(yīng)力作用變形。4.體積變形變形后的體積：各邊長的改變量為：單位體積的改變量代入廣義胡克定律體積應(yīng)變61取一體積為的單元體,受應(yīng)力作用變形。4.61令稱為該點應(yīng)力的平均應(yīng)力

設(shè)稱為體變模量

對非主單元體由于剪應(yīng)變不改變單元體的體積，上式仍成立。則或體積應(yīng)變定律此時62令稱為該點應(yīng)力的平均應(yīng)力設(shè)稱為體變模量對非主單元體由62證明彈性模量與切變模量、泊松比間的關(guān)系證明：取一純剪單元體（正方形）例題7§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題非零主應(yīng)力分別為：，-，主方向為±45o方向63證明彈性模量與切變模量、泊松比間的關(guān)系證明：取一純剪單元體6364拉伸實驗實驗地點：理學樓3段10464拉伸實驗64656565§2應(yīng)力應(yīng)變分析及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§2.1應(yīng)力的概念一點處的應(yīng)力狀態(tài)1.

應(yīng)力的概念TM用截面法求某一截面上的內(nèi)力，得出該截面上的內(nèi)力分量：——截面分布內(nèi)力系向截面形心簡化后的等效力系為正確描述變形，應(yīng)在該截面上的每一點，描述內(nèi)力的狀況。xyz66§2應(yīng)力應(yīng)變分析及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§2.1應(yīng)力的概念66AA在P點取面元A，A上分布內(nèi)力合力為在m-m截面上P點處定義：m-m截面上P點的正應(yīng)力m-m截面上P點的切應(yīng)力（剪應(yīng)力）m-m截面上P點的全應(yīng)力應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m21Mpa=106Pa1Gpa=103Mpa=109Pa67AA在P點取面元A，A上分布內(nèi)力合力為在m-m截面67變形體內(nèi)某一點的應(yīng)力狀態(tài)——應(yīng)力張量的概念正應(yīng)力、切應(yīng)力（或全應(yīng)力）——均與過物體內(nèi)部的某一點的一個截面有關(guān)過物體內(nèi)部某點p的所有截面上的應(yīng)力分量的總體，稱為變形體在該點的應(yīng)力狀態(tài)描述變形體內(nèi)部某點的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)用二階張量描述68變形體內(nèi)某一點的應(yīng)力狀態(tài)——應(yīng)力張量的概念正應(yīng)力、切應(yīng)力（或682.應(yīng)力張量的表示方法（分量表示法）1)單元體的概念變形體內(nèi)某點處取出的邊長無限小的體積微元在直角坐標系下，單元體為無限小正六面體xyz單元體的三對表面：正面：外法向與坐標軸同向負面：外法向與坐標軸反向單元體是變形體的最基本模型692.應(yīng)力張量的表示方法（分量表示法）1)單元體的概念變形體692)應(yīng)力張量的表示方法單元體每個表面上，都有該點在該截面上的全應(yīng)力（力矢量），可分解為三個分量每對表面上的力矢量互為反作用力，共9個分量xyzxyz各應(yīng)力分量的記法該分量的指向所在面的法向兩腳標相同——正應(yīng)力兩腳標不同——切應(yīng)力702)應(yīng)力張量的表示方法單元體每個表面上，都有該點在該截面70故應(yīng)力張量的分量表示為：或或若記x=1,y=2,z=3,則71故應(yīng)力張量的分量表示為：或或若記x=1,y=2,z=3,則6713)單元體的平衡條件xyzxCyCzC以單元體為分離體,過其形心C作xC,yC,zC軸：切應(yīng)力互等定理故應(yīng)力張量為二階對稱張量9個分量中，只有6個獨立分量！723)單元體的平衡條件xyzxCyCzC以單元體為分離體,72§2.2平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法若某點的單元體應(yīng)力狀態(tài)滿足：9個應(yīng)力分量有些為零，不為零的應(yīng)力分量作用線都在同一平面內(nèi)——稱為平面應(yīng)力狀態(tài)或二向應(yīng)力狀態(tài)xyz可簡化為平面單元體：xy73§2.2平面應(yīng)力狀態(tài)的解析法若某點的單元體應(yīng)力狀態(tài)滿足：73例如當物體的表面不受力時在表面取出的單元體例如外力作用在板平面內(nèi)的薄板內(nèi)任意點取出的單元體74例如當物體的表面不受力時在表面取出的單元體例如外力作用在板平741.平面應(yīng)力狀態(tài)的工程表示方法xy正應(yīng)力，以拉為正切應(yīng)力，以使單元體順時針轉(zhuǎn)動為正應(yīng)力分量的正負號規(guī)定：故切應(yīng)力互等定理為：2.斜截面應(yīng)力公式——解析法若某點的應(yīng)力狀態(tài)已知，可求出該點任意外法線為n的斜截面上的應(yīng)力分量。751.平面應(yīng)力狀態(tài)的工程表示方法xy正應(yīng)力，75已知：某點單元體上的應(yīng)力分量xyn求該點外法線為n的斜截面——面上的正應(yīng)力,

切應(yīng)力。沿斜面將單元體切開取分離體，設(shè)斜面面積為dAnt同理可得：76已知：某點單元體上的應(yīng)力分量xyn求該點外法線為n的斜截面76平面應(yīng)力狀態(tài)的斜面應(yīng)力公式（2.12）(2.13)xyn77平面應(yīng)力狀態(tài)的斜面應(yīng)力公式（2.12）(2.13)xy773.主平面、主方向、主應(yīng)力、最大切應(yīng)力1)主平面主方向主應(yīng)力在變形體內(nèi)某一點處：若某一方向的斜截面上，則該截面稱為主平面該斜截面的方向角稱為主方向，記為P，則有(2.13)-~內(nèi)，得兩個值和，且主方向公式即這兩個主平面相互垂直783.主平面、主方向、主應(yīng)力、最大切應(yīng)力1)主平面主78主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式令即（2.14）式同樣有故，主平面上的正應(yīng)力達到極值即主應(yīng)力分別對應(yīng)于的極大值和極小值將P1，P2代入（2.12）得出主平面上的主應(yīng)力為：（2.15)主應(yīng)力公式79主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式令即（2.14）式同79以主平面為單元體的各面則稱為主單元體xy從變形體內(nèi)任意點取出的單元體稱為原始單元體主單元體的各表面上只有正應(yīng)力，沒有切應(yīng)力對平面應(yīng)力狀態(tài)，z平面也為一個主平面，其上的主應(yīng)力為零。故平面應(yīng)力狀態(tài)有三個主應(yīng)力：按代數(shù)值大小排列為123分別稱為第一主應(yīng)力，第二主應(yīng)力，第三主應(yīng)力.80以主平面為單元體的各面則稱為主單元體xy從變形體內(nèi)任意點取出80對任意的一般應(yīng)力狀態(tài)，同樣存在著三個相互垂直的主平面及三個主應(yīng)力。一般應(yīng)力狀態(tài)的分類；某點的三個主應(yīng)力全不為零——該點為三向應(yīng)力狀態(tài)某點有兩個主應(yīng)力不為零——該點為二向應(yīng)力狀態(tài)某點有一個主應(yīng)力不為零——該點為單向應(yīng)力狀態(tài)，簡單應(yīng)力狀態(tài)某點處所有截面上的正應(yīng)力，其極大值為1，極小值為381對任意的一般應(yīng)力狀態(tài)，同樣存在著三個相互垂直的主平面及三個主81單向、雙向、三向應(yīng)力狀態(tài)82單向、雙向、三向應(yīng)力狀態(tài)17822)某點單元體的最大切應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式求導(dǎo)(2.13)上式的兩個解S1，

S2為切應(yīng)力達到極值的平面S與主平面P相差45o，即P1與P2的角平分線方向為S1和

S2的方向。切應(yīng)力的極值為：PS45oxPi832)某點單元體的最大切應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式83注意同理，某點的三個主應(yīng)力中，任意二個主應(yīng)力都可找出一組切應(yīng)力極值，分別為：該點單元體的最大切應(yīng)力應(yīng)為三者當中的最大者，即（2.20）主切應(yīng)力所在平面所在平面所在平面84注意同理，某點的三個主應(yīng)力中，任意二個主應(yīng)力都可找出一組切應(yīng)84而最大切應(yīng)力所在平面的法向應(yīng)為1，3兩方向的角平分線方向。321max思考題：最大切應(yīng)力所在平面上的正應(yīng)力是多少？=？85而最大切應(yīng)力所在平面的法向應(yīng)為1，3兩方向的角平分線方向85已知初始單元體的應(yīng)力(單位：Mpa)，求主單元體上的應(yīng)力并畫出主單元體。解：xy例題1§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題由初始單元體上的應(yīng)力分量代入主應(yīng)力公式：故三個主應(yīng)力分別為86已知初始單元體的應(yīng)力(單位：Mpa)，求主單元體上的應(yīng)力并畫86求主方向：例題1§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題87求主方向：例題1§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系87§2.3平面應(yīng)力狀態(tài)的圖解法--應(yīng)力圓(莫爾圓)xy由斜面應(yīng)力公式可得(b)(a)上兩式兩邊平方后相加圓的方程：圓心()圓的半徑：上式在應(yīng)力坐標系中為一圓，稱為應(yīng)力圓(莫爾圓)88§2.3平面應(yīng)力狀態(tài)的圖解法--應(yīng)力圓(莫爾圓)xy由斜面應(yīng)88圓心()圓的半徑：R應(yīng)力圓的畫法：xy已知某點的平面應(yīng)力狀態(tài)為x面坐標Dx（）y面坐標Dy（）兩點連線與軸的交點為圓心C以CDx為半徑畫出應(yīng)力圓89圓心()圓的半徑89應(yīng)力圓的物理意義：圓周上任意一點的坐標值，為該點某一斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力xy角以逆時針為正R290應(yīng)力圓的物理意義：圓周上任意一點的坐標值，為該點某一斜截面上90因此，當連續(xù)變化至時，坐標繞應(yīng)力圓的圓心轉(zhuǎn)一周.應(yīng)力圓上一點，由繞圓心轉(zhuǎn)過角，對應(yīng)截面上的應(yīng)力Rxy291因此，當連續(xù)變化至時，坐標繞91從應(yīng)力圓上還可找到：主應(yīng)力，主方向，最大切應(yīng)力主應(yīng)力：主方向：方向最大切應(yīng)力：92從應(yīng)力圓上還可找到：主應(yīng)力，主方向，最大切應(yīng)力主應(yīng)力：主方向92yx單元體的主應(yīng)力、主方向、最大切應(yīng)力93yx單元體的主應(yīng)力、主方向、最大切應(yīng)力2893幾種工程上常見的應(yīng)力狀態(tài)的實例：（1）單向拉伸（2）單向壓縮單拉-

單壓94幾種工程上常見的應(yīng)力狀態(tài)的實例：（1）單向拉伸（2）單向壓縮94(3)純剪切（純剪）TT主單元體45o-95(3)純剪切（純剪）TT主單元體45o-95某點單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，確定該點的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元體及其上的應(yīng)力，并在應(yīng)力圓上標出圖示截面上的應(yīng)力，（單位：）例題2§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題96某點單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，確定該點的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元96解：例題2§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題與2對應(yīng)主應(yīng)力為：與1對應(yīng)D97解：例題2§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題97主單元體：

例題2§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題98主單元體：例題2§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系98已知應(yīng)力圓如圖，畫出該點的初始單元體及應(yīng)力，主單元體及應(yīng)力。（單位：）解：例題3§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題初始單元體xy半徑99已知應(yīng)力圓如圖，畫出該點的初始單元體及應(yīng)力，主單元體及應(yīng)力。99主單元體：例題3§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題xy112.5°100主單元體：例題3§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系100已知某點兩斜截面上應(yīng)力分量如圖，確定該點的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元體及其上的應(yīng)力.單位：例題4§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題101解：半徑已知某點兩斜截面上應(yīng)力分量如圖，確定該點的主應(yīng)力、主方向，畫101例題4§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題10260°例題4§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題37102xzy§2.4三向應(yīng)力狀態(tài)分析簡介將三個主應(yīng)力按代數(shù)量的大小順序排列因此根據(jù)每一點的應(yīng)力狀態(tài)都可以找到3個相互垂直的主應(yīng)力和3個正交的主方向xzy103xzy§2.4三向應(yīng)力狀態(tài)分析簡介將三個主應(yīng)力按代數(shù)103三向應(yīng)力圓空間任意方向截面上的應(yīng)力，可由三向應(yīng)力圓所夾陰影面中某點的應(yīng)力坐標表示。一點處最大的剪應(yīng)力K104三向應(yīng)力圓空間任意方向截面上的應(yīng)力，可由三向應(yīng)力圓所104求，，，解：在，平面內(nèi)例題5§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題為一個主應(yīng)力105求，，，解：在，平面內(nèi)例題5§2105兩組載荷下某點的應(yīng)力狀態(tài)如下:例題6§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題xy+106求兩組載荷共同作用下該點的主應(yīng)力及最大切應(yīng)力.兩組載荷下某點的應(yīng)力狀態(tài)如下:例題6§2應(yīng)力應(yīng)變106例題6§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+107解：半徑例題6§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+4107例題6§2

應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+108解：例題6§2應(yīng)力應(yīng)變分析與應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系例題+4108一點的變形有正應(yīng)變(線應(yīng)變)和切應(yīng)變(剪應(yīng)變)§2.5應(yīng)變的概念及一點處的應(yīng)變狀態(tài)1.某點處（單元體的）變形的描述——應(yīng)變

xyz正應(yīng)變——線段單位長度的改變量，無量綱切應(yīng)變——直角的改變量，單位：弧度

109xy一點的變形有正應(yīng)變(線應(yīng)變)和切應(yīng)變(剪應(yīng)變)§2.109110某點處的應(yīng)變——二階對稱應(yīng)變張量45某點處的應(yīng)變——二階對稱應(yīng)變張量1102.平面應(yīng)變狀態(tài)（與平面應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的）xyxy1112.平面應(yīng)變狀態(tài)（與平面應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的）xyxy46111在，坐標下，方向到方向夾角令，，與平面應(yīng)力狀態(tài)的分析類似有某點各個方位應(yīng)變的情況稱為該點的應(yīng)變狀態(tài)112在，坐標下，方向到方向夾角令112應(yīng)變分析公式斜面應(yīng)力公式§2.6平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析113應(yīng)變分析公式斜面應(yīng)力公式§2.6平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析4113類似，也可求出該點的主應(yīng)變，主應(yīng)變方向114類似，也可求出該點的主應(yīng)變，主應(yīng)變方向49114應(yīng)變花：可證明：對各向同性材料來說，任一點的主應(yīng)力與主應(yīng)變的方向是重合的?？捎糜趯嶒灉y定一點處的應(yīng)變狀態(tài)120°120°45°45°115應(yīng)變花