相變傳熱課件

相變傳熱焦冬生熱科學(xué)與能源工程系1

相變傳熱焦冬生1

內(nèi)容引言精確解（諾曼（Neumann）解）分析方法—移動熱源法 近似方法數(shù)值方法2

內(nèi)容引言2

一、引言相變過程其實就是傳熱傳質(zhì)過程；這類傳熱現(xiàn)象的基本特征由邊界（固液交界面）移動引起的非線性（nonlinearity）化，使得此類問題變得更復(fù)雜，并且每一個問題均有其獨特性。引起數(shù)學(xué)處理較為困難的其他因素：在相變前、進行中和后，其物理性質(zhì)依賴于溫度，而溫度分布是三維的和瞬時的變化。有時，溶解和凝結(jié)時發(fā)生的復(fù)雜又令人困惑的現(xiàn)象，使得傳統(tǒng)的分析方法無法解決。3

一、引言相變過程其實就是傳熱傳質(zhì)過程；3熱傳導(dǎo)方程靜止的均勻物體內(nèi)含有熱源的各向同性物體的熱傳導(dǎo)方程直角坐標系4熱傳導(dǎo)方程靜止的均勻物體內(nèi)含有熱源的各向同性物體的熱傳導(dǎo)方程柱坐標和球坐標5柱坐標和球坐標5邊界條件和初始條件第一類邊界條件：邊界上溫度給定第二類邊界條件：邊界邊上溫度的法向?qū)?shù)給定第三類邊界條件：邊界邊上溫度和法向?qū)?shù)的線性組合給定6邊界條件和初始條件第一類邊界條件：邊界上溫度給定6解析解

——分離變量法平板7解析解

——分離變量法平板7解析解

——分離變量法此方程中，左邊只是空間變量x的函數(shù)，右邊只是時間變量t函數(shù),要使等式成立，只有兩邊都等于同一個常數(shù)8解析解

——分離變量法此方程中，左邊只是空間變量x的函數(shù)，右時間變量方程9時間變量方程9空間變量函數(shù)滿足微分方程10空間變量函數(shù)滿足微分方程10特征方程的根為一對共軛復(fù)數(shù)根通解為11特征方程的根為一對共軛復(fù)數(shù)根11溫度的完全解可由上述分離方程的基本解按線性迭加原理構(gòu)成，其形式為12溫度的完全解可由上述分離方程的基本解按線性迭加原理構(gòu)成，其形這個解既滿足熱傳導(dǎo)問題的微分方程，又滿足邊界條件，但是它并不一定滿足初始條件。因此，將初始條件應(yīng)用于上式可得未知系數(shù)可根根據(jù)下述特征函數(shù)的正交性來確定：13這個解既滿足熱傳導(dǎo)問題的微分方程，又滿足邊界條件，但是它并不我們用算子對F(x)的兩邊進行運算，再根據(jù)正交性，可得14我們用算子對F(x)相變傳熱現(xiàn)象物理現(xiàn)象（連續(xù)介質(zhì)）有單一相變溫度和明確界面。相變有一個溫度范圍，存在兩相區(qū)。相變傳熱模型溫度法以溫度為唯一的因變量，分別在固相和液相區(qū)建立能量守恒方程。焓法焓和溫度共同作為因變量，無需分區(qū)建立控制方程15相變傳熱現(xiàn)象物理現(xiàn)象（連續(xù)介質(zhì)）15溫度法控制方程界面耦合條件以下情況不考慮速度場：忽略密度變化的影響，液相內(nèi)只有導(dǎo)熱；密度不同，但液相一直處于相變溫度。16溫度法16焓法對材料的密度和相變特性沒作特殊假設(shè)。積分形式的控制方程把原來在兩個活動區(qū)域及固液界面成立的方程組轉(zhuǎn)換為在一個固定區(qū)域內(nèi)成立的方程，無需跟蹤界面。便于數(shù)值計算。17焓法對材料的密度和相變特性沒作特殊假設(shè)。17界面移動規(guī)律半無限大物體在某個時間t

，固體層厚度為x(t)，暴露的表面保持在溫度Ts，Ts比相變溫度低。在交界面處釋放出來的熱量必須由熱傳導(dǎo)經(jīng)過固體導(dǎo)出，假定液相中沒有溫度梯度。被釋放出來的熱量經(jīng)過固體層導(dǎo)出解出增長層的表達式

熱容可以忽略不計的凝固過程18界面移動規(guī)律熱容可以忽略不計的凝固過程18

二、諾曼（Neumann）解:半無限大物體相變問題斯蒂芬（Stefan）問題考慮一個分布在正x區(qū)域處于均勻溫度Ti的液體，Ti高于其固態(tài)的熔解溫度Tf。在t=0時，處于x=0的液態(tài)表面突然降到Tw（<Tf），并保持下去。這樣，凝固從x=0的表面開始，固液交界面則沿x正方向移動。固液兩相密度相同這類問題通常稱為斯蒂芬問題。

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二、諾曼（Neumann）解:半無限大物體相變問題斯蒂芬（斯蒂芬（Stefan）問題的數(shù)學(xué)描述

固相內(nèi)數(shù)學(xué)描述

液相內(nèi)數(shù)學(xué)描述

固液界面x=s(t)處的耦合條件20斯蒂芬（Stefan）問題的數(shù)學(xué)描述

固相內(nèi)數(shù)學(xué)描述

假定固相和液相內(nèi)溫度分布的解分別為解（13）滿足微分方程、邊界條件和初始條件（10-11）。帶入界面條件（12）可得為常數(shù)，得到系數(shù)A，B的表達式21假定固相和液相內(nèi)溫度分布的解分別為21通過固定邊界位置，諾曼得到固相區(qū)和液相區(qū)的溫度分布如下（具體方法參見M.N.奧齊西克《熱傳導(dǎo)》）：由下式確定;22通過固定邊界位置，諾曼得到固相區(qū)和液相區(qū)的溫度分布如下（具體表面熱流總傳熱量23表面熱流23誤差函數(shù)24誤差函數(shù)24

諾曼解的應(yīng)用獲得了一些應(yīng)用；但求解問題的范圍很小。25

諾曼解的應(yīng)用獲得了一些應(yīng)用；25固液相密度不同的材料，固定邊界將導(dǎo)致液相的整體運動，自由界面將導(dǎo)致兩個界面的移動。凝固過程（）液相在x方向的整體運動速度液相的能量方程固相的解同前液相解26固液相密度不同的材料，固定邊界將導(dǎo)致液相的整體運動，自由界面定熱流邊界相變27定熱流邊界相變27接觸相變——界面溫度恒定，溶解過程中溶解物被完全排除28接觸相變——界面溫度恒定，溶解過程中溶解物被完全排除282929存在相變區(qū)假定兩相區(qū)固相成分與距離成線性關(guān)系相變熱處理成內(nèi)熱源30存在相變區(qū)3031313232多相變問題半無限大液體初始溫度為T，t>=0后表面瞬間冷卻并保持較低溫度Tw，此時液體發(fā)生凝固。假設(shè)介質(zhì)有兩個相變溫度Tm1，Tm2，且Ti>Tm1>Tm2>Tw，相變熱分別為hm1，hm2。固液密度相同構(gòu)造溫度函數(shù)帶入邊界溫度條件33多相變問題33相界面的位置利用相界面的能量守恒條件34相界面的位置34三、分析方法—移動熱源法

（Movingheatsourcemethod）凝固（或熔解）過程中熱量的釋放（或吸收）可視為在固—液交界面處有一移動的平面熱源（或匯）。從這一認識出發(fā)，可以把瞬態(tài)的相變問題在形式上考慮為具有移動平面熱源的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題。用這一方法求解瞬態(tài)相變問題最早的是Lightfoot。N.M.H.Lightfoot,TheEffectofLatentHeatontheSolidificationofSteelIngots（工業(yè)純鐵）,3rd.ReportofC.H.S.I.,J.IronandSteelInstitute,vol.1,364,1929.35三、分析方法—移動熱源法

（Movingheat

移動熱源法求解相變問題的基本步驟用一個等價的在固-液界面上具有移動平面熱源（或匯）的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題來代替相變問題，由此得到的熱傳導(dǎo)問題在形式上講是對溫度求解的。這樣在算到固-液界面時，應(yīng)要求界面的溫度為熔解溫度Tm。從這一要求出發(fā)，就會得到固-液界面位置的積分方程。通過求解該積分方程，即可求得固-液界面的位置。這個方法在如何把對相變問題的分析轉(zhuǎn)化為對固-液界面位置積分方程求解方面是很簡捷的。由此得到的積分方程也許不能用分析方法求解，但可以用近似的或數(shù)值的方法求解。36

移動熱源法求解相變問題的基本步驟用一個等價的在固-液界面上

例半空間內(nèi)的凝固問題（雙區(qū)域問題）一種占據(jù)x>0半空間的液體具有均勻的溫度Ti,此值高于材料相變的熔解溫度Tm。當(dāng)時間t>0時，邊界面維持在低于Tm的溫度T0（T0

=0）。凝固從x=0的面開始，固相前鋒沿x正方向移動。這一問題從根本上講與諾曼問題是一樣的。在以下分析中，為便于把相變問題轉(zhuǎn)化為具有移動熱源的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題，我們假定液相和固相的熱物性（密度）是相同的。37

例半空間內(nèi)的凝固問題（雙區(qū)域問題）37

解本問題的數(shù)學(xué)描述對固相為對液相為對固-液界面為38

解本問題的數(shù)學(xué)描述對固相為對液相為對固-液界面為38

上述相變問題等價于求解在x>0區(qū)域內(nèi)，x=s(t)處具有移動平面熱源的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題：并有附加條件式中為狄拉克函數(shù)39

上述相變問題等價于求解在x>0區(qū)域內(nèi)，x=s(t)處兩個問題等價性的證明顯然，由于熱源形式為狄拉克函數(shù)，在x<s(t)處，熱傳導(dǎo)微分方程（29-a）簡化為方程（26-a）；在x>s(t)處，熱傳導(dǎo)微分方程（29-a）簡化為（27-a）。40兩個問題等價性的證明顯然，由于熱源形式為狄拉克函數(shù)，在x<s兩個問題等價性的證明邊界條件與初始條件（29-b）、（29-c）和（29-d）分別與相變問題中式（26-b）、（27-b）和（27-c）所示的條件相同。41兩個問題等價性的證明邊界條件與初始條件（29-b）、（29-兩個問題等價性的證明式（29-e）所示的這一條件等價于界面條件（28-a）。最終應(yīng)證明由（29-a）可導(dǎo)得界面階躍條件（28-b）.42兩個問題等價性的證明式（29-e）所示的這一條件等價于界面條兩個問題等價性的證明為證明這一點，對方程（29-a）由至對界面進行積分，并令。由于在交界面上是連續(xù)函數(shù)，式（29-a）的右邊可以消去。由此可得此式與界面方程（28-b）是完全一樣的。因此，求解式（29）所描述的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題等價于求解上述相變問題。

43兩個問題等價性的證明為證明這一點，對方程（29-a）由

方程（29a-d）所描述的熱傳導(dǎo)問題的求解將該問題分解成兩個較為簡單的問題，如式中，是如下問題的解：44

方程（29a-d）所描述的熱傳導(dǎo)問題的求解將該問題分解成兩

是如下問題的解：45是如下問題的解：45解可表示為用格林函數(shù)表示的解為式中對進行積分后，為46解可表示為46將解式（34）與（36）代入式（31），且利用條件（29-e），可得

此式即為關(guān)于固-液界面位置的積分方程。求解該積分方程，就可求得。47將解式（34）與（36）代入式（31），且利用條件（29-e萊特富特在求解該積分方程時，假設(shè)可表示為如下形式：其中仍是待定的。有了值后，積分方程（37）可由誤差函數(shù)來表示。在對變量進行某些變換之后，積分方程（37）簡化成如下求的超越方程：此式重新整理后，可得我們注意到，式（39-b）是諾曼問題中的一種特殊情形。所以，用移動熱源法所獲得的解為本問題的精確解。48萊特富特在求解該積分方程時，假設(shè)可表示為如下形式格林函數(shù)格林函數(shù)表示在r’處有一強度為一個單位的脈沖點熱源于時間τ’時自行釋放熱量后區(qū)域R內(nèi)溫度的分布狄拉克（Dirac）函數(shù)49格林函數(shù)49

移動熱源法的應(yīng)用K.A.RathjenandL.M.Jiji,Heatconductionwithmeltingorfreezinginacorner,Trans.ASME,J.HeatTransfer,vol.16,pp101-109,1973.將方法二維瞬態(tài)熔解或凝固的相變問題應(yīng)用于表面具有均勻溫度的直角。該解得到的移動界面類似于雙曲線（superhyperbola）。H.BudhiaandF.Kreith,Heattransferwithmeltingorfreezinginawedge,Int.J.HeatMassTransfer,vol.16,pp.1950211,1973.在楔型容器中的相變，冷凍液相或熔解固相具有均勻溫度，楔型表面溫度保持一致，H.Budhia和F.Kreith得到固液界面的形狀和固液相中的溫度分布50

移動熱源法的應(yīng)用K.A.RathjenandL.M.JY.K.ChuangandJ.Szekely.OntheuseofGreen’Functionforsolvingmeltingorsolidificationproblems,Int.J.HeatMassTransfer,vol.14,pp.1285-1294,1971.Y.K.ChuangandJ.Szekely.TheuseofGreen’Functionforsolvingmeltingorsolidificationproblemsinthecylindricalcoordinatesystem,Int.J.HeatMassTransfer,vol.15,pp.1171-1174,1972.在圓柱坐標和直角坐標體系內(nèi)，該方法應(yīng)用在二元混合液中由于對流加熱和分散熔解而造成的熔化燒蝕（meltingablation）。51Y.K.ChuangandJ.Szekely.OntA.M.HassaneinandG.L.Kulcinski,SimulationofrapidheatinginfusionreactorfirstwallsusingtheGreen’sFunctionapproach,Trans.ASME,J.HeatTransfer,vol.106,pp.486-490,1984.分析了一種包括輻射影響的具有復(fù)雜邊界條件的瞬態(tài)相變。值得注意的是雖然該方法簡單而直接但他把相變問題的分析轉(zhuǎn)換為固液界面位置的積分方程的求解。通常，積分方程只能近似或數(shù)值求解，除非問題類似于Lightfoot考慮的。52A.M.HassaneinandG.L.Kulcinsk四、Paterson法（圓柱坐標）一條強度為Q的線熱匯置于均勻溫度的液體中，位置為r=0，溫度Ti高于物質(zhì)的熔解溫度。從時間T=0開始，熱匯不斷吸收熱量，凝固過程以r=0為原點開始，且固液界面向r正方向移動。Paterson認為如果熱傳導(dǎo)方程解的形式取指數(shù)積分函數(shù)，則上述問題具有精確解。指數(shù)積分函數(shù)53四、Paterson法（圓柱坐標）一條強度為Q的線熱匯置于均固相（圓柱坐標）液相固液界面54固相（圓柱坐標）54解的形式對r求導(dǎo)解滿足微分方程和邊界條件及初始條件。55解的形式55求解系數(shù)A,B,C線匯能量平衡得到解帶入界面條件56求解系數(shù)A,B,C56解超越方程57解57五、近似方法

熱平衡積分法（Heat-balanceintegralmethod

）積分法的基本概念求解相變問題的積分法58五、近似方法

熱平衡積分法（Heat-bal

積分法的基本概念各種分析求解方法只能對幾何形狀簡單的熱傳導(dǎo)問題進行求解。在這些問題中，微分方程與邊界條件都是線性的。對于非線性的問題，只有極少數(shù)的特殊情況下才能精確求解。另外，分析解也不適用于幾何形狀復(fù)雜的情形。所以，當(dāng)遇到分析求解太難或無法求解，而數(shù)值求解又不合適的情況時，就可用近似分析解法。而且，與單純數(shù)值解相比，分析解所提供的結(jié)果有利于更好地理解影響該問題各種參數(shù)的物理意義。正是由于這樣的緣故，在求解熱傳導(dǎo)問題中，各種近似的分析方法得到了發(fā)展。如積分法，熱傳導(dǎo)問題的變分表達式及由此導(dǎo)得的瑞利-里茲（Rayleigh-Ritz）法、伽略金法以及偏積分法。近似解準確與否是通過將其結(jié)果與精確解的結(jié)果作比較來評定的。59

積分法的基本概念各種分析求解方法只能對幾何形狀簡單的熱傳導(dǎo)積分法在求解偏微分方程中的應(yīng)用可追溯到馮·卡門（VonKarman）與波尓豪森(Pohlhausen)，他們用近似分析方法求解了流體力學(xué)中的動量邊界層方程與能量邊界層方程。蘭代爾（Landahl）把它用于生物物理領(lǐng)域求解分離濃縮物的擴散方程。默克（Merk）用這種方法求解了二維穩(wěn)定的熔化問題。古德曼（Goodman）用它求解一維瞬態(tài)的熔化問題。從此以后，這種方法就應(yīng)用于求解各類一維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題、熔化與凝固問題以及諸如海水中的冰在熔化過程中與聚合物在熔化及熱壓過程中的熱量傳輸和動量傳輸問題。60積分法在求解偏微分方程中的應(yīng)用可追溯到馮·卡門（VonKa對于一定邊界條件下的一維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)邊值問題，無論是線性的或是非線性的，使用積分法都是很簡捷的，而且十分方便。盡管用積分法所得的結(jié)果是近似的，但當(dāng)把由此得到的很多近似結(jié)果與精確解的結(jié)果作比較時，即可發(fā)現(xiàn)，就工程應(yīng)用觀點來看其準確程度一般已達到令人滿意的程度。61對于一定邊界條件下的一維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)邊值問題，無論是線性的或是精確求解在特定邊界條件及初始條件下某一區(qū)域中的熱傳導(dǎo)微分方程，由此得到的解對該區(qū)域內(nèi)每一個點都應(yīng)滿足，而用積分的方法得到的解對該區(qū)域只是平均的得到滿足。下面，我們應(yīng)用積分法求解具有特定邊界條件、均勻初始條件和無熱源的半無限大物體中一維的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題，概括的敘述一下用積分法分析問題的基本步驟。

62精確求解在特定邊界條件及初始條件下某一區(qū)域中的熱傳導(dǎo)微分方程

用積分法分析問題的基本步驟將熱傳導(dǎo)微分方程對稱為熱層的一表觀厚度進行積分，可把微分方程中有關(guān)空間變量的導(dǎo)數(shù)去掉。對熱層厚度作如下定義：若從實際應(yīng)用角度來看，超過某一厚度就不再存在熱流，則將此厚度定義為熱層。因此，超過，初始的溫度分布就不再受影響。由此得到的方程稱為能量積分方程（也稱熱平衡積分）。63

用積分法分析問題的基本步驟將熱傳導(dǎo)微分方程對稱為熱層的一表

用積分法分析問題的基本步驟選某一合適的剖面作為熱層內(nèi)的溫度分布。通常選某一多項式為剖面。經(jīng)驗已經(jīng)表明：所選的多項式高于四次后，解的精度不再有明顯的改進。多項式中的系數(shù)可根據(jù)實際的邊界條件予以確定，并用熱層厚度來表示。64

用積分法分析問題的基本步驟選某一合適的剖面作為熱層內(nèi)的溫度

用積分法分析問題的基本步驟把所得到的溫度剖面代入能量積分方程，在進行簡要的運算之后，即可得到關(guān)于熱層厚度以時間為自變量的常微分方程。這個微分方程的解滿足特定的初始條件即，此時，,并給出，它是時間的函數(shù)。從第3步得知后，即可知道溫度分，它是時間與物體內(nèi)位置的函數(shù)。65

用積分法分析問題的基本步驟把所得到的溫度剖面代入能量積分方例一半無限大物體的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題初始時該半無限大物體有均勻溫度，在時間時，邊界面維持為恒溫。該問題的數(shù)字描述為66例一半無限大物體的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題66按前面介紹的基本步驟用積分法求解該問題

1.將方程

對空間變量從到進行積分得對上式右邊進行積分時，運用積分號下的微分規(guī)則，可得。67按前面介紹的基本步驟用積分法求解該問題1.將方程67根據(jù)熱層的定義，得為便于以下分析，定義

將兩方程代入得

式（58）稱為本問題的能量積分方程68根據(jù)熱層的定義，得68

2.選用下列形式的三次多項式來表示：式（59）中的系數(shù)一般為時間的函數(shù)。為了用來表示這四個系數(shù)，需要四個條件，其中三個條件可從x=0的邊界條件與熱層邊緣處的邊界條件來得到，為第四個邊界條件可根據(jù)對微分方程（55a）在x=0處的計算以及利用x=0處T=T0=常數(shù)，這一事實推導(dǎo)得到，即x=0處溫度對時間的導(dǎo)數(shù)為零。由此可得將（60）的四個條件用于式（59），可得到如下形式的溫度剖面：

692.選用下列形式的三次多項式來表示

3.將溫度剖面代入能量積分方程，在完成簡要運算之后，可得到有關(guān)的常微分方程：具有初始條件方程（62）的解為

703.將溫度剖面70

4.知道后，確定溫度分布，可得式中

714.知道后，確定溫度分布

求解相變問題的積分法積分法是求解一維瞬態(tài)相變問題的一種較為簡單而直接的方法，已有很多研究者用這個方法進行求解。在用積分法求解相變問題時，分析過程的基本步驟與解一般熱傳導(dǎo)問題大體上是一樣的，只是在構(gòu)成溫度剖面需要作某些修正。72

求解相變問題的積分法72

例題

半空間內(nèi)的熔解過程（單區(qū)域問題）。為了對用積分法求解一維非穩(wěn)態(tài)相變問題的準確性有一定的認識，這里討論的問題為x>0的半空間固體的熔解過程。開始時，該固體處于熔解溫度Tm。當(dāng)時間t>0時，x=0的邊界面維持在恒定的溫度T0，T0高于固體的熔解溫度Tm。熔解過程從x=0的表面開始，固-液界面向x的正方向移動。試通過本例分析求得固-液界面的位置隨時間的變化規(guī)律。73例題半空間內(nèi)的熔解過程（單區(qū)域問題）。為了對用積分法求

解本問題的數(shù)學(xué)描述液相內(nèi)的方程為界面的方程為

74

解本問題的數(shù)學(xué)描述74用積分法進行求解時，第一步是定義熱層厚度。超過這個厚度，溫度梯度實際上可認為零。固-液界面的位置與熱層厚度的定義相同，當(dāng)時，固相內(nèi)的溫度梯度為零。因此，我們?nèi)^(qū)域

為熱層厚度，這對本問題來說是合適的。將熱傳導(dǎo)方程從到進行積分，可得為書寫簡便，這里省掉了角碼。根據(jù)邊界條件（65-c）與（65-d），式（66）簡化為式中（67）式為該問題的能量積分方程。75用積分法進行求解時，第一步是定義熱層厚度。超過這個為求解該方程，我們?nèi)∪缦滦问降亩A多項式作為近似溫度分布：式中。為求得上式中的三個系數(shù)，必須有三個條件。式（65-b）與（65-c）提供了二個條件，而式

（65-d）所示的關(guān)系式并不適用于求系數(shù)，因為，如若用式（65-d），最終得到的溫度剖面必將包含項。若再將這一剖面代入能量積分方程中，得到的是的二階常微分方程，而不是常用的一階方程。76為求解該方程，我們?nèi)∪缦滦问降亩A多項式作為近似溫度

為避免這個困難，這里提出另一種關(guān)系式對邊界條件（65-c）進行微分得：或利用消去項，可得77

為避免這個困難，這里提出另一種關(guān)系式77由式消去，可得78由式78這一關(guān)系式，結(jié)合與處的邊界條件，即就可得到能求得式（68）中未知數(shù)的三個獨立關(guān)系式。最終的溫度剖面成為79這一關(guān)系式，結(jié)合與處將溫度剖面式（73）代入能量積分方程，在進行簡要的運算之后，可得如下用以確定固-液界面位置的常微分方程：

方程（74）的解為80將溫度剖面式（73）代入能量積分方程，在進行簡要的運算之后，Thank81

相變傳熱焦冬生熱科學(xué)與能源工程系82

相變傳熱焦冬生1

內(nèi)容引言精確解（諾曼（Neumann）解）分析方法—移動熱源法 近似方法數(shù)值方法83

內(nèi)容引言2

一、引言相變過程其實就是傳熱傳質(zhì)過程；這類傳熱現(xiàn)象的基本特征由邊界（固液交界面）移動引起的非線性（nonlinearity）化，使得此類問題變得更復(fù)雜，并且每一個問題均有其獨特性。引起數(shù)學(xué)處理較為困難的其他因素：在相變前、進行中和后，其物理性質(zhì)依賴于溫度，而溫度分布是三維的和瞬時的變化。有時，溶解和凝結(jié)時發(fā)生的復(fù)雜又令人困惑的現(xiàn)象，使得傳統(tǒng)的分析方法無法解決。84

一、引言相變過程其實就是傳熱傳質(zhì)過程；3熱傳導(dǎo)方程靜止的均勻物體內(nèi)含有熱源的各向同性物體的熱傳導(dǎo)方程直角坐標系85熱傳導(dǎo)方程靜止的均勻物體內(nèi)含有熱源的各向同性物體的熱傳導(dǎo)方程柱坐標和球坐標86柱坐標和球坐標5邊界條件和初始條件第一類邊界條件：邊界上溫度給定第二類邊界條件：邊界邊上溫度的法向?qū)?shù)給定第三類邊界條件：邊界邊上溫度和法向?qū)?shù)的線性組合給定87邊界條件和初始條件第一類邊界條件：邊界上溫度給定6解析解

——分離變量法平板88解析解

——分離變量法平板7解析解

——分離變量法此方程中，左邊只是空間變量x的函數(shù)，右邊只是時間變量t函數(shù),要使等式成立，只有兩邊都等于同一個常數(shù)89解析解

——分離變量法此方程中，左邊只是空間變量x的函數(shù)，右時間變量方程90時間變量方程9空間變量函數(shù)滿足微分方程91空間變量函數(shù)滿足微分方程10特征方程的根為一對共軛復(fù)數(shù)根通解為92特征方程的根為一對共軛復(fù)數(shù)根11溫度的完全解可由上述分離方程的基本解按線性迭加原理構(gòu)成，其形式為93溫度的完全解可由上述分離方程的基本解按線性迭加原理構(gòu)成，其形這個解既滿足熱傳導(dǎo)問題的微分方程，又滿足邊界條件，但是它并不一定滿足初始條件。因此，將初始條件應(yīng)用于上式可得未知系數(shù)可根根據(jù)下述特征函數(shù)的正交性來確定：94這個解既滿足熱傳導(dǎo)問題的微分方程，又滿足邊界條件，但是它并不我們用算子對F(x)的兩邊進行運算，再根據(jù)正交性，可得95我們用算子對F(x)相變傳熱現(xiàn)象物理現(xiàn)象（連續(xù)介質(zhì)）有單一相變溫度和明確界面。相變有一個溫度范圍，存在兩相區(qū)。相變傳熱模型溫度法以溫度為唯一的因變量，分別在固相和液相區(qū)建立能量守恒方程。焓法焓和溫度共同作為因變量，無需分區(qū)建立控制方程96相變傳熱現(xiàn)象物理現(xiàn)象（連續(xù)介質(zhì)）15溫度法控制方程界面耦合條件以下情況不考慮速度場：忽略密度變化的影響，液相內(nèi)只有導(dǎo)熱；密度不同，但液相一直處于相變溫度。97溫度法16焓法對材料的密度和相變特性沒作特殊假設(shè)。積分形式的控制方程把原來在兩個活動區(qū)域及固液界面成立的方程組轉(zhuǎn)換為在一個固定區(qū)域內(nèi)成立的方程，無需跟蹤界面。便于數(shù)值計算。98焓法對材料的密度和相變特性沒作特殊假設(shè)。17界面移動規(guī)律半無限大物體在某個時間t

，固體層厚度為x(t)，暴露的表面保持在溫度Ts，Ts比相變溫度低。在交界面處釋放出來的熱量必須由熱傳導(dǎo)經(jīng)過固體導(dǎo)出，假定液相中沒有溫度梯度。被釋放出來的熱量經(jīng)過固體層導(dǎo)出解出增長層的表達式

熱容可以忽略不計的凝固過程99界面移動規(guī)律熱容可以忽略不計的凝固過程18

二、諾曼（Neumann）解:半無限大物體相變問題斯蒂芬（Stefan）問題考慮一個分布在正x區(qū)域處于均勻溫度Ti的液體，Ti高于其固態(tài)的熔解溫度Tf。在t=0時，處于x=0的液態(tài)表面突然降到Tw（<Tf），并保持下去。這樣，凝固從x=0的表面開始，固液交界面則沿x正方向移動。固液兩相密度相同這類問題通常稱為斯蒂芬問題。

100

二、諾曼（Neumann）解:半無限大物體相變問題斯蒂芬（斯蒂芬（Stefan）問題的數(shù)學(xué)描述

固相內(nèi)數(shù)學(xué)描述

液相內(nèi)數(shù)學(xué)描述

固液界面x=s(t)處的耦合條件101斯蒂芬（Stefan）問題的數(shù)學(xué)描述

固相內(nèi)數(shù)學(xué)描述

假定固相和液相內(nèi)溫度分布的解分別為解（13）滿足微分方程、邊界條件和初始條件（10-11）。帶入界面條件（12）可得為常數(shù)，得到系數(shù)A，B的表達式102假定固相和液相內(nèi)溫度分布的解分別為21通過固定邊界位置，諾曼得到固相區(qū)和液相區(qū)的溫度分布如下（具體方法參見M.N.奧齊西克《熱傳導(dǎo)》）：由下式確定;103通過固定邊界位置，諾曼得到固相區(qū)和液相區(qū)的溫度分布如下（具體表面熱流總傳熱量104表面熱流23誤差函數(shù)105誤差函數(shù)24

諾曼解的應(yīng)用獲得了一些應(yīng)用；但求解問題的范圍很小。106

諾曼解的應(yīng)用獲得了一些應(yīng)用；25固液相密度不同的材料，固定邊界將導(dǎo)致液相的整體運動，自由界面將導(dǎo)致兩個界面的移動。凝固過程（）液相在x方向的整體運動速度液相的能量方程固相的解同前液相解107固液相密度不同的材料，固定邊界將導(dǎo)致液相的整體運動，自由界面定熱流邊界相變108定熱流邊界相變27接觸相變——界面溫度恒定，溶解過程中溶解物被完全排除109接觸相變——界面溫度恒定，溶解過程中溶解物被完全排除2811029存在相變區(qū)假定兩相區(qū)固相成分與距離成線性關(guān)系相變熱處理成內(nèi)熱源111存在相變區(qū)301123111332多相變問題半無限大液體初始溫度為T，t>=0后表面瞬間冷卻并保持較低溫度Tw，此時液體發(fā)生凝固。假設(shè)介質(zhì)有兩個相變溫度Tm1，Tm2，且Ti>Tm1>Tm2>Tw，相變熱分別為hm1，hm2。固液密度相同構(gòu)造溫度函數(shù)帶入邊界溫度條件114多相變問題33相界面的位置利用相界面的能量守恒條件115相界面的位置34三、分析方法—移動熱源法

（Movingheatsourcemethod）凝固（或熔解）過程中熱量的釋放（或吸收）可視為在固—液交界面處有一移動的平面熱源（或匯）。從這一認識出發(fā)，可以把瞬態(tài)的相變問題在形式上考慮為具有移動平面熱源的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題。用這一方法求解瞬態(tài)相變問題最早的是Lightfoot。N.M.H.Lightfoot,TheEffectofLatentHeatontheSolidificationofSteelIngots（工業(yè)純鐵）,3rd.ReportofC.H.S.I.,J.IronandSteelInstitute,vol.1,364,1929.116三、分析方法—移動熱源法

（Movingheat

移動熱源法求解相變問題的基本步驟用一個等價的在固-液界面上具有移動平面熱源（或匯）的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題來代替相變問題，由此得到的熱傳導(dǎo)問題在形式上講是對溫度求解的。這樣在算到固-液界面時，應(yīng)要求界面的溫度為熔解溫度Tm。從這一要求出發(fā)，就會得到固-液界面位置的積分方程。通過求解該積分方程，即可求得固-液界面的位置。這個方法在如何把對相變問題的分析轉(zhuǎn)化為對固-液界面位置積分方程求解方面是很簡捷的。由此得到的積分方程也許不能用分析方法求解，但可以用近似的或數(shù)值的方法求解。117

移動熱源法求解相變問題的基本步驟用一個等價的在固-液界面上

例半空間內(nèi)的凝固問題（雙區(qū)域問題）一種占據(jù)x>0半空間的液體具有均勻的溫度Ti,此值高于材料相變的熔解溫度Tm。當(dāng)時間t>0時，邊界面維持在低于Tm的溫度T0（T0

=0）。凝固從x=0的面開始，固相前鋒沿x正方向移動。這一問題從根本上講與諾曼問題是一樣的。在以下分析中，為便于把相變問題轉(zhuǎn)化為具有移動熱源的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題，我們假定液相和固相的熱物性（密度）是相同的。118

例半空間內(nèi)的凝固問題（雙區(qū)域問題）37

解本問題的數(shù)學(xué)描述對固相為對液相為對固-液界面為119

解本問題的數(shù)學(xué)描述對固相為對液相為對固-液界面為38

上述相變問題等價于求解在x>0區(qū)域內(nèi)，x=s(t)處具有移動平面熱源的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題：并有附加條件式中為狄拉克函數(shù)120

上述相變問題等價于求解在x>0區(qū)域內(nèi)，x=s(t)處兩個問題等價性的證明顯然，由于熱源形式為狄拉克函數(shù)，在x<s(t)處，熱傳導(dǎo)微分方程（29-a）簡化為方程（26-a）；在x>s(t)處，熱傳導(dǎo)微分方程（29-a）簡化為（27-a）。121兩個問題等價性的證明顯然，由于熱源形式為狄拉克函數(shù)，在x<s兩個問題等價性的證明邊界條件與初始條件（29-b）、（29-c）和（29-d）分別與相變問題中式（26-b）、（27-b）和（27-c）所示的條件相同。122兩個問題等價性的證明邊界條件與初始條件（29-b）、（29-兩個問題等價性的證明式（29-e）所示的這一條件等價于界面條件（28-a）。最終應(yīng)證明由（29-a）可導(dǎo)得界面階躍條件（28-b）.123兩個問題等價性的證明式（29-e）所示的這一條件等價于界面條兩個問題等價性的證明為證明這一點，對方程（29-a）由至對界面進行積分，并令。由于在交界面上是連續(xù)函數(shù)，式（29-a）的右邊可以消去。由此可得此式與界面方程（28-b）是完全一樣的。因此，求解式（29）所描述的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題等價于求解上述相變問題。

124兩個問題等價性的證明為證明這一點，對方程（29-a）由

方程（29a-d）所描述的熱傳導(dǎo)問題的求解將該問題分解成兩個較為簡單的問題，如式中，是如下問題的解：125

方程（29a-d）所描述的熱傳導(dǎo)問題的求解將該問題分解成兩

是如下問題的解：126是如下問題的解：45解可表示為用格林函數(shù)表示的解為式中對進行積分后，為127解可表示為46將解式（34）與（36）代入式（31），且利用條件（29-e），可得

此式即為關(guān)于固-液界面位置的積分方程。求解該積分方程，就可求得。128將解式（34）與（36）代入式（31），且利用條件（29-e萊特富特在求解該積分方程時，假設(shè)可表示為如下形式：其中仍是待定的。有了值后，積分方程（37）可由誤差函數(shù)來表示。在對變量進行某些變換之后，積分方程（37）簡化成如下求的超越方程：此式重新整理后，可得我們注意到，式（39-b）是諾曼問題中的一種特殊情形。所以，用移動熱源法所獲得的解為本問題的精確解。129萊特富特在求解該積分方程時，假設(shè)可表示為如下形式格林函數(shù)格林函數(shù)表示在r’處有一強度為一個單位的脈沖點熱源于時間τ’時自行釋放熱量后區(qū)域R內(nèi)溫度的分布狄拉克（Dirac）函數(shù)130格林函數(shù)49

移動熱源法的應(yīng)用K.A.RathjenandL.M.Jiji,Heatconductionwithmeltingorfreezinginacorner,Trans.ASME,J.HeatTransfer,vol.16,pp101-109,1973.將方法二維瞬態(tài)熔解或凝固的相變問題應(yīng)用于表面具有均勻溫度的直角。該解得到的移動界面類似于雙曲線（superhyperbola）。H.BudhiaandF.Kreith,Heattransferwithmeltingorfreezinginawedge,Int.J.HeatMassTransfer,vol.16,pp.1950211,1973.在楔型容器中的相變，冷凍液相或熔解固相具有均勻溫度，楔型表面溫度保持一致，H.Budhia和F.Kreith得到固液界面的形狀和固液相中的溫度分布131

移動熱源法的應(yīng)用K.A.RathjenandL.M.JY.K.ChuangandJ.Szekely.OntheuseofGreen’Functionforsolvingmeltingorsolidificationproblems,Int.J.HeatMassTransfer,vol.14,pp.1285-1294,1971.Y.K.ChuangandJ.Szekely.TheuseofGreen’Functionforsolvingmeltingorsolidificationproblemsinthecylindricalcoordinatesystem,Int.J.HeatMassTransfer,vol.15,pp.1171-1174,1972.在圓柱坐標和直角坐標體系內(nèi)，該方法應(yīng)用在二元混合液中由于對流加熱和分散熔解而造成的熔化燒蝕（meltingablation）。132Y.K.ChuangandJ.Szekely.OntA.M.HassaneinandG.L.Kulcinski,SimulationofrapidheatinginfusionreactorfirstwallsusingtheGreen’sFunctionapproach,Trans.ASME,J.HeatTransfer,vol.106,pp.486-490,1984.分析了一種包括輻射影響的具有復(fù)雜邊界條件的瞬態(tài)相變。值得注意的是雖然該方法簡單而直接但他把相變問題的分析轉(zhuǎn)換為固液界面位置的積分方程的求解。通常，積分方程只能近似或數(shù)值求解，除非問題類似于Lightfoot考慮的。133A.M.HassaneinandG.L.Kulcinsk四、Paterson法（圓柱坐標）一條強度為Q的線熱匯置于均勻溫度的液體中，位置為r=0，溫度Ti高于物質(zhì)的熔解溫度。從時間T=0開始，熱匯不斷吸收熱量，凝固過程以r=0為原點開始，且固液界面向r正方向移動。Paterson認為如果熱傳導(dǎo)方程解的形式取指數(shù)積分函數(shù)，則上述問題具有精確解。指數(shù)積分函數(shù)134四、Paterson法（圓柱坐標）一條強度為Q的線熱匯置于均固相（圓柱坐標）液相固液界面135固相（圓柱坐標）54解的形式對r求導(dǎo)解滿足微分方程和邊界條件及初始條件。136解的形式55求解系數(shù)A,B,C線匯能量平衡得到解帶入界面條件137求解系數(shù)A,B,C56解超越方程138解57五、近似方法

熱平衡積分法（Heat-balanceintegralmethod

）積分法的基本概念求解相變問題的積分法139五、近似方法

熱平衡積分法（Heat-bal

積分法的基本概念各種分析求解方法只能對幾何形狀簡單的熱傳導(dǎo)問題進行求解。在這些問題中，微分方程與邊界條件都是線性的。對于非線性的問題，只有極少數(shù)的特殊情況下才能精確求解。另外，分析解也不適用于幾何形狀復(fù)雜的情形。所以，當(dāng)遇到分析求解太難或無法求解，而數(shù)值求解又不合適的情況時，就可用近似分析解法。而且，與單純數(shù)值解相比，分析解所提供的結(jié)果有利于更好地理解影響該問題各種參數(shù)的物理意義。正是由于這樣的緣故，在求解熱傳導(dǎo)問題中，各種近似的分析方法得到了發(fā)展。如積分法，熱傳導(dǎo)問題的變分表達式及由此導(dǎo)得的瑞利-里茲（Rayleigh-Ritz）法、伽略金法以及偏積分法。近似解準確與否是通過將其結(jié)果與精確解的結(jié)果作比較來評定的。140

積分法的基本概念各種分析求解方法只能對幾何形狀簡單的熱傳導(dǎo)積分法在求解偏微分方程中的應(yīng)用可追溯到馮·卡門（VonKarman）與波尓豪森(Pohlhausen)，他們用近似分析方法求解了流體力學(xué)中的動量邊界層方程與能量邊界層方程。蘭代爾（Landahl）把它用于生物物理領(lǐng)域求解分離濃縮物的擴散方程。默克（Merk）用這種方法求解了二維穩(wěn)定的熔化問題。古德曼（Goodman）用它求解一維瞬態(tài)的熔化問題。從此以后，這種方法就應(yīng)用于求解各類一維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題、熔化與凝固問題以及諸如海水中的冰在熔化過程中與聚合物在熔化及熱壓過程中的熱量傳輸和動量傳輸問題。141積分法在求解偏微分方程中的應(yīng)用可追溯到馮·卡門（VonKa對于一定邊界條件下的一維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)邊值問題，無論是線性的或是非線性的，使用積分法都是很簡捷的，而且十分方便。盡管用積分法所得的結(jié)果是近似的，但當(dāng)把由此得到的很多近似結(jié)果與精確解的結(jié)果作比較時，即可發(fā)現(xiàn)，就工程應(yīng)用觀點來看其準確程度一般已達到令人滿意的程度。142對于一定邊界條件下的一維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)邊值問題，無論是線性的或是精確求解在特定邊界條件及初始條件下某一區(qū)域中的熱傳導(dǎo)微分方程，由此得到的解對該區(qū)域內(nèi)每一個點都應(yīng)滿足，而用積分的方法得到的解對該區(qū)域只是平均的得到滿足。下面，我們應(yīng)用積分法求解具有特定邊界條件、均勻初始條件和無熱源的半無限大物體中一維的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題，概括的敘述一下用積分法分析問題的基本步驟。

143精確求解在特定邊界條件及初始條件下某一區(qū)域中的熱傳導(dǎo)微分方程

用積分法分析問題的基本步驟將熱傳導(dǎo)微分方程對稱為熱層的一表觀厚度進行積分，可把微分方程中有關(guān)空間變量的導(dǎo)數(shù)去掉。對熱層厚度作如下定義：若從實際應(yīng)用角度來看，超過某一厚度就不再存在熱流，則將此厚度定義為熱層。因此，超過，初始的溫度分布就不再受影響。由此得到的方程稱為能量積分方程（也稱熱平衡積分）。144

用積分法分析問題的基本步驟將熱傳導(dǎo)微分方程對稱為熱層的一表

用積分法分析問題的基本步驟選某一合適的剖面作為熱層內(nèi)的溫度分布。通常選某一多項式為剖面。經(jīng)驗已經(jīng)表明：所選的多項式高于四次后，解的精度不再有明顯的改進。多項式中的系數(shù)可根據(jù)實際的邊界條件予以確定，并用熱層厚度來表示。145

用積分法分析問題的基本步驟選某一合適的剖面作為熱層內(nèi)的溫度

用積分法分析問題的基本步驟把所得到的溫度剖面代入能量積分方程，在進行簡要的運算之后，即可得到關(guān)于熱層厚度以時間為自變量的常微分方程。這個微分方程的解滿足特定的初始條件即，此時，,并給出，它是時間的函數(shù)。從第3步得知后，即可知道溫度分，它是時間與物體內(nèi)位置的函數(shù)。146

用積分法分析問題的基本步驟把所得到的溫度剖面代入能量積分方例一半無限大物體的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題初始時該半無限大物體有均勻溫度，在時間時，邊界面維持為恒溫。該問題的數(shù)字描述為147例一半無限大物體的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題66按前面介紹的基本步驟用積分法求解該問題

1.將方程

對空間變量從到