高一數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)課件：第六章：平面向量

§6.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念§6.1平面向量的實(shí)際背景明目標(biāo)

知重點(diǎn)填要點(diǎn)記疑點(diǎn)探要點(diǎn)究所然內(nèi)容索引010203當(dāng)堂測(cè)查疑缺04明目標(biāo)填要點(diǎn)探要點(diǎn)內(nèi)容010203當(dāng)堂測(cè)041.能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別.2.會(huì)用有向線段作向量的幾何表示，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別，會(huì)用字母表示向量.3.理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會(huì)辨識(shí)圖形中這些相關(guān)的概念.明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量1.向量既有

，又有

的量叫做向量.2.向量的幾何表示以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作

.3.向量的有關(guān)概念(1)零向量：長(zhǎng)度為

的向量叫做零向量，記作

.(2)單位向量：長(zhǎng)度等于

個(gè)單位的向量，叫做單位向量.大小填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)方向

0011.向量大小填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)方向0014(3)相等向量：

的向量叫做相等向量.(4)平行向量(共線向量)：方向

的

向量叫做平行向量，也叫共線向量.①記法：向量a平行于向量b，記作

.②規(guī)定：零向量與

平行.長(zhǎng)度相等且方向相同相同或相反非零a∥b任一向量(3)相等向量： 的向量叫做相等向量.長(zhǎng)度相等5探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)回顧學(xué)習(xí)數(shù)的概念，我們可以從一支筆、一棵樹(shù)、一本書(shū)……中抽象出只有大小的數(shù)量“1”，類似地，我們可以對(duì)力、位移……這些既有大小，又有方向的量進(jìn)行抽象，形成一種新的量，即向量.探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)回顧學(xué)習(xí)數(shù)的概念，我們可以從一支筆、一6探究點(diǎn)一向量的概念和幾何表示我們知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量.數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小，又有方向的量叫做向量.而把那些只有大小，沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量.例如，已知下列各量：①力；②功；③速度；④質(zhì)量；⑤溫度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度.其中是數(shù)量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧.探究點(diǎn)一向量的概念和幾何表示我們知道，力和位移都是既有大小7思考1

向量與數(shù)量有什么聯(lián)系和區(qū)別？

向量有哪幾種表示？答聯(lián)系是向量與數(shù)量都是有大小的量；區(qū)別是向量有方向且不能比較大小，數(shù)量無(wú)方向且能比較大小.向量可以用有向線段表示，也可以用字母符號(hào)表示.用表示向量的有向線段的長(zhǎng)度表示向量

的大小，也就是向量

的長(zhǎng)度(或稱模).記作||有向線段

箭頭表示向量的方向.思考1向量與數(shù)量有什么聯(lián)系和區(qū)別？向量有哪幾種表示？8思考2

向量的?？梢詾?嗎？可以為1嗎？可以為負(fù)數(shù)嗎？答

向量的?？梢詾?，也可以為1，不可以為負(fù)數(shù).思考3

向量與有向線段有什么區(qū)別？答向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無(wú)關(guān).只要大小和方向相同，這兩個(gè)向量就是相同的向量；有向線段是表示向量的工具，它有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.思考2向量的模可以為0嗎？可以為1嗎？可以為負(fù)數(shù)嗎？9探究點(diǎn)二幾個(gè)向量概念的理解思考1

長(zhǎng)度為零的向量叫什么向量？長(zhǎng)度為1的向量叫什么向量？答長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0，它的方向是任意的.長(zhǎng)度(或模)為1的向量叫做單位向量.思考2

滿足什么條件的兩個(gè)向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？答長(zhǎng)度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a與b相等，記作a＝b.單位向量不一定是相等向量.探究點(diǎn)二幾個(gè)向量概念的理解思考1長(zhǎng)度為零的向量叫什么向量10小結(jié)研究向量問(wèn)題時(shí)要注意，從大小和方向兩個(gè)方面考慮，不可忽略其中任何一個(gè)要素.對(duì)于初學(xué)者來(lái)講，由于向量是一個(gè)相對(duì)新的概念，常常因忽略向量的方向性而致錯(cuò).思考3

在同一平面內(nèi)，把所有長(zhǎng)度為1的向量的始點(diǎn)固定在同一點(diǎn)，這些向量的終點(diǎn)形成的軌跡是什么？答單位圓.小結(jié)研究向量問(wèn)題時(shí)要注意，從大小和方向兩個(gè)方面考慮，不可忽11探究點(diǎn)三平行向量與共線向量思考1

如果兩個(gè)非零向量所在的直線互相平行，那么這兩個(gè)向量的方向有什么關(guān)系？答方向相同或相反.小結(jié)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b平行，通常記作a∥b.規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對(duì)于任意向量a，都有0∥a.探究點(diǎn)三平行向量與共線向量思考1如果兩個(gè)非零向量所在的直12由于任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，平行向量也叫做共線向量.也就是說(shuō)，平行向量與共線向量是等價(jià)的，因此要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆.由于任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，平行向量也叫13思考2

如果非零向量

是共線向量，那么點(diǎn)A、B、C、D是否一定共線？答

點(diǎn)A、B、C、D不一定共線.思考2如果非零向量是共線向量14思考3

若向量a與b平行(或共線)，則向量a與b相等嗎？反之，若向量a與b相等，則向量a與b平行(或共線)嗎？向量平行具備傳遞性嗎？答向量a與b平行(或共線)，則向量a與b不一定相等；向量a與b相等，則向量a與b平行(或共線).向量的平行不具備傳遞性，即若a∥b，b∥c，則未必有a∥c，這是因?yàn)?，?dāng)b＝0時(shí)，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c?a∥c.思考3若向量a與b平行(或共線)，則向量a與b相等嗎？反之15小結(jié)在今后學(xué)習(xí)時(shí)要特別注意零向量的特殊性，解答問(wèn)題時(shí)，一定要看清題目中是“零向量”還是“非零向量”.小結(jié)在今后學(xué)習(xí)時(shí)要特別注意零向量的特殊性，解答問(wèn)題時(shí)，一定16例1

判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.①若a≠b，則a一定不與b共線；②若

則A、B、C、D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；③在平行四邊形ABCD中，一定有④若向量a與任一向量b平行，則a＝0；⑤若a＝b，b＝c，則a＝c；⑥若a∥b，b∥c，則a∥c.例1判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.17解兩個(gè)向量不相等，可能是長(zhǎng)度不同，方向可以相同或相反，所以a與b有共線的可能，故①不正確.②

A、B、C、D四點(diǎn)可能在同一條直線上，故②不正確.③在平行四邊形ABCD中，

與平行且方向相同，故

③正確.解兩個(gè)向量不相等，可能是長(zhǎng)度不同，方向可以相同或相反，所以18④零向量的方向是任意的，與任一向量平行，④正確.⑤a＝b，則|a|＝|b|且a與b方向相同；b＝c，則|b|＝|c|且b與c方向相同，則a與c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正確.若b＝0，由于a的方向與c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0時(shí)，a∥c成立，故⑥不正確.反思與感悟?qū)τ诿}的判斷正誤題，應(yīng)熟記有關(guān)概念，看清、理解各命題，逐一進(jìn)行判斷，有時(shí)對(duì)錯(cuò)誤命題的判斷只需舉一反例即可.④零向量的方向是任意的，與任一向量平行，④正確.反思與感悟19跟蹤訓(xùn)練1

判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.①若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；解不正確.因?yàn)橄蛄渴遣煌跀?shù)量的一種量.它由兩個(gè)因素來(lái)確定，即大小與方向，所以兩個(gè)向量不能比較大小，故①不正確.②若向量|a|＝|b|，則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；解不正確.由|a|＝|b|只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，并不能判斷方向.跟蹤訓(xùn)練1判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.解不正確.因20③對(duì)于任意|a|＝|b|，且a與b的方向相同，則a＝b；解正確.因?yàn)閨a|＝|b|，且a與b同向.由兩向量相等的條件可得a＝b.④向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反.解不正確.因?yàn)橄蛄縜與向量b若有一個(gè)是零向量，則其方向不確定.③對(duì)于任意|a|＝|b|，且a與b的方向相同，則a＝b；21例2

一輛汽車(chē)從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向西偏北50°走了200km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100km到達(dá)D點(diǎn).(1)作出向量解(1)向量

如圖所示.例2一輛汽車(chē)從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點(diǎn)，然后22∴在四邊形ABCD中，AB綊CD.∴四邊形ABCD為平行四邊形.∴在四邊形ABCD中，AB綊CD.∴四邊形ABCD為平行四邊23反思與感悟準(zhǔn)確畫(huà)出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).反思與感悟準(zhǔn)確畫(huà)出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量24跟蹤訓(xùn)練2

在如圖的方格紙上，已知向量a，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.(1)試以B為終點(diǎn)畫(huà)一個(gè)向量b，使b＝a；

解根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量a平行，且長(zhǎng)度相等(作圖略).

跟蹤訓(xùn)練2在如圖的方格紙上，已知向量a，每個(gè)(1)試以B為25例3

如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E、F、D分別是AC、AB、BC的中點(diǎn).(1)寫(xiě)出與

共線的向量；解因?yàn)镋、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，例3如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E、F、D分別是AC26反思與感悟(1)非零向量共線是指向量的方向相同或相反；(2)共線的向量不一定相等，但相等的向量一定共線.反思與感悟(1)非零向量共線是指向量的方向相同或相反；27跟蹤訓(xùn)練3

如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫(xiě)出圖中所示向量與

相等的向量.跟蹤訓(xùn)練3如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫(xiě)出28當(dāng)堂測(cè)·查疑缺12341.下列說(shuō)法正確的是(

)A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小C.向量的大小與方向有關(guān)D.向量的?？梢员容^大小當(dāng)堂測(cè)·查疑缺12341.下列說(shuō)法正確的是()291234解析

A中不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，所以A不正確；由A的過(guò)程分析可知方向相同的向量也不能比較大小，所以B不正確；C中向量的大小即向量的模，指的是有向線段的長(zhǎng)度，與方向無(wú)關(guān)，所以C不正確；D中向量的模是一個(gè)數(shù)量，可以比較大小，所以D正確.答案D1234解析A中不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，所3012342.如圖，在四邊形ABCD中，若

則圖中相等的向量是(

)D12342.如圖，在四邊形ABCD中，若3112343.如圖，在△ABC中，若DE∥BC，則圖中所示向量中是共線向量的有________________________.解析觀察圖形，并結(jié)合共線向量的定義可得解.12343.如圖，在△ABC中，若DE∥BC，則圖中所示向量321234∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四邊形ABCD是梯形.梯形1234∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四邊形ABCD是梯形.33呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1.向量是既有大小又有方向的量，從其定義看出向量既有代數(shù)特征又有幾何特征，因此借助于向量，我們可以將某些代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，又將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，故向量能起數(shù)形結(jié)合的橋梁作用.2.共線向量與平行向量是一組等價(jià)的概念.平行向量是指向量所在直線平行或重合即可，是一種廣意平行.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1.向量是既有大小又有方向的量，從其定義看出向343.注意兩個(gè)特殊向量——零向量和單位向量，零向量與任何向量都平行，單位向量有無(wú)窮多個(gè)，起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)在平面內(nèi)形成一個(gè)單位圓.3.注意兩個(gè)特殊向量——零向量和單位向量，零向量與任何向量都35§6.2平面向量的線性運(yùn)算6.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義§6.2平面向量的線性運(yùn)算明目標(biāo)

知重點(diǎn)填要點(diǎn)記疑點(diǎn)探要點(diǎn)究所然內(nèi)容索引010203當(dāng)堂測(cè)查疑缺04明目標(biāo)填要點(diǎn)探要點(diǎn)內(nèi)容010203當(dāng)堂測(cè)041.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意義及其幾何意義.2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運(yùn)用這兩個(gè)法則作兩個(gè)向量的加法運(yùn)算.3.了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能依據(jù)幾何意義作圖解釋向量加法運(yùn)算律的合理性.明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意義及其幾何如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作

則向量

叫做a與b的和(或和向量)，記作

，即a＋b＝

＝

.上述求兩個(gè)向量和的作圖法則，叫做向量加法的三角形法則.對(duì)于零向量與任一向量a的和有a＋0＝

＋

＝

.1.向量的加法法則(1)三角形法則a＋b填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)0aa如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取1.向量的加法法則39(2)平行四邊形法則如圖所示，已知兩個(gè)不共線向量a，b，作

則O、A、B三點(diǎn)不共線，以

，

為鄰邊作

，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線上的向量

＝a＋b，這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量加法的平行四邊形法則.2.向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：a＋b＝

.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝

.OAOB平行四邊形b＋aa＋(b＋c)(2)平行四邊形法則OAOB平行四邊形b＋aa＋(b＋c)40探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相加，從而給數(shù)賦予了新的內(nèi)涵.如果向量?jī)H停留在概念的層面上，那是沒(méi)有多大意義的.我們希望兩個(gè)向量也能相加，拓展向量的數(shù)學(xué)意義，提升向量的理論價(jià)值，這就需要建立相關(guān)的原理和法則.探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相加，從而給數(shù)賦予了新的內(nèi)41探究點(diǎn)一向量加法的三角形法則導(dǎo)引兩個(gè)向量可以相加，并且兩個(gè)向量的和還是一個(gè)向量.一般地，求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.如圖所示，是上海到臺(tái)北的航線示意圖：一是經(jīng)香港轉(zhuǎn)停到臺(tái)北；二是由上海直接飛往臺(tái)北.探究點(diǎn)一向量加法的三角形法則導(dǎo)引兩個(gè)向量可以相加，并且兩42通過(guò)上面地圖中客機(jī)的位移，我們得到向量加法的三角形法則：通過(guò)上面地圖中客機(jī)的位移，我們得到向量加法的三角形法則：43思考1

使用向量加法的三角形法則具體做法是什么？答先把兩個(gè)向量首尾順次相接，然后連接第一個(gè)向量的始點(diǎn)和后一個(gè)向量的終點(diǎn)，并指向后一個(gè)向量的終點(diǎn)，就得到兩個(gè)向量的和向量.思考1使用向量加法的三角形法則具體做法是什么？44思考2

當(dāng)向量a，b是共線向量時(shí)，a＋b又如何作出？答(1)當(dāng)a與b同向時(shí)：思考2當(dāng)向量a，b是共線向量時(shí)，a＋b又如何作出？45(2)當(dāng)a與b反向時(shí)：(2)當(dāng)a與b反向時(shí)：46思考3

|a＋b|與|a|和|b|之間的大小關(guān)系如何？答當(dāng)a與b同向共線時(shí)，a＋b與a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.當(dāng)a與b反向共線時(shí)，若|a|>|b|，則a＋b與a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，則a＋b與b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.思考3|a＋b|與|a|和|b|之間的大小關(guān)系如何？47探究點(diǎn)二向量加法的平行四邊形法則思考1

向量加法還可以用平行四邊形法則，其具體做法是什么？答先把兩個(gè)已知向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，再以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形，則這兩鄰邊所夾的對(duì)角線就是這兩個(gè)已知向量的和.探究點(diǎn)二向量加法的平行四邊形法則思考1向量加法還可以用平48對(duì)于零向量與任一向量a，我們規(guī)定：a＋0＝0＋a＝a.對(duì)于零向量與任一向量a，我們規(guī)定：a＋0＝0＋a＝a.49思考2

實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).那么向量的加法也滿足交換律、結(jié)合律嗎？如何檢驗(yàn)？答

向量的加法滿足交換律，

根據(jù)下圖中的平行四邊形ABCD驗(yàn)證向量加法的交換律：a＋b＝b＋a.思考2實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任意a，b∈R50∴a＋b＝b＋a.向量的加法也滿足結(jié)合律，根據(jù)下圖中的四邊形，驗(yàn)證向量加法的結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).∴a＋b＝b＋a.51∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).52思考3

向量加法的平行四邊形法則和三角形法則有何區(qū)別與聯(lián)系？答向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別：①三角形法則中強(qiáng)調(diào)“首尾相連”，平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn)”；②三角形法則適用于所有的兩個(gè)非零向量求和，而平行四邊形僅適用于不共線的兩個(gè)向量求和.聯(lián)系：當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的.思考3向量加法的平行四邊形法則和三角形法則有何區(qū)別與聯(lián)系？53例1

如圖，已知向量a、b，求作向量a＋b.例1如圖，已知向量a、b，求作向量a＋b.54反思與感悟已知向量a與向量b，要作出和向量a＋b，關(guān)鍵是準(zhǔn)確規(guī)范地依據(jù)平行四邊形法則作圖.反思與感悟已知向量a與向量b，要作出和向量a＋b，關(guān)鍵是準(zhǔn)55跟蹤訓(xùn)練1

如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點(diǎn).0跟蹤訓(xùn)練1如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交56探究點(diǎn)三向量加法的多邊形法則向量加法的三角形法則可以推廣為多個(gè)向量求和的多邊形法則，即把每個(gè)向量平移，使這些向量首尾相連，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量就是這些向量的和向量.探究點(diǎn)三向量加法的多邊形法則向量加法的三角形法則可以推廣為57這是一個(gè)極其簡(jiǎn)單卻非常有用的結(jié)論(如圖).這是一個(gè)極其簡(jiǎn)單卻非常有用的結(jié)論(如圖).58利用向量加法的多邊形法則化簡(jiǎn)多個(gè)向量的和有時(shí)非常有效.例如，在正六邊形ABCDEF中，0利用向量加法的多邊形法則化簡(jiǎn)多個(gè)向量的和有時(shí)059例2

化簡(jiǎn)：例2化簡(jiǎn)：60反思與感悟解決該類題目要靈活應(yīng)用向量加法運(yùn)算律，注意各向量的起、終點(diǎn)及向量起、終點(diǎn)字母排列順序.反思與感悟解決該類題目要靈活應(yīng)用向量加法運(yùn)算律，注意各向量61高一數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)課件：第六章：平面向量62當(dāng)堂測(cè)·查疑缺12341.如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則下列等式中錯(cuò)誤的是(

)當(dāng)堂測(cè)·查疑缺12341.如圖，D、E、F分別是△ABC的631234故選D.答案D1234故選D.答案D6412342.設(shè)E是平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，如圖所示，化簡(jiǎn)下列各式：012342.設(shè)E是平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，如圖所示，化簡(jiǎn)下6512343.設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則

等于(

)D12343.設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四661234123467呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1.三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個(gè)法則是統(tǒng)一的.當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí)常選用三角形法則，當(dāng)兩個(gè)向量共始點(diǎn)時(shí)，常選用平行四邊形法則.2.向量的加法滿足交換律，因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以按照任意的次序和任意的組合去進(jìn)行.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1.三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基68§6.2平面向量的線性運(yùn)算6.2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義§6.2平面向量的線性運(yùn)算明目標(biāo)

知重點(diǎn)填要點(diǎn)記疑點(diǎn)探要點(diǎn)究所然內(nèi)容索引010203當(dāng)堂測(cè)查疑缺04明目標(biāo)填要點(diǎn)探要點(diǎn)內(nèi)容010203當(dāng)堂測(cè)041.理解相反向量的含義，向量減法的意義及減法法則.2.掌握向量減法的幾何意義.3.能熟練地進(jìn)行向量的加、減運(yùn)算.明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.理解相反向量的含義，向量減法的意義及減法法則.明目標(biāo)、知1.我們把與向量a長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱作是向量a的相反向量，記作

，并且有a＋(－a)＝

.2.向量減法的定義：若b＋x＝a，則向量x叫做a與b的

，記為

，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做

.－a填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)0差a－b向量的減法1.我們把與向量a長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱作是向量a的相反72平行四邊形ABCDba平行四邊形ABCDba73探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)上節(jié)課，我們定義了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運(yùn)算自然聯(lián)想到向量的減法運(yùn)算：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).向量的減法是否也有類似的法則呢？本節(jié)課將解決這一問(wèn)題.探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)上節(jié)課，我們定義了向量的加法概念，并給74探究點(diǎn)一向量的減法思考1

a的相反向量是什么？－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？答與向量a長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱作是向量a的相反向量，記作－a，并且有a＋(－a)＝0，－a的相反向量是a即－(－a)＝a.規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.探究點(diǎn)一向量的減法思考1a的相反向量是什么？－a的相反向75思考2

我們知道，在數(shù)的運(yùn)算中，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，向量的減法是否也有類似的法則？如何理解向量的減法呢？答向量的減法也有類似法則，定義a－b＝a＋(－b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.思考3

向量a加上向量b的相反向量，叫做a與b的差向量，求兩個(gè)向量的差的運(yùn)算叫做向量的減法，對(duì)于向量a，b,c，若a＋c＝b，則c等于什么？

答a＋c＝b?c＝b－a.思考2我們知道，在數(shù)的運(yùn)算中，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相76(4)a＋(－a)＝0；(5)若a與b互為相反向量，則有：a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.(4)a＋(－a)＝0；(5)若a與b互為相反向量，則有：a77探究點(diǎn)二向量減法的法則思考1

由于a－b＝a＋(－b).因此要作出a與b的差向量a－b，可以轉(zhuǎn)化為作a與－b的和向量.已知向量a，b如圖所示，你能利用平行四邊形法則作出差向量a－b嗎？答利用平行四邊形法則.探究點(diǎn)二向量減法的法則思考1由于a－b＝a＋(－b).因78思考2

向量減法的三角形法則是什么？答當(dāng)把兩個(gè)向量a，b的始點(diǎn)移到同一點(diǎn)時(shí)，它們的差向量a－b可以通過(guò)下面的作法得到：①連接兩個(gè)向量(a與b)的終點(diǎn)；②差向量a－b的方向是指向被減向量的終點(diǎn).這種求差向量a－b的方法叫向量減法的三角形法則.概括為“移為共始點(diǎn)，連接兩終點(diǎn)，方向指被減”.思考2向量減法的三角形法則是什么？79思考3

請(qǐng)你利用向量減法的三角形法則作出上述向量a與b的差向量a－b？若a＋b＝c＋d，則a－c＝d－b成立嗎？答利用三角形法則.等式成立.移項(xiàng)法則對(duì)向量等式適用.思考3請(qǐng)你利用向量減法的三角形法則作出上述向量a與b的差向80例1

如圖所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.例1如圖所示，已知向量a、b、c、d，求作81反思與感悟根據(jù)向量減法的三角形法則，需要選點(diǎn)平移作出兩個(gè)同起點(diǎn)的向量.反思與感悟根據(jù)向量減法的三角形法則，需要選點(diǎn)平移作出兩個(gè)同82解延長(zhǎng)AC到Q.使CQ＝AC，則m－p＋n－q－r解延長(zhǎng)AC到Q.使CQ＝AC，則m－p＋n－q－r83例2

化簡(jiǎn)下列式子：例2化簡(jiǎn)下列式子：84反思與感悟向量減法的三角形法則的內(nèi)容是：兩向量相減，表示兩向量起點(diǎn)的字母必須相同，這樣兩向量的差向量以減向量的終點(diǎn)字母為起點(diǎn)，以被減向量的終點(diǎn)字母為終點(diǎn).反思與感悟向量減法的三角形法則的內(nèi)容是：兩向量相減，表示兩85高一數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)課件：第六章：平面向量86探究點(diǎn)三|a－b|與|a|、|b|之間的關(guān)系思考1

若a與b共線，怎樣作出a－b?答①當(dāng)a與b同向且|a|≥|b|時(shí)，在給定的直線l上作出差向量a－b：探究點(diǎn)三|a－b|與|a|、|b|之間的關(guān)系思考1若a與87②當(dāng)a與b同向且|a|≤|b|時(shí)，在給定的直線l上作出差向量a－b：②當(dāng)a與b同向且|a|≤|b|時(shí)，在給定的直線l上作出差向量88③若a與b反向，在給定的直線l上作出差向量a－b：③若a與b反向，在給定的直線l上作出差向量a－b：89思考2

通過(guò)作圖，探究|a－b|與|a|、|b|之間的大小關(guān)系？答當(dāng)a與b不共線時(shí)，有：||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；當(dāng)a與b同向且|a|≥|b|時(shí)，有：|a－b|＝|a|－|b|；當(dāng)a與b同向且|a|≤|b|時(shí)，有：|a－b|＝|b|－|a|.思考2通過(guò)作圖，探究|a－b|與|a|、|b|之間的大小關(guān)90同樣，由向量的減法，知同樣，由向量的減法，知91反思與感悟(1)用已知向量表示其他向量時(shí)，關(guān)鍵是利用向量加法的三角形法則及向量減法的幾何意義.(2)用幾個(gè)基本向量表示其他向量的一般步驟為：①觀察待表示的向量位置；②尋找相應(yīng)的平行四邊形或三角形；③運(yùn)用法則找關(guān)系，化簡(jiǎn)得結(jié)果.反思與感悟(1)用已知向量表示其他向量時(shí)，關(guān)鍵是利用向量加92跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，設(shè)

試用a，b，c表示向量跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，O是平行四邊形ABCD的對(duì)93高一數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)課件：第六章：平面向量94當(dāng)堂測(cè)·查疑缺1234A當(dāng)堂測(cè)·查疑缺1234A9512342.在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)C12342.在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()9612340123409712341312341398呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1.向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的定義，

就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法.即：減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b).2.在用三角形法則作向量減法時(shí)，要注意“差向量連接兩向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”.解題時(shí)要結(jié)合圖形，準(zhǔn)確判斷，防止混淆.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1.向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反99高一數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)課件：第六章：平面向量100§6.2平面向量的線性運(yùn)算6.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義§6.2平面向量的線性運(yùn)算明目標(biāo)

知重點(diǎn)填要點(diǎn)記疑點(diǎn)探要點(diǎn)究所然內(nèi)容索引010203當(dāng)堂測(cè)查疑缺04明目標(biāo)填要點(diǎn)探要點(diǎn)內(nèi)容010203當(dāng)堂測(cè)041.了解向量數(shù)乘的概念，并理解這種運(yùn)算的幾何意義.2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算.3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及其判定方法，并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)共線向量問(wèn)題.明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.了解向量數(shù)乘的概念，并理解這種運(yùn)算的幾何意義.明目標(biāo)、知1.向量數(shù)乘運(yùn)算：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)

，這種運(yùn)算叫做向量的

，記作

，其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝

.向量填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)(2)λa(a≠0)的方向特別地，當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，0a＝

或λ0＝

.數(shù)乘λa|λ||a|λ>0λ<0001.向量數(shù)乘運(yùn)算：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)，這1042.向量數(shù)乘的運(yùn)算律(1)λ(μa)＝

.(2)(λ＋μ)a＝

.(3)λ(a＋b)＝

.特別地，有(－λ)a＝

＝

；λ(a－b)＝

.(λμ)aλa＋μaλa＋λb－(λa)λ(－a)λa－λb2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律(λμ)aλa＋μaλa＋λb－(λa)1053.共線向量定理：向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使

.4.向量的線性運(yùn)算：向量的

、

、

運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝

.b＝λa加減數(shù)乘λμ1a±λμ2b3.共線向量定理：向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一106探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而時(shí)間、質(zhì)量等都是數(shù)量，這些向量與數(shù)量的關(guān)系常常在物理公式中體現(xiàn).如力與加速度的關(guān)系F＝ma，位移與速度的關(guān)系s＝vt.這些公式都是實(shí)數(shù)與向量間的關(guān)系.探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)引入：位移、力、速度、加速度等都是向量107師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法，請(qǐng)同學(xué)們作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)向量，并請(qǐng)同學(xué)們指出相加后，和的長(zhǎng)度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關(guān)？生：

a＋a＋a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍，其方向與a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)的長(zhǎng)度是a長(zhǎng)度的3倍，其方向與a的方向相反.師：很好！本節(jié)課我們就來(lái)討論實(shí)數(shù)與向量的乘積問(wèn)題.師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法，請(qǐng)同學(xué)們作出a＋a＋a和(－a108探究點(diǎn)一向量數(shù)乘運(yùn)算的物理背景思考1

一物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)向量v，那么在同方向上3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量用3v表示，試在直線l上畫(huà)出3v向量，看看向量3v與v的關(guān)系如何？答∴3v與v的方向相同，|3v|＝3|v|.探究點(diǎn)一向量數(shù)乘運(yùn)算的物理背景思考1一物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)109思考2

已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能說(shuō)明它們與向量a之間的關(guān)系嗎？答＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.思考2已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋110思考3

一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作λa，該向量的長(zhǎng)度與方向與向量a有什么關(guān)系？答λa仍然是一個(gè)向量.(1)|λa|＝|λ||a|；(2)λ>0時(shí)，λa與a方向相同；λ<0時(shí)，λa與a方向相反；λ＝0時(shí)，λa

＝0.方向任意.思考3一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種111探究點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律思考1

根據(jù)實(shí)數(shù)與向量積的定義，可以得哪些數(shù)乘運(yùn)算律？答設(shè)λ，μ∈R，則有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.探究點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律思考1根據(jù)實(shí)數(shù)與向量積的定義，可112思考2

向量等式的證明依據(jù)是相等向量的定義，既要證明等式兩邊的模相等，又要證明方向相同.你能根據(jù)這兩條證明其中的第①條運(yùn)算律嗎？答①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R).如果λ＝0或μ＝0或a＝0，則①式顯然成立；如果λ≠0，μ≠0，a≠0，則由向量數(shù)乘的定義有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.思考2向量等式的證明依據(jù)是相等向量的定義，既要證明等式兩邊113如果λ、μ同號(hào)，則①式兩邊向量的方向都與a同向；如果λ、μ異號(hào)，則①式兩邊向量的方向都與a反向.因此，向量λ(μa)與(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以λ(μa)＝(λμ)a.如果λ、μ同號(hào)，則①式兩邊向量的方向都與a同向；如果λ、μ異114例1

計(jì)算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).解(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.例1計(jì)算：115反思與感悟向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”、“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”、“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).反思與感悟向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合116跟蹤訓(xùn)練1

計(jì)算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；解原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算：解原式＝18a－12b－18a＋9b＝－117(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).解原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)118思考1

請(qǐng)觀察a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答a、b有何關(guān)系？答因?yàn)閎＝－2a，所以a、b是平行向量.思考2

若a、b是平行向量(a≠0)能否得出b＝λa？為什么？

答可以.因?yàn)閍、b平行，它們的方向相同或相反.探究點(diǎn)三共線向量定理及應(yīng)用思考1請(qǐng)觀察a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答a、b有何關(guān)119

120例2

已知e1，e2是不共線的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，則a與b是否共線？解若a與b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，所以λ不存在，所以a與b不共線.例2已知e1，e2是不共線的向量，a＝3e1＋4e2，b＝121反思與感悟(1)本題充分利用了向量共線定理，即b與a(a≠0)共線?b＝λa，因此用它既可以證明點(diǎn)共線或線共線問(wèn)題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.(2)向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來(lái)表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線.反思與感悟(1)本題充分利用了向量共線定理，即b與a(a≠122跟蹤訓(xùn)練2

已知非零向量e1，e2不共線.跟蹤訓(xùn)練2已知非零向量e1，e2不共線.123(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值.解∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1與e2不共線，(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值.124探究點(diǎn)四三點(diǎn)共線的判定探究點(diǎn)四三點(diǎn)共線的判定125令1－λ＝α，λ＝β，則令1－λ＝α，λ＝β，則126高一數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)課件：第六章：平面向量127觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量a、b怎樣變化，點(diǎn)B始終在直線AC上，猜想A、B、C三點(diǎn)共線.觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量a、b怎樣變化，點(diǎn)B始終在直線AC上，猜想128高一數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)課件：第六章：平面向量129反思與感悟本題給出了證明三點(diǎn)共線的方法，利用向量共線定理，關(guān)鍵是找到唯一實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，先證向量共線，再證三點(diǎn)共線.反思與感悟本題給出了證明三點(diǎn)共線的方法，利用向量共線定理，130＝10e1＋15e2.＝10e1＋15e2.131當(dāng)堂測(cè)·查疑缺12341.化簡(jiǎn)：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；解原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.當(dāng)堂測(cè)·查疑缺12341.化簡(jiǎn)：解原式＝16a－8b＋813212341234133123412341341234123413512344.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共線，向量c＝2e1－9e2.問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？解∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線，則應(yīng)有實(shí)數(shù)k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，12344.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，1361234故存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線.1234故存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c137呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律

呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律

138§6.2平面向量的線性運(yùn)算6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算§6.2平面向量的線性運(yùn)算明目標(biāo)

知重點(diǎn)填要點(diǎn)記疑點(diǎn)探要點(diǎn)究所然內(nèi)容索引010203當(dāng)堂測(cè)查疑缺04明目標(biāo)填要點(diǎn)探要點(diǎn)內(nèi)容010203當(dāng)堂測(cè)041.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標(biāo)表示.2.掌握兩個(gè)向量和、差及數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則.3.正確理解向量坐標(biāo)的概念，要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)分開(kāi)來(lái).明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標(biāo)表示.明目標(biāo)、知重1.平面向量的坐標(biāo)表示(1)向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)

的向量，叫做把向量正交分解.(2)向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)

i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使得a＝

，則

叫做向量a的坐標(biāo)，

叫做向量a的坐標(biāo)表示.互相垂直填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)單位向量xi＋yj有序數(shù)對(duì)(x，y)a＝(x，y)1.平面向量的坐標(biāo)表示互相垂直填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)單位向量xi＋y1422.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝

，即兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和.(x，y)(x2－x1，y2－y1)(x1＋x2，y1＋y2)2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(x，y)(x2－x1，y2－y1)(143(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝

，即兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差.(3)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝

，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝144探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)(即它的坐標(biāo))表示.對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個(gè)向量，如何表示呢？能不能像點(diǎn)一樣也用坐標(biāo)來(lái)表示？探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)145探究點(diǎn)一平面向量的坐標(biāo)表示思考1

如果向量a與b的夾角是90°，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b.互相垂直的兩個(gè)向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？答互相垂直的兩個(gè)向量能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底.探究點(diǎn)一平面向量的坐標(biāo)表示思考1如果向量a與b的夾角是9146思考2

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如圖，向量i、j是兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量a與i的夾角是30°，且|a|＝4，以向量i、j為基底，向量a如何表示？思考2把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，147小結(jié)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj.我們把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo).顯然有，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).小結(jié)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單148思考3

在平面直角坐標(biāo)系中，作向量

＝a，若

＝(x，y)，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)是什么？根據(jù)右圖寫(xiě)出向量a，b，c，d的坐標(biāo)，其中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1.答A(x，y)；a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3).思考3在平面直角坐標(biāo)系中，作向量＝a，若 ＝(149探究點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算思考1

設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量，若設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分別用基底i、j表示？答a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j.探究點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算思考1設(shè)i、j是與x軸、y軸同150思考2

根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量a＋b，a－b，λa的坐標(biāo)分別如何？用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述上述向量的坐標(biāo)運(yùn)算.答a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2);a－b＝(x1－x2，y1－y2);λa＝(λx1，λy1).兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差)；實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).思考2根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，向量a＋b，a－b，λa的坐標(biāo)分151思考3

已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量

的坐標(biāo)是什么？一般地，一個(gè)任意向量的坐標(biāo)如何計(jì)算？點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)有何區(qū)別？答

＝(x2－x1，y2－y1).任意一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).(1)向量a＝(x，y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x，y)中間沒(méi)有等號(hào).思考3已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量152(2)平面向量的坐標(biāo)只有當(dāng)起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同.(3)在平面直角坐標(biāo)系中，符號(hào)(x，y)可表示一個(gè)點(diǎn)，也可表示一個(gè)向量，敘述中應(yīng)指明點(diǎn)(x，y)或向量(x，y).(2)平面向量的坐標(biāo)只有當(dāng)起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才與向量終153例1

已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐標(biāo).解a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5,－3)，3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19).反思與感悟(1)已知兩點(diǎn)求向量的坐標(biāo)時(shí)，一定要注意是終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)；(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算最終轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算.例1已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b154跟蹤訓(xùn)練1

已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；解2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a－3b；解a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).跟蹤訓(xùn)練1已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：解2155高一數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)課件：第六章：平面向量156例2

已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，試用a，b表示c.解設(shè)c＝xa＋yb，則(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)＝(－2x＋3y,3x＋y)，解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.例2已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4157反思與感悟待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一，它的實(shí)質(zhì)是先將未知量設(shè)出來(lái)，再利用方程或方程組求解，把一個(gè)向量用其他兩個(gè)向量表示，這是常用方法.反思與感悟待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一，它的實(shí)質(zhì)是先將158跟蹤訓(xùn)練2

已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，試用b，c表示a.解設(shè)a＝λb＋μc(λ，μ∈R).則(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ).跟蹤訓(xùn)練2已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－159解由A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，得＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).解由A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，得＝(－160∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－11，－15).∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－11，－15).161反思與感悟向量的坐標(biāo)運(yùn)算是幾何與代數(shù)的統(tǒng)一，幾何圖形的法則是代數(shù)運(yùn)算的直觀含義，坐標(biāo)運(yùn)算是圖形關(guān)系的精確表示，二者的法則互為補(bǔ)充，要充分利用這一點(diǎn)，有效解決問(wèn)題.反思與感悟向量的坐標(biāo)運(yùn)算是幾何與代數(shù)的統(tǒng)一，幾何圖形的法則162跟蹤訓(xùn)練3

已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).解不妨設(shè)A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，第四個(gè)頂點(diǎn)為D(x，y).則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形有以下三種情形.∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，跟蹤訓(xùn)練3已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,7)，163(2)當(dāng)平行四邊形為ABDC時(shí)，仿(1)可得D(2，－3).(3)當(dāng)平行四邊形為ADBC時(shí)，仿(1)可得D(6,15).綜上所述，第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可能為(0，－1)，(2，－3)或(6,15).(2)當(dāng)平行四邊形為ABDC時(shí)，仿(1)可得D(2，－3).1641.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，則b－a等于(

)A.(－2,1) B.(2，－1)C.(2,0) D.(4,3)解析

b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故選B.當(dāng)堂測(cè)·查疑缺1234B1.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，則b－a等于(1651234A1234A166123412341671234答案A1234答案A16812344.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，則m＋n＝________.712344.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(169呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1.在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)的點(diǎn)、以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量、有序?qū)崝?shù)對(duì)三者之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.關(guān)系圖如圖所示.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1.在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)的點(diǎn)、以原點(diǎn)為起1702.向量的坐標(biāo)和這個(gè)向量的終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同.當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才和這個(gè)終點(diǎn)的坐標(biāo)相同.3.向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，要牢記公式，細(xì)心計(jì)算，防止符號(hào)錯(cuò)誤.2.向量的坐標(biāo)和這個(gè)向量的終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同.當(dāng)且僅當(dāng)向量171§6.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

6.3.1平面向量基本定理§6.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示明目標(biāo)

知重點(diǎn)填要點(diǎn)記疑點(diǎn)探要點(diǎn)究所然內(nèi)容索引010203當(dāng)堂測(cè)查疑缺04明目標(biāo)填要點(diǎn)探要點(diǎn)內(nèi)容010203當(dāng)堂測(cè)041.理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基底的含義.2.在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會(huì)用這組基底來(lái)表示其他向量.3.會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題.明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基底的含義.明1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)

向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的

向量a，

實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝

.(2)基底：把

的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)

向量的一組基底.不共線填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)任意有且只有一對(duì)λ1e1＋λ2e2不共線所有1.平面向量基本定理不共線填要點(diǎn)·記疑點(diǎn)任意有且只有一對(duì)λ11752.兩向量的夾角與垂直(1)夾角：已知兩個(gè)

向量a和b，如圖，作則

＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角.①范圍：向量a與b的夾角的范圍是

.②當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b

.③當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b

.(2)垂直：如果a與b的夾角是

，則稱a與b垂直，記作

.非零∠AOB[0°，180°]同向反向90°a⊥b2.兩向量的夾角與垂直非零∠AOB[0°，180°]同向反向176探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)在物理學(xué)中我們知道，力是一個(gè)向量，力的合成就是向量的加法運(yùn)算.而且力是可以分解的，任何一個(gè)大小不為零的力，都可以分解成兩個(gè)不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來(lái)，會(huì)產(chǎn)生什么樣的結(jié)論呢？探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)在物理學(xué)中我們知道，力是一個(gè)向量，力的177探究點(diǎn)一平面向量基本定理的提出探究點(diǎn)一平面向量基本定理的提出178答通過(guò)觀察，可得：答通過(guò)觀察，可得：179思考2

根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向量a都可以由這個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量e1，e2表示出來(lái)，從而可形成一個(gè)定理.你能完整地描述這個(gè)定理的內(nèi)容嗎？答若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a

，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.思考2根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向量a都可以由這個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)180思考3

上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.那么同一平面內(nèi)可以作基底的向量有多少組？不同基底對(duì)應(yīng)向量a的表示式是否相同？平面向量的基底唯一嗎？答同一平面內(nèi)可以作基底的向量有無(wú)數(shù)組，不同基底對(duì)應(yīng)向量a的表示式不相同.平面向量的基底不唯一.只要兩個(gè)向量不共線，都可以作為平面的一組基底.思考3上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量e1，e2叫181探究點(diǎn)二平面向量基本定理的證明思考1

證明定理中λ1，λ2的存在性.如圖，e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，a是這一平面內(nèi)任一向量，a能否表示成λ1e1＋λ2e2的形式，請(qǐng)通過(guò)作圖探究a與e1、e2之間的關(guān)系.探究點(diǎn)二平面向量基本定理的證明思考1證明定理中λ1，λ2182過(guò)點(diǎn)C分別作平行于OB，OA的直線，交直線OA于點(diǎn)M，交直線OB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C分別作平行于OB，OA的直線，交直線OA于點(diǎn)M，交直線183思考2

證明定理中λ1，λ2的唯一性.如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，a是和e1、e2共面的任一向量，且存在實(shí)數(shù)λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2，證明λ1，λ2是唯一確定的.(提示：利用反證法)答假設(shè)存在另一組實(shí)數(shù)λ′1，λ′2也能使a＝λ′1e1＋λ′2e2成立，則λ′1e1＋λ′2e2＝λ1e1＋λ2e2.∴(λ′1－λ1)e1＋(λ′2－λ2)e2＝0.∵e1、e2不共線，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0，∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.∴使a＝λ1e1＋λ2e2成立的實(shí)數(shù)對(duì)λ1，λ2是唯一的.思考2證明定理中λ1，λ2的唯一性.184探究點(diǎn)三向量的夾角思考1

已知a、b是兩個(gè)非零向量，過(guò)點(diǎn)O如何作出它們的夾角θ？?jī)蓚€(gè)非零向量夾角的范圍是怎樣規(guī)定的？確定兩個(gè)向量夾角時(shí)，要注意什么事項(xiàng)？探究點(diǎn)三向量的夾角思考1已知a、b是兩個(gè)非零向量，過(guò)點(diǎn)O185∠AOB＝θ，就是a與b的夾角.兩個(gè)非零向量夾角的范圍是0°≤θ≤180°，確定兩個(gè)向量夾角時(shí)要注意先使向量的始點(diǎn)相同，再確定大小.∠AOB＝θ，就是a與b的夾角.186思考2

在等邊三角形ABC中，試寫(xiě)出下面向量的夾角？思考2在等邊三角形ABC中，試寫(xiě)出下面向量的夾角？187高一數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)課件：第六章：平面向量188例