高一數(shù)學人教A版必修第二冊課件：第六章：平面向量

§6.1平面向量的實際背景及基本概念§6.1平面向量的實際背景明目標

知重點填要點記疑點探要點究所然內容索引010203當堂測查疑缺04明目標填要點探要點內容010203當堂測041.能結合物理中的力、位移、速度等具體背景認識向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別.2.會用有向線段作向量的幾何表示，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別，會用字母表示向量.3.理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關的概念.明目標、知重點1.能結合物理中的力、位移、速度等具體背景認識向量，掌握向量1.向量既有

，又有

的量叫做向量.2.向量的幾何表示以A為起點、B為終點的有向線段記作

.3.向量的有關概念(1)零向量：長度為

的向量叫做零向量，記作

.(2)單位向量：長度等于

個單位的向量，叫做單位向量.大小填要點·記疑點方向

0011.向量大小填要點·記疑點方向0014(3)相等向量：

的向量叫做相等向量.(4)平行向量(共線向量)：方向

的

向量叫做平行向量，也叫共線向量.①記法：向量a平行于向量b，記作

.②規(guī)定：零向量與

平行.長度相等且方向相同相同或相反非零a∥b任一向量(3)相等向量： 的向量叫做相等向量.長度相等5探要點·究所然情境導學回顧學習數(shù)的概念，我們可以從一支筆、一棵樹、一本書……中抽象出只有大小的數(shù)量“1”，類似地，我們可以對力、位移……這些既有大小，又有方向的量進行抽象，形成一種新的量，即向量.探要點·究所然情境導學回顧學習數(shù)的概念，我們可以從一支筆、一6探究點一向量的概念和幾何表示我們知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量.數(shù)學中，我們把這種既有大小，又有方向的量叫做向量.而把那些只有大小，沒有方向的量稱為數(shù)量.例如，已知下列各量：①力；②功；③速度；④質量；⑤溫度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度.其中是數(shù)量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧.探究點一向量的概念和幾何表示我們知道，力和位移都是既有大小7思考1

向量與數(shù)量有什么聯(lián)系和區(qū)別？

向量有哪幾種表示？答聯(lián)系是向量與數(shù)量都是有大小的量；區(qū)別是向量有方向且不能比較大小，數(shù)量無方向且能比較大小.向量可以用有向線段表示，也可以用字母符號表示.用表示向量的有向線段的長度表示向量

的大小，也就是向量

的長度(或稱模).記作||有向線段

箭頭表示向量的方向.思考1向量與數(shù)量有什么聯(lián)系和區(qū)別？向量有哪幾種表示？8思考2

向量的?？梢詾?嗎？可以為1嗎？可以為負數(shù)嗎？答

向量的?？梢詾?，也可以為1，不可以為負數(shù).思考3

向量與有向線段有什么區(qū)別？答向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關.只要大小和方向相同，這兩個向量就是相同的向量；有向線段是表示向量的工具，它有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.思考2向量的模可以為0嗎？可以為1嗎？可以為負數(shù)嗎？9探究點二幾個向量概念的理解思考1

長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？答長度為零的向量叫做零向量，記作0，它的方向是任意的.長度(或模)為1的向量叫做單位向量.思考2

滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？答長度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a與b相等，記作a＝b.單位向量不一定是相等向量.探究點二幾個向量概念的理解思考1長度為零的向量叫什么向量10小結研究向量問題時要注意，從大小和方向兩個方面考慮，不可忽略其中任何一個要素.對于初學者來講，由于向量是一個相對新的概念，常常因忽略向量的方向性而致錯.思考3

在同一平面內，把所有長度為1的向量的始點固定在同一點，這些向量的終點形成的軌跡是什么？答單位圓.小結研究向量問題時要注意，從大小和方向兩個方面考慮，不可忽11探究點三平行向量與共線向量思考1

如果兩個非零向量所在的直線互相平行，那么這兩個向量的方向有什么關系？答方向相同或相反.小結方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b平行，通常記作a∥b.規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對于任意向量a，都有0∥a.探究點三平行向量與共線向量思考1如果兩個非零向量所在的直12由于任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫做共線向量.也就是說，平行向量與共線向量是等價的，因此要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆.由于任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫13思考2

如果非零向量

是共線向量，那么點A、B、C、D是否一定共線？答

點A、B、C、D不一定共線.思考2如果非零向量是共線向量14思考3

若向量a與b平行(或共線)，則向量a與b相等嗎？反之，若向量a與b相等，則向量a與b平行(或共線)嗎？向量平行具備傳遞性嗎？答向量a與b平行(或共線)，則向量a與b不一定相等；向量a與b相等，則向量a與b平行(或共線).向量的平行不具備傳遞性，即若a∥b，b∥c，則未必有a∥c，這是因為，當b＝0時，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c?a∥c.思考3若向量a與b平行(或共線)，則向量a與b相等嗎？反之15小結在今后學習時要特別注意零向量的特殊性，解答問題時，一定要看清題目中是“零向量”還是“非零向量”.小結在今后學習時要特別注意零向量的特殊性，解答問題時，一定16例1

判斷下列命題是否正確，并說明理由.①若a≠b，則a一定不與b共線；②若

則A、B、C、D四點是平行四邊形的四個頂點；③在平行四邊形ABCD中，一定有④若向量a與任一向量b平行，則a＝0；⑤若a＝b，b＝c，則a＝c；⑥若a∥b，b∥c，則a∥c.例1判斷下列命題是否正確，并說明理由.17解兩個向量不相等，可能是長度不同，方向可以相同或相反，所以a與b有共線的可能，故①不正確.②

A、B、C、D四點可能在同一條直線上，故②不正確.③在平行四邊形ABCD中，

與平行且方向相同，故

③正確.解兩個向量不相等，可能是長度不同，方向可以相同或相反，所以18④零向量的方向是任意的，與任一向量平行，④正確.⑤a＝b，則|a|＝|b|且a與b方向相同；b＝c，則|b|＝|c|且b與c方向相同，則a與c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正確.若b＝0，由于a的方向與c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0時，a∥c成立，故⑥不正確.反思與感悟對于命題的判斷正誤題，應熟記有關概念，看清、理解各命題，逐一進行判斷，有時對錯誤命題的判斷只需舉一反例即可.④零向量的方向是任意的，與任一向量平行，④正確.反思與感悟19跟蹤訓練1

判斷下列命題是否正確，并說明理由.①若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；解不正確.因為向量是不同于數(shù)量的一種量.它由兩個因素來確定，即大小與方向，所以兩個向量不能比較大小，故①不正確.②若向量|a|＝|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；解不正確.由|a|＝|b|只能判斷兩向量長度相等，并不能判斷方向.跟蹤訓練1判斷下列命題是否正確，并說明理由.解不正確.因20③對于任意|a|＝|b|，且a與b的方向相同，則a＝b；解正確.因為|a|＝|b|，且a與b同向.由兩向量相等的條件可得a＝b.④向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反.解不正確.因為向量a與向量b若有一個是零向量，則其方向不確定.③對于任意|a|＝|b|，且a與b的方向相同，則a＝b；21例2

一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100km到達B點，然后又改變方向向西偏北50°走了200km到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100km到達D點.(1)作出向量解(1)向量

如圖所示.例2一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100km到達B點，然后22∴在四邊形ABCD中，AB綊CD.∴四邊形ABCD為平行四邊形.∴在四邊形ABCD中，AB綊CD.∴四邊形ABCD為平行四邊23反思與感悟準確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點.反思與感悟準確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量24跟蹤訓練2

在如圖的方格紙上，已知向量a，每個小正方形的邊長為1.(1)試以B為終點畫一個向量b，使b＝a；

解根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量a平行，且長度相等(作圖略).

跟蹤訓練2在如圖的方格紙上，已知向量a，每個(1)試以B為25例3

如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E、F、D分別是AC、AB、BC的中點.(1)寫出與

共線的向量；解因為E、F分別是AC、AB的中點，例3如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E、F、D分別是AC26反思與感悟(1)非零向量共線是指向量的方向相同或相反；(2)共線的向量不一定相等，但相等的向量一定共線.反思與感悟(1)非零向量共線是指向量的方向相同或相反；27跟蹤訓練3

如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中所示向量與

相等的向量.跟蹤訓練3如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出28當堂測·查疑缺12341.下列說法正確的是(

)A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小C.向量的大小與方向有關D.向量的?？梢员容^大小當堂測·查疑缺12341.下列說法正確的是()291234解析

A中不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，所以A不正確；由A的過程分析可知方向相同的向量也不能比較大小，所以B不正確；C中向量的大小即向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關，所以C不正確；D中向量的模是一個數(shù)量，可以比較大小，所以D正確.答案D1234解析A中不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，所3012342.如圖，在四邊形ABCD中，若

則圖中相等的向量是(

)D12342.如圖，在四邊形ABCD中，若3112343.如圖，在△ABC中，若DE∥BC，則圖中所示向量中是共線向量的有________________________.解析觀察圖形，并結合共線向量的定義可得解.12343.如圖，在△ABC中，若DE∥BC，則圖中所示向量321234∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四邊形ABCD是梯形.梯形1234∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四邊形ABCD是梯形.33呈重點、現(xiàn)規(guī)律1.向量是既有大小又有方向的量，從其定義看出向量既有代數(shù)特征又有幾何特征，因此借助于向量，我們可以將某些代數(shù)問題轉化為幾何問題，又將幾何問題轉化為代數(shù)問題，故向量能起數(shù)形結合的橋梁作用.2.共線向量與平行向量是一組等價的概念.平行向量是指向量所在直線平行或重合即可，是一種廣意平行.呈重點、現(xiàn)規(guī)律1.向量是既有大小又有方向的量，從其定義看出向343.注意兩個特殊向量——零向量和單位向量，零向量與任何向量都平行，單位向量有無窮多個，起點相同的所有單位向量的終點在平面內形成一個單位圓.3.注意兩個特殊向量——零向量和單位向量，零向量與任何向量都35§6.2平面向量的線性運算6.2.1向量加法運算及其幾何意義§6.2平面向量的線性運算明目標

知重點填要點記疑點探要點究所然內容索引010203當堂測查疑缺04明目標填要點探要點內容010203當堂測041.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意義及其幾何意義.2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運算.3.了解向量加法的交換律和結合律，并能依據(jù)幾何意義作圖解釋向量加法運算律的合理性.明目標、知重點1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意義及其幾何如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作

則向量

叫做a與b的和(或和向量)，記作

，即a＋b＝

＝

.上述求兩個向量和的作圖法則，叫做向量加法的三角形法則.對于零向量與任一向量a的和有a＋0＝

＋

＝

.1.向量的加法法則(1)三角形法則a＋b填要點·記疑點0aa如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內任取1.向量的加法法則39(2)平行四邊形法則如圖所示，已知兩個不共線向量a，b，作

則O、A、B三點不共線，以

，

為鄰邊作

，則以O為起點的對角線上的向量

＝a＋b，這個法則叫做兩個向量加法的平行四邊形法則.2.向量加法的運算律(1)交換律：a＋b＝

.(2)結合律：(a＋b)＋c＝

.OAOB平行四邊形b＋aa＋(b＋c)(2)平行四邊形法則OAOB平行四邊形b＋aa＋(b＋c)40探要點·究所然情境導學兩個實數(shù)可以相加，從而給數(shù)賦予了新的內涵.如果向量僅停留在概念的層面上，那是沒有多大意義的.我們希望兩個向量也能相加，拓展向量的數(shù)學意義，提升向量的理論價值，這就需要建立相關的原理和法則.探要點·究所然情境導學兩個實數(shù)可以相加，從而給數(shù)賦予了新的內41探究點一向量加法的三角形法則導引兩個向量可以相加，并且兩個向量的和還是一個向量.一般地，求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.如圖所示，是上海到臺北的航線示意圖：一是經(jīng)香港轉停到臺北；二是由上海直接飛往臺北.探究點一向量加法的三角形法則導引兩個向量可以相加，并且兩42通過上面地圖中客機的位移，我們得到向量加法的三角形法則：通過上面地圖中客機的位移，我們得到向量加法的三角形法則：43思考1

使用向量加法的三角形法則具體做法是什么？答先把兩個向量首尾順次相接，然后連接第一個向量的始點和后一個向量的終點，并指向后一個向量的終點，就得到兩個向量的和向量.思考1使用向量加法的三角形法則具體做法是什么？44思考2

當向量a，b是共線向量時，a＋b又如何作出？答(1)當a與b同向時：思考2當向量a，b是共線向量時，a＋b又如何作出？45(2)當a與b反向時：(2)當a與b反向時：46思考3

|a＋b|與|a|和|b|之間的大小關系如何？答當a與b同向共線時，a＋b與a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.當a與b反向共線時，若|a|>|b|，則a＋b與a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，則a＋b與b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.思考3|a＋b|與|a|和|b|之間的大小關系如何？47探究點二向量加法的平行四邊形法則思考1

向量加法還可以用平行四邊形法則，其具體做法是什么？答先把兩個已知向量的起點平移到同一點，再以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形，則這兩鄰邊所夾的對角線就是這兩個已知向量的和.探究點二向量加法的平行四邊形法則思考1向量加法還可以用平48對于零向量與任一向量a，我們規(guī)定：a＋0＝0＋a＝a.對于零向量與任一向量a，我們規(guī)定：a＋0＝0＋a＝a.49思考2

實數(shù)的加法運算滿足交換律、結合律，即對任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).那么向量的加法也滿足交換律、結合律嗎？如何檢驗？答

向量的加法滿足交換律，

根據(jù)下圖中的平行四邊形ABCD驗證向量加法的交換律：a＋b＝b＋a.思考2實數(shù)的加法運算滿足交換律、結合律，即對任意a，b∈R50∴a＋b＝b＋a.向量的加法也滿足結合律，根據(jù)下圖中的四邊形，驗證向量加法的結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).∴a＋b＝b＋a.51∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).52思考3

向量加法的平行四邊形法則和三角形法則有何區(qū)別與聯(lián)系？答向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別：①三角形法則中強調“首尾相連”，平行四邊形法則中強調的是“共起點”；②三角形法則適用于所有的兩個非零向量求和，而平行四邊形僅適用于不共線的兩個向量求和.聯(lián)系：當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的.思考3向量加法的平行四邊形法則和三角形法則有何區(qū)別與聯(lián)系？53例1

如圖，已知向量a、b，求作向量a＋b.例1如圖，已知向量a、b，求作向量a＋b.54反思與感悟已知向量a與向量b，要作出和向量a＋b，關鍵是準確規(guī)范地依據(jù)平行四邊形法則作圖.反思與感悟已知向量a與向量b，要作出和向量a＋b，關鍵是準55跟蹤訓練1

如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點.0跟蹤訓練1如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交56探究點三向量加法的多邊形法則向量加法的三角形法則可以推廣為多個向量求和的多邊形法則，即把每個向量平移，使這些向量首尾相連，則由第一個向量的起點指向最后一個向量終點的向量就是這些向量的和向量.探究點三向量加法的多邊形法則向量加法的三角形法則可以推廣為57這是一個極其簡單卻非常有用的結論(如圖).這是一個極其簡單卻非常有用的結論(如圖).58利用向量加法的多邊形法則化簡多個向量的和有時非常有效.例如，在正六邊形ABCDEF中，0利用向量加法的多邊形法則化簡多個向量的和有時059例2

化簡：例2化簡：60反思與感悟解決該類題目要靈活應用向量加法運算律，注意各向量的起、終點及向量起、終點字母排列順序.反思與感悟解決該類題目要靈活應用向量加法運算律，注意各向量61高一數(shù)學人教A版必修第二冊課件：第六章：平面向量62當堂測·查疑缺12341.如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則下列等式中錯誤的是(

)當堂測·查疑缺12341.如圖，D、E、F分別是△ABC的631234故選D.答案D1234故選D.答案D6412342.設E是平行四邊形ABCD外一點，如圖所示，化簡下列各式：012342.設E是平行四邊形ABCD外一點，如圖所示，化簡下6512343.設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內任意一點，則

等于(

)D12343.設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四661234123467呈重點、現(xiàn)規(guī)律1.三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個法則是統(tǒng)一的.當兩個向量首尾相連時常選用三角形法則，當兩個向量共始點時，常選用平行四邊形法則.2.向量的加法滿足交換律，因此在進行多個向量的加法運算時，可以按照任意的次序和任意的組合去進行.呈重點、現(xiàn)規(guī)律1.三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基68§6.2平面向量的線性運算6.2.2向量減法運算及其幾何意義§6.2平面向量的線性運算明目標

知重點填要點記疑點探要點究所然內容索引010203當堂測查疑缺04明目標填要點探要點內容010203當堂測041.理解相反向量的含義，向量減法的意義及減法法則.2.掌握向量減法的幾何意義.3.能熟練地進行向量的加、減運算.明目標、知重點1.理解相反向量的含義，向量減法的意義及減法法則.明目標、知1.我們把與向量a長度相等且方向相反的向量稱作是向量a的相反向量，記作

，并且有a＋(－a)＝

.2.向量減法的定義：若b＋x＝a，則向量x叫做a與b的

，記為

，求兩個向量差的運算，叫做

.－a填要點·記疑點0差a－b向量的減法1.我們把與向量a長度相等且方向相反的向量稱作是向量a的相反72平行四邊形ABCDba平行四邊形ABCDba73探要點·究所然情境導學上節(jié)課，我們定義了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運算自然聯(lián)想到向量的減法運算：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).向量的減法是否也有類似的法則呢？本節(jié)課將解決這一問題.探要點·究所然情境導學上節(jié)課，我們定義了向量的加法概念，并給74探究點一向量的減法思考1

a的相反向量是什么？－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？答與向量a長度相等且方向相反的向量稱作是向量a的相反向量，記作－a，并且有a＋(－a)＝0，－a的相反向量是a即－(－a)＝a.規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.探究點一向量的減法思考1a的相反向量是什么？－a的相反向75思考2

我們知道，在數(shù)的運算中，減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，向量的減法是否也有類似的法則？如何理解向量的減法呢？答向量的減法也有類似法則，定義a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.思考3

向量a加上向量b的相反向量，叫做a與b的差向量，求兩個向量的差的運算叫做向量的減法，對于向量a，b,c，若a＋c＝b，則c等于什么？

答a＋c＝b?c＝b－a.思考2我們知道，在數(shù)的運算中，減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相76(4)a＋(－a)＝0；(5)若a與b互為相反向量，則有：a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.(4)a＋(－a)＝0；(5)若a與b互為相反向量，則有：a77探究點二向量減法的法則思考1

由于a－b＝a＋(－b).因此要作出a與b的差向量a－b，可以轉化為作a與－b的和向量.已知向量a，b如圖所示，你能利用平行四邊形法則作出差向量a－b嗎？答利用平行四邊形法則.探究點二向量減法的法則思考1由于a－b＝a＋(－b).因78思考2

向量減法的三角形法則是什么？答當把兩個向量a，b的始點移到同一點時，它們的差向量a－b可以通過下面的作法得到：①連接兩個向量(a與b)的終點；②差向量a－b的方向是指向被減向量的終點.這種求差向量a－b的方法叫向量減法的三角形法則.概括為“移為共始點，連接兩終點，方向指被減”.思考2向量減法的三角形法則是什么？79思考3

請你利用向量減法的三角形法則作出上述向量a與b的差向量a－b？若a＋b＝c＋d，則a－c＝d－b成立嗎？答利用三角形法則.等式成立.移項法則對向量等式適用.思考3請你利用向量減法的三角形法則作出上述向量a與b的差向80例1

如圖所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.例1如圖所示，已知向量a、b、c、d，求作81反思與感悟根據(jù)向量減法的三角形法則，需要選點平移作出兩個同起點的向量.反思與感悟根據(jù)向量減法的三角形法則，需要選點平移作出兩個同82解延長AC到Q.使CQ＝AC，則m－p＋n－q－r解延長AC到Q.使CQ＝AC，則m－p＋n－q－r83例2

化簡下列式子：例2化簡下列式子：84反思與感悟向量減法的三角形法則的內容是：兩向量相減，表示兩向量起點的字母必須相同，這樣兩向量的差向量以減向量的終點字母為起點，以被減向量的終點字母為終點.反思與感悟向量減法的三角形法則的內容是：兩向量相減，表示兩85高一數(shù)學人教A版必修第二冊課件：第六章：平面向量86探究點三|a－b|與|a|、|b|之間的關系思考1

若a與b共線，怎樣作出a－b?答①當a與b同向且|a|≥|b|時，在給定的直線l上作出差向量a－b：探究點三|a－b|與|a|、|b|之間的關系思考1若a與87②當a與b同向且|a|≤|b|時，在給定的直線l上作出差向量a－b：②當a與b同向且|a|≤|b|時，在給定的直線l上作出差向量88③若a與b反向，在給定的直線l上作出差向量a－b：③若a與b反向，在給定的直線l上作出差向量a－b：89思考2

通過作圖，探究|a－b|與|a|、|b|之間的大小關系？答當a與b不共線時，有：||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；當a與b同向且|a|≥|b|時，有：|a－b|＝|a|－|b|；當a與b同向且|a|≤|b|時，有：|a－b|＝|b|－|a|.思考2通過作圖，探究|a－b|與|a|、|b|之間的大小關90同樣，由向量的減法，知同樣，由向量的減法，知91反思與感悟(1)用已知向量表示其他向量時，關鍵是利用向量加法的三角形法則及向量減法的幾何意義.(2)用幾個基本向量表示其他向量的一般步驟為：①觀察待表示的向量位置；②尋找相應的平行四邊形或三角形；③運用法則找關系，化簡得結果.反思與感悟(1)用已知向量表示其他向量時，關鍵是利用向量加92跟蹤訓練3

如圖所示，O是平行四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點，設

試用a，b，c表示向量跟蹤訓練3如圖所示，O是平行四邊形ABCD的對93高一數(shù)學人教A版必修第二冊課件：第六章：平面向量94當堂測·查疑缺1234A當堂測·查疑缺1234A9512342.在平行四邊形ABCD中，下列結論錯誤的是(

)C12342.在平行四邊形ABCD中，下列結論錯誤的是()9612340123409712341312341398呈重點、現(xiàn)規(guī)律1.向量減法的實質是向量加法的逆運算.利用相反向量的定義，

就可以把減法轉化為加法.即：減去一個向量等于加上這個向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b).2.在用三角形法則作向量減法時，要注意“差向量連接兩向量的終點，箭頭指向被減向量”.解題時要結合圖形，準確判斷，防止混淆.呈重點、現(xiàn)規(guī)律1.向量減法的實質是向量加法的逆運算.利用相反99高一數(shù)學人教A版必修第二冊課件：第六章：平面向量100§6.2平面向量的線性運算6.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義§6.2平面向量的線性運算明目標

知重點填要點記疑點探要點究所然內容索引010203當堂測查疑缺04明目標填要點探要點內容010203當堂測041.了解向量數(shù)乘的概念，并理解這種運算的幾何意義.2.理解并掌握向量數(shù)乘的運算律，會運用向量數(shù)乘運算律進行向量運算.3.理解并掌握兩向量共線的性質及其判定方法，并能熟練地運用這些知識處理有關共線向量問題.明目標、知重點1.了解向量數(shù)乘的概念，并理解這種運算的幾何意義.明目標、知1.向量數(shù)乘運算：實數(shù)λ與向量a的積是一個

，這種運算叫做向量的

，記作

，其長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝

.向量填要點·記疑點(2)λa(a≠0)的方向特別地，當λ＝0或a＝0時，0a＝

或λ0＝

.數(shù)乘λa|λ||a|λ>0λ<0001.向量數(shù)乘運算：實數(shù)λ與向量a的積是一個，這1042.向量數(shù)乘的運算律(1)λ(μa)＝

.(2)(λ＋μ)a＝

.(3)λ(a＋b)＝

.特別地，有(－λ)a＝

＝

；λ(a－b)＝

.(λμ)aλa＋μaλa＋λb－(λa)λ(－a)λa－λb2.向量數(shù)乘的運算律(λμ)aλa＋μaλa＋λb－(λa)1053.共線向量定理：向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使

.4.向量的線性運算：向量的

、

、

運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a、b，以及任意實數(shù)λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝

.b＝λa加減數(shù)乘λμ1a±λμ2b3.共線向量定理：向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一106探要點·究所然情境導學引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而時間、質量等都是數(shù)量，這些向量與數(shù)量的關系常常在物理公式中體現(xiàn).如力與加速度的關系F＝ma，位移與速度的關系s＝vt.這些公式都是實數(shù)與向量間的關系.探要點·究所然情境導學引入：位移、力、速度、加速度等都是向量107師：我們已經(jīng)學習了向量的加法，請同學們作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)向量，并請同學們指出相加后，和的長度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關？生：

a＋a＋a的長度是a的長度的3倍，其方向與a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)的長度是a長度的3倍，其方向與a的方向相反.師：很好！本節(jié)課我們就來討論實數(shù)與向量的乘積問題.師：我們已經(jīng)學習了向量的加法，請同學們作出a＋a＋a和(－a108探究點一向量數(shù)乘運算的物理背景思考1

一物體作勻速直線運動，一秒鐘的位移對應向量v，那么在同方向上3秒鐘的位移對應的向量用3v表示，試在直線l上畫出3v向量，看看向量3v與v的關系如何？答∴3v與v的方向相同，|3v|＝3|v|.探究點一向量數(shù)乘運算的物理背景思考1一物體作勻速直線運動109思考2

已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能說明它們與向量a之間的關系嗎？答＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.思考2已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋110思考3

一般地，我們規(guī)定：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘.記作λa，該向量的長度與方向與向量a有什么關系？答λa仍然是一個向量.(1)|λa|＝|λ||a|；(2)λ>0時，λa與a方向相同；λ<0時，λa與a方向相反；λ＝0時，λa

＝0.方向任意.思考3一般地，我們規(guī)定：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種111探究點二向量數(shù)乘的運算律思考1

根據(jù)實數(shù)與向量積的定義，可以得哪些數(shù)乘運算律？答設λ，μ∈R，則有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.探究點二向量數(shù)乘的運算律思考1根據(jù)實數(shù)與向量積的定義，可112思考2

向量等式的證明依據(jù)是相等向量的定義，既要證明等式兩邊的模相等，又要證明方向相同.你能根據(jù)這兩條證明其中的第①條運算律嗎？答①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R).如果λ＝0或μ＝0或a＝0，則①式顯然成立；如果λ≠0，μ≠0，a≠0，則由向量數(shù)乘的定義有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.思考2向量等式的證明依據(jù)是相等向量的定義，既要證明等式兩邊113如果λ、μ同號，則①式兩邊向量的方向都與a同向；如果λ、μ異號，則①式兩邊向量的方向都與a反向.因此，向量λ(μa)與(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以λ(μa)＝(λμ)a.如果λ、μ同號，則①式兩邊向量的方向都與a同向；如果λ、μ異114例1

計算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).解(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.例1計算：115反思與感悟向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，主要是“合并同類項”、“提取公因式”，但這里的“同類項”、“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù).反思與感悟向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，主要是“合116跟蹤訓練1

計算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；解原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.跟蹤訓練1計算：解原式＝18a－12b－18a＋9b＝－117(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).解原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)118思考1

請觀察a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答a、b有何關系？答因為b＝－2a，所以a、b是平行向量.思考2

若a、b是平行向量(a≠0)能否得出b＝λa？為什么？

答可以.因為a、b平行，它們的方向相同或相反.探究點三共線向量定理及應用思考1請觀察a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答a、b有何關119

120例2

已知e1，e2是不共線的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，則a與b是否共線？解若a與b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，所以λ不存在，所以a與b不共線.例2已知e1，e2是不共線的向量，a＝3e1＋4e2，b＝121反思與感悟(1)本題充分利用了向量共線定理，即b與a(a≠0)共線?b＝λa，因此用它既可以證明點共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.(2)向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進而互相表示，從而判斷共線.反思與感悟(1)本題充分利用了向量共線定理，即b與a(a≠122跟蹤訓練2

已知非零向量e1，e2不共線.跟蹤訓練2已知非零向量e1，e2不共線.123(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數(shù)k的值.解∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1與e2不共線，(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數(shù)k的值.124探究點四三點共線的判定探究點四三點共線的判定125令1－λ＝α，λ＝β，則令1－λ＝α，λ＝β，則126高一數(shù)學人教A版必修第二冊課件：第六章：平面向量127觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量a、b怎樣變化，點B始終在直線AC上，猜想A、B、C三點共線.觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量a、b怎樣變化，點B始終在直線AC上，猜想128高一數(shù)學人教A版必修第二冊課件：第六章：平面向量129反思與感悟本題給出了證明三點共線的方法，利用向量共線定理，關鍵是找到唯一實數(shù)λ，使a＝λb，先證向量共線，再證三點共線.反思與感悟本題給出了證明三點共線的方法，利用向量共線定理，130＝10e1＋15e2.＝10e1＋15e2.131當堂測·查疑缺12341.化簡：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；解原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.當堂測·查疑缺12341.化簡：解原式＝16a－8b＋813212341234133123412341341234123413512344.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共線，向量c＝2e1－9e2.問是否存在這樣的實數(shù)λ、μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？解∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線，則應有實數(shù)k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，12344.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，1361234故存在這樣的實數(shù)λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線.1234故存在這樣的實數(shù)λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c137呈重點、現(xiàn)規(guī)律

呈重點、現(xiàn)規(guī)律

138§6.2平面向量的線性運算6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示6.3.3平面向量的坐標運算§6.2平面向量的線性運算明目標

知重點填要點記疑點探要點究所然內容索引010203當堂測查疑缺04明目標填要點探要點內容010203當堂測041.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標表示.2.掌握兩個向量和、差及數(shù)乘向量的坐標運算法則.3.正確理解向量坐標的概念，要把點的坐標與向量的坐標區(qū)分開來.明目標、知重點1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標表示.明目標、知重1.平面向量的坐標表示(1)向量的正交分解：把一個向量分解為兩個

的向量，叫做把向量正交分解.(2)向量的坐標表示：在平面直角坐標系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個

i，j作為基底，對于平面內的一個向量a，有且只有一對實數(shù)x，y使得a＝

，則

叫做向量a的坐標，

叫做向量a的坐標表示.互相垂直填要點·記疑點單位向量xi＋yj有序數(shù)對(x，y)a＝(x，y)1.平面向量的坐標表示互相垂直填要點·記疑點單位向量xi＋y1422.平面向量的坐標運算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝

，即兩個向量和的坐標等于這兩個向量相應坐標的和.(x，y)(x2－x1，y2－y1)(x1＋x2，y1＋y2)2.平面向量的坐標運算(x，y)(x2－x1，y2－y1)(143(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝

，即兩個向量差的坐標等于這兩個向量相應坐標的差.(3)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝

，即實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝144探要點·究所然情境導學我們知道，在平面直角坐標系中，每一個點都可用一對有序實數(shù)(即它的坐標)表示.對于直角坐標平面內的每一個向量，如何表示呢？能不能像點一樣也用坐標來表示？探要點·究所然情境導學我們知道，在平面直角坐標系中，每一個點145探究點一平面向量的坐標表示思考1

如果向量a與b的夾角是90°，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b.互相垂直的兩個向量能否作為平面內所有向量的一組基底？答互相垂直的兩個向量能作為平面內所有向量的一組基底.探究點一平面向量的坐標表示思考1如果向量a與b的夾角是9146思考2

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如圖，向量i、j是兩個互相垂直的單位向量，向量a與i的夾角是30°，且|a|＝4，以向量i、j為基底，向量a如何表示？思考2把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，147小結在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.對于平面內的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj.我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標.顯然有，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).小結在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單148思考3

在平面直角坐標系中，作向量

＝a，若

＝(x，y)，此時點A的坐標是什么？根據(jù)右圖寫出向量a，b，c，d的坐標，其中每個小正方形的邊長是1.答A(x，y)；a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3).思考3在平面直角坐標系中，作向量＝a，若 ＝(149探究點二平面向量的坐標運算思考1

設i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根據(jù)向量的線性運算性質，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分別用基底i、j表示？答a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j.探究點二平面向量的坐標運算思考1設i、j是與x軸、y軸同150思考2

根據(jù)向量的坐標表示，向量a＋b，a－b，λa的坐標分別如何？用數(shù)學語言描述上述向量的坐標運算.答a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2);a－b＝(x1－x2，y1－y2);λa＝(λx1，λy1).兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差)；實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.思考2根據(jù)向量的坐標表示，向量a＋b，a－b，λa的坐標分151思考3

已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量

的坐標是什么？一般地，一個任意向量的坐標如何計算？點的坐標與向量的坐標有何區(qū)別？答

＝(x2－x1，y2－y1).任意一個向量的坐標等于表示該向量的有向線段的終點坐標減去始點坐標.(1)向量a＝(x，y)中間用等號連接，而點的坐標A(x，y)中間沒有等號.思考3已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量152(2)平面向量的坐標只有當起點在原點時，向量的坐標才與向量終點的坐標相同.(3)在平面直角坐標系中，符號(x，y)可表示一個點，也可表示一個向量，敘述中應指明點(x，y)或向量(x，y).(2)平面向量的坐標只有當起點在原點時，向量的坐標才與向量終153例1

已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b的坐標.解a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5,－3)，3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19).反思與感悟(1)已知兩點求向量的坐標時，一定要注意是終點坐標減去起點坐標；(2)向量的坐標運算最終轉化為實數(shù)的運算.例1已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b154跟蹤訓練1

已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；解2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a－3b；解a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).跟蹤訓練1已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：解2155高一數(shù)學人教A版必修第二冊課件：第六章：平面向量156例2

已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，試用a，b表示c.解設c＝xa＋yb，則(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)＝(－2x＋3y,3x＋y)，解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.例2已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4157反思與感悟待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學方法之一，它的實質是先將未知量設出來，再利用方程或方程組求解，把一個向量用其他兩個向量表示，這是常用方法.反思與感悟待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學方法之一，它的實質是先將158跟蹤訓練2

已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，試用b，c表示a.解設a＝λb＋μc(λ，μ∈R).則(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ).跟蹤訓練2已知a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－159解由A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，得＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).解由A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，得＝(－160∴點M的坐標為(－11，－15).∴點M的坐標為(－11，－15).161反思與感悟向量的坐標運算是幾何與代數(shù)的統(tǒng)一，幾何圖形的法則是代數(shù)運算的直觀含義，坐標運算是圖形關系的精確表示，二者的法則互為補充，要充分利用這一點，有效解決問題.反思與感悟向量的坐標運算是幾何與代數(shù)的統(tǒng)一，幾何圖形的法則162跟蹤訓練3

已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四個頂點的坐標.解不妨設A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，第四個頂點為D(x，y).則A、B、C、D四點構成平行四邊形有以下三種情形.∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，跟蹤訓練3已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為(3,7)，163(2)當平行四邊形為ABDC時，仿(1)可得D(2，－3).(3)當平行四邊形為ADBC時，仿(1)可得D(6,15).綜上所述，第四個頂點的坐標可能為(0，－1)，(2，－3)或(6,15).(2)當平行四邊形為ABDC時，仿(1)可得D(2，－3).1641.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，則b－a等于(

)A.(－2,1) B.(2，－1)C.(2,0) D.(4,3)解析

b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故選B.當堂測·查疑缺1234B1.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，則b－a等于(1651234A1234A166123412341671234答案A1234答案A16812344.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，則m＋n＝________.712344.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(169呈重點、現(xiàn)規(guī)律1.在平面直角坐標系中，平面內的點、以原點為起點的向量、有序實數(shù)對三者之間建立一一對應關系.關系圖如圖所示.呈重點、現(xiàn)規(guī)律1.在平面直角坐標系中，平面內的點、以原點為起1702.向量的坐標和這個向量的終點的坐標不一定相同.當且僅當向量的起點在原點時，向量的坐標才和這個終點的坐標相同.3.向量坐標形式的運算，要牢記公式，細心計算，防止符號錯誤.2.向量的坐標和這個向量的終點的坐標不一定相同.當且僅當向量171§6.3平面向量的基本定理及坐標表示

6.3.1平面向量基本定理§6.3平面向量的基本定理及坐標表示明目標

知重點填要點記疑點探要點究所然內容索引010203當堂測查疑缺04明目標填要點探要點內容010203當堂測041.理解平面向量基本定理的內容，了解向量的一組基底的含義.2.在平面內，當一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量.3.會應用平面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題.明目標、知重點1.理解平面向量基本定理的內容，了解向量的一組基底的含義.明1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個

向量，那么對于這一平面內的

向量a，

實數(shù)λ1，λ2，使a＝

.(2)基底：把

的向量e1，e2叫做表示這一平面內

向量的一組基底.不共線填要點·記疑點任意有且只有一對λ1e1＋λ2e2不共線所有1.平面向量基本定理不共線填要點·記疑點任意有且只有一對λ11752.兩向量的夾角與垂直(1)夾角：已知兩個

向量a和b，如圖，作則

＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角.①范圍：向量a與b的夾角的范圍是

.②當θ＝0°時，a與b

.③當θ＝180°時，a與b

.(2)垂直：如果a與b的夾角是

，則稱a與b垂直，記作

.非零∠AOB[0°，180°]同向反向90°a⊥b2.兩向量的夾角與垂直非零∠AOB[0°，180°]同向反向176探要點·究所然情境導學在物理學中我們知道，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運算.而且力是可以分解的，任何一個大小不為零的力，都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來，會產(chǎn)生什么樣的結論呢？探要點·究所然情境導學在物理學中我們知道，力是一個向量，力的177探究點一平面向量基本定理的提出探究點一平面向量基本定理的提出178答通過觀察，可得：答通過觀察，可得：179思考2

根據(jù)上述分析，平面內任一向量a都可以由這個平面內兩個不共線的向量e1，e2表示出來，從而可形成一個定理.你能完整地描述這個定理的內容嗎？答若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，則對于這一平面內的任意向量a

，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.思考2根據(jù)上述分析，平面內任一向量a都可以由這個平面內兩個180思考3

上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.那么同一平面內可以作基底的向量有多少組？不同基底對應向量a的表示式是否相同？平面向量的基底唯一嗎？答同一平面內可以作基底的向量有無數(shù)組，不同基底對應向量a的表示式不相同.平面向量的基底不唯一.只要兩個向量不共線，都可以作為平面的一組基底.思考3上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量e1，e2叫181探究點二平面向量基本定理的證明思考1

證明定理中λ1，λ2的存在性.如圖，e1，e2是平面內兩個不共線的向量，a是這一平面內任一向量，a能否表示成λ1e1＋λ2e2的形式，請通過作圖探究a與e1、e2之間的關系.探究點二平面向量基本定理的證明思考1證明定理中λ1，λ2182過點C分別作平行于OB，OA的直線，交直線OA于點M，交直線OB于點N，過點C分別作平行于OB，OA的直線，交直線OA于點M，交直線183思考2

證明定理中λ1，λ2的唯一性.如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線的向量，a是和e1、e2共面的任一向量，且存在實數(shù)λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2，證明λ1，λ2是唯一確定的.(提示：利用反證法)答假設存在另一組實數(shù)λ′1，λ′2也能使a＝λ′1e1＋λ′2e2成立，則λ′1e1＋λ′2e2＝λ1e1＋λ2e2.∴(λ′1－λ1)e1＋(λ′2－λ2)e2＝0.∵e1、e2不共線，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0，∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2.∴使a＝λ1e1＋λ2e2成立的實數(shù)對λ1，λ2是唯一的.思考2證明定理中λ1，λ2的唯一性.184探究點三向量的夾角思考1

已知a、b是兩個非零向量，過點O如何作出它們的夾角θ？兩個非零向量夾角的范圍是怎樣規(guī)定的？確定兩個向量夾角時，要注意什么事項？探究點三向量的夾角思考1已知a、b是兩個非零向量，過點O185∠AOB＝θ，就是a與b的夾角.兩個非零向量夾角的范圍是0°≤θ≤180°，確定兩個向量夾角時要注意先使向量的始點相同，再確定大小.∠AOB＝θ，就是a與b的夾角.186思考2

在等邊三角形ABC中，試寫出下面向量的夾角？思考2在等邊三角形ABC中，試寫出下面向量的夾角？187高一數(shù)學人教A版必修第二冊課件：第六章：平面向量188例