方向?qū)?shù)與梯度71830課件

實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比．在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的實質(zhì)：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．問題的提出實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1討論函數(shù)在一點P沿某一方向的變化率問題．一、方向?qū)?shù)（如圖）討論函數(shù)2當沿著趨于時，是否存在？當沿著趨于時，是否存在？3方向?qū)?shù)與梯度71830課件4方向?qū)?shù)與梯度71830課件5解解6解由方向?qū)?shù)的計算公式知解由方向?qū)?shù)的計算公式知7故故8推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義9方向?qū)?shù)與梯度71830課件10方向?qū)?shù)與梯度71830課件11二、梯度二、梯度12方向?qū)?shù)與梯度71830課件13結(jié)論結(jié)論14在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上的法向量在幾何上表示15等高線的畫法播放等高線的畫法播放16等高線的畫法等高線的畫法17等高線的畫法等高線的畫法18等高線的畫法等高線的畫法19等高線的畫法等高線的畫法20等高線的畫法等高線的畫法21等高線的畫法等高線的畫法22等高線的畫法等高線的畫法23等高線的畫法等高線的畫法24等高線的畫法等高線的畫法25例如,例如,26類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取27方向?qū)?shù)與梯度71830課件28解由梯度計算公式得故解由梯度計算公式得故291、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別）（注意梯度是一個向量）四、小結(jié)1、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注30思考題思考題31思考題解答思考題解答32方向?qū)?shù)與梯度71830課件33練習題練習題34方向?qū)?shù)與梯度71830課件35練習題答案練習題答案36實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱．假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比．在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的實質(zhì)：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．問題的提出實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,37討論函數(shù)在一點P沿某一方向的變化率問題．一、方向?qū)?shù)（如圖）討論函數(shù)38當沿著趨于時，是否存在？當沿著趨于時，是否存在？39方向?qū)?shù)與梯度71830課件40方向?qū)?shù)與梯度71830課件41解解42解由方向?qū)?shù)的計算公式知解由方向?qū)?shù)的計算公式知43故故44推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義45方向?qū)?shù)與梯度71830課件46方向?qū)?shù)與梯度71830課件47二、梯度二、梯度48方向?qū)?shù)與梯度71830課件49結(jié)論結(jié)論50在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上的法向量在幾何上表示51等高線的畫法播放等高線的畫法播放52等高線的畫法等高線的畫法53等高線的畫法等高線的畫法54等高線的畫法等高線的畫法55等高線的畫法等高線的畫法56等高線的畫法等高線的畫法57等高線的畫法等高線的畫法58等高線的畫法等高線的畫法59等高線的畫法等高線的畫法60等高線的畫法等高線的畫法61例如,例如,62類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取63方向?qū)?shù)與梯度71830課件64解由梯度計算公式得故解由梯度計算公式得故651、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別）（注意梯度是一個向量）四、小結(jié)1、方向?qū)?shù)