2023年北京市海淀首經(jīng)貿(mào)高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進行指標(biāo)測驗（指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達圖，則下面敘述正確的是（）A．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲B．乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析最差2．從拋物線上一點(點在軸上方)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且，設(shè)拋物線的焦點為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．3．如圖，圓錐底面半徑為，體積為，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離等于（）A． B．1 C． D．4．已知，則（）A． B． C． D．5．已知集合，集合，若，則（）A． B． C． D．6．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題；“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次后腳痛遞減半，六朝才得到其關(guān)，要見每朝行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意思為：“有一個人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達目的地，求該人每天走的路程.”由這個描述請算出這人第四天走的路程為（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里7．若（是虛數(shù)單位），則的值為（）A．3 B．5 C． D．8．已知，，若，則實數(shù)的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或79．如圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（）A． B． C． D．10．已知若在定義域上恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)（，是常數(shù)，其中且）的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于，的表述正確的是（）A．， B．，C．， D．，12．已知點(m,8)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，則（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖像如圖所示，則該函數(shù)的最小正周期為________.14．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)恒有，則實數(shù)的取值范圍是__________．15．已知函數(shù)（）在區(qū)間上的值小于0恒成立，則的取值范圍是________.16．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值是__．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若，且，證明：.18．（12分）已知不等式對于任意的恒成立.（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）若m的最大值為M，且正實數(shù)a，b，c滿足.求證.19．（12分）已知函數(shù)，為實數(shù)，且．（Ⅰ）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間，上的值域（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．20．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：.21．（12分）為增強學(xué)生的法治觀念，營造“學(xué)憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學(xué)校開展了“憲法小衛(wèi)士”活動，并組織全校學(xué)生進行法律知識競賽．現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機抽取50名學(xué)生，統(tǒng)計他們的競賽成績，已知這50名學(xué)生的競賽成績均在[50，100]內(nèi)，并得到如下的頻數(shù)分布表：分?jǐn)?shù)段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數(shù)51515123（1）將競賽成績在內(nèi)定義為“合格”，競賽成績在內(nèi)定義為“不合格”．請將下面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān)？合格不合格合計高一新生12非高一新生6合計（2）在（1）的前提下，按“競賽成績合格與否”進行分層抽樣，從這50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生競賽成績都合格的概率．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．22．（10分）已知數(shù)列和滿足：.（1）求證:數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【答案解析】

根據(jù)題目所給圖像，填寫好表格，由表格數(shù)據(jù)選出正確選項.【題目詳解】根據(jù)雷達圖得到如下數(shù)據(jù)：數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運算數(shù)據(jù)分析甲454545乙343354由數(shù)據(jù)可知選C.【答案點睛】本題考查統(tǒng)計問題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識.2．A【答案解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點坐標(biāo)和焦點坐標(biāo)，進而求出點的坐標(biāo)，代入斜率公式即可求解.【題目詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，由題意知，焦點,準(zhǔn)線方程，所以，解得，把點代入拋物線方程可得，，因為，所以，所以點坐標(biāo)為，代入斜率公式可得，.故選：A【答案點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.3．D【答案解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點到圓錐頂點的距離.【題目詳解】將拋物線放入坐標(biāo)系，如圖所示，∵，，，∴，設(shè)拋物線，代入點，可得∴焦點為，即焦點為中點，設(shè)焦點為，，，∴.故選：D【答案點睛】本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質(zhì)，兩點間的距離等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，空間想象能力，推理論證能力，應(yīng)用意識.4．C【答案解析】

利用誘導(dǎo)公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.【題目詳解】由可得，∴，∴.故選：C.【答案點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意三角函數(shù)的符號.5．A【答案解析】

根據(jù)或，驗證交集后求得的值.【題目詳解】因為，所以或.當(dāng)時，，不符合題意，當(dāng)時，.故選A.【答案點睛】本小題主要考查集合的交集概念及運算，屬于基礎(chǔ)題.6．C【答案解析】

設(shè)第一天走里，則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由題意得，求出（里，由此能求出該人第四天走的路程．【題目詳解】設(shè)第一天走里，則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由題意得：，解得（里，（里．故選：C．【答案點睛】本題考查等比數(shù)列的某一項的求法，考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．7．D【答案解析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運算法則求解即可.【題目詳解】（是虛數(shù)單位）可得解得本題正確選項：【答案點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運算法則的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計算能力.8．C【答案解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，化簡即可求得的值.【題目詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，代入化簡可得.∴解得.故選：C.【答案點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.9．D【答案解析】

先求出球心到四個支點所在球的小圓的距離，再加上側(cè)面三角形的高，即可求解.【題目詳解】設(shè)四個支點所在球的小圓的圓心為，球心為，由題意，球的體積為，即可得球的半徑為1，又由邊長為的正方形硬紙，可得圓的半徑為，利用球的性質(zhì)可得，又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高，其中高為，所以球心到底面的距離為.故選：D.【答案點睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.10．C【答案解析】

先解不等式，可得出，求出函數(shù)的值域，由題意可知，不等式在定義域上恒成立，可得出關(guān)于的不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，先解不等式.①當(dāng)時，由，得，解得，此時；②當(dāng)時，由，得.所以，不等式的解集為.下面來求函數(shù)的值域.當(dāng)時，，則，此時；當(dāng)時，，此時.綜上所述，函數(shù)的值域為，由于在定義域上恒成立，則不等式在定義域上恒成立，所以，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【答案點睛】本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，同時也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.11．D【答案解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項.【題目詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出，故得，故選：D．【答案點睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.12．B【答案解析】

先利用冪函數(shù)的定義求出m的值，得到冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，再利用冪函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可得到a，b，c的大小關(guān)系.【題目詳解】由冪函數(shù)的定義可知，m﹣1＝1，∴m＝2，∴點（2，8）在冪函數(shù)f（x）＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，∵，1＜lnπ＜3，n＝3，∴，∴a＜b＜c，故選：B.【答案點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

根據(jù)圖象利用，先求出的值，結(jié)合求出，然后利用周期公式進行求解即可．【題目詳解】解：由，得，，，則，，，即，則函數(shù)的最小正周期，故答案為：8【答案點睛】本題主要考查三角函數(shù)周期的求解，結(jié)合圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．14．【答案解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可將原題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，湊而可知的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間；利用過一點的曲線切線的求法可求得兩切線斜率，結(jié)合分母不為零的條件可最終確定的取值范圍.【題目詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可知：，恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，即恒成立，，即是夾在函數(shù)與的圖象之間，的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.設(shè)過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點，則切線斜率，解得：；設(shè)過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點，則切線斜率，解得：；當(dāng)時，，又，滿足題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.【答案點睛】本題考查恒成立問題的求解，重點考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過一點的曲線切線的求解方法；關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問題；易錯點是忽略分母不為零的限制，忽略對于臨界值能否取得的討論.15．【答案解析】

首先根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍，由此求得函數(shù)的值域，結(jié)合區(qū)間上的值小于0恒成立列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【題目詳解】由于，所以，由于區(qū)間上的值小于0恒成立，所以（）.所以，由于，所以，由于，所以令得.所以的取值范圍是.故答案為：【答案點睛】本小題主要考查三角函數(shù)值域的求法，考查三角函數(shù)值恒小于零的問題的求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.16．2【答案解析】

由題，得，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義，即可得到本題答案.【題目詳解】由題，得，又復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故答案為：2【答案點睛】本題主要考查純虛數(shù)定義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）極大值為；極小值為；（2）見解析【答案解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo),進而可求出單調(diào)性,從而可求出函數(shù)的極值;（2）構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)并判斷單調(diào)性可得,從而在上恒成立,再結(jié)合,,可得到,即可證明結(jié)論成立.【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域為,,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,則的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.故的極大值為;的極小值為.（2）證明:由（1）知,設(shè)函數(shù),則,,則在上恒成立,即在上單調(diào)遞增,故,又,則,即在上恒成立.因為,所以,又,則,因為,且在上單調(diào)遞減,所以,故.【答案點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,屬于難題.18．（1）（2）證明見解析【答案解析】

（1）法一：，，得，則，由此可得答案；法二：由題意，令，易知是偶函數(shù)，且時為增函數(shù)，由此可得出答案；（2）由（1）知，，即，結(jié)合“1”的代換，利用基本不等式即可證明結(jié)論．【題目詳解】解：（1）法一：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），由題意得，則，解得，故的取值范圍是；法二：因為對于任意恒有成立，即，令，易知是偶函數(shù)，且時為增函數(shù)，所以，即，則，解得，故的取值范圍是；（2）由（1）知，，即，∴，故不等式成立．【答案點睛】本題主要考查絕對值不等式的恒成立問題，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（Ⅰ）極大值0，沒有極小值；函數(shù)的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，（Ⅱ）見解析【答案解析】

（Ⅰ）由，令，得增區(qū)間為，令，得減區(qū)間為，所以有極大值，無極小值；（Ⅱ）由，分，和三種情況，考慮函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得到本題答案.【題目詳解】當(dāng)時，，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，沒有極小值；函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的值域為；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的值域為；當(dāng)時，易得時，，在上單調(diào)遞增，時，，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最小值為，中最小的，當(dāng)時，，最小值；當(dāng)，，最小值；綜上，當(dāng)時，函數(shù)的值域為，當(dāng)時，函數(shù)的值域，當(dāng)時，函數(shù)的值域為，當(dāng)時，函數(shù)的值域為.【答案點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)在給定區(qū)間的值域，考查學(xué)生的運算求解能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想.20．（1）見解析；（2）見解析【答案解析】