《信號與系統(tǒng)》考研試題解答第七章 系統(tǒng)函數(shù)

第七章系統(tǒng)函數(shù)一、單項選擇題X7.1（浙江大學2004考研）一個因果、穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點必在z平面的 。（A）單位圓以外（B）實軸上 （C）左半平面 （D）單位圓以內(nèi)H(s)只有一對在虛軸上的共軛極點，則它的h(t)應是 。（A）指數(shù)增長信號（B）指數(shù)衰減振蕩信號 （C）常數(shù) 等幅振蕩信號X7.3（浙江大學2003考研）如果一離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)只有一個在單位圓上實數(shù)為1的極點，則它的h(k)應是 。（A）(k) （B）(k) （C）(1)k(k) （D）1X7.4（浙江大學2002考研題）已知一連續(xù)系統(tǒng)的零、極點分布如圖X7.4所示，H()1，則系統(tǒng)函數(shù)H(s)為 。s2（A）

（B）

s

(s2)

s1jF(s)13s-1s-11Y(s)-2X-1jF(s)13s-1s-11Y(s)-2X-10-2圖X7.4圖X7.5X75

西安電子科技大學2004考研圖X7.5所示信號流圖的系統(tǒng)函數(shù)H(s)為 。3s13s3s13s13s11s26s2 （B）s22 s26s2 （D）s22s1哈爾濱工業(yè)大學2002考研下列幾個因果系統(tǒng)函數(shù)中穩(wěn)（包括臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)有 個。s1 s1 s2（1） （2） （3）s23s4 s23s s4

4s33（4）

s2 s 1（5） （6）s33s2s3 s42s21 s42s2（A）3 （B）2 （C）1 （D）4X7.7（哈爾濱工業(yè)大學2002考研）下面的幾種描述中，正確的為 。系統(tǒng)函數(shù)能提供求解零輸入響應所需的全部信息；系統(tǒng)函數(shù)的零點位置影響時域波形的衰減或增長；若零極點離虛軸很遠，則它們對頻率響應的影響非常?。辉c的二階極點對應t(t形式的濾形。國防科技大學2002考研題已知連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)則其幅頻特性響應所屬類型為 。（A）低通 （B）高通 （C）帶通 （D）帶阻答案：

s，s23s2，X7.1[D] X7.2[D] X7.3[A] X7.4[A] X7.5[A] X7.6[B] X7.7[C] X7.8[C]二、判斷與填空題T7.（北京航空航天大學2）判斷下列說法是否正確，正確的打“√若h(t)是一個線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應，并且h(t)是周期的且非零，則系是不穩(wěn)定的[ ]若h)<（對每一個M為某已知數(shù)，則以h為單位樣值響應的線性時不變系統(tǒng)是穩(wěn)定的[ ]當且僅當一個連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的階躍響應是絕對可積時，則該系統(tǒng)是定的。[ ]T7.2判斷下列敘述的正誤，正確的在方括號內(nèi)打“√（1華中科技大學4考研）一個LTI系統(tǒng)當且僅當其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓z1時，該系統(tǒng)是穩(wěn)定[ ]；一個具有有理系統(tǒng)函數(shù)的因果LTI系統(tǒng)，當僅當H(z)全部極點都位于單位圓內(nèi)，系統(tǒng)是穩(wěn)定[ 即全部極點之模大于等于1時，系統(tǒng)是穩(wěn)定[ ]。（2華中科技大學2考研若系統(tǒng)的單位取樣響應絕對可和則系統(tǒng)是穩(wěn)定[ ]。

k

h(k)，（3（華中科技大學2）H的極點應位于s平面的右半開平[ ]。（4華中科技大學2002考研題）離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件也可以表示為limh(k0[ ]。kT7.3（西安電子科技大學2004考研）已知H(s)的零、極點分布如圖T7.3所示，單位沖激響應h(t)的初值則該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)= 。×j×jj2F(s)+Y(s)1-1s+3F(z)1z-11Y(z)-2×02-j2Ks+21T7.4（西安電子科技大學2002考研題）如圖T7.4所示因果系統(tǒng)，為使系統(tǒng)是穩(wěn)定的，K的取值范圍是 。西安電子科技大學2001考研某離散系統(tǒng)的z域信號流圖如圖T7.5所示其單位響應h(k)= 。T7.6（國防科技大學2002考研題）多選題：已知某一離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)

2z2zz3z210z8

，對應的信號流圖（圖T7.6）是 。2222-1-1F(z)1z-1z-1z-11Y(z)z-1z-1z-11F(z)Y(z)-1-11010-8-8(A)(B)1212F(z)1z-1z-1-11z-1Y(z)F(z)1z-11z-1-11z-1Y(z)12-412-4(C)

圖T7.6

(D)答案：T7.（1）√（2）×（）×2s4T7.3

(s2)24T7.4 K6T7.5 (k)(kT7.6 B，C三、畫圖、證明與計算題J7.1（浙江大學2004年考研題）已知一連續(xù)因果LTI系統(tǒng)的微分方程為y(t)4y(t)3y(t)f(t)2f(t)求系統(tǒng)的H(s)，畫出零、極點圖，并畫出該系統(tǒng)的直接型框圖。解：對微分方程求拉氏變換，得(s24s3)Y(s)(s2)F(s)H(s)為

Y(s) s2 s2H(s) F(s) s24s3 (s1jf(t)+∫∫2++y(t)-×-3--2×-1403圖J7.1-1 1jf(t)+∫∫2++y(t)-×-3--2×-1403圖J7.1-1 圖J7.1-2J7.2（2003）圖J7.2-1為一數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)圖，求：f(k)+-+-y(k)f(k)+-+-y(k)z-1K/3K/4圖J7.2-1F(z)+-X(z)+-Y(z)z-1K/3K/4圖J7.2-2應取什么值？解（1畫出該系統(tǒng)的zX(z)，如圖J7.2-2。由圖J7.2-2X(z)F(z)

Kz1X(z)3X(z)

1K1 z1K3

F(z)Y(z)X(z)

Kz1X(z)4

1K4K

z1

F(z)

zK4K

F(z)則系統(tǒng)函數(shù)為

1 z1 z3 3H(z)

Y(z)

zKK4, zKF(z) zK 33KH(z)的零點為zK/4，極點為zK/3；收斂域為z 。KK3K（2）要使這個系統(tǒng)穩(wěn)定，H(z)的收斂域應包含單位圓，則要求3KK3。

1K3。J7.3（浙江大學2003年考研題）如圖J7.3-1反饋因果系統(tǒng)，試求：F(s)+X(s)1sY(s)F(s)+X(s)1sY(s)K+圖J7.3-1（2）K滿足什么條件時系統(tǒng)穩(wěn)定；（3）h(t)（）設變量X(s)，如圖。X(s)F(s)Y(s) K(s) X(S)

Y(s)

Ks22s1

F(s) s22s1H(s)為

H(s)Y(s) KF(s) s22s1K H(s) 1,2

K。顯然，若滿足：KKRe1K

0 （J7.3-1）則可使H(s)的極點s,s1 2

都處于左半s平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。若K為實數(shù)，則式（J7.3-1）變?yōu)镵1 0 K1K對于K為復數(shù)或純虛數(shù)時，情形較為復雜，這里不作討論。故，K<1時，系統(tǒng)穩(wěn)定。K=1時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。此時，系統(tǒng)函數(shù)H(s)為H(s) 1

11 1 s22s 2s s2求拉氏逆變換，可得

h(t)

1 1e2t1 2J7.4（浙江大學2003年考研題）已知某一離散時間LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)

1z1 1 其單位脈沖響應h(k)滿足：

k

1 z112z1 2 h(k)。求：系統(tǒng)的單位脈沖響應h(k，并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；f(k(k2(ky(k。（1）是穩(wěn)定的。

k

h(k)k

h(k)h(k)滿足絕對可和條件，系統(tǒng)對系統(tǒng)函數(shù)作部分分式展開，H(z)

1z1

z2

1 z 2 z 1

1

3z0.5 3z21 z112z1 z z2 2 2H(z)z1

0.5,z2

2。因為系統(tǒng)穩(wěn)定，因此H(z)的收斂域必定包含單位圓，則H(z)的收斂域應為z2。據(jù)此，對H(z)求逆z變換可得1 h(k) (0.5)k(k) (2)k(k3 31 （2）將輸入信號分解為：f(t)=f1(t)+f2(t)，其中f1(k)2(kf2(k)(k系統(tǒng)在f1(t)、f2(t)作用下所產(chǎn)生的響應分別為y1(t)、y2(t)。f(k)2(k) F(z)1 1

2z, z1z1Y(z)F(z)H(z)

2z2

2 z

8 z

, 1z21 1 (z0.5)(z2) 3z0.5 3z22 8y(k) (0.5)k(k) (2)k(k1 3 3f(k)(k F2

(z)

3z, z1z1Y(z)F(z)H(z) 3z2 z 4z , 0.5z12 2 (z0.5)(z2) z0.5 z2 y(k)(0.5)k(k)4(2)k(k2由于該系統(tǒng)是線性的。因此，在輸入信號f(t)=f1(t)+f2(t)作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生響應為：1 4y(k)y1

(k)y2

(k) (0.5)k(k) (2)k(k3 3J7.5（北京郵電大學2004年考研題）J7.5-1所示系統(tǒng)中，已知H(s)Y(s)2，F(xiàn)(s)且H(s1

1s3（1）

2（2）欲使子系統(tǒng)

2(s)為穩(wěn)定系統(tǒng)，試確定K的取F(s)+F(s)+X(s)K+_Y(s)+H(s)2圖J7.5-1（）設變量X(s)，如圖。X(s)F(s)H

(s)Y(s)Y(s)KH(s)]X(S)1則系統(tǒng)函數(shù)為

H(s)

Y(s) 1

(s)F(s) 1H2

(s)KH1

(s)H2

(s)代入已知條件，得

1 KH(s)

1KH1

(s) s3 21H(s)KH(s)H(s)2 1 2

11

K Hs s

(s)由上式可得

H(s) s3K2 2(s3K)（2）由的極點為sK3，要使子系統(tǒng)H2(s)為穩(wěn)定系統(tǒng)，該極點應處s平面，即30KK3K為復數(shù)的情形，這里不作討論。故K3為穩(wěn)定系統(tǒng)。J7.6（北京郵電大學2004年考研題）已知某LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零極點圖如圖×jj1-2×jj1-2×03-j1圖J7.6-1H(s)h(t)；寫出關聯(lián)系統(tǒng)的輸入輸出的微分方程；，當激勵為cos(3t)(t)時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。（）根據(jù)HH的表達式為A(sA(sH(s)

(s2j)(s2j) (s2)21據(jù)H(0)=-1.2，令上式s=0，并結(jié)合H(0)=-1.2，則得A(sA(s(s2)2則系統(tǒng)函數(shù)為

H(0)

s0

5

A2H(s)

2(s 2s6(s2)21 s24s將H(s)表達式改為下形式，2(s3)H(s)

2

s 3 1 (s2)21

(s2)2

(s2)2

1求拉氏逆變換，得 h(t)2e2tcost3e2tsint(t)2e2tcost3sint(t)H(s)的表達式以及拉氏變換的時域微分性質(zhì)可知，系統(tǒng)的微分方程為y(t)4y(t)5y(t)2f(t)6f(t)H(s)的收斂域為Re[s2s平面中的軸，則H(j)H(s) sj

2s6s22s6s24s5

j2652j4對于信號cos(3t)(t)，其角頻率為3rad/s。則在該頻點處H(j)的值為H(j)

3

j2j2652j4

6 j6 4j120.67e6 j6 因此，當激勵為cos(3t)(t)時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為y (t)0.67cos(3t26.6(t)ssJ7.7（華南理工大學2000年考研題）已知某LTI系統(tǒng)的下列信息：系統(tǒng)是因果的；系統(tǒng)函數(shù)是有理的，且僅有兩個極點在ss4；f(t)=1y(t)=0；h(t)H(s)。解：據(jù)已知條件）和2H具有如下形式的表達式及收斂域：AsB AsBH(s)

(s2)(s4) s2

2s

, Re[s]4 （J7.7-1）由此可知，系統(tǒng)的微分方程為y(t)2y(t)8y(t)Af(t)Bf(t)對微分方程求傅氏變換，得Y(j) AjB F(j) （J7.7-2）(j)22j8據(jù)已知條件得：F(j)(), Y(j)0，代入式（J7.7-2）可得AjB

2(j)B(j)

B0(j)22j8 4將=0代入J7.7-，并作部分分式展開，H(s)

A 1

2 , Re[s]4 s22s8 3s2 s4求拉氏逆變換，得單位脈沖響應為A h(t)3

e

2e4t(t)

h(0

)A據(jù)已知條件4，可得：A4。則系統(tǒng)函數(shù)H為H(s) 4s , Re[s]4s22s8J7.8（華中科技大學2004年考研題）某LTI離散時間系統(tǒng)描述其輸入輸出關系的差分方程為

y(k)5y(ky(k2)f(k)2求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，并指出零、極點；對于系統(tǒng)的單位采樣響應h(k的三種可能的選擇，討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（）對差分方程求z變換，得 5 1 z1z2(z)F(z) 2 則系統(tǒng)函數(shù)為H(z)

Y(z) 1

z2 z2F(z) 15z1z2 z22

2.5z1 (z0.5)(z2)H(zz=0；極點為：z=0.5和z。（2）H(z作部分分式展開，得H(z)

z2 1 z 4 z(z0.5)(z2) 3z0.5 3z2H(z)可能出現(xiàn)的三種收斂域，討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性和單位采樣響應h(k)。H(z)z2H(z)H(z)的逆z變換為

h(k)

1 (0.5)k4(2)k1 3H(z)zH(z)H(z)的逆z變換為

h(k)

1 (0.5)k4(2)k(1 3H(z的收斂域為z2H(z)H(z)z變換為

h(k)

(0.5)k(k)4(2)k(k11 J7.9（電子科技大學2002年考研題）某LTI離散時間系統(tǒng)描述其輸入輸出關系的差分方程為

7 y(k)7

y(k y(k2)2f(k3 3若該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，求單位樣本響應h(k；若該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)，標明系統(tǒng)函數(shù)的收斂域，求單位樣本響應h(k)；當輸入為f(k)=1y(k=？畫出實現(xiàn)該系統(tǒng)的信號流圖。解：對差分方程求z變換， 7 2 1 z1 z2(z)2F(z) （J7.9-1） 3 3 則系統(tǒng)函數(shù)為H(z)

Y(z)

2 2z2

2z2727F(z) 1727

z1

z2 z2 z2

(z2)(z1)3 3 3 3 31系統(tǒng)函數(shù)的極點為：z1

2,z2

。3若該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，所以系統(tǒng)函數(shù)的收斂域應為z2。對系統(tǒng)函數(shù)作部分分z變換可得單位樣本響應h(k。H(z) 2z2

12

2 z

z2(z2)(z1)3

5z2 5z132 1kh(k)Z1[H(z)]

56(2)k3(k) 若該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)函數(shù)的收斂域應包含單位圓，即為1z2，則有3H(z) 2z2

12 z 2 z

1z2(z2)(z1)3

5z2 5z1 33求逆z變換可得單位樣本響應h(k)：2 12 1h(k)Z1[H(z)] 6(2)k(k (k)5

3 f(k)=1時，若要求系統(tǒng)系統(tǒng)有穩(wěn)定的輸出，則要求該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，此時系統(tǒng)函數(shù)收斂域應為1z2y(k：3y(k)f(k)*h(k)

i

f(ki)hi)i

h(i)H(z)

z

0.5據(jù)式（J7.9-1）z域框圖、信號流圖分別如圖J7.9-1(a)、(b)所示。2211F(z)Y(z)Y(z)1z-1F(z) 2+-z-1z-1-7/3-7/3z-12/3 -2/3(a)(b)圖J7.9-1J7.10（上海大學2003年考研題）已知因果離散系統(tǒng)的差分方程為y(k2)0.1y(k0.2y(k)f(k2)1.2f(k0.2f(k)y(0),2f(k(k)。求）系統(tǒng)函數(shù)H(z)（）判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定（）求響應y(k)。解：對差分方程求z變換， zY(z)y()z2y)z1zY(z)y()zY(z)z2F(z)f(0)z2f(1)z1.2zF(z)f(0)z0.2F(z)整理后得[y(0)f(0)]z20.1y(0)f1.2fz21.2z0.2Y(z)

F(z)z20.1z0.2 z2

0.1z0.2（J7.10-1）由上式可知，系統(tǒng)函數(shù)為H(z)

z21.2z0.2 z21.2z0.2

z0.5z20.1z0.2 (z0.5)(z0.4)（2）H(z的收斂域包含單位圓，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）將y(0)2，f(0)f1，F(xiàn)(z)得

z代入式J7.10-，可z 12z20.3z z21.2z0.2 z 2 z 13 z 8 zY(z)

z20.1z0.2 z20.1z0.2 z1 3z0.5 3z0.4 3z1z變換，得

y(k)

1 2(0.5)k13(0.4)k81 3J7.11（中國地質(zhì)大學2004年考研題）已知某因果穩(wěn)定系統(tǒng)由如下差分方程描述y(k)ay(kf(k)bf(k其中，a、b為可確定的非零常系數(shù)。求該系統(tǒng)的單位取樣響應h(k；求系統(tǒng)函數(shù)的零、極點；畫出系統(tǒng)直接模擬框圖；為使系統(tǒng)具有全通頻率響應特性，確定ab（）對差分方程求z變換，可得系統(tǒng)函數(shù)： Y(z) 1bz1 z H(z) , z a F(z) 1az1 za對式（J7.11-1）求逆z變換，得h(k)(k)(ab)ak(k由式H(zzbza。由式可畫出如圖J7.11-1z域框圖：11+F(z)+z-1b-Y(z)+a圖J7.11-1a1H(z的收斂域包含單位圓，系統(tǒng)的頻率響應為H(ej)H(z)ze

ejbeja要使系統(tǒng)具有全通頻率響應特性，應滿足：a=bJ7.12（中國地質(zhì)大學2004年考研題）已知系統(tǒng)函數(shù)H(z)

3z22z2z0.25。確定其收斂域，分析其因果穩(wěn)定性；對因果穩(wěn)定系統(tǒng)寫出其頻率響應函數(shù)表達式；f(k)3cos(k(k，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。（）H(z)

3z22 3z22z2z0.25 (z0.5)2可見，H(z)在z=0.5有二階重極點。若H(z)的收斂域為z，則不包含單位圓，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且為反因果系統(tǒng)；若H(z)的收斂域為z，則包含單位圓，系統(tǒng)穩(wěn)定，且為因果系統(tǒng)。由H(z)z，系統(tǒng)穩(wěn)定，其頻率響應函數(shù)表達式為H(ej)H(z)

3(ej)22 j22ze

(ej)2ej0.25 ej2ej0.25f(k分解成以下兩部分，f(k)(k)f1

(k)f2

(k)f(k)(k),1

f(k)3cos(k)(k)2系統(tǒng)在f1(k)作用下的響應為y1(k)，z 3z22 4 z 5 z 23 zY(z)F(z)H(z) 1 1 z1 z2z0.25 9z1 6(z0.5)2

9z0.5z變換，得

4

23 y(k)9

k6

9(0.5)k(k)1 f2(k)y2(k)。f2(k)的角頻率為H(e在該頻點處的值為由此得

H(ej)

4jj2ej0.52y(k)43cos(k)(k)12(k)2則系統(tǒng)在f(k)作用下的響應為4 5 23 y(k)y

(k)y

(k)9

k6

9(0.5)k(k)12cos(k)(k)1 2 其中，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為

y (k)ss

4(k)12cos(k)(k)911111Y(z)11111Y(z)z-111z-13 1z-11z-12圖J7.13-1寫出表示系統(tǒng)輸入輸出關系求系統(tǒng)函數(shù)H(z。解：利用梅森公式求系統(tǒng)函數(shù)H(z)。L1

3z1,L2

z2,L3

z1,L4

2z2特征行列式：1(LL L

)LLLL

LLLL

14z17z32z41 2 3

13 1

2 3 2 4前向通路增益及其特征行列式的余因子：P1

11則系統(tǒng)函數(shù)為

P 1H(z) 1 1 14z17z32z4由系統(tǒng)函數(shù)可知，系統(tǒng)的差分方程為y(k)4y(k7y(k2y(k4)f(k)2004年考研題描述某線性時不變因果連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為y(t)4y(y)3y(t)4f(t)2f(t)h(t)；判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定；f(t)610cos(t45（）對微分方程求拉氏變換，得系統(tǒng)函數(shù)，Y(s) 4s2 5 1H(s)

Re[s]1F(s) s24s3 s3 s1求拉氏逆變換得，

h(t)5e3tet( 由系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點為s1

1,s2

3，由于是因果系統(tǒng)，所以其收斂域為Re[s]1。H(s)的極點全都處于左半s平面，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由于系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域為Re[s]1，包含s平面中的軸，故系統(tǒng)的頻率響應為：

H(j)H(s)

sj

4s2s24s2s24s3

24j(j)24j3f(t)610cos(t45中，包含了直流成份0以及角頻率的正弦信號。系統(tǒng)頻率響應函數(shù)H(j)在這兩個頻率點的值分別為H(0)H(

0

22424j(j)24j32424j(j)24j3H(H(

1

11系統(tǒng)對這兩個頻率成份的響應（即穩(wěn)態(tài)響應）為2y(t)6

10cos(t45)410cos(t45)3j×j12120×-j12J7.15（哈爾濱工業(yè)大學2002年考研題j×j12120×-j12圖J7.15-12h(0)2

，求系統(tǒng)函數(shù)H(s)和沖激響應h(t)。解：由系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零、極點圖可知，H(s)的表達式為H(s)

s

As2s1s22j 22

1 j 12222

2s1 12 12 s

22 22 1 22 222s2A12s2

12

12

12

,12

Re[s]12222 s s 2222 求拉氏逆變換，得

12t t12

t t h(t)(t) 11

2cos (t) 12s12s1t45 2

2sin (t).22A(t)2Ae co (t)2t，并結(jié)合h(0)2則系統(tǒng)函數(shù)和沖激響應分別為

，可得A1H(s) s2 12 1222s 22 12s1t45 2h(t)(t12s1t45 2J7.16（北京航空航天大學2002年考研題）某因果線性時不變系統(tǒng)，其輸入f(k)和輸出y(k)滿足差分方程為y(k)y(ky(k2)f(k求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，畫出零、極點圖，指出收斂域；求該系統(tǒng)的單位樣值響應；判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定；jIm[z]×-1-0.620jIm[z]×-1-0.6201×1.622Re[z]圖J7.16-1y(k)y(ky(k2)f(k求z變換，可得系統(tǒng)函數(shù)H(z)

Y(z)

z1

z 0.45 z

z , z1.62 F(z) zz1z2 z2z1 z1.62 z0.62H(z)z0處有一階零點，其極點為z1

0.62,z2

1.62，零、極點圖如圖J7.16-1所示。由于該系統(tǒng)是因果的，故H(z)的收斂域為z1.62。 H(z)z h(k)Z1[H(z)]0.45(1.62)k(0.62)k(k)由于H(z)的收斂域為z1.62，不包含單位圓，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。（4）若要獲得一個滿足該系統(tǒng)的穩(wěn)定的單位樣值響應，H(z)的收斂域應為0.62z1.62。H(z)0.45 z z , 0.62z1.62 z1.62 z0.62 h(k)Z1[H(z)]0.45(1.62)k(k(0.62)k(k)上海交通大學2000年考研題某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布如圖J7.17-1所示。試求：該系統(tǒng)的單位樣值響應h(k)（允許差一系數(shù)；粗略畫出幅頻特性，并說明系統(tǒng)屬于低通、高通還是帶通濾波器。j0.5j0.5jIm[z]×Re[z]00.5×11.52-j0.5圖J7.17-1（）由系統(tǒng)函數(shù)HH的表達式為A(z1.5) A(z1.5)H(z)

0.50.5j0.5z2z0.5其中，A為待定常數(shù)。為簡單起見，取A=1。z1.5H(z)

z2zz

1cos

1cos 2 4 2 2 41 11 11 1z22 zcos

2z22 zcos 2 4 2 2 4 2據(jù)Z變換對，求逆z變換： 1k

k1 k1 h(k)Z

H(z)

cos 2sin (k 2

4 4 （2）由于H(z)的收斂域包含單位圓，故系統(tǒng)的頻率響應存在，且為z1.5 ej1.5H(ej)H(z)幅頻特性為

ze

2

52

ze

ej

ej0.5H(ej)

ej1.5 3.253cosej2

e

0.5 2.253coscos系統(tǒng)的幅頻特性如圖J7.17-2所示。由圖可知，該系統(tǒng)是帶通濾波器。J7.17-2 系統(tǒng)的幅頻特性J7.18（西安交通大學2000年考研題）已知由差分方程y(k)ay(kby(k2)f(k)cf(kdf(k2)其中，a、b、c、d均為實常數(shù)，描述的離散時間LTI因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有如下特8H(zz0H(zz0.5H該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(zcd；繪出系統(tǒng)的零極點圖，并說明系統(tǒng)是否穩(wěn)定；f(k(k(k2)y(k；f(k)1)ky(k；繪出系統(tǒng)的直接形式的流圖。解：對差分方程求z變換，可得系統(tǒng)函數(shù)z2czdH(z)

。試求：3（J7.18-1）z2azbH(z)z0有二階零點，H(z)z0.5；同時，由差分方，故H(z)形式：

H(z)

Kz2（J7.18-2）(z0.5)(zz)1對比式J7.18-）和式J7.18-cd,K,az1

0.5,b0.5z。1代入式J7.18-，得

H(z)

z2（J7.18-3）H

(z0.5)(zz)183，令式（J7.18-3）中z=1，可得z2(z0.5)(zz2(z0.5)(zz)1z1則

1 8z) 31

z0.251az1

0.50.75, b0.5z1

0.125, cd0H(z)

z2 (z0.5)(z0.25)

z0.5 （J7.18-4）H(z)的零極點如圖J7.18-1H(z)的收斂域包含單位圓，故系統(tǒng)穩(wěn)定。jjIm[z]Re[z]0× ×0.251圖J7.18-1H(z)z變換：H(z) z2

2z

z ，z0.5(z0.)(z0.2) z0.z0.25 h(k)Z[H(z)]0.5k0.25k(k)激勵為(k)時，系統(tǒng)的響應為h(k)；激勵為(k2)時，系統(tǒng)的響應為h(k2)；故 f(k(k( y(k)h(k)h(k2)20.5

0.25k(k)20.5k20.25k2(k2)f(k)(1)ky(k：y(k)f(k)*h(k)

f(ki)hi)

(1)kih(i)i i8()k()ihi)()kH(z)8z1

(1)k15i系統(tǒng)的直接形式的流圖如圖J7.18-2所示。1111Y(z)Y(z)1z-1F(z)+-z-1z-10.75+0.75z-10.125-0.125(a)(b)圖J7.18-2j×-2×-10圖J7.19-1j×-2×-10圖J7.19-1H(s)的零極點圖如圖J7.19-1 所示。已知在輸入f(t)e3t,t 作用下，系統(tǒng)的輸出3y(t)320

e3t,t。H(s)h(t)，并判斷系統(tǒng)的因果性；f(t)(ty(t)；寫出表征該系統(tǒng)的常系數(shù)微分方程；畫出該系統(tǒng)的信號流圖。（）由HH具有以下的函數(shù)形式：H(s)

As As(s2) s23s2其中，A為常數(shù)。的收斂域應包含s平面的軸（在軸上為臨界穩(wěn)定；在原點s=0H的收斂域不包含s平面的軸，又由于H(s)sH(s)的收斂域應取Re[s]1。由此可知，該系統(tǒng)屬于因果系統(tǒng)。由H(s)的表達式可得系統(tǒng)的微分方程：y(t)3y(t)2y(t)Af(t)3f(t)e3t,ty(t

e3t,t代入微分方程，得2027e3t

27e3t

3Ae3t A1620 20 206將A=1代入，則系統(tǒng)函數(shù)H(s)為H(s) s 2 1 ,s23s2 s2 s1 求H(s h(t)2e2tet(t)

Re[s]1（2）f(t)(t) F(s)1s

1 1 1Y(s)F(s)H(s)求Y(s)的拉氏逆變換得

s23s2s1s2 y(t)ete2t( 表征該系統(tǒng)的常系數(shù)微分方程為y(t)3y(t)2y(t)f(t)該系統(tǒng)的信號流圖如圖J7.19-2(b)所示。Y(s)Y(s)1F(s)+-s-1s-1s-1s-11Y(s)-3-3-22(a)(b)圖J7.19-2J7.20（電子科技大學2000年考研題）某LTI系統(tǒng)，在激勵f(k)作用下，產(chǎn)生響應：y(k)2(k0.5)k(kf(kk0z變換21 z12F(z)

31z1試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z，畫出零極點圖，并