《復變函數(shù)》作業(yè)題

《復變函數(shù)》復習題一、判斷題1、若z0是f(z)的m階零點，則z0是1/f(z)的m階極點.（ ）2、若limf(z)存在且有限，則z0是函數(shù)的可去奇.（ ）zz03、若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有 f(z)dz0.（ ）C4、若函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則它在D內(nèi)有任意階導數(shù).（ ）5f(z)D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù).（ ）6、若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù).（）7、若函數(shù)f(z)在z0可導，則f(z)在z0解析.（ ）8、若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析.（）9、若冪級數(shù)的收斂半徑大于零，則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析.（ ）10、11、12、13、

如z0是函數(shù)f(z)的本性奇點，則limf(z)一定不存在.( )zz0若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù).（ ）若limf(z)存在且有限，則z0是函數(shù)f(z)的可去奇點.( )zz0存在一個在零點解析的函數(shù)f(z)使f( 1 )0且f(1)1,n.（ ）14、

若數(shù)列{z

}收斂，則{Rezn

}與{Imzn

n1 2n 2n}都收斂.（ ）15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、

若冪級數(shù)的收斂半徑大于0，則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析.（ ）若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有 f(z)dz0.（ ）C如果z0是f(z)的可去奇點，則limf(z)一定存在且等于零.( )zz0f(z)DD內(nèi)有任意階導數(shù).（）若函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)的每一點均可導，則它在D內(nèi)有任意階導數(shù).（ 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且f'(z)0，則f(z)在D內(nèi)恒為常數(shù).（）如果z0是f(z)的極點，則limf(z)一定存在且等于無窮大.( )zz0如果z0是f(z)的本性奇點，則limf(z)一定不存在.（ ）zz0若limf(z)存在且有限，則z0是函數(shù)的可去奇.（ ）zz0若z 是函數(shù)f(z)的可去奇點，則Resf(z)0. （ ）z二、填空題1、若C是單位圓周，n是自然數(shù)，則 1 dz .C(zz)n02、 dz .2、|zz|1(zz)n03f(z)

1 ，則f(z)的孤立奇點有 .z214、冪級數(shù)n0

nxn

的收斂半徑為 5、若z0是f(z)的m階零點且m>0，則z0是f'(z)的 零點.6Resezzn

,0)

，其中n為自然數(shù).7公式

cosxisinx稱為 .8、冪級數(shù)n0

nxn的和函數(shù)為 .9、方程2z5z33z80在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為 .10、11、

函數(shù)f(z) 1 的冪級數(shù)展開式為 .1z2若z0是f(z)的m階零點且m>1，則z0是f'(z)的 零點.12、13、

冪級數(shù)n0Res( ez

n2zn2的收斂半徑為 .,1) .z2114、

函數(shù)f(z)z的不解析點之集為 .15、

級數(shù)n0

[2(1)nn的收斂半徑為 .16、 cosnz在|zn（n為正整數(shù)）內(nèi)零點的個數(shù)為 .(z)17、 函數(shù)f(z)6sinz3z3(z66)的零點z0的階數(shù)為 .設a為函數(shù)f(z)(z)的一階極點，且(a)(a)(a)0，則Resza

f(z) .18、 設a為函數(shù)f(z)的m階極點，則Reza

f(z) .f(z)19、 若za為函數(shù)f(z)的一個本質(zhì)奇點且在點a的充分小的鄰域內(nèi)不為零則za是1 的 奇點.f(z)20、21、22、

設za為f(z)的極點，則limf(z) .za設f(z)zsinz，則z0是f(z)的 階零點.設f(z) 1 ，則f(z)在z0的鄰域內(nèi)的泰勒展式為 .1z223、

設f(z)

ezz2

，則f(z)在z0處的留數(shù)為 .24、25、26、

4zcoszdz .0zaf(z的可去奇點，則limf(z為.za設f(z)z2(ez2，則z0是f(z)的 階零點.27、

設f(z

1 ，則f(z)在z0的鄰域內(nèi)的泰勒展式為 1z228、

1izezdz .129、

設f(z)z2sin ，則f(z)在z0處的留數(shù)為 .1z1三、計算題f(z)1、設

1(z1)(z2)，求

f(z)在

D{z:0z

內(nèi)的羅朗展式.2

f(z)

1(z1)(z2)2z內(nèi)的羅朗展式.ez1sinzdz 1 dz3

|z|1

2i

|z|3(z1)(z4).4求函數(shù)sin(2z3的冪級數(shù)展開式.5、求函數(shù) z 在1z2內(nèi)的羅朗展式.(z1)(z2)16、|z|1cos

dz.7求

eiz ,i).1z28、設f(z) ez

，求Res(f(z),).z2119求函數(shù)ez在0z內(nèi)的羅朗展式.110、

求函數(shù)sinz3z6

在0|z|內(nèi)的羅朗展式.z dz.11、

|z|2(9z2)(zi)12、

設f(z)

ez，求Res(f(z),0).z213、 利用留數(shù)定理計算積分：0

dx ,(a1).acosx14、

設f(z)

3271d，其中C{z:|z|3}，試求f'(1i).C z215、 求函數(shù) z10 在2(z1)(z22)16、 利用留數(shù)定理計算積分

|z|內(nèi)的羅朗展式.1 dx.02sin2x17、

利用留數(shù)定理計算積分

x2x2dx.x410x2918、

設f(z

ezz21

，求Res(f(z),i).19、

Res 求

eiz1 z2

,i).20、 求下列函數(shù)的奇點，并確定其類型（對于極點要指出它們的階）.1ez1（1）21、計算下列積分.

tan2z； （2）ez

1.（1）

z19

dz

d|z|4(z21)4(z42)3

01cos2（3）

z7 dz

（4）

x2

（a0）|z|2(z21)3(z22) (x2a2)2（5）

|z|2

5z2dzz(z2

;

sin2z. dz.|z|4z2(z(7)

sin

dz; (8)

z22dz|z|2(z)22

|z|4z2(z3)21、

求Re

ez .zn22zn

z0 zn1求下列冪級數(shù)的收斂半徑.

(1)n（1）n1

nzn1

（2） n123、

計算積分 x2 dx.1x424、

f(z)

1 z的鄰域內(nèi)的泰勒展開式.z225、 計算積分2 d .0 53cos四、證明題1設f(z)的可去奇點且limf(z)AC