電磁場與電磁波：第三章 恒定電流的磁場1

第三章恒定電流的磁場§3.1恒流磁場的基本方程11/20/20221

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實驗表明，導體中有恒定電流通過時，在導體內部和它周圍的媒質中，不僅有恒定電場，同時還有不隨時間變化的磁場，簡稱恒定磁場（StaticMagneticField）。

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恒定磁場和靜電場是性質完全不同的兩種場，但在分析方法上卻有許多共同之處。學習本章時，注意類比法的應用。11/20/20222一載流導線I位于無限大鐵板上方的磁場分布（B線）

長直螺線管磁場的分布（B線）一載流導線I位于無限大鐵板內的磁場分布（H線）11/20/20223兩根異向長直流導線的磁場分布兩根相同方向長直流導線的磁場分布兩對上下放置傳輸線的磁場分布兩對平行放置傳輸線的磁場分布11/20/20224由麥克斯韋磁場方程組得在磁導率為的媒介內,磁場與由下式聯系因此恒流磁場的基本方程為在沒有電流分布的空間，恒流磁場的基本方程為11/20/20225恒流磁場的基本方程的積分形式與其微分形式相對應為11/20/20226恒流磁場的性質：恒流磁場的源是旋度（渦旋）源－恒定電流，即磁場是有旋場；恒流磁場沒有散度源，是無源場（無散場）；磁力線成閉合曲線，它圍繞著恒定電流，兩者呈右手螺旋關系。媒質媒質媒質金0.9996鋁1.000021

鎳

250銀0.9998鎂1.000012

鐵4000銅0.9999鈦1.000180磁性合金10511/20/20227分析：電流呈軸對稱分布?？捎冒才喹h(huán)路定律求解。磁場方向沿方向解：磁場方向與邊界面相切，由邊界條件知，在分界面兩邊，連續(xù)而不連續(xù)?！纠}1】由安培環(huán)路定律：如圖所示：無限長線電流位于z軸，介質分界面為平面，求：空間的分布。

xz1m0mIxI11/20/2022811/20/20229【例題2】鐵質的無限長圓管中通過電流I，管的內外半徑分別為a和b。已知鐵的磁導率，求:管壁中和管內外空氣中的磁感應強度。aIbzR11/20/202210解：建立圓柱坐標系,由安培環(huán)路定理:(1)同理abr11/20/202211§3.2恒流磁場的位函數11/20/202212在恒定磁場無電流區(qū)域——標量磁位，單位：A（安培）。一、恒流磁場的標量磁位

標量磁位僅適合于無自由電流區(qū)域，且無物理意義。標量磁位的特點：11/20/202213

標量磁位滿足的微分方程

標量磁位滿足的邊界條件磁場中兩點間的磁壓定義為

磁位與積分路徑的關系11/20/202214

磁位與積分路徑的關系11/20/202215磁場中求積分如果積分路徑環(huán)繞電流k次，則在磁場中，A，B兩點間的磁位與積分路徑有關。標量磁位數值隨積分路徑變化，差值是穿過積分回路所限定面積的電流的整數倍（kI）。11/20/202216由此可見任意兩點之間磁場不同路徑的線積分，其結果僅相差一個常數項（恒定電流），求導后不影響磁場的計算結果。

通過解出標量磁位，得到磁場強度只要規(guī)定積分路徑不能穿過回路所限定的面，標量磁位就是位置的單值函數。

11/20/202217載流導線I位于無限大鐵板上方的磁場分布線電流I與線電荷產生的通量線與場線,等磁位線與等電位線的類比

線電流I位于兩鐵板之間的磁場線電荷位于兩平行導體間的電場11/20/202218

標量磁位只適用于無自由電流區(qū)域。要找到一位函數，能應用于有電流和無電流區(qū)域，且可通過此位函數的微分得到磁感應強度。二、恒流磁場的矢量磁位11/20/202219代入矢量磁位

為了簡化磁場的求解，通常采用間接方法。

由磁場的散度為零，引入矢量磁位。

利用磁場的旋度方程導出矢量磁位滿足的微分方程。由其單位為T·m（特·米）或Wb/m（韋/米）得即得矢量位的泊松方程規(guī)定其散度（庫侖規(guī)范）11/20/202220上式相當于三個標量形式的泊松方程11/20/202221對比靜電場中泊松方程的解P38

11/20/202222當電流分布在有限空間，可得泊松方程的解

11/20/202223當電流分布在有限空間，且規(guī)定無限遠為磁位零點時，可得矢量泊松方程的特解

11/20/202224體電流產生的矢量位為線電流產生的矢量位為同理面電流產生的矢量位為11/20/202225在沒有電流分布的磁場空間：或11/20/202226分標量位和矢量位兩種，一般不同時使用。前者用于無電流區(qū)域，后者用于有電流情況。

恒流磁場的位函數11/20/202227例3.2.1求無限長直線電流的矢量位A

磁感應強度B。解：首先計算一根長度為的長直線電流I產生的矢量位。由線電流的矢位計算公式積分可得11/20/202228當時若，則這時可在A

的表達式中附加一個常矢量則磁感應強度B等于磁場強度H等于與例1.3.1直接積分所得的結果相同11/20/202229例題3.2.2:應用矢量磁位分析兩線輸電線的磁場。解：這是一個平行平面磁場。由上例計算結果,兩導線在

P點的矢量磁位圓截面雙線輸電線11/20/202230雙線輸電線的磁場11/20/202231用矢量磁位可計算磁通

在工程數值中經常用此公式此公式計算磁通，并由此得到其它等效參數。

11/20/202232例題3.2.3:空氣中有一長度為，截面積為S

，位于z軸上的短銅線，電流I沿z軸方向，試求離銅線較遠處的磁感應強度。

由于,故

位于坐標原點的短銅線解：取圓柱坐標系11/20/202233

·能否用安培環(huán)路定律來求解此問題?根據11/20/202234三、在平行平面磁場中，，等A線可表示磁感應強度B

線。*在直角坐標系中，B線方程為

A線,等A線與B線關系11/20/202235即平行平面磁場中的等A線可以代表B線?？梢宰C明：在軸對稱磁場中，代表B線。

等

A線不是

A線，只涉及

A的大小，不涉及方向。因此，等A線僅反映B的大小分布。如前面例題，兩線輸電線的B線即等A線的方程為

等A線(B線)是一束包圍導線的偏心圓族。其圓心坐標是圓的半徑是11/20/202236

可見雙線輸電線的磁場的等A線(B線)的圖形與靜電場中兩根線電荷的等電位線的圖形是一致。雙線輸電線的磁場

雙線輸電線的電場11/20/202237§3.3磁場的邊界條件用標量表示式1.8.5：用矢量表示一、磁場場量、的邊界條件11/20/202238由上可見，邊界兩側磁場強度及磁感應強度的大小及方向均要發(fā)生變化。而這種不連續(xù)性就是由于邊界上存在的表面磁化電流引起的。磁導率為無限大的媒質稱為理想導磁體。在理想導磁體中不可能存在磁場強度，否則，由式可見，將需要無限大的磁感應強度。產生無限大的磁感應強度需要無限大的電流，因而需要無限大的能量，顯然這是不可能的。因此，在理想導磁體中不可能存在磁場強度。因為邊界上磁場強度的切向分量是連續(xù)的，可見，在理想導磁體表面上不可能存在磁場強度的切向分量，換言之，磁場強度必須垂直于理想導磁體表面。當然，在理想導磁體內部仍然存在磁感應強度。11/20/202239如分界面沒有面電流二、磁場在分界面上的折射

當兩種媒質均勻、各向同性，且分界面無自由電流,則11/20/202240折射定律例題1:分析鐵磁媒質與空氣分界面上磁場的折射情況。鐵磁媒質與空氣分界面上磁場的折射解：

它表明只要鐵磁物質側的B不與分界面平行，那么在空氣側的B可認為近似與分界面垂直。11/20/202241如設1＝88，1＝30000，20。11/20/202242三、磁位的邊界條件標量磁位的邊界條件11/20/202243矢量磁位的邊界條件矢量磁位A分界面上的銜接條件a）圍繞P點作一矩形回路，則當時,即b）圍繞P點作一扁圓柱，則當時，即表明在媒質分界面上矢量磁位A是連續(xù)的。綜合兩個結論，有11/20/202244對于平行平面場，則可寫成用矢量磁位A表示H的邊界條件11/20/202245例3.3.1同軸線內導體的半徑為R1,外導體的內半徑為R2,外半徑為R3.導體的磁導率為，內外導體間媒介的磁導率為。內外導體構成回路通過直流電流I。求同軸線磁場的與

軸電纜截面解法一：這是平行平面磁場，選用圓柱坐標系，可應用安培環(huán)路定律求解。取安培環(huán)路交鏈的部分電流為11/20/202246應用安培環(huán)路定律,得

軸電纜截面11/20/202247應用安培環(huán)路定律，得

對于具有某些對稱性的磁場，可以方便地應用安培環(huán)路定律得到B

的解析表達式。11/20/202248選用圓柱坐標系，使同軸線的軸線與坐標系的z軸重合，設內導體上的電流方向為+z方向，則外導體上的電流方向-z方向。內導體上的電流密度為外導體上的電流電流密度為由于

的方向與z軸一致，故僅有z分量而從電流分布的軸對稱性可以看出僅為R的函數，因此矢量磁位的泊松方程簡化為

軸電纜截面解法二：通過矢量磁位求解磁場11/20/202249

軸電纜截面（1）在內導體部分：有

上式對R兩次積分，得11/20/202250在R為有限的空間，Az必須為有限值，因此上式中必須同時，設軸線上的矢量磁位為零，將這一條件代入上式得

軸電纜截面11/20/202251（2）在內外導體間的媒介中：在此區(qū)域

滿足拉普拉斯方程，且

現在利用邊界條件確定積分常數和

軸電纜截面11/20/202252另由R=R1界面上磁場強度

的切向分量連續(xù)求出再應用R=R1界面上磁場強度的邊界條件，得出11/20/202253

（3）在外導體部分：11/20/202254應用在外導體與媒介的分界面上的邊界條件，可得

軸電纜截面11/20/202255（4）在外導體以外的空間：應用邊界條件得

軸電纜截面11/20/202256例2

在具有氣隙的環(huán)形磁芯上緊密繞制N

匝線圈，如圖示。環(huán)形磁芯的磁導率為，平均半徑為r0，線圈的半徑為a<<

r0

，氣隙寬度為d。當線圈中的恒定電流為I時，若忽略散逸在線圈外的漏磁通，試求磁芯及氣隙中的