復(fù)變函數(shù)第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

參考書1.《數(shù)學(xué)物理方法》梁昆淼編，高等教育出版社，第二版或者第三版；2.《數(shù)學(xué)物理方程》，谷超豪李大潛等編，高等教育出版社，2002；……與我們專業(yè)相關(guān)的各種期刊、論文以及互聯(lián)網(wǎng)上的信息IEEETransactions

考核方式課程平時(shí)成績(jī)占10％期中考試成績(jī)占45％（方式：閉卷考，4個(gè)班統(tǒng)考）期末考試成績(jī)占45％（方式：閉卷考，4個(gè)班統(tǒng)考）教材1.復(fù)變函數(shù)高等數(shù)學(xué)：實(shí)數(shù)-導(dǎo)數(shù)-積分-級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)：復(fù)數(shù)-導(dǎo)數(shù)-積分-級(jí)數(shù)－留數(shù)2.積分變換Fourier（傅立葉）變換、Laplace（拉普拉斯）變換3.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)

物理過程－數(shù)學(xué)問題－求解

‘場(chǎng)論’復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)解析函數(shù)復(fù)變函數(shù)的積分級(jí)數(shù)留數(shù)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.復(fù)數(shù)及其運(yùn)算2.曲線的復(fù)數(shù)表示4.復(fù)變函數(shù)（概念、極限、連續(xù)）3.區(qū)域（單、復(fù)連通）復(fù)數(shù)的基本概念復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)不能比較大小*z1=z2當(dāng)且僅當(dāng)Rez1=Rez2且Imz1=Imz2兩個(gè)相等的復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)共軛法：復(fù)數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算：注解：復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算；復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算保持一致代數(shù)運(yùn)算例：解：復(fù)數(shù)復(fù)球面復(fù)平面的點(diǎn)三角表示式代數(shù)表示式向量復(fù)數(shù)表示方式：指數(shù)表示式代數(shù)表示式復(fù)平面的點(diǎn)rθx軸為實(shí)軸，y軸為虛軸兩軸所在的平面稱為復(fù)平面或者z平面點(diǎn)z與復(fù)數(shù)z同義，也可用向量來表示。向量的長(zhǎng)度稱為z的?；蛘呓^對(duì)值，記為向量、三角、指數(shù)表示式幾何性質(zhì)復(fù)球面：NSPyZx取一張復(fù)平面，做一個(gè)與復(fù)平面切于原點(diǎn)的球面通過原點(diǎn)O做垂直于復(fù)平面的直線與球面相交于另一點(diǎn)N，我們稱N為北極，與北極N對(duì)應(yīng)的O稱為南極，也可以用S表示復(fù)球面球的南極與復(fù)數(shù)平面的原點(diǎn)相切。球面上的點(diǎn)，除去北極N外，與復(fù)平面上的點(diǎn)存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，我們可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)。平面上任意點(diǎn)A與球的北極由一條直線相連，直線與球相交于A‘，由此，每一有限的復(fù)數(shù)投影到球上一點(diǎn)。這個(gè)投影被稱為測(cè)地投影，該球稱為復(fù)數(shù)球。所有的無窮大復(fù)數(shù)（平面上無限遠(yuǎn)點(diǎn)）投影到唯一的北極N。故，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)被看做一個(gè)點(diǎn)，其模無窮大（∞），其實(shí)部、虛部、幅角均無意義。球面上除N外的點(diǎn)N復(fù)平面上的點(diǎn)

無窮遠(yuǎn)點(diǎn)擴(kuò)充復(fù)平面=復(fù)平面+無窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于∞的若干規(guī)定

∞的實(shí)部，虛部及幅角都無意義|∞|=

+∞

無意義復(fù)數(shù)的幾何表示xyz復(fù)數(shù)z為平面上的一點(diǎn)，從幾何上來看，復(fù)數(shù)又是此平面上的一個(gè)矢量。模幅角主值共軛幾何運(yùn)算加兩個(gè)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算與相應(yīng)的向量加法運(yùn)算一致減兩個(gè)復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量減法運(yùn)算一致乘定理一：兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于他們模的乘積；兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于他們輻角的和。例：已知正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，求第三個(gè)頂點(diǎn)除定理二：兩個(gè)復(fù)數(shù)商的模等于他們模的商；兩個(gè)復(fù)數(shù)商的輻角等于他們輻角之差。冪n個(gè)相同復(fù)數(shù)z的乘機(jī)稱為z的n次冪，記作證明？根證明思考例：解：練習(xí)：第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.復(fù)數(shù)及其運(yùn)算2.曲線的復(fù)數(shù)表示4.復(fù)變函數(shù)（概念、極限、連續(xù)）3.區(qū)域（單、復(fù)連通）曲線的復(fù)數(shù)表示線圓角域橢圓雙曲線練習(xí)：第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.復(fù)數(shù)及其運(yùn)算2.曲線的復(fù)數(shù)表示4.復(fù)變函數(shù)（概念、極限、連續(xù)）3.區(qū)域（單、復(fù)連通）復(fù)平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念鄰域點(diǎn)點(diǎn)集區(qū)域有界集和無界集快速總結(jié)點(diǎn)點(diǎn)集區(qū)域區(qū)域解析函數(shù)的定義域鄰域去心鄰域內(nèi)點(diǎn)快速總結(jié)點(diǎn)集開集G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，稱G為開集合區(qū)域開集連通閉區(qū)域區(qū)域邊界點(diǎn)點(diǎn)P不屬于區(qū)域，但它的鄰域包含區(qū)域點(diǎn)區(qū)域的連通平面曲線一條處處有切線,且切線隨切點(diǎn)的移動(dòng)而連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的曲線連通復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B，如果在其中任意作一條簡(jiǎn)單閉曲線，而曲線內(nèi)部點(diǎn)總屬于B，就稱為單連通域。否則就稱為多連通域。區(qū)域內(nèi)的任意兩點(diǎn)都可以用完全屬于區(qū)域的一條折線連接起來單連通多連通例：指出下列不等式確定的是區(qū)域還是閉區(qū)域，是有界還是無界，是單連通還是多連通第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.復(fù)數(shù)及其運(yùn)算2.曲線的復(fù)數(shù)表示4.復(fù)變函數(shù)（概念、極限、連續(xù)性）3.區(qū)域（單、復(fù)連通）復(fù)變函數(shù)概念復(fù)變函數(shù)單值函數(shù)多值函數(shù)在后面幾章中，我們討論的多為單值函數(shù)例：是否為單值函數(shù)均為單值的實(shí)二元函數(shù)是單值函數(shù)。故，均為多值的實(shí)二元函數(shù)反函數(shù)（逆映射）反函數(shù)與反問題w=f(z)z=g(w)復(fù)變函數(shù)的表示形式復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的關(guān)系討論一個(gè)復(fù)變函數(shù)研究?jī)蓚€(gè)實(shí)二元函數(shù)映射例：uv4i4uvab練習(xí)：實(shí)變函數(shù)的極限復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)

=f(z)定義在z0的去心鄰域0<|z-z0|<

內(nèi)。如果有一個(gè)確定的數(shù)A存在,對(duì)于任意給定的>0，相應(yīng)地必然有一正數(shù)使得當(dāng)0<|z-z0|<

時(shí)，有|f(z)-A|<，則稱A為f(z)當(dāng)z趨向于z0時(shí)的極限，記為或記作當(dāng)當(dāng)可變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0的充分小去心鄰域時(shí)，其象點(diǎn)f(z)就落入A一個(gè)事先給定的鄰域內(nèi)與一元實(shí)變函數(shù)的區(qū)別？定理1定理2設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=u0+iv0，z=x0+iy0，那么復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性定理3設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x0+iy0，那么f(z)在z=z0點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)