電磁場與電磁波理論第3章 靜電場及其邊值問題的解法

《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-1第3章靜電場及其邊值問題的解法3.1

靜電場的基本方程與邊界條件3.2

電位及其電位方程3.3

靜電場的能量和導(dǎo)體的電容3.4

靜電場邊值問題的分類以及唯一性定理3.5

直接積分法3.6

分離變量法3.7

鏡像法3.8

靜電場的數(shù)值解法主要內(nèi)容基本要求1《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-2基本內(nèi)容

本章首先從時變電磁場的麥克斯韋方程和邊界條件得到靜電場的基本方程和邊界條件以及電位的基本方程和邊界條件，然后重點討論了求解靜電場邊值問題的若干種分析方法。本章所討論的靜電場問題的分析方法，不管是解析方法還是數(shù)值方法，都為研究其它較為復(fù)雜的電磁場問題提供了方法論上的基礎(chǔ)。2《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-3基本要求掌握靜電場的基本方程和邊界條件；會利用拉普拉斯方程和泊松方程求解簡單的問題；會熟練求解直角坐標中的分離變量法的二維問題；會熟練利用鏡像法求解導(dǎo)體平面與導(dǎo)體球的鏡像問題；會使用計算機利用有限差分法計算簡單二維邊值問題的數(shù)值解。3《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-43.1靜電場的基本方程與邊界條件靜電場——由靜止電荷所產(chǎn)生的電場。3.1.1

靜電場的基本方程3.1.2

靜電場的邊界條件4《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-53.1.1

靜電場的基本方程靜電場是時變電磁場的特殊情形。靜電場基本方程是麥克斯韋方程組在各類場量均不隨時間而變化時的特殊情形。當令各類場矢量對時間的變化率均為零時，電場和磁場相互獨立，它們之間不再存在相互依存和相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系。靜電場基本方程的積分形式靜電場基本方程的微分形式5《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-6方程（3.1.1）為靜電場的環(huán)量定律。它表明，當一個試驗電荷在靜電場中繞閉合回路移動一圈時，電場力所做的功為零。方程（3.1.2）為靜電場高斯定律。它表明，穿過任一閉合曲面的電位移通量等于該曲面所包圍的自由電荷。靜電場基本方程的積分形式也可以由庫侖定律直接證明。靜電場基本方程的積分形式（3.1.1）（3.1.2）6《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-7方程（3.1.3）描述了靜電場的旋度特性，表明靜電場是一個無旋場。方程（3.1.4）描述了靜電場的散度特性，表明靜電場是一個有源場。靜電場的微分方程形式可以從的麥克斯韋微分方程組直接得出，也可以借助于高斯定理和斯托克斯定理從靜電場基本方程的積分形式推導(dǎo)出來。靜電場基本方程的微分形式（3.1.3）（3.1.4）7《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-83.1.2

靜電場的邊界條件靜電場是一般時變場在令各類場量均不隨時間而變化條件下的特例情況，靜電場邊界條件也可以從第2章的時變場邊界條件直接得出。靜電場所涉及的媒質(zhì)主要有導(dǎo)電率為零的媒質(zhì)（電介質(zhì)或理想介質(zhì)）和導(dǎo)電率不為零媒質(zhì)（導(dǎo)體）。1.

不同電介質(zhì)的分界面的邊界條件2.

導(dǎo)體與電介質(zhì)的分界面的邊界條件

8《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-91.

不同電介質(zhì)的分界面的邊界條件在靜電場中的不同電介質(zhì)分界面上，電場強度的切向分量和電位移的法向分量均必然連續(xù)。（3.1.7）（3.1.8）（3.1.5）（3.1.6）——分界面上的正法線單位矢量，其方向規(guī)定由第2種電介質(zhì)指向第1種電介質(zhì)。9《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-102.

導(dǎo)體與電介質(zhì)的分界面的邊界條件導(dǎo)體表面電場強度的切向分量等于零，即電力線總是垂直于理想導(dǎo)體表面。導(dǎo)體表面電位移的法向分量等于導(dǎo)體表面的面電荷密度。（3.1.11）（3.1.9）（3.1.10）（3.1.12）——導(dǎo)體的外法線方向，即從導(dǎo)體內(nèi)部指向電介質(zhì)。10《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-11例3.1.1設(shè)靜電場中有一個電介質(zhì)分界面，兩邊介質(zhì)的介電常數(shù)分別為和。已知在界面的介質(zhì)1一側(cè)，電場強度的大小為

，方向與界面正法線方向的夾角為。試求介質(zhì)2一側(cè)的電場強度的大小及其與界面正法線方向的夾角。解：從靜電場邊界條件（3.1.5）式和（3.1.6）式得出將上列兩式相除，得（3.1.13）11《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-12容易解得（3.1.13）式表明，在界面上電場強度的方向?qū)l(fā)生突變。這個公式常被稱為靜電場折射定律。（3.1.13）12《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-133.2

電位及其電位方程3.2.1

電位和電位梯度3.2.2

電位的微分方程和邊界條件標量電位的引入，將會給我們的分析帶來很大的方便。13《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-141.

電位和電位差2.電位梯度3.2.1

電位和電位梯度從數(shù)學角度來看，既然靜電場是一個無旋場，那么根據(jù)矢量恒等式可以直接引入一個標量函數(shù)來描述靜電場的。但是如果能根據(jù)靜電場的環(huán)量定律，從物理概念上，即電場力做功的角度來定義電位以及討論電位與電場的關(guān)系，對我們將會更有意義。14《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-15由靜電場的環(huán)量定律得到的結(jié)論電位差電位不同電荷分布所產(chǎn)生的電位等位面1.

電位和電位差15《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-16由靜電場的環(huán)量定律得到的結(jié)論在靜電場中電場沿一個開放路徑的線積分，即電場力所做的功與僅該路徑的起、終點位置有關(guān)，而與積分路徑無關(guān)。16《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-17電位差（3.2.4）電位差是一個標量，它的單位是伏特（）。和都是只與P點或Q

點的位置有關(guān)的標量函數(shù)。和還與產(chǎn)生該靜電場的電荷分布有關(guān)。和被稱為電荷分布在P點或Q

點產(chǎn)生的電位。電位差就是電場力將單位電荷從P點移動到Q

點時所作的功（與路徑無關(guān)）。17《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-18真空中電量為的點電荷所產(chǎn)生電位差（3.2.5）比較可得——與電荷的分布有關(guān)的待定常數(shù)（不是唯一的）。電位差18《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-19電位（3.2.6）——零電位參考點電位與電位差一樣，是一個標量，單位為伏特（）。靜電場中任一點的電位定義為將單位正電荷由該點移動至零電位點時電場力所做的功，即19《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-20當產(chǎn)生靜電場的源電荷分布在一個有限的區(qū)域內(nèi)時，人們常常選擇無限遠處為零電位參考點。這時，由于參考點與源點之間的距離為無限大，即，如此一來真空中電量為的點電荷在任一點P

所產(chǎn)生電位——場點的位置矢徑——點電荷所在點的位置矢徑（3.2.9）電位20《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-21不同電荷分布所產(chǎn)生的電位（3.2.10）（3.2.12）（3.2.11）上述公式都是在無限遠處的電位為零的假定下得出的。對源電荷分布區(qū)域延伸至無限遠的情況，零電位參考點不能選擇在無限遠處，而必須選擇在一個有限遠的地方。此時上述公式都應(yīng)該加上一個待定的常數(shù)【式（3.2.8）】。體電荷面電荷線電荷21《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-22例3.2.1真空中有一圓形帶電結(jié)構(gòu)，如圖3.2.2所示。設(shè)這個圓形帶電結(jié)構(gòu)分別為（1）半徑為的均勻帶電圓盤，其上面電荷密度為；（2）半徑為的均勻帶電圓環(huán)，其上的線電荷密度為，試分別計算圓形結(jié)構(gòu)中心垂直軸線上的電位。解：取圓柱坐標系，使坐標原點位于圓形結(jié)構(gòu)的中心，軸與圓中心垂直軸線重合。（1）對圓形面結(jié)構(gòu)而言，場點在軸上，源點在圓盤上，場點與源點之間的距離為22《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-23取無限遠為參考點，則按（3.2.11）式計算出軸上的電位為（2）對圓形線結(jié)構(gòu)而言，場點在軸上，源點在圓環(huán)上，場點與源點之間的距離為取無限遠為參考點，則按（3.2.12）式計算出軸上的電位為23《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-24等位面等位面——電位相同的點組成的空間曲面由于在場域空間中的每一點對應(yīng)著也僅對應(yīng)著一個確定的電位值，因此每一點必屬于也僅屬于一個等值面?？臻g中所有的點均有等值面通過，而所有的等值面均互不相交。同一個電位值可以對應(yīng)幾個分離的等位面。24《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-252.

電位梯度電場強度矢量等于負的電位梯度矢量。（3.2.15）幾點結(jié)論：電場強度的大小等于電位的梯度（最大的方向?qū)?shù)）。電場強度的方向指向電位減小的方向。電力線與等位面相互垂直?？臻g任一點的電位是不唯一的，它會因零電位參考點選擇的不同而相差一個常數(shù)?？臻g任一點的電場強度總是唯一的，它與零電位參考點的選擇是無關(guān)的。25《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-26例3.2.2設(shè)真空中的電偶極子由間距為的一對等值異號電荷和構(gòu)成，試求遠離該電偶極子的區(qū)域內(nèi)的電位和電場。解：空間任一點的電位應(yīng)等于兩個點電荷在該點所產(chǎn)生電位的代數(shù)和，即其中26式中的，是該電偶極子的電偶極矩矢量。而遠離電偶極子的區(qū)域內(nèi)的電場強度為《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-27當觀察點遠離電偶極子時，應(yīng)用二項式展開，可以近似得到如此一來，遠離電偶極子處的電位就可以近似為（3.2.17）（3.2.18）27《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-283.2.2

電位的微分方程和邊界條件1.

電位的泊松方程和拉普拉斯方程2.

電位的邊界條件——描述同一點的場和源之間的微分方程28《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-291.

電位的泊松方程和拉普拉斯方程電位的泊松方程和拉普拉斯方程電場強度的泊松方程和拉普拉斯方程直角坐標系中的泊松方程和拉普拉斯方程圓柱坐標系中電位的泊松方程和拉普拉斯方程球面坐標系中電位的泊松方程和拉普拉斯方程29《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-30電位的泊松方程和拉普拉斯方程（3.2.19）在均勻、線性和各向同性的電介質(zhì)中電位滿足的泊松（Poisson）方程在均勻、線性和各向同性的電介質(zhì)的無源區(qū)電位滿足拉普拉斯（Laplace）方程（3.2.20）非均勻電介質(zhì)中電位所滿足的微分方程30《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-31電場強度的泊松方程和拉普拉斯方程在均勻、線性和各向同性的電介質(zhì)中電場強度的泊松方程（3.2.21）電荷均勻分布時電場強度滿足拉普拉斯方程（3.2.25）在均勻、線性和各向同性的電介質(zhì)的無源區(qū)電場強度滿足拉普拉斯方程（3.2.25）非均勻電介質(zhì)中電場強度所滿足的微分方程31《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-32直角坐標系中的泊松方程和拉普拉斯方程直角坐標系中電位的泊松方程和拉普拉斯方程（1.3.4）32《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-33直角坐標系中電場強度的泊松方程和拉普拉斯方程（1.3.5）（3.2.22）（3.2.23）（3.2.24）直角坐標系中的泊松方程和拉普拉斯方程33《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-34圓柱坐標系中電位的泊松方程和拉普拉斯方程——體電荷密度34《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-35球面坐標系中電位的泊松方程和拉普拉斯方程35《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-362.

電位的邊界條件電位邊界條件與電場邊界條件的關(guān)系兩種不同電介質(zhì)的分界面的邊界條件導(dǎo)體表面的邊界條件36《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-37電位邊界條件與電場邊界條件的關(guān)系電位邊界條件可以直接由電場的邊界條件導(dǎo)出。由梯度的定義可以得到電場的沿著某個方向的分量與電位沿該方向的方向?qū)?shù)有關(guān)，即（3.2.26）（3.2.27）——電位沿界面的切向方向上的方向?qū)?shù)——電位沿界面的法向方向上的方向?qū)?shù)37《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-38兩種不同電介質(zhì)的分界面的邊界條件（3.2.29）（3.2.28）因為靜電場是保守場，由電位的定義（電場力所做的功）可知，電位總是連續(xù)的。當然在邊界上也不例外。因此，兩種不同電介質(zhì)的分界面處的邊界條件可以寫成（3.2.31）（3.2.30）38《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-39導(dǎo)體表面的邊界條件由于導(dǎo)體內(nèi)部不可能存在靜電場，所以導(dǎo)體必為等位體，導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面必為等位面，由此可得導(dǎo)體表面的邊界條件為（3.2.32）（3.2.33）——電位沿導(dǎo)體表面的外法線方向的方向?qū)?shù)39《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-403.3

靜電場的能量和導(dǎo)體的電容3.3.1

靜電場的能量和能量密度3.3.2

導(dǎo)體系統(tǒng)的電容40《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-413.3.1

靜電場的能量和能量密度靜電場的能量基本概念建立點電荷系時外力所做的功點電荷系的電場的能量體電荷分布的電場的能量靜電場的能量密度41《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-42靜電場的能量基本概念靜電場是一種具有能量分布的系統(tǒng)，對其中的電荷具有作用力。由于產(chǎn)生靜電場的電荷都是靜止的，所以不必考慮與運動狀態(tài)有關(guān)的動能，而只需考慮與位置有關(guān)的位能。在討論靜電場的能量時，必須假設(shè)電荷的移動慢到足以使動能和輻射效應(yīng)都可以忽略。一個點電荷的所產(chǎn)生的電場的位能就等于把該點電荷從零電位的無窮遠處移動到實際所在位置上時，外力為克服電場力所需做的功。對于任意形式的電荷分布，情況也是一樣的，即靜電場所具有的能量就等于建立該電場的過程中所需要的外力。42《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-43點電荷系移動第一個點電荷，沒有外力做功，即；移動第二個點電荷，外力做功當整個點電荷系統(tǒng)全部建立時，外力所做的總功為建立點電荷系時外力所做的功43《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-44外力所做的總功，也即該系統(tǒng)的總的電場能量為（3.3.1）電場能量的建立與移動電荷的次序無關(guān)。點電荷系的電場的能量44《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-45幾點說明：電場能量的單位是焦耳（）。是點電荷和之間的距離。是由除電荷本身以外的其它所有的點電荷在處產(chǎn)生的電位。這里討論的能量僅代表相互作用的能量，即互能?；ツ芸梢詾檎?，也可以為負。當兩個點電荷同性時，互能為正；反之當兩個點電荷異性時，互能為負。對于單個點電荷，則相互作用能為零，即。上面的討論中，沒有涉及每個點電荷本身建立時所需的能量，即自能。點電荷系的電場的能量45《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-46用電荷密度和電位表示的能量用場量表示的能量（3.3.2）（3.3.3）證明：由高斯定理可得若取積分域為無限大的空間，左邊的面積分將趨于零。由此得到體電荷分布的電場的能量46《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-47靜電場的能量密度（3.3.5）靜電場的能量密度（線性和各向同性的介質(zhì)中）靜電場的總儲能能量（3.3.4）能量密度的單位是焦耳每立方米（）。能量密度恒大于零，也就是說，靜電場能量恒為正。47《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-483.3.2

導(dǎo)體系統(tǒng)的電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容的基本概念“孤立”的帶電導(dǎo)體的電容兩個帶電導(dǎo)體的電容電容器的電容48《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-49導(dǎo)體系統(tǒng)的電容的基本概念導(dǎo)體是一種自身帶有大量自由電荷的物質(zhì)。在靜電場的條件下，導(dǎo)體中所有的電荷都將處于一種穩(wěn)定的靜電平衡狀態(tài)。導(dǎo)體內(nèi)部的總電荷及其電場均為零，電荷只能分布在導(dǎo)體的表面。這些電荷又會在周圍空間產(chǎn)生電場。由導(dǎo)體所組成的電容器就是利用導(dǎo)體的充放電來儲存和釋放電場能量的。而電容器這種能力的大小就用電容來描述。49《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-50“孤立”的帶電導(dǎo)體的電容“孤立”的帶電導(dǎo)體的電容就等于導(dǎo)體所帶的電量與導(dǎo)體的電位之比，即（3.3.6）例如：真空中一個半徑為

的帶電球體的電容50《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-51兩個帶電導(dǎo)體的電容兩個帶電導(dǎo)體的電位系數(shù)兩個帶電導(dǎo)體的電容系數(shù)兩個帶電導(dǎo)體的電容兩個帶電導(dǎo)體表面的面電荷在空間所產(chǎn)生的電位分布與該兩個帶電導(dǎo)體的所帶電量也是成正比的。51《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-52兩個帶電導(dǎo)體的電位系數(shù)（3.3.7）（3.3.8）其中電位系數(shù)都是與導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)的常數(shù)，僅與帶電體的形狀、尺寸以及周圍的電介質(zhì)有關(guān)。根據(jù)互易性，有

——自電位系數(shù)

——互電位系數(shù)空間任意一點的電位與導(dǎo)體的帶電量成正比，即52《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-53兩個帶電導(dǎo)體的電容系數(shù)其中電容系數(shù)僅與帶電體的形狀、尺寸以及周圍的電介質(zhì)有關(guān)，都是與導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)的常數(shù)。根據(jù)互易性，有

——自電容系數(shù)

——互電容系數(shù)空間任意一點的導(dǎo)體的帶電量與電位成正比，即（3.3.9）（3.3.10）53《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-54兩個帶電導(dǎo)體的電容其中部分電容僅與帶電體的形狀、尺寸以及周圍的電介質(zhì)有關(guān)，都是與導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)的常數(shù)。根據(jù)互易性，有

——自部分電容

——互部分電容令（3.3.11）（3.3.12）54《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-55電容器的電容電容器——兩個帶有等值異號電荷的導(dǎo)體，即兩個帶電導(dǎo)體之間的電位差電容器中兩個導(dǎo)體之間的電位差和所帶的電量成正比關(guān)系。55《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-56電容器的電容——電容器中兩個導(dǎo)體之間的電位差和

所帶的電量之比的倒數(shù)電容與電容系數(shù)之間的關(guān)系為電容器的電容僅與電容器的形狀、尺寸以及周圍的電介質(zhì)有關(guān)，而與電容器極板上所帶的電荷量的多少無關(guān)，也與兩個極板間的電位差無關(guān)。它是一個大于零的正數(shù)。（3.3.13）（3.3.14）電容器的電容56《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-57電容器的電容與場量的關(guān)系電容器的電容與電容器中的儲能的關(guān)系（3.3.17）電容器中的儲能（3.3.18）上式再一次證明，靜電場能量恒為正。電容器的電容57《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-58平板電容器的電容（3.3.19）而比較可得設(shè)電容器的帶電量為，每個平板的面積為，兩個平板的間距為58《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-593.4

靜電場邊值問題的分類以及唯一性定理3.4.1

靜電場邊值問題的分類3.4.2

靜電場唯一性定理59《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-60分布型問題和邊值型問題靜電場的三類邊值問題3.4.1

靜電場邊值問題的分類60《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-61分布型問題和邊值型問題靜電場問題分為兩大類：分布型問題和邊值型問題靜電場分布型問題——已知場中的電荷分布，求取場內(nèi)的電場強度分布或電位分布。例如利用庫侖定律或高斯定律求靜電場分布。靜電場邊值型問題——根據(jù)已知某一給定區(qū)域內(nèi)的電荷分布以及包圍該區(qū)域的表面上的邊界條件來求電場的問題。其中最常見的是已知兩種不同媒質(zhì)分界面上（主要是指導(dǎo)體與電介質(zhì)的分界面上）的電位邊界條件，通過求解電位泊松方程或拉普拉斯方程以獲取電介質(zhì)內(nèi)的電位分布。61《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-62靜電場的三類邊值問題（1）第一類邊值問題（Dirichlet狄利赫里邊值問題）

——已知邊界上（導(dǎo)體表面）的電位分布（2）第二類邊值問題（Neumann諾依曼邊值問題）

——已知的是邊界上（導(dǎo)體表面）的電位沿法線方向的方向?qū)?shù)分布（即導(dǎo)體表面的面電荷密度分布）（3）第三類邊值問題（混合邊值問題）

——已知部分邊界上的電位和另一部分邊界上電位沿法線方向的方向?qū)?shù)62《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-633.4.2

靜電場唯一性定理靜電場的唯一性定理靜電場的唯一性定理的證明靜電場的邊值問題解法63《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-64靜電場唯一性定理靜電場的唯一性定理——如果帶電導(dǎo)體的形狀、尺寸和位置均已固定，則滿足邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。靜電場的唯一性定理的證明可以通過以泊松方程為例并采用反證法來證明這一定理。證明靜電場中唯一性定理的過程，完全可以推廣到以后的恒定電場和恒定磁場以及時變電磁場中。也就是說，滿足給定的源分布和給定的邊界條件的任意一種場，其解必是唯一的。64《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-65靜電場唯一性定理的證明證明：我們以泊松方程為例并采用反證法來證明這一定理。設(shè)在靜電場的場域空間中有兩個解和，它們滿足同樣的邊界條件和泊松方程，而兩個解的差應(yīng)滿足拉普拉斯方程，即在格林第一定理中，令，可得（3.4.1）65《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-66將取為諸導(dǎo)體外部的無限大空間，則包圍該體積的閉合曲面將由各個導(dǎo)體表面和無限大球面所組成。當電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)時，在無限大球面上的面積分必趨于零，于是有（3.4.2）靜電場唯一性定理的證明66《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-67對第一類邊值問題而言，在諸導(dǎo)體表面上，所以上式右端為零，得即因為被積函數(shù)不小于零，上式必然導(dǎo)致常數(shù)又因為在諸導(dǎo)體表面上，已知，則上式中的常數(shù)必為零，即在內(nèi)各點有這說明，第一類邊值問題的解是唯一的。靜電場唯一性定理的證明67《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-68對第二類邊值問題而言，在諸導(dǎo)體表面上，同樣可得同樣因為被積函數(shù)不小于零，上式必然導(dǎo)致這時，不一定為零，即與相差一個常數(shù)。然而，電場強度在內(nèi)各點卻是處處相等的，即從這個意義上講，我們?nèi)匀豢梢哉J為靜電場的解是唯一的。即常數(shù)靜電場唯一性定理的證明68《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-69對第三類邊值問題而言，它是上述兩類邊界條件的混合情形，因而可借助上面的證明方法來證明這類邊值問題的解的唯一性。與靜電場一樣，恒定電場、恒定磁場以及時變電磁場都有相應(yīng)的唯一性定理。因為靜電場、恒定電場、恒定磁場以及時變電磁場都是矢量場，而矢量場都滿足唯一性定理。所有唯一性定理的證明都是采用反證法來證明的。靜電場唯一性定理的證明69《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-70本章將要介紹的靜電場邊值問題的各種不同的解法雖然都是從靜電場問題引出來的，但它們完全可以推廣應(yīng)用至一般的電磁場邊值問題的分析中去。靜電場的邊值問題解法邊值問題解法：直接積分法——求解一維場滿足的常微分方程。分離變量法——坐標曲面邊界內(nèi)的拉普拉斯方程。鏡象法——形狀簡單的邊界及其附近的點電荷和線電荷。復(fù)變函數(shù)法——二維平面場，由解析函數(shù)確定的特殊邊界。數(shù)值解法——有限差分法，有限元法，矩量法……其它解法——格林函數(shù)法……70《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-713.5

直接積分法（DirectIntegralMethod）直接積分法的基本概念直接積分法的實例71《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-72直接積分法的基本概念直接積分法——直接求解一維電位分布所滿足的二階常微分方程，即一維的泊松方程（有源區(qū)）或一維的拉普拉斯方程（無源區(qū)）?？梢圆捎弥苯臃e分法分析的電磁場問題必須滿足的條件：（1）電荷分布本身是一元函數(shù)；（2）媒質(zhì)分界面都是坐標曲面；（3）給定的等位面是坐標曲面。72《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-73直接積分法的解題步驟：（1）根據(jù)題目給定的條件設(shè)定各區(qū)域內(nèi)的一元電位函數(shù)；（2）求解每個電位分布所滿足的泊松方程或拉普拉斯方程得到電位函數(shù)的通解；（每個函數(shù)帶有兩個待定常數(shù)）（3）利用邊界條件以及特殊的定解條件（有界、零電位、對稱性……）確定待定常數(shù)得到各區(qū)域內(nèi)的電位分布，從而得到其它得物理量。直接積分法的基本概念73《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-74直接積分法的實例直角坐標系中的直接積分法實例圓柱坐標系中的直接積分法實例球面坐標系中的直接積分法實例74《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-75解：因為極板平面的尺寸遠大于板間距離，所以可以忽略邊緣效應(yīng)，近似認為板間電位僅與坐標有關(guān)，它應(yīng)滿足下列泊松方程，即例3.5.1有一平行板電容器，設(shè)極板之間的距離遠小于極板平面的尺寸，極板之間充滿著介電常數(shù)為的電介質(zhì)和均勻分布著體電荷密度為的電荷，極板之間的電壓，如圖3.5.1所示。試求極板之間的電位和電場強度。直角坐標系中的直接積分法實例75《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-76將上式直接積分，得出電位的通解表示式為式中，和為積分常數(shù)，它可以通過邊界條件來確定，即從而求得極板平面之間的電位和電場強度分別為注意：該兩塊平行平板組成的并不是所謂的電容器，不能定義該平行平板的電容。76《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-77例3.5.2設(shè)有一根長直的同軸電纜，內(nèi)外導(dǎo)體的半徑分別為和（），它們之間填充了介電常數(shù)為的電介質(zhì)，其截面如圖3.5.2所示。已知內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為，試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位和電場強度分布以及單位長度電纜的電容。解：由于內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位僅隨坐標而變化，即內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位應(yīng)滿足一維的拉普拉斯方程圓柱坐標系中的直接積分法實例77《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-78對上式直接積分，得出通解表示式為積分常數(shù)和可以通過下面的邊界條件來確定從而求出內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位及其電場強度分布分別為78《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-79由于內(nèi)導(dǎo)體的表面的電荷密度為由此可得單位長度同軸電纜的電容為79《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-80例3.5.3有一半徑為的球體，均勻分布著密度為的體電荷。設(shè)球內(nèi)外介質(zhì)的介電常數(shù)分別為和，試求球內(nèi)外的電位和電場強度分布。解：設(shè)球內(nèi)的電位和電場強度分別表示為和，球外的電位和電場強度分別表示為和，它們均僅為坐標的函數(shù)。和分別滿足一維的泊松方程和拉普拉斯方程，即將上述兩方程分別直接積分兩次，得出通解為球面坐標系中的直接積分法實例80《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-81在球體表面上，依不同介質(zhì)的分界面上的邊界條件有除此以外還有另外兩個定解條件和前一個條件是由設(shè)定無限遠為零電位參考點得到，而后一個條件可以借助積分形式的高斯定律直接求出。將上面這四個定解條件代入電位的通解表達式，就可以確定四個積分常數(shù)為81《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-82最終得出球內(nèi)外的電位和電場強度分布分別為82《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-833.6

分離變量法（MethodofSeparationofVariables）分離變量法的基本概念3.6.1

直角坐標系中的分離變量法3.6.2

圓柱坐標系中的分離變量法3.6.3

球面坐標系中的分離變量法83《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-84分離變量法的基本概念分離變量法——將待求的多變量的未知函數(shù)表示為三個未知函數(shù)的乘積，其中每一個函數(shù)僅為一個坐標變量的函數(shù)。將這個表示為乘積的電位表示式代入拉普拉斯方程，則該偏微分方程轉(zhuǎn)化為三個常微分方程。在分別求解出這些常微分方程的通解以后，再利用邊界條件確定通解中的積分常數(shù)，從而最后求出邊值問題的解答。用分離變量法來求解邊值問題時，必須選擇適當?shù)淖鴺讼?，以使得坐標面與邊界面相一致。只有這樣，才能比較方便地利用邊界條件確定邊值問題的解。在不同的坐標系中，分離變量的過程都是一樣的，但是結(jié)果卻是不同的。84《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-85分離變量法的適用范圍——求解給定邊界條件的標量拉普拉斯方程或標量亥姆霍茲方程（1）和，但，；（2）邊界為坐標曲面。分離變量法的解題步驟——分為三個步驟：（1）選定坐標系，分離變量，找出含有分離常數(shù)和積分常數(shù)的通解；（2）由邊界條件確定分離常數(shù)以及解的具體形式；（3）利用調(diào)和函數(shù)的正交性定出積分常數(shù)，得到問題的特解。分離變量法的基本概念85《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-863.6.1

直角坐標系中的分離變量法直角坐標系中的通解以及通解的選擇二維場的基本問題以及問題的分解二維場的基本問題的通解及其解的確定直角坐標系中的分離變量法的實例86《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-87直角坐標系中的通解以及通解的選擇令代入拉普拉斯方程得等式兩端同除以可得（3.6.3）直角坐標系中的變量分離在上式左邊的三項中，每一項僅與一個坐標變量有關(guān)，要使其成立，每一項必然與任何坐標變量都無關(guān)，即均為常數(shù)，由此可得直角坐標系中的三個微分方程。87《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-88直角坐標系中三個分離函數(shù)所滿足的三個微分方程式中，稱為分離常數(shù)。（3.6.4）（3.6.5）（3.6.6）直角坐標系中的通解以及通解的選擇88《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-89直角坐標系中三個分離常數(shù)滿足下列分離方程（3.6.7）（1）可以是一切實數(shù)，即可以，也就是說，可以是實數(shù)、虛數(shù)或零；（2）不能同時大于零或小于零，即不能同號；（3）二維場（）的兩個分離常數(shù)的平方必定是異號的，即。分離常數(shù)的性質(zhì)：直角坐標系中的通解以及通解的選擇89《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-90分離函數(shù)的解：（1）、為實數(shù)時（2）、為虛數(shù)時（3）、時（3.6.8）（3.6.9）（3.6.10）式中的都是待定的常數(shù)。直角坐標系中的通解以及通解的選擇90《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-91分離函數(shù)和的解：三個分離函數(shù)的乘積即成為拉普拉斯方程（3.6.1）的通解。直角坐標系中的通解以及通解的選擇91《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-92關(guān)于通解的說明：利用分離變量法得到的通解包含了三種函數(shù)形式，即線性函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)（或雙曲函數(shù)）。該通解只是滿足了直角坐標系中邊值問題所滿足的微分方程，即拉普拉斯方程。這個通解對所有能夠采用直角坐標系中的分離變量法求解的邊值問題都是適用的。邊值問題的解還必須滿足特定的邊界條件，很顯然，只有在通解中滿足邊界條件的函數(shù)才是該特定邊值問題的解。因此，在利用分離變量法求解靜電場邊值問題時，最重要的就是確定既能滿足拉普拉斯方程又能滿足邊界條件的函數(shù)形式。直角坐標系中的通解以及通解的選擇92《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-93選擇通解中的函數(shù)形式的幾個原則：（1）通解中的分離常數(shù)可以取各種不同的數(shù)值。在三維空間中，三個分離常數(shù)中只有兩個是獨立的，第三個由分離方程所確定。如果是二維場，只有一個獨立的分離常數(shù)；（2）三個分離常數(shù)的平方（）不能同時大于零或小于零，即不能同號。所以靜電場的三個分離函數(shù)的通解不可能同為三角函數(shù)和同為指數(shù)函數(shù)（或雙曲函數(shù)）。對于二維靜電場而言，通解中的兩個分離函數(shù)一個是三角函數(shù)，另一個必為指數(shù)函數(shù)（或雙曲函數(shù)）。直角坐標系中的通解以及通解的選擇93《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-94選擇通解中的函數(shù)形式的幾個原則：（3）當分離常數(shù)為離散值，解為將所有的分離常數(shù)所對應(yīng)的解的和，即級數(shù)形式；當分離常數(shù)為連續(xù)值，利用分離變量法所得到的解是一個積分。（4）分離常數(shù)是利用給定的邊界條件，根據(jù)三角函數(shù)、線性函數(shù)和雙曲函數(shù)的性質(zhì)來確定；例如，三角函數(shù)具有兩個以上的函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)的零點，雙曲函數(shù)在無窮遠處趨于無限大等等。直角坐標系中的通解以及通解的選擇94《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-95二維場的基本問題以及問題的分解兩種典型的二維問題的邊界面

——無限長的矩形區(qū)域和無限長的半無限深的矩形區(qū)域95《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-96二維場的基本問題——在沿著某一個坐標方向的兩個邊界上場的邊界條件為齊次（函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)為零）的二維場。利用場的疊加性，可以將任意的二維場分解成若干個二維基本問題的場的疊加。（有時還要加上一個線性項）由于分解的方式不只一種，所以最后得到的解的形式也是不一樣的。但是根據(jù)解的唯一性，它們都是原問題的解。原二維問題二維場的基本問題以及問題的分解96《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-97三種不同的分解方式：

（1）（2）

（3）

二維場的基本問題以及問題的分解97《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-98二維場的基本問題的通解及其解的確定一般情況下，場域有限時，選取雙曲函數(shù)；場域無限時，選取指數(shù)函數(shù)。（1）沿方向的兩個邊界上具有齊次的邊界條件98《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-99（2）沿方向的兩個邊界上具有齊次的邊界條件一般情況下，場域有限時，選取雙曲函數(shù)；場域無限時，選取指數(shù)函數(shù)。二維場的基本問題的通解及其解的確定99《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-100由邊界條件確定解的具體形式的兩個步驟：（1）代入相關(guān)的齊次邊界條件確定分離常數(shù)和部分待定常數(shù)。由于分離常數(shù)通常不只一個，所以將會得到級數(shù)形式的解，其中級數(shù)的每一項的系數(shù)還是未定的；（2）代入非齊次的邊界條件，利用三角函數(shù)的正交性確定級數(shù)中每一項的待定系數(shù)，得到問題的最終解。也可以直接利用確定傅立葉級數(shù)系數(shù)的公式來確定級數(shù)的系數(shù)。二維場的基本問題的通解及其解的確定100《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-101三角函數(shù)的正交性：一般形式常用形式二維場的基本問題的通解及其解的確定101《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-102周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開的系數(shù)計算公式：一般情況常用情況——周期二維場的基本問題的通解及其解的確定102《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-103例3.6.1有一只長直的金屬槽，其橫截面如圖3.6.1所示。上方的蓋板與槽壁有無限小的間隙以使之相互絕緣，蓋板的電位為，槽壁電位為零。試求該槽內(nèi)的電位分布。解：這是一個二維場的基本問題。由于在槽內(nèi)場沿著軸方向?qū)⒊霈F(xiàn)兩個電位零點，即電位沿著軸方向必為三角函數(shù)分布，所以通解應(yīng)選擇成下列形式：直角坐標系中的分離變量法的實例103《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-104將邊界條件代入上式，得出上式要在滿足的所有值上均成立，必有，所以通解變成為（3.6.15）104《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-105將邊界條件代入上式，得出同理，上式要在滿足的所有值上均成立，必有。但是，。否則將導(dǎo)致槽內(nèi)電位為零，這與實際情況不符。因而只能，即（3.6.16）105《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-106此時如此一來，通解變成為（3.6.17）（3.6.18）106《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-107再將邊界條件代入上式，得上面已提到，，因此必然有，于是得到式中，。107《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-108最后，將邊界條件代入上式，得將上式對

求和，可將此邊值問題的解寫成（3.6.19）（3.6.20）108《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-109由傅立葉級數(shù)展開的系數(shù)計算公式可得即109《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-110最終得出該邊值問題的解為可以看到，在四個邊界中有三個邊界的電位均為零的級數(shù)解中級數(shù)的每一項都是正弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)的乘積，而且是在兩個邊界電位均為零的方向為正弦函數(shù)分布，在邊界電位有不為零的另一個方向為雙曲正弦函數(shù)分布。110《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-111利用數(shù)值計算，可以畫出該導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布如圖3.6.2所示。其中實線代表等位面，而虛線代表的是電力線。111《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-112幾點說明：（1）從三角函數(shù)的正交性開始進行分析，可以得到同樣的結(jié)果（見書）；（2）通解選擇合適，求解過程簡單；通解選擇不當，同樣也可以得到正確的結(jié)果，但是求解過程會很復(fù)雜；（3）對于一些特殊的邊界條件，最后的解可以只是級數(shù)中的幾項；（4）復(fù)雜的問題可以分解成簡單問題的疊加；（5）三維場的求解過程類似于二維場（見例3.6.2）。112《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-113根據(jù)場的疊加性求解邊值問題的一個例子直角坐標系中的分離變量法的實例113《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-114根據(jù)場的疊加性求解邊值問題的另一個例子直角坐標系中的分離變量法的實例114《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-115例3.6.2有一長方形金屬盒子，如圖3.6.5所示。其邊長分別為。在除頂面以外的五個矩形表面上，電位均為零；頂面與其它表面絕緣，其上電位為常數(shù)。試求盒內(nèi)電位分布。解：這是一個三維邊值問題的基本問題，其通解為直角坐標系中的分離變量法的實例115《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-116利用邊界條件和三角函數(shù)的正交性最后得出該三維邊值問題的解為此例題也屬于一個基本問題，即只有一個邊界條件是非齊次的邊值問題的分離變量法求解。對于基本問題的求解，不管是三維的，還是二維的，其基本的解題步驟是一樣的。116《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-1173.6.2

圓柱坐標系中的分離變量法圓柱坐標系中的通解以及通解的選擇圓柱坐標系中典型的二維場的通解圓柱坐標系中的分離變量法的實例117《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-118圓柱坐標系中的通解以及通解的選擇圓柱坐標系中的變量分離令，代入拉普拉斯方程得到即圓柱坐標系中的三個分離函數(shù)所滿足的三個微分方程不能從上式一次性得到，而是要逐漸得到。118《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-119圓柱坐標系中的三個分離函數(shù)所滿足的三個微分方程圓柱坐標系的分離變量法只有兩個分離常數(shù)，它們都是獨立的，即可以是一切實數(shù)，即可以大于零、小于零或等于零，也就是說，可以是實數(shù)、虛數(shù)或零。（3.6.25）（3.6.26）（3.6.27）圓柱坐標系中的通解以及通解的選擇119《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-120圓柱坐標系中的三個分離方程的常用解的三種解：（3.6.29）（3.6.32）（3.6.35）圓柱坐標系中的通解以及通解的選擇120《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-121的常用解當所要求解的場域為時，由于電位應(yīng)為的單值函數(shù)，即，所以常數(shù)應(yīng)為整數(shù)，即（

為整數(shù)）。因此，的常見形式為若場域不滿足上述條件時，的解類似于。（3.6.28）圓柱坐標系中的通解以及通解的選擇121《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-122（

為整數(shù)）時，的三種解：（1）時，滿足的方程及其解：方程（3.6.30）稱為階貝塞爾（Bessel）方程。和分別稱為第一類階貝塞爾函數(shù)和第二類階貝塞爾函數(shù)（諾依曼（Neumann）函數(shù)）。（3.6.30）（3.6.31）圓柱坐標系中的通解以及通解的選擇122《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-123第一類貝塞爾函數(shù)和第二類貝塞爾函數(shù)（諾依曼）函數(shù)。圓柱坐標系中的通解以及通解的選擇123《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-124（2）時，滿足的方程及其解：方程（3.6.36）稱為階變形貝塞爾（Bessel）方程。和分別稱為第一類階變形貝塞爾函數(shù)和第二類階變形貝塞爾函數(shù)。（3.6.36）（3.6.37）圓柱坐標系中的通解以及通解的選擇124《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-125第一類變形貝塞爾函數(shù)和第二類變形貝塞爾函數(shù)。圓柱坐標系中的通解以及通解的選擇125（3）時，滿足的方程及其解：《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-126方程（3.6.33）稱為歐拉（

Euler

）方程。（3.6.33）（3.6.34）圓柱坐標系中的通解以及通解的選擇126《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-127關(guān)于通解的說明：針對不同的問題，選定，和后，它們的線性組合就給出了圓柱坐標系中拉普拉斯方程的通解。通解的選取由通解的性質(zhì)以及邊界條件的情況共同決定。取三角函數(shù)時，必為變形貝塞爾函數(shù)；取雙曲函數(shù)時，必為貝塞爾函數(shù)。圓柱坐標系中的通解以及通解的選擇127《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-128圓柱坐標系中典型的二維場的通解二維場的通解：128《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-129二維場的通解：或圓柱坐標系中典型的二維場的通解129《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-130圓柱筒內(nèi)的二維場的通解側(cè)壁上電位為零時的通解：圓柱坐標系中的分離變量法的實例130《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-131頂部和底部的電位為零時的通解：（3.6.45）習題3.24的通解。圓柱坐標系中的分離變量法的實例131《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-132例3.6.3設(shè)一截面半徑為、介電常數(shù)為的長直介質(zhì)圓柱體放入一無限大的均勻靜電場中，如圖3.6.3（a）所示。圓柱體外為真空，圓柱體的軸線與電場的方向垂直。試求該圓柱體內(nèi)外的電位及電場分布。圓柱坐標系中的分離變量法的實例132《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-133解：取定圓柱坐標系，使軸與圓柱體的軸相重合，軸正向與的方向相一致，即。在此坐標系下，諸場量均與坐標無關(guān)，圓柱內(nèi)外部電位可分別寫為（3.6.38）（3.6.39）133《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-134上列兩式的待定系數(shù)可以利用下列的邊界條件來確定：（1）在介質(zhì)圓柱體的軸線上，電位為有限值，即（2）在介質(zhì)圓柱體的表面上滿足電位邊界條件，即（3.6.40）（3.6.41）（3.6.42）134《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-135（3）由于介質(zhì)圓柱體表面的極化電荷在的地方所建立的電場已減弱至零，所以這些地方的電場應(yīng)等于外加的均勻場。若取時的電位為零，則外加均勻電場所對應(yīng)的電位分布應(yīng)為，故有（3.6.43）135《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-136將（3.6.38）式代入（3.6.40）式，得到，即將（3.6.39）式代入（3.6.43）式，得到以及（若），即136《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-137將上列兩式分別代入（3.6.41）式和（3.6.42）式，得出137《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-138通過比較系數(shù)得到最后，將上述系數(shù)值代入（3.6.38）式和（3.6.39）式，則可得出介質(zhì)柱內(nèi)外的電位分布函數(shù)分別為138《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-139利用公式，可分別求出柱體內(nèi)外的電場分布為139《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-140從上述結(jié)果可以看出，圓柱體內(nèi)的電場大小與位置無關(guān)，是一個均勻場。因為，所以。也就是說，圓柱體內(nèi)的電場小于外加的電場。真?zhèn)€空間的電場分布的示意圖如圖3.6.3（b）所示。圓柱體內(nèi)的電場的減弱是因為介質(zhì)表面極化電荷的緣故。140《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-1413.6.3球面坐標系中的分離變量法球面坐標系中的通解的變量分離球面坐標系中的常用的通解球面坐標系中的分離變量法的實例141《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-142球面坐標系中的變量分離球面坐標系中的標量拉普拉斯方程令，代入拉普拉斯方程得到（3.6.46）采用類似于圓柱坐標系中分離變量的過程，就可以依次得到函數(shù)球面坐標系中三個分離函數(shù)所滿足的三個微分方程。142《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-143球面坐標系中的三個方程方程（3.6.54）稱為歐拉（Euler）方程，它的解為冪函數(shù)；方程（3.6.53）稱為勒讓德（Legendre）方程，它的解為勒讓德函數(shù)；方程（3.6.54）的解類似于直角坐標系。（3.6.48）（3.6.54）（3.6.53）球面坐標系中的變量分離143《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-144球面坐標系中的常用的通解（3.6.55）（3.6.56）（3.6.50）和分別稱為第一類和第二類階次連帶勒讓德函數(shù)。144《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-145當，即場量不隨坐標的不同而變化時，勒讓德方程的解為（3.6.57）和分別稱為第一類和第二類階勒讓德函數(shù)。勒讓德函數(shù)的基本性質(zhì)。球面坐標系中的常用的通解145《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-146球面坐標系中的最典型的情況——場量關(guān)于軸旋轉(zhuǎn)對稱，且場域?qū)⑤S包含在內(nèi)。此時的通解應(yīng)選為（3.6.61）球面坐標系中的常用的通解146例3.6.4設(shè)有一半徑為的接地金屬球，放置在均勻的靜電場中，球外為真空。試求球外空間的電場分布以及球面上的感應(yīng)電荷的面密度?！峨姶艌雠c電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-147球面坐標系中的分離變量法的實例此題的求解過程類似于球面坐標系中的分離變量法的實例（例3.6.3）。將邊界條件帶入通解后，利用比較系數(shù)得到待定常數(shù)，最后得到電場分布以及球面上的感應(yīng)電荷的面密度。147《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-1483.7

鏡像法（MethodofImages）鏡像法的基本概念3.7.1

點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法3.7.2

點電荷關(guān)于導(dǎo)體球面的鏡像法3.7.3

點電荷關(guān)于無限大介質(zhì)平面的鏡像法3.7.4

線電荷關(guān)于無限長圓柱導(dǎo)體面的鏡像法148《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-149鏡像法的基本概念鏡像法——用鏡像電荷代替導(dǎo)體面或介質(zhì)面的影響，利用原電荷和鏡像電荷來計算場分布。當電荷附近存在著形狀比較特殊的導(dǎo)體面或介質(zhì)面（例如為無限大平面、無限長圓柱面、球面等等）時，可以采用鏡像法。鏡像法的關(guān)鍵是要確定鏡像電荷的位置、大小和符號，使場量原來所滿足的方程及其邊界條件保持不變。若能做到這一點，則根據(jù)靜電場唯一性定理，用鏡像法所求出的解就成為所要求的場的唯一解。鏡像電荷實際上并不存在，它只是導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷或者是介質(zhì)表面的極化電荷的一種等效。149《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-150照鏡子與導(dǎo)體面前的點電荷照鏡子時，對觀察者而言人＋鏡子＝人＋像（無鏡子）采用鏡像法時，對場點而言電荷＋導(dǎo)體面＝電荷＋鏡像電荷（無導(dǎo)體面）鏡像法的基本概念150《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-1513.7.1

點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷的數(shù)學證明無限大導(dǎo)體平面上方的點電荷所產(chǎn)生的電位和電場點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法的應(yīng)用151《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-152點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷——大小相等、極性相反，位置以平面為對稱，即152《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-153的平面是一個電位為零的等位面。由于導(dǎo)體的表面必為等位面，因此，如果用一個無限大的導(dǎo)體平面來替代該等位面，則導(dǎo)體以上的場將不會改變。電偶極子的電位和電場點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像電荷153《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-154點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法的數(shù)學證明（3.7.1）（3.7.2）（3.7.3）下面我們只需證明，（3.7.3）式所表示的電位是泊松方程（3.7.1）和邊界條件（3.7.2）式所確定的邊值問題的解。導(dǎo)體平面上方的電位應(yīng)滿足下列方程和邊界條件

由點電荷和鏡像電荷即電偶極子所產(chǎn)生的電位154《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-155首先，將代入（3.7.3）式，得出，即邊界條件（3.7.2）式得到滿足。再看在的上半空間，此時，，依（1.3.12）式可知如此一來，我們只需證明（3.7.4）即可。點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法的數(shù)學證明155當，即在源點處，可以取一個以源點為球心的球體，依高斯散度定理，可以得到《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-156當，即在不包含源點的區(qū)域，依（1.2.27）式可知這里利用了關(guān)于閉合曲面立體角的結(jié)果。于是，也就證明了的證明：點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法的數(shù)學證明156《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-157無限大導(dǎo)體平面上方的點電荷所產(chǎn)生的電位和電場（3.7.3）無限大導(dǎo)體平面上方的電位無限大導(dǎo)體平面上方的電位157《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-158無限大導(dǎo)體平面上的電荷密度和總電荷無限大導(dǎo)體平面上方的點電荷所產(chǎn)生的電位和電場158《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-159無限大導(dǎo)體平面上方的點電荷所產(chǎn)生場的分布圖無限大導(dǎo)體平面上方的點電荷所產(chǎn)生的電位和電場159《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-160幾點說明：用鏡像電荷來取代導(dǎo)體平面以后，在場域空間（上半空間）所產(chǎn)生的電位仍然滿足原來電位的泊松方程和邊界條件。用鏡像電荷取代導(dǎo)體平面以后，對導(dǎo)體平面上方的場分布不產(chǎn)生任何影響。等效性僅僅在導(dǎo)體平面的上方才存在；在下半空間，這種等效性是不存在的。嚴格地說，只有當導(dǎo)電平面為無限大時，鏡像電荷才與原電荷等值異號，并位于原電荷的鏡像位置上。對于有限的導(dǎo)體平面，利用鏡像法得到的只是近似結(jié)果。實際中，只要導(dǎo)電平面的面積足夠大，滿足一定的條件，都可以按無限大導(dǎo)體平面處理。無限大導(dǎo)體平面上方的點電荷所產(chǎn)生的電位和電場160《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-161點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法的應(yīng)用如果導(dǎo)電平面上方存在多個點電荷或任意分布形式的電荷，可以用導(dǎo)體平面下方對稱位置上的多個鏡像點電荷或同樣形式的鏡像電荷分布來代替導(dǎo)體平面的影響。（1）線電荷與無限大導(dǎo)體平面的鏡像法（2）點電荷與兩個半無限大相交導(dǎo)體平面的鏡像法（3）點電荷與兩個平行的無限大導(dǎo)體平面的鏡像法補充說明161《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-162（1）線電荷與無限大導(dǎo)體平面的鏡像法鏡像線電荷與原線電荷大小相等、極性相反，且位置以平面為對稱，即162《電磁場與電磁波理論》第3章靜電場及其邊值問題的解法3-163上半空間的電位分布若將零電位參考點取在導(dǎo)體平面上，即，則有其中——線電荷距零電位參考面的距離——鏡像線電荷距零電位參考面的距離（1）線電荷與無限大導(dǎo)體平面的鏡像法163必須要有足夠多的鏡像電荷才能滿足兩個導(dǎo)體平面的邊界條件。只有夾角滿足條件