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2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個(gè)面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.2.已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示,俯視圖中的兩個(gè)小三角形全等,則()A.PA,PB,PC兩兩垂直 B.三棱錐P-ABC的體積為C. D.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為3.已知向量與的夾角為,,,則()A. B.0 C.0或 D.4.在直角中,,,,若,則()A. B. C. D.5.已知正方體的棱長(zhǎng)為1,平面與此正方體相交.對(duì)于實(shí)數(shù),如果正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中恰好有個(gè)點(diǎn)到平面的距離等于,那么下列結(jié)論中,一定正確的是A. B.C. D.6.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為A. B.C. D.7.“”是“直線與互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.如圖,在正四棱柱中,,分別為的中點(diǎn),異面直線與所成角的余弦值為,則()A.直線與直線異面,且 B.直線與直線共面,且C.直線與直線異面,且 D.直線與直線共面,且9.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則a的值為()A. B.3 C.1 D.10.將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官,每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,則不同的分配方案種數(shù)是()A.18種 B.36種 C.54種 D.72種11.函數(shù)()的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.12.點(diǎn)是單位圓上不同的三點(diǎn),線段與線段交于圓內(nèi)一點(diǎn)M,若,則的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若圓C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)上存在點(diǎn)P,且點(diǎn)P關(guān)于直線x-y=0的對(duì)稱點(diǎn)Q在圓C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,則r的取值范圍是________.14.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,向量(4,﹣n),(Sn,n+3).若⊥,則數(shù)列{}前2020項(xiàng)和為_____15.在中,角所對(duì)的邊分別為,,的平分線交于點(diǎn)D,且,則的最小值為________.16.已知函數(shù),若關(guān)于的方程在定義域上有四個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是,且,.(1)求;(2)若邊上的中線,求的面積.18.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為求a,b的值;證明:.19.(12分)已知函數(shù)的最大值為2.(Ⅰ)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間;(Ⅱ)中,,角所對(duì)的邊分別是,且,求的面積.20.(12分)為了打好脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),某貧困縣農(nóng)科院針對(duì)玉米種植情況進(jìn)行調(diào)研,力爭(zhēng)有效地改良玉米品種,為農(nóng)民提供技術(shù)支援,現(xiàn)對(duì)已選出的一組玉米的莖高進(jìn)行統(tǒng)計(jì),獲得莖葉圖如圖(單位:厘米),設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖玉米.(1)求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù);(2)根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表:抗倒伏易倒伏矮莖高莖(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)?附:,0.0500.0100.0013.8416.63510.82821.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在曲線上,求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且與直角坐標(biāo)系長(zhǎng)度單位相同的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程是.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A,B,求線段的長(zhǎng).
2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【答案解析】
根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關(guān)系分別求得的值,即可比較各選項(xiàng).【題目詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交,∴,∴結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知,只有正確.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用,對(duì)空間想象能力要求較高,屬于中檔題.2.C【答案解析】
根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖,然后再計(jì)算可得.【題目詳解】解:根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示,其中D為AB的中點(diǎn),底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為,,,,,、不可能垂直,即不可能兩兩垂直,,.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原直觀圖,以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問(wèn)題,屬于中檔題.3.B【答案解析】
由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為,再由,代入表達(dá)式中即可求出.【題目詳解】由向量與的夾角為,得,所以,又,,,,所以,解得.故選:B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長(zhǎng)平方等于向量的平方,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4.C【答案解析】
在直角三角形ABC中,求得,再由向量的加減運(yùn)算,運(yùn)用平面向量基本定理,結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì):向量的平方即為模的平方,化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求值.【題目詳解】在直角中,,,,,
,
若,則故選C.【答案點(diǎn)睛】本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì),主要是向量的平方即為模的平方,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.5.B【答案解析】
此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【題目詳解】如圖(1)恰好有3個(gè)點(diǎn)到平面的距離為;如圖(2)恰好有4個(gè)點(diǎn)到平面的距離為;如圖(3)恰好有6個(gè)點(diǎn)到平面的距離為.所以本題答案為B.【答案點(diǎn)睛】本題以空間幾何體為載體考查點(diǎn),面的位置關(guān)系,考查空間想象能力,考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和知識(shí)方法的遷移能力,屬于難題.6.B【答案解析】
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率,利用數(shù)形結(jié)合即可得到的最小值.【題目詳解】解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率,當(dāng)位于時(shí),此時(shí)的斜率最小,此時(shí).故選B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點(diǎn)之間的斜率公式的計(jì)算,利用z的幾何意義,通過(guò)數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.7.A【答案解析】
利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定【題目詳解】當(dāng)時(shí),直線方程為與,可得兩直線平行;若直線與互相平行,則,解得,,則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件,故選【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì),充分條件,必要條件的定義和判斷方法,屬于基礎(chǔ)題.8.B【答案解析】
連接,,,,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性質(zhì)可知,直線與直線共面.,同理易得,由異面直線所成的角的定義可知,異面直線與所成角為,然后再利用余弦定理求解.【題目詳解】如圖所示:連接,,,,由正方體的特征得,所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得,所以異面直線與所成角為.設(shè),則,則,,,由余弦定理,得.故選:B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì),還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.9.D【答案解析】
整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實(shí)部為0,虛部不為0,即可求解.【題目詳解】由題,,因?yàn)榧兲摂?shù),所以,則,故選:D【答案點(diǎn)睛】本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.10.B【答案解析】
把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【題目詳解】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn),則不同的分配方案有種.故選:.【答案點(diǎn)睛】本題考查排列組合,屬于基礎(chǔ)題.11.C【答案解析】
對(duì)x分類討論,去掉絕對(duì)值,即可作出圖象.【題目詳解】故選C.【答案點(diǎn)睛】識(shí)圖常用的方法(1)定性分析法:通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定性的分析,從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì),利用這一特征分析解決問(wèn)題;(2)定量計(jì)算法:通過(guò)定量的計(jì)算來(lái)分析解決問(wèn)題;(3)函數(shù)模型法:由所提供的圖象特征,聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型,利用這一函數(shù)模型來(lái)分析解決問(wèn)題.12.D【答案解析】
由題意得,再利用基本不等式即可求解.【題目詳解】將平方得,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),,的最小值為,故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【答案解析】
設(shè)圓C1上存在點(diǎn)P(x0,y0),則Q(y0,x0),分別滿足兩個(gè)圓的方程,列出方程組,轉(zhuǎn)化成兩個(gè)新圓有公共點(diǎn)求參數(shù)范圍.【題目詳解】設(shè)圓C1上存在點(diǎn)P(x0,y0)滿足題意,點(diǎn)P關(guān)于直線x-y=0的對(duì)稱點(diǎn)Q(y0,x0),則,故只需圓x2+(y-1)2=r2與圓(x-1)2+(y-2)2=1有交點(diǎn)即可,所以|r-1|≤≤r+1,解得.故答案為:【答案點(diǎn)睛】此題考查圓與圓的位置關(guān)系,其中涉及點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題,兩個(gè)圓有公共點(diǎn)的判定方式.14.【答案解析】
由已知可得?4Sn﹣n(n+3)=0,可得Sn,n=1時(shí),a1=S1=1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1.可得:2().利用裂項(xiàng)求和方法即可得出.【題目詳解】∵⊥,∴?4Sn﹣n(n+3)=0,∴Sn,n=1時(shí),a1=S1=1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1.,滿足上式,.∴2().∴數(shù)列{}前2020項(xiàng)和為2(1)=2(1).故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.15.9【答案解析】分析:先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解:由題意可知,,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得,化簡(jiǎn)得,因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),則的最小值為.點(diǎn)睛:在利用基本不等式求最值時(shí),要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.16.【答案解析】
由題意可在定義域上有四個(gè)不同的解等價(jià)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),運(yùn)用參變分離和構(gòu)造函數(shù),進(jìn)而借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性與極值,畫出函數(shù)圖象,即可得到所求范圍.【題目詳解】已知定義在上的函數(shù)若在定義域上有四個(gè)不同的解等價(jià)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)與函數(shù)f(x)=lnx-x(x>0)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),聯(lián)立可得有兩個(gè)解,即可設(shè),則,進(jìn)而且不恒為零,可得在單調(diào)遞增.由可得時(shí),單調(diào)遞減;時(shí),單調(diào)遞增,即在處取得極小值且為作出的圖象,可得時(shí),有兩個(gè)解.故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查利用利用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問(wèn)題,還考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1),(2)【答案解析】
(1)先由正弦定理,得到,進(jìn)而可得,再由,即可得出結(jié)果;(2)先由余弦定理得,,再根據(jù)題中數(shù)據(jù),可得,從而可求出,得到,進(jìn)而可求出結(jié)果.【題目詳解】(1)由正弦定理得,所以,因?yàn)?,所以,即,所以,又因?yàn)?,所以?(2)在和中,由余弦定理得,.因?yàn)椋?,,,又因?yàn)?,即,所以,所以,又因?yàn)椋?所以的面積.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形,靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理即可,屬于常考題型.18.(1);(2)見解析【答案解析】分析:第一問(wèn)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切點(diǎn)在切線上也在函數(shù)圖像上,從而建立關(guān)于的等量關(guān)系式,從而求得結(jié)果;第二問(wèn)可以有兩種方法,一是將不等式轉(zhuǎn)化,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,從而求得結(jié)果,二是利用中間量來(lái)完成,這樣利用不等式的傳遞性來(lái)完成,再者這種方法可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.詳解:(1)解:,由題意有,解得(2)證明:(方法一)由(1)知,.設(shè)則只需證明,設(shè)則,在上單調(diào)遞增,,使得且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,由,得,,設(shè),,當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減,,因此(方法二)先證當(dāng)時(shí),,即證設(shè),則,且,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,則當(dāng)時(shí),(也可直接分析顯然成立)再證設(shè),則,令,得且當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.,即又,點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題,在求解的過(guò)程中,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,有關(guān)切線的問(wèn)題,還有就是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式,可以構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題來(lái)解決,也可以借用不等式的傳遞性,借助中間量來(lái)完成.19.(Ⅰ)(Ⅱ)【答案解析】
(1)由題意,f(x)的最大值為所以而m>0,于是m=,f(x)=2sin(x+).由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得x滿足即所以f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為(2)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由題意,得化簡(jiǎn)得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理,得①由余弦定理,得a2+b2-ab=9,即(a+b)2-3ab-9=0②將①式代入②,得2(ab)2-3ab-9=0,解得ab=3或(舍去),故20.(1)190(2)見解析(3)可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏
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