《移動機器人原理與設計》第三章運動學課件

第三章移動機器人運動學移動機器人運動學模型移動機器人運動學約束移動機器人的機動性運動控制1第三章移動機器人運動學移動機器人運動學模型113.1運動學概述機械系統(tǒng)的運行規(guī)律對工業(yè)機械手的研究很成熟移動機器人的運動與機械手不同由輪子的運動描述，進而得到機器人整體的運動描述。討論機器人的運動控制。3.1運動學概述機械系統(tǒng)的運行規(guī)律23.2運動學模型的建立1、機器人的位置表示全局坐標和局部坐標的關系

XIOYI為全局參考坐標系，

XRMYR為機器人的局部參考坐標系，局部參考坐標系的原點為機器人底盤上后輪軸的中點M。θ表示全局參考坐標系和局部參考坐標系的角度差機器人的位姿3.2運動學模型的建立3局部坐標與全局坐標的映射關系

該映射可由正交旋轉矩陣來表示

局部坐標與全局坐標的映射關系4例1

如圖3-2所示機器人，給定全局參考坐標系下的某個速度

，且

，試計算沿機器人局部參考坐標系XR軸和YR軸的運動分量。解：在局部參考坐標系下，沿XR的運動等于-，沿YR的運動是

，也就是說，機器人在局部參考坐標系下沿x軸的運動，相當于在全局參考坐標系下沿y軸反方向的運動例15運動學模型假定差動機器人有2個動力輪，半徑均為r，給定點為兩輪之間的中點M，輪距為d。給定r,d,θ和各輪的轉速

，點M在XR正方向上的平移速度為：假定輪子不能有側向滑移，則旋轉角速度分量：最終得到運動學模型如右式。運動學模型63.3運動學約束輪子的運動學約束假定：

1、

輪子的平面總是和地面保持垂直，輪子和地面之間只有一個單獨的接觸點，并且該接觸點的瞬時速度為零。

2、該接觸點無滑動，只存在純滾動。1）固定標準輪輪子的中心點A在機器人局部參考坐標系下的位置可用極坐標表示為長度MA=l和角度α，輪子平面相對于MA的方向用固定角β表示。半徑為r的輪子在輪子平面內可自由轉動，轉動的角度用

?(t)表示3.3運動學約束7矩陣表示形式如下：矩陣表示形式如下：矩陣表示形式如下：8映射到全局坐標系固定標準輪的滾動約束方程：機器人沿著輪子平面的運動等價于機器人在全局參考坐標系下的運動在輪子平面內的投影。必須等于由旋轉輪子完成的運動

?；瑒蛹s束方程：正交于輪子平面的輪子運動分量為零映射到全局坐標系9例3.假定輪A處在一個位置使得α＝90，β＝0，如果θ＝0，試寫出該輪的滑動約束方程。解：根據(jù)滑動約束方程，

得：即，yI=0例3.102）可操縱的標準輪有一個附加的自由度，輪子相對機器人底盤的方向不再是一個固定值β，而是隨時間變化的函數(shù)β(t)。約束方程與固定標準輪的約束方程是相同的，只把β?lián)Q成β(t)，并不直接影響機器人的瞬時運動。但操縱角的變化會影響到機器人的活動性。2）可操縱的標準輪11機器人運動學約束把機器人底盤上所有輪子引起的運動學約束以適當?shù)男问铰?lián)合起來，就可以描述整個機器人的運動學約束。設Nf個固定標準輪和Ns個可操縱標準輪，底盤的滾動約束：將所有輪子的滾動約束集合成一個單獨的表達式：表示一個投影矩陣，該投影矩陣將機器人在局部參考坐標系下的運動投影到沿著它們各個輪子平面的運動。J2是一個大小為N×N的常對角矩陣，其對角線上的元素為全部標準輪的半徑。機器人運動學約束12底盤的滑動約束所用標準輪的滑動約束集合成一個單獨表達式：也表示一個投影矩陣，它將機器人局部參考坐標系下的運動投影到各個輪子的法平面內底盤的滑動約束13例4對兩輪差動驅動機器人，求滾動約束和滑動約束的聯(lián)合表達式。解：聯(lián)立約束方程，得小腳輪無動力，可在任何方向自由運動，和分別簡化為和。對右輪，α＝－π/2，β＝π；對左輪，α＝π/2，β＝0可得總的約束方程：

例414左乘得，進一步的運算可得：左乘得，153.4移動機器人的機動性活動性程度瞬時轉動中心（即ICR）四輪汽車和自行車的ICR只有一個單獨的ICR，才保證機器人的運動是確定的獨立的滑動約束的數(shù)目可用

的秩來描述。一般地，對于一個安裝有零個或多個標準輪的機器人：等于零時，表示機器人未安裝標準輪；等于3時，表示機器人在任何方向是完全受約束的，即它將不可能在平面中運動。3.4移動機器人的機動性16活動性程度可操縱度對于一個安裝有零個或多個可操縱標準輪的機器人有：為零時，說明機器人底盤沒有安裝可操縱標準輪；等于2時，說明機器人沒有安裝固定標準輪?；顒有猿潭?7機動性指機器人可以操縱的總的自由度，由直接操縱的自由度（即活動性程度）和間接操縱的自由度（即可操縱度）兩個部分構成。機動性183.5運動控制非完整約束和非完整系統(tǒng)完整約束是指系統(tǒng)的約束可以用相對于質點的直角坐標（(Xi,Yi,Ti)，i=1…n）及時間t的解析方程，或有限方程（非微分方程）來表示。又稱為幾何約束。若約束采用不可積分的微分方程表示，則稱為非完整約束。當系統(tǒng)受非完整約束時，無法約束系統(tǒng)的運動位形，而只是將系統(tǒng)的瞬時速度限制在（n-k）維子空間上，也就是說非完整約束使系統(tǒng)的運動自由度減少，但是描述系統(tǒng)的獨立廣義坐標的自由度并沒有減少。3.5運動控制19移動機器人的運動控制開環(huán)策略和閉環(huán)策略點鎮(zhèn)定、路徑跟蹤、軌跡跟蹤移動機器人的運動控制20點鎮(zhèn)定舉例在機器人局部參考坐標系下，給定實際位姿誤差向量為

，x，y和θ是機器人的目標坐標。如果存在一個控制矩陣K，使得v（t）和w（t）的控制，滿足機器人在目標點是穩(wěn)定的，即控制矩陣K可以使機器人到達該目標點。點鎮(zhèn)定舉例21運動學模型的建立假定目標在全局參考坐標系的原點，差動驅動的機器人的運動學模型令

為機器人前進方向和機器人輪軸中心與目標點連線之間的角度，當前位置在全局參考坐標系下的極坐標為：運動學模型的建立22《移動機器人原理與設計》第三章運動學課件23控制率設置設計控制信號v和w，閉環(huán)控制系統(tǒng)可表示為：該閉環(huán)系統(tǒng)有一個唯一的平衡點,它會使機器人到達目標點?？刂坡试O置24穩(wěn)定性證明如果

，，那么，機器人在平衡點是局部穩(wěn)定的。證明：在平衡點，做如下簡化：則該閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣：特征方程為如果，那么特征方程的所有根均具有負實部，則該系統(tǒng)在平衡點附近是穩(wěn)定的。證畢。穩(wěn)定性證明25習題：1.試給出建立全局參考坐標系和局部參考坐標系的必要性。2.對于差動機器人底盤，固定標準輪A如下圖所示，若α＝90度，β＝0度,θ（即全局框架橫軸和局部參考框架橫軸的夾角）＝90度，

l=1，

r=2，

?為輪子旋轉角度。試寫出輪A的滾動和滑動約束方程。習題：263．如下圖所示，假定機器人位于θ＝π/2，r（輪子半徑）＝1，

（各輪距P點的距離）l=1，各輪轉速分別為8和4，要求：（1）試寫出局部參考框架和全局參考框架下位姿變量的轉換關系式，并給出轉換矩陣的具體形式。（2）試計算機器人在全局參考框架中的運動，并給出解釋。3．如下圖所示，假定機器人位于θ＝π/2，r（輪子半徑）＝127第三章移動機器人運動學移動機器人運動學模型移動機器人運動學約束移動機器人的機動性運動控制28第三章移動機器人運動學移動機器人運動學模型1283.1運動學概述機械系統(tǒng)的運行規(guī)律對工業(yè)機械手的研究很成熟移動機器人的運動與機械手不同由輪子的運動描述，進而得到機器人整體的運動描述。討論機器人的運動控制。3.1運動學概述機械系統(tǒng)的運行規(guī)律293.2運動學模型的建立1、機器人的位置表示全局坐標和局部坐標的關系

XIOYI為全局參考坐標系，

XRMYR為機器人的局部參考坐標系，局部參考坐標系的原點為機器人底盤上后輪軸的中點M。θ表示全局參考坐標系和局部參考坐標系的角度差機器人的位姿3.2運動學模型的建立30局部坐標與全局坐標的映射關系

該映射可由正交旋轉矩陣來表示

局部坐標與全局坐標的映射關系31例1

如圖3-2所示機器人，給定全局參考坐標系下的某個速度

，且

，試計算沿機器人局部參考坐標系XR軸和YR軸的運動分量。解：在局部參考坐標系下，沿XR的運動等于-，沿YR的運動是

，也就是說，機器人在局部參考坐標系下沿x軸的運動，相當于在全局參考坐標系下沿y軸反方向的運動例132運動學模型假定差動機器人有2個動力輪，半徑均為r，給定點為兩輪之間的中點M，輪距為d。給定r,d,θ和各輪的轉速

，點M在XR正方向上的平移速度為：假定輪子不能有側向滑移，則旋轉角速度分量：最終得到運動學模型如右式。運動學模型333.3運動學約束輪子的運動學約束假定：

1、

輪子的平面總是和地面保持垂直，輪子和地面之間只有一個單獨的接觸點，并且該接觸點的瞬時速度為零。

2、該接觸點無滑動，只存在純滾動。1）固定標準輪輪子的中心點A在機器人局部參考坐標系下的位置可用極坐標表示為長度MA=l和角度α，輪子平面相對于MA的方向用固定角β表示。半徑為r的輪子在輪子平面內可自由轉動，轉動的角度用

?(t)表示3.3運動學約束34矩陣表示形式如下：矩陣表示形式如下：矩陣表示形式如下：35映射到全局坐標系固定標準輪的滾動約束方程：機器人沿著輪子平面的運動等價于機器人在全局參考坐標系下的運動在輪子平面內的投影。必須等于由旋轉輪子完成的運動

。滑動約束方程：正交于輪子平面的輪子運動分量為零映射到全局坐標系36例3.假定輪A處在一個位置使得α＝90，β＝0，如果θ＝0，試寫出該輪的滑動約束方程。解：根據(jù)滑動約束方程，

得：即，yI=0例3.372）可操縱的標準輪有一個附加的自由度，輪子相對機器人底盤的方向不再是一個固定值β，而是隨時間變化的函數(shù)β(t)。約束方程與固定標準輪的約束方程是相同的，只把β?lián)Q成β(t)，并不直接影響機器人的瞬時運動。但操縱角的變化會影響到機器人的活動性。2）可操縱的標準輪38機器人運動學約束把機器人底盤上所有輪子引起的運動學約束以適當?shù)男问铰?lián)合起來，就可以描述整個機器人的運動學約束。設Nf個固定標準輪和Ns個可操縱標準輪，底盤的滾動約束：將所有輪子的滾動約束集合成一個單獨的表達式：表示一個投影矩陣，該投影矩陣將機器人在局部參考坐標系下的運動投影到沿著它們各個輪子平面的運動。J2是一個大小為N×N的常對角矩陣，其對角線上的元素為全部標準輪的半徑。機器人運動學約束39底盤的滑動約束所用標準輪的滑動約束集合成一個單獨表達式：也表示一個投影矩陣，它將機器人局部參考坐標系下的運動投影到各個輪子的法平面內底盤的滑動約束40例4對兩輪差動驅動機器人，求滾動約束和滑動約束的聯(lián)合表達式。解：聯(lián)立約束方程，得小腳輪無動力，可在任何方向自由運動，和分別簡化為和。對右輪，α＝－π/2，β＝π；對左輪，α＝π/2，β＝0可得總的約束方程：

例441左乘得，進一步的運算可得：左乘得，423.4移動機器人的機動性活動性程度瞬時轉動中心（即ICR）四輪汽車和自行車的ICR只有一個單獨的ICR，才保證機器人的運動是確定的獨立的滑動約束的數(shù)目可用

的秩來描述。一般地，對于一個安裝有零個或多個標準輪的機器人：等于零時，表示機器人未安裝標準輪；等于3時，表示機器人在任何方向是完全受約束的，即它將不可能在平面中運動。3.4移動機器人的機動性43活動性程度可操縱度對于一個安裝有零個或多個可操縱標準輪的機器人有：為零時，說明機器人底盤沒有安裝可操縱標準輪；等于2時，說明機器人沒有安裝固定標準輪?；顒有猿潭?4機動性指機器人可以操縱的總的自由度，由直接操縱的自由度（即活動性程度）和間接操縱的自由度（即可操縱度）兩個部分構成。機動性453.5運動控制非完整約束和非完整系統(tǒng)完整約束是指系統(tǒng)的約束可以用相對于質點的直角坐標（(Xi,Yi,Ti)，i=1…n）及時間t的解析方程，或有限方程（非微分方程）來表示。又稱為幾何約束。若約束采用不可積分的微分方程表示，則稱為非完整約束。當系統(tǒng)受非完整約束時，無法約束系統(tǒng)的運動位形，而只是將系統(tǒng)的瞬時速度限制在（n-k）維子空間上，也就是說非完整約束使系統(tǒng)的運動自由度減少，但是描述系統(tǒng)的獨立廣義坐標的自由度并沒有減少。3.5運動控制46移動機器人的運動控制開環(huán)策略和閉環(huán)策略點鎮(zhèn)定、路徑跟蹤、軌跡跟蹤移動機器人的運動控制47點鎮(zhèn)定舉例在機器人局部參考坐標系下，給定實際位姿誤差向量為

，x，y和θ是機器人的目標坐標。如果存在一個控制矩陣K，使得v（t）和w（t）的控制，滿足機器人在目標點是穩(wěn)定的，即控制矩陣K可以使機器人到達該目標點。點鎮(zhèn)定舉例48運動學模型的建立假定目標在全局參考坐標系的原點，差動驅動的機器人的運動學模型令

為機器人前進方向和機器人輪軸中心與目標點連線之間的角度，當前位置在全局參考坐標系下的極坐標為：運動學模型的建立49《移動機器人原理與設計》第三章運動學課件50控制率設置設計控制信號v和w