(三管齊下)貴州省2020屆高三數學復習試題42空間點線面間的位置關系理(含解析)新人教A版

空間點、線、面之間的地點關系導學目標：1.理解空間直線、平面地點關系的含義.2.認識可以作為推理依據的公義和定理.3.能運用公義、定理和已獲取的結論證明一些空間圖形的地點關系的簡單命題．自主梳理1．平面的基天性質公義1：假如一條直線上的________在一個平面內，那么這條直線在此平面內．公義2：過______________的三點，有且只有一個平面．公義3：假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有________過該點的公共直線．2．直線與直線的地點關系地點關系的分類共面直線異面直線：不一樣樣在任何一個平面內異面直線所成的角①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的____________叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)．②范圍：______________.3．直線與平面的地點關系有________、______、________三種狀況．4．平面與平面的地點關系有______、______兩種狀況．5．平行公義平行于______________的兩條直線相互平行．6．定理空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角____________．自我檢測1．(2020·泉州月考)若直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線，則直線a與c的地點關系是()A．訂交B．訂交或異面C．平行或異面D．平行、訂交或異面2．已知a，b是異面直線，直線c∥直線a，則c與b()A．必定是異面直線B．必定是訂交直線C．不可以能是平行直線D．不可以能是訂交直線3．以以下圖，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是()4．(2020·全國Ⅰ)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線

BA1與AC1所成的角等于

(

)A．30°B．45°C．60°D．90°5．以下命題：①空間不一樣樣三點確立一個平面；②有三個公共點的兩個平面必重合；③空間兩兩訂交的三條直線確立一個平面；④三角形是平面圖形；⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；⑥垂直于同向來線的兩直線平行；⑦一條直線和兩平行線中的一條訂交，也必和另一條訂交；⑧兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形．此中正確的命題是________．(填序號)研究點一平面的基天性質例1以以下圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且知足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E、F、G的平面交AD于H，連結EH.求AH∶HD；求證：EH、FG、BD三線共點．變式遷徙1如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點，且EH與FG訂交于點O.求證：B、D、O三點共線．底面

研究點二異面直線所成的角例2(2020·全國Ⅰ)已知三棱柱ABC—A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為(

A1在)3

5

7

3A.

4

B.

4

C.

4

D.4變式遷徙

2

(2020·淮南月考

)在空間四邊形

ABCD中，已知

AD＝1，BC＝

3，且AD⊥BC，對角線

BD＝

132，AC＝

32，求

AC和BD所成的角．轉變與化歸思想的應用例(12分)以以下圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，對角線AC與BD交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.求四棱錐的體積；若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值．多角度審題對(1)只需求出高PO，易得體積；對(2)可利用定義，過E點作PA的平行線，結構三角形再求解．【答題模板】解(1)在四棱錐P—ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，∴∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，[2分]在Rt△AOB中，∵BO＝AB·sin30°＝1，又PO⊥OB，∴PO＝BO·tan60°＝3，13∵底面菱形的面積S＝2×2×2×2×2＝23，1∴四棱錐P—ABCD的體積VP—ABCD＝3×23×3＝2.[6分](2)取AB的中點F，連結EF，DF，∵E為PB中點，∴EF∥PA，∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補角)．[8分]在Rt△AOB中，AO＝AB·cos30°＝3，6∴在Rt△POA中，PA＝6，∴EF＝2.在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝3，222DE＋EF－DF由余弦定理得cos∠DEF＝[10分]2DE·EF32＋62－3262＝2＝462＝.342×3×22因此異面直線DE與PA所成角的余弦值為4.[12分]【打破思想阻攔】求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是經過平行挪動直線，把異面問題轉變?yōu)楣裁鎲栴}來解決．依據空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與極點地點沒關，常常將角的極點取在此中的一條直線上，特別地，可以取此中一條直線與另一條直線所在平面的交點或異面線段的端點．總之，極點的選大綱與已知量相關，以便于計算，詳細步驟以下：利用定義結構角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特其余地點，極點選在特其余地點上；(2)證明作出的角即為所求角；(3)利用三角形來求解，異面直線所成角的范圍是(0°，90°]．【易錯點解析】1．求異面直線所成的角時，僅指明哪個角，而不進行證明．2．忘掉異面直線所成角的范圍，余弦值回答為負值．1．利用平面基天性質證明“線共點”或“點共線”問題：證明共點問題，常用的方法是：先證此中兩條直線交于一點，再證交點在第三條直線上，有時也可將問題轉變?yōu)樽C明三點共線．要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只需證明這些點都是這兩個平面的公共點，依據公義3可知這些點在交線上，因此共線．2．異面直線的判斷方法：定義法：由定義判斷兩直線不可以能在同一平面內．反證法：用此方法可以證明兩直線是異面直線．3．求異面直線所成的角的步驟：一般是用平移法(可以借助三角形的中位線、平行四邊形等)作出異面直線的夾角；證明作出的角就是所求的角；利用條件求出這個角；假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，假如求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．(滿分：75分)一、選擇題(每題5分，共25分)1．和兩條異面直線都訂交的兩條直線的地點關系是()A．異面B．訂交C．平行D．異面或訂交2．給出以下命題：①若平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么c至多與a、b中的一條訂交；②若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a與c異面；③必定存在平面α同時和異面直線a、b都平行．此中正確的命題為()A．①B．②C．③D．①③3．(2020·寧德月考)以以下圖，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點，將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐此后，GH與IJ所成角的度數為()A．90°B．60°C．45°D．0°4．(2020·全國Ⅱ)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1的中點，則異面直線

BE與

CD1所成角的余弦值為

(

)A.

1010

1B.5

310C.10

3D.55．(2020·三明模擬

)正四棱錐

S—ABCD的側棱長為

2，底面邊長為

3，E為SA的中點，則異面直線

BE和SC所成的角為

(

)A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空題(每題4分，共12分)6．一個正方體紙盒張開后以以下圖，在原正方體紙盒中有以下結論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.則正確結論的序號是______．7．(2020·四川)以以下圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各條棱長都相等，M是側棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________．8．以以下圖，正四周體P—ABC中，M為棱AB的中點，則PA與CM所成角的余弦值為________．三、解答題(共38分)9．(12分)(2020·溫州月考)以以下圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E，C，D1，F四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．10．(12分)在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P，Q，R分別是棱CC1，A1D1，A1B1的中點，畫出過這三點的截面，并求這個截面的周長．11．(14分)(2020·舟山模擬)如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，E為AB的中點．求證：AC⊥平面BDD1；求異面直線BD1與CE所成角的余弦值．求點B到平面A1EC的距離．空間點、線、面之間的地點關系自主梳理1．兩點不在一條直線上一條2.(1)平行訂交π①銳角或直角②0，23.平行訂交在平面內4．平行訂交5.同一條直線6.相等或互補自我檢測1．D[a，c都與直線b異面，其實不可以確立直線a，c的關系．]2．C[a，b是異面直線，直線c∥直線a.因此cDb，不然，若c∥b，則a∥b與已知矛盾，因此cDb.]3．C[A中PQ∥RS；B中RS∥PQ；D中RS和PQ訂交．]4．C[將直三棱柱ABC—A1B1C1補成以以下圖的幾何體．由已知易知：該幾何體為正方體．連結C1D，則C1D∥BA1.∴異面直線BA1與AC1所成的角為∠AC1D(或補角)，在等邊△AC1D中，∠AC1D＝60°.]5．④講堂活動區(qū)例1解題導引證明線共點的問題實質上是證明點在線上的問題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點看作是兩平面的公共點，由公義3得證．AECF(1)解∵＝＝2，∴EF∥AC.EBFB∴EF∥平面ACD而.EF?平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.AHCG∴＝＝3，即AH∶HD＝3∶1.HDGDEF1GH1證明∵EF∥GH，且＝，＝，AC3AC4∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形．令EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD，P∈FG，FG?平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三線共點．變式遷徙1證明∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH?平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理可證O∈平面BCD，∴O∈平面ABD∩平面BCD，即O∈BD，∴B、D、O三點共線．例2解題導引高考取對異面直線所成角的察看，一般出此刻綜合題的某一步，求異面直線所成角的一般步驟為：平移：選擇適合的點，平移異面直線中的一條或兩條成為訂交直線，這里的點平常選擇特別地點的點，如線段的中點或端點，也可以是異面直線中某一條直線上的特別點．證明：證明所作的角是異面直線所成的角．找尋：在立體圖形中，找尋或作出含有此角的三角形，并解之．棄?。河捎诋惷嬷本€所成角θ的取值范圍是0°<θ≤90°，因此所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角．D[3如圖，A1D⊥平面ABC，且D為BC的中點，設三棱柱的各棱長為1，則AD＝2，1112由A1D⊥平面ABC知A1D＝2，Rt△A1BD中，易求A1B＝4＋4＝2.∵CC1∥AA1，∴AB與AA1所成的角即為AB與CC1所成的角．在△A1BA中，由余弦111＋1－23132×1×144變式遷徙2解以以下圖，分別取AD、CD、AB、BD的中點E、F、G、H，連結EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位線定理知，

EF∥AC，且

EF＝

3，GE∥BD，且4

GE＝

13.GE4

和EF所成的銳角

(或直角)就是

AC和

BD所成的角．1同理，GH∥AD，HF∥BC.GH＝2，HF＝

3，2222又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，∴GF＝GH＋HF＝1.222在△EFG中，EG＋EF＝1＝GF，∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角為90°.課后練習區(qū)1．D2．C[①錯，c可與a、b都訂交；②錯，由于a、c可能訂交也可能平行；③正確，比方過異面直線a、b的公垂線段的中點且與公垂線垂直的平面即可滿足條件．]3．B[將三角形折成三棱錐，以以下圖，HG與IJ為一對異面直線，過D分別作HG與IJ的平行線，因GH∥DF，IJ∥AD，因此∠ADF為所求，因此HG與IJ所成角為60°.]4．C[以以下圖，連結A1B，則A1B∥CD1故異面直線BE與CD1所成的角即為BE與A1B所成的角．設AB＝a，則A1E＝a，A1B＝5a，BE＝2a.△ABE中，由余弦定理得1222cos∠A1BE＝BE＋A1B－A1E2BE·A1B2a2＋5a2－a2310＝＝10.]2×2a×5a5．C[設AC中點為O，則OE∥SC，連結BO，則∠BEO(或其補角)即為異面直線BE和SC所成的角，1216EO＝2SC＝2，BO＝2BD＝2，13在△SAB中，cosA＝2AB26SA＝＝42222＝AB＋AE－BE，∴BE＝2.2AB·AE222在△BEO中，cos∠BEO＝BE＋EO－BO12BE·EO＝2，∴∠BEO＝60°.]6．①③解析把正方體的平面張開圖復原成本來的正方體，以以下圖，易知AB⊥EF，AB∥CM，EF與MN異面，MN⊥CD，故①③正確．7．90°解析延伸A1B1至D，使A1B1＝B1D，則AB1∥BD，∠MBD就是直線AB1和BM所成的角．設三棱柱的各條棱長為2，則BM＝5，BD＝22，222°1111111＝16＋4－2×4＝12.222DM＝C1D＋C1M＝13，222BM＋BD－DMcos∠DBM＝2·BM·BD＝0，∴∠DBM＝90°.8.

36解析如圖，取PB中點N，連結CN、MN.∠CMN為PA與CM所成的角(或補角)，設PA＝2，則CM＝3，MN＝1，CN＝3.222MN＋CM－CN3cos∠CMN＝2MN·CM＝6.9．證明(1)以以下圖，連結CD1，EF，A1B，∵E、F分別是AB和AA1的中點，1∴EF∥A1B，且EF＝2A1B，(2分)又∵A1D1綊BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF與CD1確立一個平面α，∴E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四點共面．(6分)1(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝2CD1，∴四邊形CD1FE是梯形，∴CE與D1F必訂交，設交點為P，(8分)則P∈CE?平面ABCD，且P∈D1F?平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.(10分)又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線共點．(12分)10．解以以下圖，連結QR并延伸，分別與C1B1，C1D1的延伸線交于E，F兩點．連結EP交BB1于