5線性參數(shù)的最小二乘法處理課件

第五章線性參數(shù)的最小二乘法處理第五章線性參數(shù)的最小二乘法處理1第一節(jié)最小二乘法原理最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測(cè)量值中尋找最可信賴(lài)值的問(wèn)題。對(duì)某量進(jìn)行測(cè)量，得到一組數(shù)據(jù),不存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布,其標(biāo)準(zhǔn)差為測(cè)得值落入的概率第一節(jié)最小二乘法原理最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測(cè)量2測(cè)得值同時(shí)出現(xiàn)的概率為最可信賴(lài)值滿(mǎn)足權(quán)因子雖然是在正態(tài)分布下導(dǎo)出最小二乘法，實(shí)際上，按誤差或殘差平方和為最小進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷已形成一種準(zhǔn)則。測(cè)得值同時(shí)出現(xiàn)的概率為最可信賴(lài)值滿(mǎn)足權(quán)因子雖3測(cè)量方程組：

估計(jì)量形式：誤差方程組：測(cè)量方程組：4線性測(cè)量方程組的一般形式為測(cè)量殘差方程組

含有隨機(jī)誤差線性測(cè)量方程組的一般形式為測(cè)量殘差方程組含有隨機(jī)誤差5矩陣形式測(cè)量殘差方程組

矩陣形式測(cè)量殘差方程組6最小二乘法原理式等精度測(cè)量最小二乘法原理式等精度測(cè)量7不等精度測(cè)量不等精度測(cè)量8為單位權(quán)方差，為的權(quán)，為的方差?；`差方程組為等權(quán)形式：最小為單位權(quán)方差，為的權(quán)，為的方差。9第二節(jié)正規(guī)方程為了得到可靠的測(cè)量結(jié)果，測(cè)量次數(shù)n總是要多于未知數(shù)的數(shù)目t。因而直接用一般解代數(shù)方程的方法求解這些未知數(shù)是不可能的。最小二乘法可以將誤差方程轉(zhuǎn)化為有確定解的代數(shù)方程，而且方程個(gè)數(shù)正好等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，從而可求解這些未知數(shù)。第二節(jié)正規(guī)方程為了得到可靠的測(cè)量結(jié)果，測(cè)量次數(shù)n總是要多10一、等精度測(cè)量線性參數(shù)的LSM處理的正規(guī)方程。

線性參數(shù)的誤差方程式為：……

一、等精度測(cè)量線性參數(shù)的LSM處理的正規(guī)方程。線性參數(shù)的誤115線性參數(shù)的最小二乘法處理課件12記正規(guī)方程為記正規(guī)方程為13用矩陣表示解上面方程組得可以證明最小二乘估計(jì)值是無(wú)偏估計(jì)。用矩陣表示14測(cè)量方程為：x+2y=3x+10y=5x+20y=8x+30y=15x+40y=18測(cè)量方程為：155線性參數(shù)的最小二乘法處理課件16正規(guī)方程為：5x+102y=49102x+3004y=1386解該方程得到x=1.28y=0.418正規(guī)方程為：17二、不等精度測(cè)量線性參數(shù)的LSM處理的正規(guī)方程。

解上面方程組得二、不等精度測(cè)量線性參數(shù)的LSM處理的正規(guī)方程。解上面方程18三、非線性參數(shù)的最小二乘法測(cè)量殘差方程組

非線性函數(shù)取的初始似值泰勒展開(kāi)按線性參數(shù)最小二乘法解得

迭代直至滿(mǎn)足精度為止三、非線性參數(shù)的最小二乘法測(cè)量殘差方程組非線性函數(shù)取的初19為了獲得函數(shù)的展開(kāi)式，必須首先確定未知數(shù)的近似值，其方法可以是：1、直接測(cè)量對(duì)未知量直接進(jìn)行測(cè)量，所得結(jié)果即可作為其近似值。2、通過(guò)部分方程式進(jìn)行計(jì)算從誤差方程中選擇最簡(jiǎn)單的t個(gè)方程式，采用近似的求解方法。為了獲得函數(shù)的展開(kāi)式，必須首先確定未知數(shù)的近似值，其方法可以20四、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系最小二乘原理與算術(shù)平均值原理是一致的，算術(shù)平均值原理是最小二乘原理的特例，即未知數(shù)只有一個(gè)時(shí)，最小二乘原理的結(jié)果就是算術(shù)平均值原理的結(jié)果。四、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系最小二乘原理與算術(shù)平均21第三節(jié)精度估計(jì)一、測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)

（一）等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)

對(duì)包含t個(gè)未知數(shù)的線性參數(shù)方程，進(jìn)行n次獨(dú)立的等精度測(cè)量?？梢宰C明

第三節(jié)精度估計(jì)一、測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)22取取23V1=3-(1.28×1+0.418×2)=0.884V2=5-(1.28×1+0.418×10)=-0.46V3=8-(1.28×1+0.418×20)=-1.64V4=15-(1.28×1+0.418×30)=1.18V5=18-(1.28×1+0.418×40)=0V1=3-(1.28×1+0.418×2)=0.88424（二）不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)測(cè)量數(shù)據(jù)的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差為（二）不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)25二、最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)取決于測(cè)量數(shù)據(jù)的精度和線性方程給出的函數(shù)關(guān)系。正規(guī)方程…………二、最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)取決于測(cè)量數(shù)據(jù)的精度和線性方程給26

設(shè)不定乘數(shù)為；；…；

。為求x1，用分別乘正規(guī)方程中第1，2，…，t式。并將這些方程左右兩邊分別相加。得選擇使x1前面系數(shù)為1，其余xi前面系數(shù)為0。設(shè)不定乘數(shù)為；27則同理可得所以則同理可得28正規(guī)方程：5x+102y=49102x+3004y=1386求待定系數(shù)d11d225d11+102d12=15d21+102d22=0102d11+3004d12=0102d21+3004d22=1得到d11=0.651d22=0.001正規(guī)方程：29利用矩陣形式矩陣中各元素即為前面的不定乘數(shù)。不等精度測(cè)量的協(xié)方差矩陣為利用矩陣形式矩陣30由于矩陣（ATA）-1是：由于矩陣（ATA）-1是：31為精密測(cè)定1號(hào)、2號(hào)和3號(hào)電容器的電容量，進(jìn)行了等權(quán)、獨(dú)立、無(wú)系統(tǒng)誤差的測(cè)量。測(cè)得1號(hào)電容值，2號(hào)電容值，1號(hào)和3號(hào)并聯(lián)電容值，2號(hào)和3號(hào)并聯(lián)電容值。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。【解】列出測(cè)量殘差方程組

矩陣形式為精密測(cè)定1號(hào)、2號(hào)和3號(hào)電容器的電容量，進(jìn)行了等權(quán)325線性參數(shù)的最小二乘法處理課件33即即34代入殘差方程組，計(jì)算

=0.05d11=0.75,d22=0.75,d33=1代入殘差方程組，計(jì)算=0.05d11=0.75,d2235第五章線性參數(shù)的最小二乘法處理第五章線性參數(shù)的最小二乘法處理36第一節(jié)最小二乘法原理最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測(cè)量值中尋找最可信賴(lài)值的問(wèn)題。對(duì)某量進(jìn)行測(cè)量，得到一組數(shù)據(jù),不存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布,其標(biāo)準(zhǔn)差為測(cè)得值落入的概率第一節(jié)最小二乘法原理最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測(cè)量37測(cè)得值同時(shí)出現(xiàn)的概率為最可信賴(lài)值滿(mǎn)足權(quán)因子雖然是在正態(tài)分布下導(dǎo)出最小二乘法，實(shí)際上，按誤差或殘差平方和為最小進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷已形成一種準(zhǔn)則。測(cè)得值同時(shí)出現(xiàn)的概率為最可信賴(lài)值滿(mǎn)足權(quán)因子雖38測(cè)量方程組：

估計(jì)量形式：誤差方程組：測(cè)量方程組：39線性測(cè)量方程組的一般形式為測(cè)量殘差方程組

含有隨機(jī)誤差線性測(cè)量方程組的一般形式為測(cè)量殘差方程組含有隨機(jī)誤差40矩陣形式測(cè)量殘差方程組

矩陣形式測(cè)量殘差方程組41最小二乘法原理式等精度測(cè)量最小二乘法原理式等精度測(cè)量42不等精度測(cè)量不等精度測(cè)量43為單位權(quán)方差，為的權(quán)，為的方差?；`差方程組為等權(quán)形式：最小為單位權(quán)方差，為的權(quán)，為的方差。44第二節(jié)正規(guī)方程為了得到可靠的測(cè)量結(jié)果，測(cè)量次數(shù)n總是要多于未知數(shù)的數(shù)目t。因而直接用一般解代數(shù)方程的方法求解這些未知數(shù)是不可能的。最小二乘法可以將誤差方程轉(zhuǎn)化為有確定解的代數(shù)方程，而且方程個(gè)數(shù)正好等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，從而可求解這些未知數(shù)。第二節(jié)正規(guī)方程為了得到可靠的測(cè)量結(jié)果，測(cè)量次數(shù)n總是要多45一、等精度測(cè)量線性參數(shù)的LSM處理的正規(guī)方程。

線性參數(shù)的誤差方程式為：……

一、等精度測(cè)量線性參數(shù)的LSM處理的正規(guī)方程。線性參數(shù)的誤465線性參數(shù)的最小二乘法處理課件47記正規(guī)方程為記正規(guī)方程為48用矩陣表示解上面方程組得可以證明最小二乘估計(jì)值是無(wú)偏估計(jì)。用矩陣表示49測(cè)量方程為：x+2y=3x+10y=5x+20y=8x+30y=15x+40y=18測(cè)量方程為：505線性參數(shù)的最小二乘法處理課件51正規(guī)方程為：5x+102y=49102x+3004y=1386解該方程得到x=1.28y=0.418正規(guī)方程為：52二、不等精度測(cè)量線性參數(shù)的LSM處理的正規(guī)方程。

解上面方程組得二、不等精度測(cè)量線性參數(shù)的LSM處理的正規(guī)方程。解上面方程53三、非線性參數(shù)的最小二乘法測(cè)量殘差方程組

非線性函數(shù)取的初始似值泰勒展開(kāi)按線性參數(shù)最小二乘法解得

迭代直至滿(mǎn)足精度為止三、非線性參數(shù)的最小二乘法測(cè)量殘差方程組非線性函數(shù)取的初54為了獲得函數(shù)的展開(kāi)式，必須首先確定未知數(shù)的近似值，其方法可以是：1、直接測(cè)量對(duì)未知量直接進(jìn)行測(cè)量，所得結(jié)果即可作為其近似值。2、通過(guò)部分方程式進(jìn)行計(jì)算從誤差方程中選擇最簡(jiǎn)單的t個(gè)方程式，采用近似的求解方法。為了獲得函數(shù)的展開(kāi)式，必須首先確定未知數(shù)的近似值，其方法可以55四、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系最小二乘原理與算術(shù)平均值原理是一致的，算術(shù)平均值原理是最小二乘原理的特例，即未知數(shù)只有一個(gè)時(shí)，最小二乘原理的結(jié)果就是算術(shù)平均值原理的結(jié)果。四、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系最小二乘原理與算術(shù)平均56第三節(jié)精度估計(jì)一、測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)

（一）等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)

對(duì)包含t個(gè)未知數(shù)的線性參數(shù)方程，進(jìn)行n次獨(dú)立的等精度測(cè)量?？梢宰C明

第三節(jié)精度估計(jì)一、測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)57取取58V1=3-(1.28×1+0.418×2)=0.884V2=5-(1.28×1+0.418×10)=-0.46V3=8-(1.28×1+0.418×20)=-1.64V4=15-(1.28×1+0.418×30)=1.18V5=18-(1.28×1+0.418×40)=0V1=3-(1.28×1+0.418×2)=0.88459（二）不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)測(cè)量數(shù)據(jù)的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差為（二）不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)60二、最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)取決于測(cè)量數(shù)據(jù)的精度和線性方程給出的函數(shù)關(guān)系。正規(guī)方程…………二、最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)取決于測(cè)量數(shù)據(jù)的精度和線性方程給61

設(shè)不定乘數(shù)為；；…；

。為求x1，用分別乘正規(guī)方程中第1，2，…，t式。并將這些方程左右兩邊分別相加。得選擇使x1前面系數(shù)為1，其余xi前面系數(shù)為0。設(shè)不定乘數(shù)為；62則同理可得所以則同理可得63正規(guī)方程：5x+102y=49102x+3004y=1386求待定系數(shù)d11d225d11+102d12=15d21+102d22=0102d11+3004d12=0102d21+3004d22=1得到d11=0.651d22=0.001正規(guī)方程：64利用矩陣形式矩陣中各元素即為前面的不定乘數(shù)。不等精度測(cè)量的協(xié)方差矩陣為利用矩陣形式矩陣65由于矩陣（ATA）-1是：由于矩陣（ATA）-1是：