《直線的方程》教學(xué)課件【高中數(shù)學(xué)必修2(北師大版)】

第二章·解析幾何初步直線的方程北師大版·統(tǒng)編教材高中數(shù)學(xué)必修2第二章·解析幾何初步直線的方程北師大版·統(tǒng)編教材高中數(shù)學(xué)必修新課學(xué)習(xí)

有一根長(zhǎng)長(zhǎng)的線，線的一端綁著一個(gè)美麗的風(fēng)箏。如果把風(fēng)箏看作一個(gè)點(diǎn)，隨著風(fēng)向的變化，風(fēng)箏帶著線在空中畫出了一條條的直線。在平面直角坐標(biāo)系中，若風(fēng)箏看作一點(diǎn)，則過此點(diǎn)是否可以確定無數(shù)條直線?解：(1)已知直線上一點(diǎn)P(x0，y0)和直線的傾斜角。

(2)已知直線上兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)。答案是肯定的。那么在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)確定一條直線，應(yīng)知道哪些條件？新課學(xué)習(xí)有一根長(zhǎng)長(zhǎng)的線，線的一端綁著一個(gè)美麗的風(fēng)箏。新課學(xué)習(xí)注意：一個(gè)方程是直線l的方程，必須同時(shí)具備兩個(gè)條件，缺一不可：①“直線l上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都滿足這個(gè)方程”，說明直線l上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說直線l上所有的點(diǎn)都適合這個(gè)方程無一例外。②“滿足該方程的每一個(gè)數(shù)對(duì)(x，y)所確定的點(diǎn)都在直線l上”，說明適合方程的所有點(diǎn)都在直線l上無一遺漏。只有具備了以上兩點(diǎn)，某個(gè)方程才能與直線l的方程建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。（1）直線的方程的概念：如果一個(gè)方程滿足以下兩點(diǎn)，就把這個(gè)方程稱為直線l的方程：①直線l上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都滿足這個(gè)方程。②滿足該方程的每一個(gè)數(shù)對(duì)(x，y)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在直線l上。新課學(xué)習(xí)注意：一個(gè)方程是直線l的方程，必須同時(shí)具備兩個(gè)條件新課學(xué)習(xí)(2)直線方程的點(diǎn)斜式：

①條件：點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，直線l的斜率存在，設(shè)為k。②圖示：如圖所示。③形式：注意：①直線的點(diǎn)斜式方程的適用前提是直線的斜率存在，即直線不與x軸垂直；②已知直線過定點(diǎn)且斜率存在時(shí)，常用點(diǎn)斜式求直線方程；③方程

與y－y0＝k(x－x0)是不相同的，前者表示除去點(diǎn)(x0，y0)外的直線，后者則表示整條直線；④當(dāng)直線的傾斜角為90°時(shí)，直線l沒有斜率，這時(shí)直線l與y軸平行或重合，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示。直線l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x0，所以它的方程是x－x0＝0。新課學(xué)習(xí)(2)直線方程的點(diǎn)斜式：①條件：點(diǎn)P(x0，y新課學(xué)習(xí)（3）直線方程的斜截式：注意：①截距是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，不是距離，它可以是任意的實(shí)數(shù)。②并非所有的直線在y軸上都有截距，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，該直線在y軸上就沒有截距。③直線的斜截式方程是點(diǎn)斜式方程的特殊形式，其適用前提是直線的斜率存在，且知在y軸上的截距b。

①條件：直線l的斜率存在，設(shè)為k，直線在y軸上的截距為b。②圖示：如圖所示。③形式：y=kx+b。新課學(xué)習(xí)（3）直線方程的斜截式：注意：①截距是直線與y軸交點(diǎn)新課學(xué)習(xí)（4）直線方程的兩點(diǎn)式：注意：①直線方程的兩點(diǎn)式應(yīng)用的前提條件是：x1≠x2，y1≠y2，即直線的斜率不存在及斜率為零時(shí)，沒有兩點(diǎn)式方程。當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線方程為x＝x1；當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，直線方程為y＝y(tǒng)1。②直線方程的兩點(diǎn)式與直線上兩點(diǎn)的順序無關(guān)。③兩點(diǎn)式方程若變形為(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，則此方程不再受x1≠x2且y1≠y2的限制，可表示過(x1，y1)，(x2，y2)的所有直線。設(shè)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直線l上的任意兩點(diǎn)。

①兩點(diǎn)滿足的條件：

②形式：新課學(xué)習(xí)（4）直線方程的兩點(diǎn)式：注意：①直線方程的兩點(diǎn)式應(yīng)用新課學(xué)習(xí)(5)直線方程的截距式：注意：①當(dāng)A、B兩點(diǎn)為直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(非原點(diǎn))時(shí)，兩點(diǎn)式可化為截距式，所以截距式是兩點(diǎn)式的特殊情況。②截距式方程的適用條件是a≠0，b≠0，即截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線。設(shè)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直線l上的任意兩點(diǎn)。①形式：②a、b的幾何意義：a為直線在x軸上的截距；b為直線在y軸上的截距。新課學(xué)習(xí)(5)直線方程的截距式：注意：①當(dāng)A、B兩點(diǎn)為直線與新課學(xué)習(xí)（6）直線方程的一般式：注意：①當(dāng)A≠0，B≠0時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交。②當(dāng)A≠0，B＝0，C≠0時(shí)，直線與y軸平行，與x軸垂直。③當(dāng)A＝0，B≠0，C≠0時(shí)，直線與x軸平行，與y軸垂直。④當(dāng)A＝0，B≠0，C＝0時(shí)，直線與x軸重合。⑤當(dāng)A≠0，B＝0，C＝0時(shí)，直線與y軸重合。

關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)，表示的是一條直線，我們把它叫作直線方程的一般式。新課學(xué)習(xí)（6）直線方程的一般式：注意：①當(dāng)A≠0，B≠0時(shí)，新課學(xué)習(xí)已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn),求直線l的方程。解：根據(jù)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，先判斷是否存在斜率，然后求出直線的斜率，從而可求出直線方程：新課學(xué)習(xí)已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)新課學(xué)習(xí)解：直線方程為y=y0思考2：經(jīng)過點(diǎn)

且平行于y軸（即垂直于x軸）的直線方程是什么？解：直線方程為x=x0思考1：經(jīng)過點(diǎn)

且平行于x軸（即垂直于y軸）的直線方程是什么？新課學(xué)習(xí)解：直線方程為y=y0思考2：經(jīng)過點(diǎn)新課學(xué)習(xí)思考3：

x軸所在直線的方程是什么？y軸所在直線的方程是什么？解：x軸所在直線的方程是y=0,y軸所在直線的方程是x=0。新課學(xué)習(xí)思考3：x軸所在直線的方程是什么？y軸所在直線的隨堂練習(xí)例1分別求過P(3,4)且滿足下列條件的直線方程。（1）斜率k=2；（2）與x軸平行；（3）與x軸垂直。解：(1)過P(3,4)且斜率k=2，點(diǎn)斜式方程為y-4=2(x-3),即y=2x-2;(2)由于直線過點(diǎn)P（3,4）且與x軸平行，即斜率為0，

所以直線方程為y=4；(3)由于直線過點(diǎn)P（3,4）且與x軸垂直，所以直線方程為x=3。隨堂練習(xí)例1分別求過P(3,4)且滿足下列條件的直線方隨堂練習(xí)例2求經(jīng)過兩點(diǎn)A(-5,0),B（3，-3）的直線方程。解：根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率公式得：直線AB的斜率為

，該直線的點(diǎn)斜式方程為,可化為3x+8y+15=0。隨堂練習(xí)例2求經(jīng)過兩點(diǎn)A(-5,0),B（3，-3）的直隨堂練習(xí)例3已知直線經(jīng)過點(diǎn)A（4，-3），斜率為,求直線的點(diǎn)斜式方程，并化為一般式方程。解：由已知和點(diǎn)斜式方程可知直線的方程為化為一般式為2x+3y+1=0。隨堂練習(xí)例3已知直線經(jīng)過點(diǎn)A（4，-3），斜率為隨堂練習(xí)解：過AB的直線方程為,整理得2x+5y+6=0，這就是直線AB的直線方程。過AC的直線方程為,整理得x-3y+3=0，這就是直線AC的直線方程。過BC的直線方程為,整理得3x+2y-2=0，這就是直線BC的直線方程。例4已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A（-3，0），B（2，-2），C（0，1），求三角形三邊各自所在直線的方程。隨堂練習(xí)解：過AB的直線方程為隨堂練習(xí)（1）過點(diǎn)(0,1)，且傾斜角為45°的直線方程是(

)A．y＝－x＋1B．y＝－x－1C．y＝x＋1D．y＝x－1解析：因?yàn)橹本€的斜率k＝tan45°＝1，所以由已知及直線的點(diǎn)斜式方程，得y－1＝x－0，即y＝x＋1。C隨堂練習(xí)（1）過點(diǎn)(0,1)，且傾斜角為45°的直線方程是(隨堂練習(xí)(2)經(jīng)過點(diǎn)A(2，－1)，B(－4,5)的直線的一般式方程為(

)A．x＋y＋1＝0B．x－y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x＋y－1＝0D解析：因?yàn)橹本€過A(2，－1)，B(－4,5)，所以由直線方程的兩點(diǎn)式得直線方程為

，化為一般式得x＋y－1＝0。隨堂練習(xí)(2)經(jīng)過點(diǎn)A(2，－1)，B(－4,5)的直線的隨堂練習(xí)解：直線在x，y軸上的截距分別為a，b，且ab<0，排除A，B，D，故選C。C(3)直線

的圖象可能是(）

隨堂練習(xí)解：直線在x，y軸上的截距分別為a，b，且ab<0，隨堂練習(xí)（4）已知直線l過點(diǎn)(－2,1)，

①若直線不經(jīng)過第四象限，求直線l的斜率k的取值范圍；

②若直線l交x軸的負(fù)半軸于A，交y軸的正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程。隨堂練習(xí)（4）已知直線l過點(diǎn)(－2,1)，隨堂練習(xí)解：②設(shè)直線l的方程為y－1＝m(x＋2)，由題意可知m≠0，再由l的方程，得,B(0,1＋2m)。依題意得

，得m>0。又易證明函數(shù)

在

上是減函數(shù)，在

上是增函數(shù)，所以當(dāng)

時(shí)，S取得最小值，且Smin＝4，此時(shí)直線l的方程為x－2y＋4＝0。隨堂練習(xí)解：②設(shè)直線l的方程為y－1＝m(x＋2)，由題意新課學(xué)習(xí)（1）直線的方程的概念如果一個(gè)方程滿足以下兩點(diǎn)，就把這個(gè)方程稱為直線l的方程：①直線l上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都滿足這個(gè)方程。②滿足該方程的每一個(gè)數(shù)對(duì)(x，y)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在直線l上。（3）直線方程的斜截式：y=kx+b（2）直線方程的點(diǎn)斜式：（4）直線方程的兩點(diǎn)式：（6）直線方程的一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)（5）直線方程的截距式：新課學(xué)習(xí)（1）直線的方程的概念如果一個(gè)方程滿足以下兩點(diǎn)，就把再見再見第二章·解析幾何初步直線的方程北師大版·統(tǒng)編教材高中數(shù)學(xué)必修2第二章·解析幾何初步直線的方程北師大版·統(tǒng)編教材高中數(shù)學(xué)必修新課學(xué)習(xí)

有一根長(zhǎng)長(zhǎng)的線，線的一端綁著一個(gè)美麗的風(fēng)箏。如果把風(fēng)箏看作一個(gè)點(diǎn)，隨著風(fēng)向的變化，風(fēng)箏帶著線在空中畫出了一條條的直線。在平面直角坐標(biāo)系中，若風(fēng)箏看作一點(diǎn)，則過此點(diǎn)是否可以確定無數(shù)條直線?解：(1)已知直線上一點(diǎn)P(x0，y0)和直線的傾斜角。

(2)已知直線上兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)。答案是肯定的。那么在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)確定一條直線，應(yīng)知道哪些條件？新課學(xué)習(xí)有一根長(zhǎng)長(zhǎng)的線，線的一端綁著一個(gè)美麗的風(fēng)箏。新課學(xué)習(xí)注意：一個(gè)方程是直線l的方程，必須同時(shí)具備兩個(gè)條件，缺一不可：①“直線l上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都滿足這個(gè)方程”，說明直線l上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說直線l上所有的點(diǎn)都適合這個(gè)方程無一例外。②“滿足該方程的每一個(gè)數(shù)對(duì)(x，y)所確定的點(diǎn)都在直線l上”，說明適合方程的所有點(diǎn)都在直線l上無一遺漏。只有具備了以上兩點(diǎn)，某個(gè)方程才能與直線l的方程建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。（1）直線的方程的概念：如果一個(gè)方程滿足以下兩點(diǎn)，就把這個(gè)方程稱為直線l的方程：①直線l上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都滿足這個(gè)方程。②滿足該方程的每一個(gè)數(shù)對(duì)(x，y)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在直線l上。新課學(xué)習(xí)注意：一個(gè)方程是直線l的方程，必須同時(shí)具備兩個(gè)條件新課學(xué)習(xí)(2)直線方程的點(diǎn)斜式：

①條件：點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，直線l的斜率存在，設(shè)為k。②圖示：如圖所示。③形式：注意：①直線的點(diǎn)斜式方程的適用前提是直線的斜率存在，即直線不與x軸垂直；②已知直線過定點(diǎn)且斜率存在時(shí)，常用點(diǎn)斜式求直線方程；③方程

與y－y0＝k(x－x0)是不相同的，前者表示除去點(diǎn)(x0，y0)外的直線，后者則表示整條直線；④當(dāng)直線的傾斜角為90°時(shí)，直線l沒有斜率，這時(shí)直線l與y軸平行或重合，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示。直線l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x0，所以它的方程是x－x0＝0。新課學(xué)習(xí)(2)直線方程的點(diǎn)斜式：①條件：點(diǎn)P(x0，y新課學(xué)習(xí)（3）直線方程的斜截式：注意：①截距是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，不是距離，它可以是任意的實(shí)數(shù)。②并非所有的直線在y軸上都有截距，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，該直線在y軸上就沒有截距。③直線的斜截式方程是點(diǎn)斜式方程的特殊形式，其適用前提是直線的斜率存在，且知在y軸上的截距b。

①條件：直線l的斜率存在，設(shè)為k，直線在y軸上的截距為b。②圖示：如圖所示。③形式：y=kx+b。新課學(xué)習(xí)（3）直線方程的斜截式：注意：①截距是直線與y軸交點(diǎn)新課學(xué)習(xí)（4）直線方程的兩點(diǎn)式：注意：①直線方程的兩點(diǎn)式應(yīng)用的前提條件是：x1≠x2，y1≠y2，即直線的斜率不存在及斜率為零時(shí)，沒有兩點(diǎn)式方程。當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線方程為x＝x1；當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，直線方程為y＝y(tǒng)1。②直線方程的兩點(diǎn)式與直線上兩點(diǎn)的順序無關(guān)。③兩點(diǎn)式方程若變形為(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，則此方程不再受x1≠x2且y1≠y2的限制，可表示過(x1，y1)，(x2，y2)的所有直線。設(shè)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直線l上的任意兩點(diǎn)。

①兩點(diǎn)滿足的條件：

②形式：新課學(xué)習(xí)（4）直線方程的兩點(diǎn)式：注意：①直線方程的兩點(diǎn)式應(yīng)用新課學(xué)習(xí)(5)直線方程的截距式：注意：①當(dāng)A、B兩點(diǎn)為直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(非原點(diǎn))時(shí)，兩點(diǎn)式可化為截距式，所以截距式是兩點(diǎn)式的特殊情況。②截距式方程的適用條件是a≠0，b≠0，即截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線。設(shè)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直線l上的任意兩點(diǎn)。①形式：②a、b的幾何意義：a為直線在x軸上的截距；b為直線在y軸上的截距。新課學(xué)習(xí)(5)直線方程的截距式：注意：①當(dāng)A、B兩點(diǎn)為直線與新課學(xué)習(xí)（6）直線方程的一般式：注意：①當(dāng)A≠0，B≠0時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交。②當(dāng)A≠0，B＝0，C≠0時(shí)，直線與y軸平行，與x軸垂直。③當(dāng)A＝0，B≠0，C≠0時(shí)，直線與x軸平行，與y軸垂直。④當(dāng)A＝0，B≠0，C＝0時(shí)，直線與x軸重合。⑤當(dāng)A≠0，B＝0，C＝0時(shí)，直線與y軸重合。

關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)，表示的是一條直線，我們把它叫作直線方程的一般式。新課學(xué)習(xí)（6）直線方程的一般式：注意：①當(dāng)A≠0，B≠0時(shí)，新課學(xué)習(xí)已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn),求直線l的方程。解：根據(jù)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，先判斷是否存在斜率，然后求出直線的斜率，從而可求出直線方程：新課學(xué)習(xí)已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)新課學(xué)習(xí)解：直線方程為y=y0思考2：經(jīng)過點(diǎn)

且平行于y軸（即垂直于x軸）的直線方程是什么？解：直線方程為x=x0思考1：經(jīng)過點(diǎn)

且平行于x軸（即垂直于y軸）的直線方程是什么？新課學(xué)習(xí)解：直線方程為y=y0思考2：經(jīng)過點(diǎn)新課學(xué)習(xí)思考3：

x軸所在直線的方程是什么？y軸所在直線的方程是什么？解：x軸所在直線的方程是y=0,y軸所在直線的方程是x=0。新課學(xué)習(xí)思考3：x軸所在直線的方程是什么？y軸所在直線的隨堂練習(xí)例1分別求過P(3,4)且滿足下列條件的直線方程。（1）斜率k=2；（2）與x軸平行；（3）與x軸垂直。解：(1)過P(3,4)且斜率k=2，點(diǎn)斜式方程為y-4=2(x-3),即y=2x-2;(2)由于直線過點(diǎn)P（3,4）且與x軸平行，即斜率為0，

所以直線方程為y=4；(3)由于直線過點(diǎn)P（3,4）且與x軸垂直，所以直線方程為x=3。隨堂練習(xí)例1分別求過P(3,4)且滿足下列條件的直線方隨堂練習(xí)例2求經(jīng)過兩點(diǎn)A(-5,0),B（3，-3）的直線方程。解：根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率公式得：直線AB的斜率為

，該直線的點(diǎn)斜式方程為,可化為3x+8y+15=0。隨堂練習(xí)例2求經(jīng)過兩點(diǎn)A(-5,0),B（3，-3）的直隨堂練習(xí)例3已知直線經(jīng)過點(diǎn)A（4，-3），斜率為,求直線的點(diǎn)斜式方程，并化為一般式方程。解：由已知和點(diǎn)斜式方程可知直線的方程為化為一般式為2x+3y+1=0。隨堂練習(xí)例3已知直線經(jīng)過點(diǎn)A（4，-3），斜率為隨堂練習(xí)解：過AB的直線方程為,整理得2x+5y+6=0，這就是直線AB的直線方程。過AC的直線方程為,整理得x-3y+3=0，這就是直線AC的直線方程。過BC的直線方程為,整理得3x+2y-2=0，這就是直線BC的直線方程。例4已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A（-3，0），B（2，-2），C（0，1），求三角形三邊各自所在直線的方程。隨堂練習(xí)解：過AB的直線方程為隨堂練習(xí)（1）過點(diǎn)(0,1)，且傾斜角為45°的直線方程是(

)A．y＝－x＋1B．y＝－x－1C．y＝x＋1D．y＝x－1解析：因?yàn)橹本€的斜率k＝tan45°＝1，所以由已知及直線的點(diǎn)斜式方程，得y－1＝x－0，即y＝x＋1。C隨堂練習(xí)（1）過點(diǎn)(0,1)，且傾斜角為45°的直線方程是(隨堂練習(xí)(2)經(jīng)過點(diǎn)A(2，－1)，B(－4,5)的直線的一般式方程為(

)A．x＋y＋1＝0B．x－y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x＋y－1＝0D解析：因?yàn)橹本€過A(2，－1)，B(－4,5