專升本工程力學(xué)第4章-空間力系與重心課件

工程力學(xué)宋清華工程力學(xué)宋清華2022/11/212凡各力的作用線不在同一個(gè)平面內(nèi)的力系稱為空間力系。第4章空間力系與重心機(jī)電工程學(xué)院2022/11/212凡各力的作用線不在同一個(gè)平面內(nèi)的力系稱2022/11/213第4章空間力系與重心4.1空間力系的平衡4.2重心和形心機(jī)電工程學(xué)院2022/11/213第4章空間力系與重心4.1空2022/11/2144.1空間力系的平衡4.1.1力在空間軸上的投影4.1.2力對軸之矩4.1.3平衡方程及其應(yīng)用機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2144.1空間力系的平衡4.1.14.1.1力在空間軸上的投影若已知力F與x、y、z軸正向的夾角α、β、γ，則力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為力Fx=FcosαFy=FcosβFz=Fcosγ

2022/11/2151）一次投影法機(jī)電工程學(xué)院4.1.1力在空間軸上的投影若已知力F與x、y、z軸正向當(dāng)力與坐標(biāo)軸的夾角沒有全部給出時(shí)，可采用二次投影法，即先將力投影到某一坐標(biāo)平面上得到一個(gè)矢量，然后再將這個(gè)過渡矢量進(jìn)一步投影到所選的坐標(biāo)軸上。2022/11/2164.1.1力在空間軸上的投影2）二次投影法機(jī)電工程學(xué)院當(dāng)力與坐標(biāo)軸的夾角沒有全部給出時(shí)，可采用二次投影法，即先將2022/11/217若已知γ和φ，則可先將力F投影到Oxy坐標(biāo)平面上，得到Fxy；再將Fxy投影到x軸和y軸上。于是，力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影可寫為4.1.1力在空間軸上的投影2）二次投影法機(jī)電工程學(xué)院2022/11/217若已知γ和φ，則可先將力F投影到Oxy力在軸上的投影為代數(shù)量，其正負(fù)號規(guī)定：從力的起點(diǎn)到終點(diǎn)若投影后的趨向與坐標(biāo)軸正向相同，力的投影為正；反之為負(fù)。而力沿坐標(biāo)軸分解所得的分量則為矢量。雖然兩者大小相同，但性質(zhì)不同。2022/11/2184.1.1力在空間軸上的投影2）二次投影法機(jī)電工程學(xué)院力在軸上的投影為代數(shù)量，其正負(fù)號規(guī)定：從力的起點(diǎn)到終點(diǎn)若投影2022/11/2194.1空間力系的平衡4.1.1力在空間軸上的投影4.1.2力對軸之矩4.1.3平衡方程及其應(yīng)用機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2194.1空間力系的平衡4.1.12022/11/21機(jī)電工程學(xué)院104.1.2力對軸之矩力F使齒輪繞軸心O的轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)際上是使齒輪繞轉(zhuǎn)軸（過O點(diǎn)且垂直于圖平面）的轉(zhuǎn)動(dòng)。1）力對軸之矩的概念2022/11/21機(jī)電工程學(xué)院104.1.2力對軸之矩以z軸表示轉(zhuǎn)動(dòng)，力F使物體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，用力F對z軸之矩MO(F)來度量。當(dāng)力F作用于Oxy坐標(biāo)面內(nèi)時(shí)，顯然有2022/11/21114.1.2力對軸之矩1）力對軸之矩的概念MO(F)=MO(F)=±Fd

正負(fù)號按右手螺旋法則確定，即以四指表示力矩轉(zhuǎn)向，如大拇指所指方向與z軸正向一致則取正號，反之取負(fù)號。機(jī)電工程學(xué)院以z軸表示轉(zhuǎn)動(dòng)，力F使物體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，用力F對z軸之矩2022/11/2112當(dāng)力F不作用于Oxy坐標(biāo)面內(nèi)時(shí)，則可將其分解為兩個(gè)分力：位于Oxy內(nèi)的分力Fxy和平行于z軸的分力Fz。經(jīng)驗(yàn)證明，如果一個(gè)力平行于z軸，例如作用于門上的力F1，它是不可能使物體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的。因此，分力Fz對z軸之矩等于零。4.1.2力對軸之矩1）力對軸之矩的概念機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2112當(dāng)力F不作用于Oxy坐標(biāo)面內(nèi)時(shí)，則可2022/11/2113機(jī)電工程學(xué)院于是，力F對z軸之矩就等于分力Fxy對z軸之矩，即Mz(F)=Mz(Fxy)=±Fxyd

力對某軸之矩等于此力在垂直于該軸平面上的投影對于該軸與此平面交點(diǎn)之矩。力對軸之矩是代數(shù)量。4.1.2力對軸之矩1）力對軸之矩的概念2022/11/2113機(jī)電工程學(xué)院于是，力F對z軸之矩就等力對軸之矩的單位是N·m，它是一個(gè)代數(shù)量。2022/11/2114正負(fù)號可用右手螺旋法則來判定：用右手握住轉(zhuǎn)軸，四指與力矩轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致，若拇指指向與轉(zhuǎn)軸正向一致時(shí)力矩為正；反之，為負(fù)。也可從轉(zhuǎn)軸正端看過去，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的力矩為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)向力矩為負(fù)。4.1.2力對軸之矩1）力對軸之矩的概念機(jī)電工程學(xué)院力對軸之矩的單位是N·m，它是一個(gè)代數(shù)量。2022/11/22022/11/2115力對軸之矩等于零的情形：①當(dāng)力與軸相交時(shí)（d=0），②當(dāng)力與軸平行時(shí)（Fxy=0）。即當(dāng)力與軸共面時(shí)，力對軸之矩為零。4.1.2力對軸之矩1）力對軸之矩的概念機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2115力對軸之矩等于零的情形：4.1.2空間力系的合力對某一軸之矩等于力系中各分力對同一軸之矩的代數(shù)和，即Mx(FR)=Ｍx(F1)+Mx(F2)+…+Mx(Fn)=∑Mx(Fi)

My(FR)=Ｍy(F1)+My(F2)+…+My(Fn)=∑My(Fi)

Mz(FR)=Ｍz(F1)+Mz(F2)+…+Mz(Fn)=∑Mz(Fi)這就是空間力系的合力矩定理。2022/11/21164.1.2力對軸之矩2）合力矩定理機(jī)電工程學(xué)院合力對平面上任一點(diǎn)之矩等于各分力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和?？臻g力系的合力對某一軸之矩等于力系中各分力對同一軸之矩的代數(shù)【例4.1】正方形板ABCD用球鉸A和鉸鏈B與墻壁連接，并用繩索CE拉住使其維持水平位置。已知繩索的拉力F=200N，求力F在x、y、z軸上的投影及對想x、y、z軸之矩。2022/11/21174.1.2力對軸之矩2）合力矩定理機(jī)電工程學(xué)院【例4.1】正方形板ABCD用球鉸A和鉸鏈B與墻壁連接，并用解（1）計(jì)算投影2022/11/2118利用二次投影法求力F在x、y、z軸上的投影。力F在Oxy平面上的投影為4.1.2力對軸之矩2）合力矩定理再將Fxy向x、y軸上投影，得機(jī)電工程學(xué)院解（1）計(jì)算投影2022/11/2118利用二次投影法求2022/11/2119解（2）計(jì)算力矩力F與z軸相交，它對z軸之矩等于零4.1.2力對軸之矩2）合力矩定理在計(jì)算力F對x、y軸之矩時(shí)利用合力矩定理。將力F分解為兩個(gè)分力Fxy和Fz，因分力Fxy與x、y軸都相交，它對x、y軸之矩都為零，故機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2119解（2）計(jì)算力矩力F與z軸相交，2022/11/21204.1空間力系的平衡4.1.1力在空間軸上的投影4.1.2力對軸之矩4.1.3平衡方程及其應(yīng)用機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21204.1空間力系的平衡4.1.1空間力系平衡的必要和充分條件是：各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和以及各力對三個(gè)坐標(biāo)軸之矩的代數(shù)和分別等于零。

2022/11/21214.1.3平衡方程及其應(yīng)用平衡方程為

前三個(gè)方程稱為投影方程，表示力系中各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零，表明物體無任何方向的移動(dòng)。后三個(gè)方程為力矩方程，表示力系中各力對三個(gè)坐標(biāo)軸的力矩代數(shù)和分別為零，表明物體無繞任何軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。機(jī)電工程學(xué)院空間力系平衡的必要和充分條件是：各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代2022/11/2122空間力系有六個(gè)獨(dú)立的平衡方程式，可以求解六個(gè)未知量。求解步驟與平面力系相同，即選取研究對象，畫受力圖，列平衡方程和解方程等四步。

4.1.3平衡方程及其應(yīng)用表

平衡方程機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2122空間力系有六個(gè)獨(dú)立的平衡方程式，可以2022/11/21機(jī)電工程學(xué)院23表

平衡方程∑M=0空間力系平面力系2022/11/21機(jī)電工程學(xué)院23表平衡方程∑M=02022/11/21244徑向軸承3球鉸5止推軸承6固定端4.1.3平衡方程及其應(yīng)用表4-1空間常見約束類型及約束反力機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21244徑向軸承3球鉸5止推軸承6固定端4【例4.2】齒輪C的直徑d1=240mm，壓力角θ=20°，帶輪D的直徑d2=160mm，帶張力FT1=200N，F(xiàn)T2=100N。求傳動(dòng)軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于齒輪上的嚙合力F和軸承A、B處的反力。2022/11/21254.1.3平衡方程及其應(yīng)用機(jī)電工程學(xué)院【例4.2】齒輪C的直徑d1=240mm，壓力角θ=20°，2022/11/2126解取軸AB連同齒輪C和帶輪D為研究對象，畫出受力圖。作用于其上的力有嚙合力F，帶張力FT1、FT2，軸承A、B處的反力FAx、FAz和FBx、FBz，這些力組成一空間力系。列出平衡方程4.1.3平衡方程及其應(yīng)用機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2126解取軸AB連同齒輪C和帶輪D為研究2022/11/2127【例4.3】懸臂剛架上作用有q=2kNm的均布載荷，以及作用線分別平行于x軸、y軸的集中力F1、F2。已知F1=5kN，F(xiàn)2=4kN。求固定端A處的反力和反力偶。4.1.3平衡方程及其應(yīng)用機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2127【例4.3】懸臂剛架上作用有q=2k2022/11/2128解取懸臂剛架為研究對象，畫出受力圖。作用于剛架上的力有載荷q、F1、F2，A處的反力FAx、FAy、FAz及反力偶MAx、MAy、MAz。列出平衡方程4.1.3平衡方程及其應(yīng)用機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2128解取懸臂剛架為研究對象，畫出受力圖2022/11/2129第4章空間力系與重心4.1空間力系的平衡4.2重心和形心機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2129第4章空間力系與重心4.12022/11/21304.2重心和形心4.2.1重心的概念4.2.2重心坐標(biāo)公式4.2.3重心和形心位置的求法機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21304.2重心和形心4.2.1重2022/11/21314.2.1重心的概念地球上的物體都受到地心引力的作用。由于物體的尺寸與地球的半徑相比非常小，因此物體內(nèi)每個(gè)微小部分上受到的地心引力組成一個(gè)空間平行力系。此平行力系的合力就是物體的重力，合力的作用點(diǎn)稱為物體的重心。機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21314.2.1重心的概念地球上的物體都2022/11/21324.2重心和形心4.2.1重心的概念4.2.2重心坐標(biāo)公式4.2.3重心和形心位置的求法機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21324.2重心和形心4.2.1重2022/11/21334.2.2重心坐標(biāo)公式設(shè)有一物體，其任一微小部分Mi的重力為Wi，物體的重力就是所有各Wi的合力W，W的大小W=∑Wi則是物體的重量。設(shè)物體重心C的坐標(biāo)為xC、yC、zC，微小部分的坐標(biāo)為x、y、z。分別對y軸和x軸應(yīng)用合力矩定理，有機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21334.2.2重心坐標(biāo)公式設(shè)有一物體，2022/11/21機(jī)電工程學(xué)院34若將Oxz坐標(biāo)面作為地面，則各Wi及W的方向如圖。這時(shí)再對x軸應(yīng)用合力矩定理，有因此，得到重心C的坐標(biāo)為4.2.2重心坐標(biāo)公式2022/11/21機(jī)電工程學(xué)院34若將Oxz坐標(biāo)面作為地面2022/11/21354.2.2重心坐標(biāo)公式若將Wi=mig、W=mg代入上式，則可得式中，mi、m分別為各微小部分和整個(gè)物體的質(zhì)量。由上式確定的C點(diǎn)稱為物體的質(zhì)心。在均勻重力場內(nèi)，物體的質(zhì)心和重心的位置相重合。在重力場之外，物體的重心消失，而質(zhì)心依然存在。機(jī)電工程學(xué)院因此，得到重心C的坐標(biāo)為2022/11/21354.2.2重心坐標(biāo)公式若將Wi=m2022/11/2136對于均質(zhì)物體，單位體積的重量γ為常數(shù)，設(shè)各微小部分和整個(gè)物體的體積分別為Vi、V，則有均質(zhì)物體的重心位置完全決定于物體的幾何形狀，而與物體的重量無關(guān)，因此均質(zhì)物體的重心也稱為形心。4.2.2重心坐標(biāo)公式機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2136對于均質(zhì)物體，單位體積的重量γ為常數(shù)2022/11/2137對于均質(zhì)薄板（或平面圖形），若取板平面為Oxy坐標(biāo)面，則其形心坐標(biāo)為式中，Ai、A分別為各微小部分和薄板的面積。4.2.2重心坐標(biāo)公式上式中，∑yiAi和∑xiAi分別稱為平面圖形對x、y軸的靜矩，用Sx、Sy表示。有結(jié)論：若某軸通過圖形的形心，則圖形對該軸的靜矩必為零；反之，若圖形對某軸的靜矩為零，則該軸必通過圖形的形心。機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2137對于均質(zhì)薄板（或平面圖形），若取板平2022/11/21384.2重心和形心4.2.1重心的概念4.2.2重心坐標(biāo)公式4.2.3重心和形心位置的求法機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21384.2重心和形心4.2.1重2022/11/21394.2.3重心和形心位置的求法均質(zhì)物體若具有對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ中心，則其重心或形心一定在對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ中心上。1）對稱性法對于簡單形狀的均質(zhì)物體，可用積分法計(jì)算其重心或形心位置。2）積分法機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21394.2.3重心和形心位置的求法均質(zhì)2022/11/21404.2.3重心和形心位置的求法2）積分法機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21404.2.3重心和形心位置的求法2）2022/11/21414.2.3重心和形心位置的求法3）分割法分割法是將形狀比較復(fù)雜的物體分成幾個(gè)部分，這些部分形狀簡單，其重心或形心位置已知，然后根據(jù)重心坐標(biāo)公式求出整個(gè)物體的重心或形心。機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21414.2.3重心和形心位置的求法3）2022/11/21424.2.3重心和形心位置的求法3）分割法【例4.4】求T形截面的形心位置。解建立坐標(biāo)系Oxy，由于截面關(guān)于y軸對稱，形心C必在y軸上，故xC=0。為了求出yC，將T形截面分割為I、II兩個(gè)矩形，每個(gè)矩形的面積及其形心坐標(biāo)分別為矩形I：A1=13500mm2，y1=165mm矩形II：A2=9000mm2，y2=15mm機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21424.2.3重心和形心位置的求法3）2022/11/21434.2.3重心和形心位置的求法3）分割法【例4.5】求偏心塊的重心位置。已知R=100mm，r=13mm，b=17mm。機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21434.2.3重心和形心位置的求法3）2022/11/2144解建立坐標(biāo)系Oxy，因?yàn)閥軸為對稱軸，重心C的坐標(biāo)xC=0，只需求yC。將偏心塊分割成三部分：半徑為R的半圓，半徑為(r+b)的半圓及半徑為r的小圓。其中小圓是被挖去的部分，它的面積為負(fù)值。各部分的面積及其重心坐標(biāo)分別為4.2.3重心和形心位置的求法3）分割法機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2144解建立坐標(biāo)系Oxy，因?yàn)閥軸為對稱2022/11/21454.2.3重心和形心位置的求法4）實(shí)驗(yàn)法對于形狀復(fù)雜或非均質(zhì)的物體，工程上常采用實(shí)驗(yàn)法測定其重心位置：懸掛法：對于平板形物體或具有對稱面的薄零件可采用懸掛法，先將其懸掛于任一點(diǎn)A，根據(jù)二力平衡公理，重心必在過A點(diǎn)的鉛直線BB’，則AA’與BB’的交點(diǎn)C即為重心。機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21454.2.3重心和形心位置的求法4）2022/11/21464.2.3重心和形心位置的求法4）實(shí)驗(yàn)法稱重法：對于體積較大的物體常用稱重法。例如連桿，因其具有對稱軸AB，故只要測定其重心C的位置xC?？上确Q得連桿的重量W，并量出A、B間的距離l，再將連桿的一端B放在臺秤上，另一端A放在水平面上，使AB處于水平位置，讀出B端反力FB，由力矩方程機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21464.2.3重心和形心位置的求法4）2022/11/21機(jī)電工程學(xué)院47第4章小結(jié)力在空間軸上的投影力對軸之矩—概念/合力矩定理平衡方程及其應(yīng)用重心的概念重心坐標(biāo)公式—質(zhì)心/形心/靜矩重心和形心位置的求法—對稱性法/積分法/分割法/實(shí)驗(yàn)法空間力系的平衡重心和形心2022/11/21機(jī)電工程學(xué)院47第4章小結(jié)力在空間軸上的2022/11/21機(jī)電工程學(xué)院48作業(yè)2022/11/21機(jī)電工程學(xué)院48作業(yè)工程力學(xué)宋清華工程力學(xué)宋清華2022/11/2150凡各力的作用線不在同一個(gè)平面內(nèi)的力系稱為空間力系。第4章空間力系與重心機(jī)電工程學(xué)院2022/11/212凡各力的作用線不在同一個(gè)平面內(nèi)的力系稱2022/11/2151第4章空間力系與重心4.1空間力系的平衡4.2重心和形心機(jī)電工程學(xué)院2022/11/213第4章空間力系與重心4.1空2022/11/21524.1空間力系的平衡4.1.1力在空間軸上的投影4.1.2力對軸之矩4.1.3平衡方程及其應(yīng)用機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2144.1空間力系的平衡4.1.14.1.1力在空間軸上的投影若已知力F與x、y、z軸正向的夾角α、β、γ，則力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為力Fx=FcosαFy=FcosβFz=Fcosγ

2022/11/21531）一次投影法機(jī)電工程學(xué)院4.1.1力在空間軸上的投影若已知力F與x、y、z軸正向當(dāng)力與坐標(biāo)軸的夾角沒有全部給出時(shí)，可采用二次投影法，即先將力投影到某一坐標(biāo)平面上得到一個(gè)矢量，然后再將這個(gè)過渡矢量進(jìn)一步投影到所選的坐標(biāo)軸上。2022/11/21544.1.1力在空間軸上的投影2）二次投影法機(jī)電工程學(xué)院當(dāng)力與坐標(biāo)軸的夾角沒有全部給出時(shí)，可采用二次投影法，即先將2022/11/2155若已知γ和φ，則可先將力F投影到Oxy坐標(biāo)平面上，得到Fxy；再將Fxy投影到x軸和y軸上。于是，力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影可寫為4.1.1力在空間軸上的投影2）二次投影法機(jī)電工程學(xué)院2022/11/217若已知γ和φ，則可先將力F投影到Oxy力在軸上的投影為代數(shù)量，其正負(fù)號規(guī)定：從力的起點(diǎn)到終點(diǎn)若投影后的趨向與坐標(biāo)軸正向相同，力的投影為正；反之為負(fù)。而力沿坐標(biāo)軸分解所得的分量則為矢量。雖然兩者大小相同，但性質(zhì)不同。2022/11/21564.1.1力在空間軸上的投影2）二次投影法機(jī)電工程學(xué)院力在軸上的投影為代數(shù)量，其正負(fù)號規(guī)定：從力的起點(diǎn)到終點(diǎn)若投影2022/11/21574.1空間力系的平衡4.1.1力在空間軸上的投影4.1.2力對軸之矩4.1.3平衡方程及其應(yīng)用機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2194.1空間力系的平衡4.1.12022/11/21機(jī)電工程學(xué)院584.1.2力對軸之矩力F使齒輪繞軸心O的轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)際上是使齒輪繞轉(zhuǎn)軸（過O點(diǎn)且垂直于圖平面）的轉(zhuǎn)動(dòng)。1）力對軸之矩的概念2022/11/21機(jī)電工程學(xué)院104.1.2力對軸之矩以z軸表示轉(zhuǎn)動(dòng)，力F使物體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，用力F對z軸之矩MO(F)來度量。當(dāng)力F作用于Oxy坐標(biāo)面內(nèi)時(shí)，顯然有2022/11/21594.1.2力對軸之矩1）力對軸之矩的概念MO(F)=MO(F)=±Fd

正負(fù)號按右手螺旋法則確定，即以四指表示力矩轉(zhuǎn)向，如大拇指所指方向與z軸正向一致則取正號，反之取負(fù)號。機(jī)電工程學(xué)院以z軸表示轉(zhuǎn)動(dòng)，力F使物體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，用力F對z軸之矩2022/11/2160當(dāng)力F不作用于Oxy坐標(biāo)面內(nèi)時(shí)，則可將其分解為兩個(gè)分力：位于Oxy內(nèi)的分力Fxy和平行于z軸的分力Fz。經(jīng)驗(yàn)證明，如果一個(gè)力平行于z軸，例如作用于門上的力F1，它是不可能使物體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的。因此，分力Fz對z軸之矩等于零。4.1.2力對軸之矩1）力對軸之矩的概念機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2112當(dāng)力F不作用于Oxy坐標(biāo)面內(nèi)時(shí)，則可2022/11/2161機(jī)電工程學(xué)院于是，力F對z軸之矩就等于分力Fxy對z軸之矩，即Mz(F)=Mz(Fxy)=±Fxyd

力對某軸之矩等于此力在垂直于該軸平面上的投影對于該軸與此平面交點(diǎn)之矩。力對軸之矩是代數(shù)量。4.1.2力對軸之矩1）力對軸之矩的概念2022/11/2113機(jī)電工程學(xué)院于是，力F對z軸之矩就等力對軸之矩的單位是N·m，它是一個(gè)代數(shù)量。2022/11/2162正負(fù)號可用右手螺旋法則來判定：用右手握住轉(zhuǎn)軸，四指與力矩轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致，若拇指指向與轉(zhuǎn)軸正向一致時(shí)力矩為正；反之，為負(fù)。也可從轉(zhuǎn)軸正端看過去，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的力矩為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)向力矩為負(fù)。4.1.2力對軸之矩1）力對軸之矩的概念機(jī)電工程學(xué)院力對軸之矩的單位是N·m，它是一個(gè)代數(shù)量。2022/11/22022/11/2163力對軸之矩等于零的情形：①當(dāng)力與軸相交時(shí)（d=0），②當(dāng)力與軸平行時(shí)（Fxy=0）。即當(dāng)力與軸共面時(shí)，力對軸之矩為零。4.1.2力對軸之矩1）力對軸之矩的概念機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2115力對軸之矩等于零的情形：4.1.2空間力系的合力對某一軸之矩等于力系中各分力對同一軸之矩的代數(shù)和，即Mx(FR)=Ｍx(F1)+Mx(F2)+…+Mx(Fn)=∑Mx(Fi)

My(FR)=Ｍy(F1)+My(F2)+…+My(Fn)=∑My(Fi)

Mz(FR)=Ｍz(F1)+Mz(F2)+…+Mz(Fn)=∑Mz(Fi)這就是空間力系的合力矩定理。2022/11/21644.1.2力對軸之矩2）合力矩定理機(jī)電工程學(xué)院合力對平面上任一點(diǎn)之矩等于各分力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。空間力系的合力對某一軸之矩等于力系中各分力對同一軸之矩的代數(shù)【例4.1】正方形板ABCD用球鉸A和鉸鏈B與墻壁連接，并用繩索CE拉住使其維持水平位置。已知繩索的拉力F=200N，求力F在x、y、z軸上的投影及對想x、y、z軸之矩。2022/11/21654.1.2力對軸之矩2）合力矩定理機(jī)電工程學(xué)院【例4.1】正方形板ABCD用球鉸A和鉸鏈B與墻壁連接，并用解（1）計(jì)算投影2022/11/2166利用二次投影法求力F在x、y、z軸上的投影。力F在Oxy平面上的投影為4.1.2力對軸之矩2）合力矩定理再將Fxy向x、y軸上投影，得機(jī)電工程學(xué)院解（1）計(jì)算投影2022/11/2118利用二次投影法求2022/11/2167解（2）計(jì)算力矩力F與z軸相交，它對z軸之矩等于零4.1.2力對軸之矩2）合力矩定理在計(jì)算力F對x、y軸之矩時(shí)利用合力矩定理。將力F分解為兩個(gè)分力Fxy和Fz，因分力Fxy與x、y軸都相交，它對x、y軸之矩都為零，故機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2119解（2）計(jì)算力矩力F與z軸相交，2022/11/21684.1空間力系的平衡4.1.1力在空間軸上的投影4.1.2力對軸之矩4.1.3平衡方程及其應(yīng)用機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21204.1空間力系的平衡4.1.1空間力系平衡的必要和充分條件是：各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和以及各力對三個(gè)坐標(biāo)軸之矩的代數(shù)和分別等于零。

2022/11/21694.1.3平衡方程及其應(yīng)用平衡方程為

前三個(gè)方程稱為投影方程，表示力系中各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零，表明物體無任何方向的移動(dòng)。后三個(gè)方程為力矩方程，表示力系中各力對三個(gè)坐標(biāo)軸的力矩代數(shù)和分別為零，表明物體無繞任何軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。機(jī)電工程學(xué)院空間力系平衡的必要和充分條件是：各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代2022/11/2170空間力系有六個(gè)獨(dú)立的平衡方程式，可以求解六個(gè)未知量。求解步驟與平面力系相同，即選取研究對象，畫受力圖，列平衡方程和解方程等四步。

4.1.3平衡方程及其應(yīng)用表

平衡方程機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2122空間力系有六個(gè)獨(dú)立的平衡方程式，可以2022/11/21機(jī)電工程學(xué)院71表

平衡方程∑M=0空間力系平面力系2022/11/21機(jī)電工程學(xué)院23表平衡方程∑M=02022/11/21724徑向軸承3球鉸5止推軸承6固定端4.1.3平衡方程及其應(yīng)用表4-1空間常見約束類型及約束反力機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21244徑向軸承3球鉸5止推軸承6固定端4【例4.2】齒輪C的直徑d1=240mm，壓力角θ=20°，帶輪D的直徑d2=160mm，帶張力FT1=200N，F(xiàn)T2=100N。求傳動(dòng)軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用于齒輪上的嚙合力F和軸承A、B處的反力。2022/11/21734.1.3平衡方程及其應(yīng)用機(jī)電工程學(xué)院【例4.2】齒輪C的直徑d1=240mm，壓力角θ=20°，2022/11/2174解取軸AB連同齒輪C和帶輪D為研究對象，畫出受力圖。作用于其上的力有嚙合力F，帶張力FT1、FT2，軸承A、B處的反力FAx、FAz和FBx、FBz，這些力組成一空間力系。列出平衡方程4.1.3平衡方程及其應(yīng)用機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2126解取軸AB連同齒輪C和帶輪D為研究2022/11/2175【例4.3】懸臂剛架上作用有q=2kNm的均布載荷，以及作用線分別平行于x軸、y軸的集中力F1、F2。已知F1=5kN，F(xiàn)2=4kN。求固定端A處的反力和反力偶。4.1.3平衡方程及其應(yīng)用機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2127【例4.3】懸臂剛架上作用有q=2k2022/11/2176解取懸臂剛架為研究對象，畫出受力圖。作用于剛架上的力有載荷q、F1、F2，A處的反力FAx、FAy、FAz及反力偶MAx、MAy、MAz。列出平衡方程4.1.3平衡方程及其應(yīng)用機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2128解取懸臂剛架為研究對象，畫出受力圖2022/11/2177第4章空間力系與重心4.1空間力系的平衡4.2重心和形心機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2129第4章空間力系與重心4.12022/11/21784.2重心和形心4.2.1重心的概念4.2.2重心坐標(biāo)公式4.2.3重心和形心位置的求法機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21304.2重心和形心4.2.1重2022/11/21794.2.1重心的概念地球上的物體都受到地心引力的作用。由于物體的尺寸與地球的半徑相比非常小，因此物體內(nèi)每個(gè)微小部分上受到的地心引力組成一個(gè)空間平行力系。此平行力系的合力就是物體的重力，合力的作用點(diǎn)稱為物體的重心。機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21314.2.1重心的概念地球上的物體都2022/11/21804.2重心和形心4.2.1重心的概念4.2.2重心坐標(biāo)公式4.2.3重心和形心位置的求法機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21324.2重心和形心4.2.1重2022/11/21814.2.2重心坐標(biāo)公式設(shè)有一物體，其任一微小部分Mi的重力為Wi，物體的重力就是所有各Wi的合力W，W的大小W=∑Wi則是物體的重量。設(shè)物體重心C的坐標(biāo)為xC、yC、zC，微小部分的坐標(biāo)為x、y、z。分別對y軸和x軸應(yīng)用合力矩定理，有機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21334.2.2重心坐標(biāo)公式設(shè)有一物體，2022/11/21機(jī)電工程學(xué)院82若將Oxz坐標(biāo)面作為地面，則各Wi及W的方向如圖。這時(shí)再對x軸應(yīng)用合力矩定理，有因此，得到重心C的坐標(biāo)為4.2.2重心坐標(biāo)公式2022/11/21機(jī)電工程學(xué)院34若將Oxz坐標(biāo)面作為地面2022/11/21834.2.2重心坐標(biāo)公式若將Wi=mig、W=mg代入上式，則可得式中，mi、m分別為各微小部分和整個(gè)物體的質(zhì)量。由上式確定的C點(diǎn)稱為物體的質(zhì)心。在均勻重力場內(nèi)，物體的質(zhì)心和重心的位置相重合。在重力場之外，物體的重心消失，而質(zhì)心依然存在。機(jī)電工程學(xué)院因此，得到重心C的坐標(biāo)為2022/11/21354.2.2重心坐標(biāo)公式若將Wi=m2022/11/2184對于均質(zhì)物體，單位體積的重量γ為常數(shù)，設(shè)各微小部分和整個(gè)物體的體積分別為Vi、V，則有均質(zhì)物體的重心位置完全決定于物體的幾何形狀，而與物體的重量無關(guān)，因此均質(zhì)物體的重心也稱為形心。4.2.2重心坐標(biāo)公式機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2136對于均質(zhì)物體，單位體積的重量γ為常數(shù)2022/11/2185對于均質(zhì)薄板（或平面圖形），若取板平面為Oxy坐標(biāo)面，則其形心坐標(biāo)為式中，Ai、A分別為各微小部分和薄板的面積。4.2.2重心坐標(biāo)公式上式中，∑yiAi和∑xiAi分別稱為平面圖形對x、y軸的靜矩，用Sx、Sy表示。有結(jié)論：若某軸通過圖形的形心，則圖形對該軸的靜矩必為零；反之，若圖形對某軸的靜矩為零，則該軸必通過圖形的形心。機(jī)電工程學(xué)院2022/11/2137對于均質(zhì)薄板（或平面圖形），若取板平2022/11/21864.2重心和形心4.2.1重心的概念4.2.2重心坐標(biāo)公式4.2.3重心和形心位置的求法機(jī)電工程學(xué)院2022/11/21384.2重心和形心4.2.1重2022/11/21874.2.3重心和形心位置的求法均質(zhì)物體若具有對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ中心，則其重心或形心一定在對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ中心上。1）對