專題11 圓錐曲線的基本量(解析版)

專題

圓錐曲線的基本量1年考全Ⅲ卷文數(shù)

，12

為橢圓:

x2236

的兩個焦點為上點且在第一象限△F1

為等腰三角形，則M的標為__________.【答案】

【解析】由已知可得

a

2,20,2

,c4

，MFFFc，MF1

．設點的坐標為

,y00

，則

MFF

Fy1

，又

MFF

8

2

2

,415解得0

，

0

，解得

x（x00

舍去），\

的坐標為

本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)查數(shù)形結合思想化與化歸的能力好落實了直觀象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)．解答本題時，根據(jù)橢圓的定義分別求出形面積可求出M的標

1

，設出的標，結合三角2、2019年考江蘇卷】在平面直角坐系中若雙曲線

2

b

22

經(jīng)過點，，則該雙曲線的漸近線方程是【答案】y2

.【解析】由已知得3因為b，以

4b2

22.

，解得b或b2OyOy因為所以雙曲線的漸近線方程為y.雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分曲漸近線與雙曲線標準方程中的ab密相關，事實上，標準方程中化為，即得漸近方程3【年高考江蘇卷】在平面直角坐標系中若雙曲線

y20)a22

的右焦點

(c到一條漸近線的距離為【答案】2

，其離心率的值是．【解析因雙曲線的焦點

(c

到漸近線

y

x即bx

的距離為

a22

所

c，因此

a

22

31c，，．42本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查考生的運算求解能カ和應用意識，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)運熟記結論：雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為b4、【年考浙江卷】漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是（）A．

B．C．【答案C

．【解析】因為雙曲線的漸近線方程為c2心率故選C..

xy0

，所以

a

，則c

a2a

，所以雙曲線的離本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得a進步可得離心率屬于容易題注重了雙曲線基礎知識基本計算能力的考查理概念，準確計算，是解答此類問題的基本要.部分考生易出現(xiàn)理解性.5、2019年考全國卷文數(shù)】雙曲線C：的離心率為（）

2ab0)a2b2

的一條漸近線的傾斜角為，222222222222A．

B．C．

．

【答案D【解析】由已知可得

btana

，csin5050150a50cos50

2

50cos50

，故選．6年考全Ⅱ卷文數(shù)拋物線yp焦點是橢圓．．．．【答案D

p

的一個焦點）【解析為拋物線

px(p

的焦點

xyp,0)是圓一個焦點以3p)pp

，解得，故選D．本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng)．解答時，利用拋物線與圓有共同的焦點即可列出關于p的程，從而解出p，者利用檢驗排除的方法，如2時拋物線焦點為（，）橢圓焦點為，）排除，同樣可排除，，從而得到選D．7、【年考北京卷文數(shù)】已知雙曲線a

2

（>0的離心率是5，a=（）A．

B．C．【答案D

．

【解析】∵雙曲線的離心率

，

，∴

2

，解得

，故選D.本題主要考查雙曲線的離心率的定義，雙曲線中，，關系，方程的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能.8年考天津卷文數(shù)拋線

y

的焦點為F為l若l與曲線

ya2的兩條漸近線分別交于點A和點B，A．C．【答案D

||B．．5

（為點），則雙曲線的離心率為（）【解析】拋物線

y

x的線l的方程為

，雙曲線的漸近線方程為

y

x

，則有

bb(),()a

，∴

AB

b2，

，ba

，∴e

ca

5

.故選D.本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關鍵是求出

的度.

解答時，只需把OF

用

ab,c

表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心.9、【年考全國數(shù)】已橢圓

xy：a24

的一個焦點為

(2

，則

的離心率為（）A．C．

B．．

【答案】【解析】由題可得，因b2

所以a

，a，所以橢圓C的離心率e

，故選C．x|AOx|AO|=2本題主要考查橢圓的方程及離心率，考查考生的運算求解能力，考查的數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學運.在求解的過程中，一定要注意離心率的公式，再者就是要學會從題的條件中判斷與之相關的量，結橢圓中a,b

的關系求得結果10、2019年高考全卷文數(shù)】已知點A，關于坐標原點對，│=4，M過點A，且與直線+2=0相．若A在直線+=0上求⊙M的徑是否存在定點，使得當運時│MA?│MP為定值？并說明理由．【解析1）因為eM過A,，所以圓心M在AB的直平分線.已知在直線

x=0

上，且B

關于坐標原點O對稱，所以M在直線上故可設

(,)

.因為

eM

與直線+2=0相，所以

eM

的半徑為

ra|

.r由已知得，MOAO，故可得

2

22

，解得或a.故

e

的半徑r=2或

r=6

.（）在定點(1,0)，得||MP|理由如下：

為定值設

M(x,)

，由已知得的徑為r=|xAO

.r由于MOAO，可得

x

2

2

2

，化簡M的軌跡方程為

y

2

x

.因為曲線

C:

2

4

是以點

P(1,0)

為焦點，以直線

為準線的拋物線，所以

|x

.因為

|MAMP|=rMP|=x+2x+1)=1

，所以存在滿足條件的定P.本題考查圓的方程的求解問題、圓錐曲線中的定點定值類問.

解決定點定值問題的關鍵是能夠根據(jù)圓的性質(zhì)得到動點所滿足的軌跡方程，進而根據(jù)拋物線的定義得到定值，驗證定值符合所有情況使得問題得解11年考全國卷數(shù)已知

,12

是橢圓C

2y2a0)a2

的兩個焦點為C上一點，O為標原點．（）為等邊三角形，求C的心率；2（）果存在P，使得

PF，△FPF12

的面積等于16，b的和a的取值范圍．【解析】（）結PF，由為等邊三角形可知在1

△PF中PFPF122

，121212121212PFc

，于是

PFPF3c2

，故

的離心率是

c

.（意知條的點

P(y)

存在僅

|y|

yy，x

x2，a2b2

，即

y16

，①x

，②xya2b2

，③由②③及a

22

得2

42

16，又由①知y2，b．c2由②③得x

a

22

2

，所以2，從而

a

2

2

2

2

故2.當b，2時存在滿足條件的點．所以b，a的值范圍為[42,

．本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點滿足題中條件的問題，熟記橢圓的簡單性即可求解，考查計算能力，屬于中檔試.一、橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)性質(zhì)

標準方程圖形范圍對稱性頂點

x2y2＋＝>>0)a22－≤≤－≤≤對稱軸：坐標軸(－a,，Aa,0)12(0，－，(0b)12

y2x2＋＝(>b>0)a2b2－≤≤－≤≤對稱中心：原點(0，a，(0，)12(b,，0)12軸焦距

長軸A的為2；軸的為2bFF＝12121212121212121212離心率

ce＝∈(0,1)aa，，的關系焦半徑公式：稱到點的距離為橢圓的焦半徑

c2a

2－2①設圓上一點

0

，則

,PF2

（可記為“左加右減”）②焦徑的最值：由焦半徑公式可得：焦半徑的最大值為，小值為

a焦點三角形面積：

VPFF

2

tan

2

（其中

PF1

）二、雙曲線的標準方程和幾何性標準方程圖形

x2y2－＝>0>0)a2b2

y2x2－＝a>0，>0)a2b2性質(zhì)

范圍對稱性頂點漸近線準線

x≥或≤－，∈對稱軸：坐標軸對中心：原點A－，(a,by±xaa2x＝c

x∈R，≤a或≥A(0，a)，(0，)12ay±xba2y＝c離心率實虛軸abc關系

ce＝，∈，∞，中ca＋2a線段叫雙曲線的實軸，它的長A＝a線段B叫雙曲線的虛軸，它的長BB＝；叫做曲線的實半軸長b做雙曲線的虛半軸長c2＝2＋2(>a>0，>0)通徑：①內(nèi)：雙曲線同一支的兩點連成的線段外弦：雙曲線兩支上各取一點連成的線段②通徑：過雙曲線焦點的內(nèi)弦中長度的最小值，此時弦

PQ

軸，

2ba

焦半徑公式：設雙曲線上一點

Py

，左右焦點分別為

,12

，則①

,a2

（可記為“左加右減”）22a2b21212222a2b212122②由半徑公式可得：雙曲線上距離焦點最近的點為雙曲線的頂點，距離為焦點三角形面積：設雙曲線上一點

Py

，則

S

F

2

（其中

12

）三、拋物線的標準方程與幾何性標準方程圖形頂點對稱軸

y2＝pp>0)y＝2p>0)x＝pyp>0)x2＝2p>0)p的幾何意義：焦點到準線l的離O(0,0)y0x＝焦點

pF，

pF－，

F

p0，2

F

p0，－2離心率

e＝準線方程范圍開口方向

px＝－2x≥，∈R向右

px2x≤，∈向左

py＝－2y0，∈向上

py＝2y≤，∈R向下焦半徑公式：設拋物線

px

的焦點為

F

，

，則

rAF

p2焦點弦長：設過拋物線

px

焦點的直線與拋物線交于

y12

，則AFBF2題型一圓錐線的基本量

，再由焦半徑公式即可得到）圓錐曲線的基本量涉及到橢圓的長軸、短軸、焦距等基本量、雙曲線的實軸、虛軸、焦距、漸線等基本量，以及拋物線焦點坐標、準線方程等知識。求圓錐曲線標準方程的基本方法是待定系數(shù)，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關于a的程組如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便22例1、年泰州學情調(diào)研）如圖，在平面直坐標系中橢圓：＋＝＞＞的、右焦點分別為P為橢圓上一（在x軸方結并長交橢圓于一點Q若P的標為(1，3)，△的長為8，則橢圓的程為．1243224222212432242222y

F

F

x22【答案】＋＝．【解析】因△的周長為a所以，，319把P的標為，入橢圓C，，4所以，b2，2y2橢圓C的方程為＋＝．x2y2例2、(2019常州期末）已知雙線C：－＝b>0)離心率為2，線＋＋＝經(jīng)過曲線a2b的焦點，則雙曲線C的近線方程為．【答案】y＝3xc【解析】直＋＋＝中令＝0，得x＝－，所以＝2.因為＝，所以＝由a2＋2＝2，b＝，所以漸近線方程為＝±，即＝3x.ax2y例3、(2019無期末）以雙線－＝的焦點為焦點的拋物線的標準方程________．5【答案】.2

＝x22【解析】雙曲線－＝的右焦點為，，拋物線的標準方程是254所以拋物線的標準方程是2＝

p＝2px(p>0)則＝，＝，2例4（天津卷）已知雙曲線：

x0)

的左焦點為，心率為2

，若經(jīng)過F和P(0,4)

兩點的直線l平于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的標準方程為．【答案】

y2a22b22a122233a22b22a122233【解析】

設

F(0)

，由題意，

，

，所以，2，

，所以，雙曲線E的標x準方程為8題型二圓錐曲線的離心率問題圓錐曲線的離心率是圓錐曲線的一個最重要的性質(zhì)，在江蘇高考中多次考到，是江蘇高考的熱問題。求離心率的值關鍵就是找到a,b,c之間的關系；求離心率的取值范圍問題時，除了要根據(jù)條來確定離心率的取值范圍外要記心率的本身的范圍橢圓的離心率在0上曲的離心(1，＋∞)上，這是求離心率的范問題的常見錯誤xy2例5、南京三模）平面直角坐標系xOy中，過雙曲線－＝1(a＞，＞的焦點作條漸近線的平行線另一條漸近線于點P線PF的點好在此雙曲線上此雙曲線的離心率為【答案】2

▲

．【解析線的漸近線方程為

ba

x

焦點

bF(cF與漸近線平行的直線為(x)a

，y由by(x)a

，得：

x

c2

，則

bcya

，所以

P,a

，PF

的中點為

bcA,44

，又點

A

在雙曲線上，所以

2

，化簡得

ca

22

，即e

ca

.xy例、2014年蘇卷）如圖，在平面直角坐標系xOy中F分是橢圓＋＝1(ab>0)的、右焦a2b2點，頂點B的坐標為，，連結BF并長交橢圓于點A，點作x軸垂線交橢圓于另一點連結FC.141若點的標為，，且BF＝2，求橢圓的方程；若C，求橢圓離心率的．122a2ca＋1111200000112000222a2ca＋11112000001120002規(guī)范解答設橢圓的焦距為2，(c,，0)．12(1)因(0，)，以＝b22

＋2

＝.又BF＝2，故＝1614199因為點，在橢上，所以＋＝解b3ab

＝1.x2故所求橢圓的方程為＋2

＝1.(2)解法1因(0，，(c,0)在線上2xy所以直線的程＋＝cb解方程組

xy＋＝，cbx2y＋＝，a2b

得

2，b，a2＋2

x＝，2y＝.22a2b所以點的坐標為，.a2＋2a＋222cb又垂于x軸由橢圓的對稱性，可得點C的標為，.2＋22＋2－a2＋2bb因為直線的率為＝，直線的率為－，C⊥AB，2a2c32c＋3c－2＋2所以－＝1.32c＋3c又b

2

＝

2－2

15，整理得a＝52.2＝.因此＝.55解法2由意知B(0b，－，(c,0)．設(x，，(，－)yb因為C⊥，以FC.以·＝①x＋c－x－y因為點在直線BF上，所以＋＝②cb02bc2b－－－22－－222a－a－02bc2b－－－22－－222a－a－cax＝，b2－2聯(lián)立①②解得22.

ca22所以點，

.ca2bc又因為點C，

在橢圓上，代入橢圓的方程并整理得2a

＋

4

＝

2

－c

2)

，所以a

2

＝c

2

，5所以橢圓的離心率＝.5x22例7(2019南泰州州調(diào)圖平面直角坐標系中圓＋＝1(a>b>0)的焦點為，a2b2右頂點為A，頂點為B.1(1)已橢圓的離心率為，段AF點的橫坐標為，橢圓的標準方程；22(2)已△接圓的圓心在直線＝x上求橢圓的離心率的值．x22c1【解】因橢圓＋＝1(a>b>0)的心率為，所＝，＝a222a22a－2因為線段AF中的橫坐標為，以＝.222所以＝2，則a2

＝，

2＝2－2

＝x22所以橢圓的標準方程為＋＝分86(2)因為A(a0)，－，0)，a－所以線段AF的垂線方程為：＝.2又因為ABF外圓的圓心C在直線＝－上所以

，－分2ba因為A(a，，，，所以線段AB的垂線方程為－＝x2b2a－ba由在段AB的垂線上，得－－＝－，22b22＋b21212122221222122＋b2121212222122212222a()(a)22222整理得，－＋

2＝，分即bc)(a＋＝因為＋，以b＝分cc所以橢圓的離心率＝＝＝.(14分a22例8、2018年徐州銅山調(diào)研）如所示，橢圓的心在坐標原點O，頂點分別是，，，點分別是，，延長BF交A于，若∠是角，求橢圓離率e的值圍．【答案】

【解析】方一ABabBbx可得P(

(,)a

，r,)PA,)為PA是角以aa又0所以，

，方法二：因為∠B是角，所以，B1222(,)，0，

，所以，橢圓的離心率的取值范圍是(

1)．題型三圓錐線中點坐標及范1例9、(2019蘇州末）如圖，平面直角坐標系中已知焦點在x軸上，離心率為的橢圓E的頂2點為A，A右準線的距離為6.(1)求圓的標準方程；3(2)過斜率為的線與橢圓E于點B，點B與焦點的線橢圓E于M，求M點2的坐標．322327714322327714x2y解：設橢圓方程為＋＝，焦距為，a221c1因為橢圓的離心率為，以＝，＝，2a2a2又因為A到右準線的距離為6，以a＝＝，分c解得＝，＝，分所以2＝2

x22－2＝，以橢圓E標準方程為＋＝分433(2)直AB的程為＝(x2)2（＋）由得x＋＋＝，得x＝－或＝1.x22＋＝，433則點坐標為－，.(9分3由題意，右焦點，，以直線BF方程為＝－1)，分4（＋）13由得7x2－13＝，解得＝1或x＝，(13)x22＋＝，43139所以，點M坐為，－.(14)x22例、(2019泰州末如圖，在平面直角坐標系xOy中橢圓：＋＝1(a>b>0)的頂點為，Ba2b是橢圓上異于左、右頂點的任一點P是AB的中點，過點B且與AB垂直的直線與直線交點Q.1已知橢圓C的心率為，A到準線的距離為6.2求橢圓C的準方程設點Q的坐標為x，的值范圍．000002BBPABPB0002BBPABPB思路分析(1)根據(jù)題意，建立于a，c方程組，求出a，c的值，進而確定b的值得到橢的準方程．(2)設出點B的標為(m，n)，，n表x，后再減元轉(zhuǎn)化為關于m的元函數(shù)求求其值域．也可以設出直線AB的程，并與橢圓方程聯(lián)立，結合根與系數(shù)的關系，得到點B和P的標，進而求得直線BQ和PQ的程，由兩直線方程聯(lián)立求得交點Q的坐標x，據(jù)函數(shù)的值域求得x的值圍c1a2規(guī)范解答(1)由意得，＋＝，解得a＝，＝，以b＝2a2cx22為＋＝分43

－2

＝3，以橢圓的準方程m22(2)解法1設B(m，，則＋＝4＋因為A(－，，⊥，以直線BQ的程為＝－－＋，因為是AB的點，所以nm－nnm＋P(，)，以直線的方程為＝x聯(lián)立直線BQ的程得－(x－＋＝x，(822－nm－分（－）22mn2）解得x＝，m2－＋2m2n23由＋＝得2＝－2－，代入上式化簡得x＝＋，分43因為－，以4<x<8.(16分解法2

設直線AB的程為＝＋，≠x2y2將＝＋代橢圓方程＋＝(4k＋2＋2＋16k－12＝，43－2＋＋12k解得x＝，以＝＋，4k2＋2＋4k＋12k－2＋則直線BQ的程為－＝(x－，4k2＋k4k2＋因為是AB的點，則＝

－2＋－＋x＋4k＋－216k＝＝，＝＝，224k＋24k2＋0012120012126k4k2＋3所以直線OP的斜率為＝，直線的方程為y－x，(8分－24k4k4k2

＋16k2＋12聯(lián)立直O(jiān)P，的程得x＝＝＋，分4k2＋4k2＋因為4k

1212＋所以0<<4，＋，即<8.(16分4k2＋4k2＋1、蘇常鎮(zhèn)調(diào)研）已知曲線C的程為5【答案】.2

24

2

，則其離心率為．【解析】因為

2

，

，所以

c22

，故離心率為

52x2y2、(2019南京鹽城一模）若曲線－＝的離心率為，則實數(shù)m的為．2m【答案】c【解析】由題意a2＝，2＝，＝＝，2(2a)24a2＝＝2b2＝＋m，以m＝a3、已知橢圓C的點坐標為F(4橢圓C過A橢圓的準方程為．【答案】【解析】AF+6，圓的準方程為

y182

．4、(2019蘇期末）在平直坐標系xOy中中心在原點，焦點在軸上的雙曲線的一條近線經(jīng)過點－，，則該雙曲線的離心率_．【答案】.102x【解析】設雙曲線方程為－＝，漸近線方程為＝0.由(，－1)在條漸近線上，a2b2c得b＝，以a∶∶∶＝∶∶10，心率＝＝10.ax225(2019通、海門、啟東期末）已知經(jīng)過雙曲線－＝的一個焦點，且垂直于實軸的直線與曲線168交于AB兩，則線段的長________．【答案】.4x2y【解析】根據(jù)雙曲線的方程得＝16＝6在雙曲線－＝中x＝6，則＝，線段AB168的長為6、(2019南、泰州、揚州一）在平面直角坐標系xOy中已知拋物線2＝準線為l，線x2l與曲線－24

＝的兩條漸近線分別交于AB兩AB6則p的值_．【答案】6p1p【解析】拋物線的準線方為x＝－，曲線的兩條漸近線為＝，＝－，則＝，以AB222p＝＝6，所以p＝6，故答為227、(2019南京鹽城二模）在平面直角坐標系xOy中已知點A是物y

x2y＝與雙曲線－＝1(b>0)4b2的一個交點．若拋物線的焦點為，且＝，則雙曲線的漸近線方程________．23【答案】y＝x3【解析由物線y2

x2y＝得焦點0)又＝得A(44)又點A雙曲線－＝(b>0)上4b2161643b23所以－＝，得b＝，雙曲線的漸近線方程為＝±x，＝x.4b2a3x2y8、(2019宿遷末已知雙曲線C：－＝b>0)的離心率為，右焦點與拋物線y2＝的焦點重a2合，則雙曲線的頂?shù)綕u近線的距離________.【答案】

3【解析】拋線2＝的點為F(4，．因為雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，所以＝，離心c率e＝＝，以＝，＝c2a

－2

＝3，雙曲線的漸近線方程為＝3x，點(－，，，，|23＋雙曲線C的頂點到漸近線的距離為＝3＋xy9、(2018常州末）在平面直角坐標系xOy中設直線：x＋y＋1＝0與雙線C：－，b>0)ab的兩條漸近線都相交且交點都在y左側，則雙曲線C的心率e的值范圍________．【答案】(1，2)bbc【解析】雙曲線的漸近線為＝x＝x，依題意有－>－，即，＝＝aaaa

c2a2

＝

a2

＋a2

2<2.因為是雙曲線，所以的值范圍1，2)．x2210、(2018揚期末）在面角坐標系中，若雙曲線－＝，的近線與圓a2b2

2

＋2

－32＋b2232＋b22＋＝?jīng)]有交點，則雙曲線離率的取值范圍________【答案】1，2【解析】由圓x2＋2－＋＝，得圓的標準方程為2＋－2＝，圓心C(0，，半徑＝因雙曲x2y線－＝，的漸近線＝與圓沒有公共點，則圓心到直線的距離應大于半徑，即a2b×0±a3|c33>2，即3a>2c，即＝，且e>1，雙曲線離心率的取值范圍是1，.2a2、設，F(xiàn)是橢圓E：

xy2

的左、右焦點，若在右準線上存在點，使線的垂線過點，則橢圓的心率的值范圍________．【答案】(

【解析】由意知，PFc，又PF≥=12

，F(xiàn)

1

F

2

c≥

，0，以，

，橢圓的離心率e的值范圍是(,1)．12、(2018南、鹽城、連云港模）平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：

22－＝(b＞的兩b2條漸近線與圓O

2

＋2

＝的四個交點依次為A形的積為bb值_．【答案】

7【解析】由題意，雙曲線C的近線方程為＝，圖所示，兩條漸近線與圓O的個交點為，，C不妨設點的標為n)，解得2＝，矩形ABCD的面積為2m×＝4mn2＋＝2

4b×＝＝，得b＝7.b2＋112,2x2263112,2x2263x22213、(2019南學情調(diào)研在面直角坐標系中橢圓E：＋＝的離心率，直線：a2b2x＝被圓截的弦長為與標軸不垂直的直線交橢圓E于P兩PQ的點R在線l上M(1，．求橢圓的方程；求證：⊥思路分析

(⊥”1x222cb21規(guī)范解答因橢圓＋＝＞＞的心率e＝，所以e2＝1－＝，2＝2ba2b2a2a22

2.(2分因為直線l：＝被圓截的弦長為，41所以點，1)在圓上，即＋＝1.a2b2解得a＝，2＝，x2y所以橢圓的方程為＋＝1.(6分6(2)解法設法因直線與坐標軸不垂直，故設所直的方程為＝＋設P(x，)，y).因為PQ的點在線：＝上，故R(2，＋．聯(lián)立方程組＋，＋＝，消去，化簡得(12k

2)x

＋＋2

－＝(9分1212MRMR112,21122661212MRMR112,2112266312121212121212122121－所以x＋＝.1＋2－由x＋＝＝，＋1＋2

2＝km.(12分2k＋因為，，k＝＝＋，2－所以k·＝＋＝2＋km2k2－＋2＝1所以MR⊥)解法設法設P(x，)Q(xy．因為PQ的點在線：＝上，故設R(2，．x2yy2xy因為點，橢圓E：＋＝上所＋＝，＋＝，63兩式相減得x＋)－＋2(y＋)(y－)0.(9)因為線段PQ的中點為R，所＋x＝，＋＝代入上式并化簡x－x＋(y－＝分又，，→→所以·＝－×－＋0)×－)＝，因此MR⊥PQ.(16分解后反思

“”“”“”“0”14蘇三市蘇四市三調(diào)如圖在平面直角坐標系xOy中已知橢圓右焦點為，為右準線上一點．點Q在橢圓上，且FQFP．

y22

的（）橢圓的心率為

，短軸長為

．①求圓的方程；（）在軸方存在，Q兩，使OFP四點共圓，求橢圓離心率的取值范圍．x2222a22a222cax2222a22a222ca規(guī)解1①設橢圓的焦距為c，由題意，得

2

2

2

2

，所以．以橢圓的方程為．3②由①得，焦點F

，準線為（）解法1

設()c

，Q()

，因為⊥，△FPQ的接圓即為以PQ為徑的圓(x)y)(yy)．c由題意，焦點，原點O均在該圓上，所以

(c)(，0，消去

得(cx)x，c00所以x，為點，均在x軸方，所以，c2aca00cc

，所以

2

0，因為，以．解2

因為O，F(xiàn)，，四共圓且⊥，所以為圓的直徑，所以圓心必為中M，圓心在弦OF的垂線上，所以圓心M的橫標為x

M

，所以Q的坐標為xQM

c．以下同方cc12111222121212220a0→b→11a11111111112111222121212220a0→b→11a111111111＋λax2y215、(2017南學情調(diào)研）如圖在平面直角坐標系xOy中橢圓C：＋＝a＞＞0)左、右焦a2b2→→點分別為，，為橢圓上一點在x軸方，結PF并延長交橢圓于另一點Q，F(xiàn)＝λF.3若點的坐標為，，△PQF的周長為8，求橢圓C的程；若PF垂于軸且橢圓的心率∈，，求實數(shù)的值圍．22規(guī)范解答(1)因，為圓C的焦點，且，為圓的點，所以PFQF＋＝，從而△的長為4，由題意得4＝，得a＝分3因為點的坐標為1，，19所以＋＝，得b2＝a24b2x2y所以橢圓C的程為＋＝1.(5分43(2)解法1因PF⊥軸且在x軸方，所以可設(，y，＞，(x，．2001c2y因為點在橢圓上，所以＋＝，2b22解得y＝，P，.(7分a因為(－，所＝－c－，＝x＋c，．→→2＋b2λ＋b2由＝Q，得2＝(x＋)－＝，得x＝－c，＝－，以－c，－.(11aλλaλλa分因為點Q在橢圓上，所以

λb22e＝，λ即λ2)22

＋－2