呂林根解析幾何(第四版)(完整課件)3

第一章向量與坐標(biāo)§1.1向量的概念§1.2向量的加法§1.3數(shù)量乘向量§1.4向量的線性關(guān)系與分解§1.5標(biāo)架與坐標(biāo)§1.6向量在軸上的射影§1.7兩向量的數(shù)量積§1.8兩向量的向量積§1.9三向量的混合積§1.10三向量的雙重向量積第一章向量與坐標(biāo)§1.1向量的概念§1.2向§1.7兩向量的數(shù)量積實(shí)例啟示:兩向量作這樣的運(yùn)算,結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.一物體在常力作用下沿直線從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn),以表示位移,則力所作的功為(其中為與的夾角)§1.7兩向量的數(shù)量積實(shí)例啟示:兩向量作這樣的運(yùn)算,結(jié)果是定義1.7.1兩向量和的模和它們夾角的余弦的乘積叫做和的數(shù)量積,記為或,即

注1由定理1.6.1,=射影,=射影,則射影射影.定義1.7.1兩向量和的模和它們夾角的余弦的乘

注2由注1有,=射影.

注3

定理1.7.1證明:若,則.如果或,則.如果注2由注1有,=射影.數(shù)量積的運(yùn)算律

定理1.7.2數(shù)量積滿足下面的運(yùn)算規(guī)律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律(4)數(shù)量積的運(yùn)算律定理1.7.2數(shù)量積滿足下面的運(yùn)算規(guī)律證明:若中有,則(1)~(4)顯然成立.若中沒有,則(1)和(4)顯然成立.(2)若,則等式成立.若,則射影(射影)(射影).又所以證明:若中有,則(1)~(4)顯然成立.(3)射影(射影射影)射影射影

推論這說明向量的數(shù)量積遵循多項(xiàng)式乘法.(3)射影

例1證明:平行四邊形對角線的平方和等于各邊平方和.證明:如圖,中,設(shè),則有,所以所以,即例1證明:平行四邊形對角線的平方和等于各邊平方和.

例2證明:如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么它和平面內(nèi)的任何直線都垂直,即垂直平面.證明:設(shè)直線與面內(nèi)的兩相交直線垂直,為面內(nèi)的任一直線,如圖.下證.在上分別取非零向量,則例2證明:如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂由于相交,即不共線,由共面,知存在,使則所以,即.呂林根解析幾何(第四版)(完整課件)3

例3證明:三角形的三高交于一點(diǎn).證明:中,高交于點(diǎn),下證.設(shè),.則由于,則例3證明:三角形的三高交于一點(diǎn).所以即.所以所以三高交于一點(diǎn).所以直角坐標(biāo)系下數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

定理1.7.3設(shè)則證明:直角坐標(biāo)系下數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算定理1.7.3設(shè)而是兩兩垂直的單位向量,則有所以

推論設(shè),則而是兩兩垂直的單位向量,則有空間兩點(diǎn)距離由,這樣有定理1.7.4設(shè),則證明:由定理1.7.3,有所以空間兩點(diǎn)距離由,這樣有

定理1.7.5空間兩點(diǎn)間的距離為證明:因?yàn)樗远ɡ?.7.5空間兩點(diǎn)向量的方向余弦向量的方向角:向量與坐標(biāo)軸所成的角.向量的方向余弦:方向角的余弦.

定理1.7.6非零向量的方向余弦是向量的方向余弦向量的方向角:向量與坐標(biāo)軸所成的角.且,其中分別為向量與軸,軸,軸的交角.證明:因?yàn)?且,則同理可證其余兩式.

注:由該定理知模和方向余弦可決定向量.呂林根解析幾何(第四版)(完整課件)3兩向量的交角定理1.7.7設(shè)非零向量,,則兩向量的交角定理1.7.7設(shè)非零向量證明:由立得結(jié)論.

推論與互相垂直的充要條件是證明:由

例4已經(jīng)三點(diǎn),且,求(1)與的夾角,(2)在上的射影.解:(1)由,則所以例4已經(jīng)三點(diǎn),(2)由射影,而所以射影(2)由射影,而

例5利用兩向量的數(shù)量積證明柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式

證明:令,由即得結(jié)論.例5利用兩向量的數(shù)量積證明柯西-施瓦茨(Cauchy第一章向量與坐標(biāo)§1.1向量的概念§1.2向量的加法§1.3數(shù)量乘向量§1.4向量的線性關(guān)系與分解§1.5標(biāo)架與坐標(biāo)§1.6向量在軸上的射影§1.7兩向量的數(shù)量積§1.8兩向量的向量積§1.9三向量的混合積§1.10三向量的雙重向量積第一章向量與坐標(biāo)§1.1向量的概念§1.2向§1.7兩向量的數(shù)量積實(shí)例啟示:兩向量作這樣的運(yùn)算,結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.一物體在常力作用下沿直線從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn),以表示位移,則力所作的功為(其中為與的夾角)§1.7兩向量的數(shù)量積實(shí)例啟示:兩向量作這樣的運(yùn)算,結(jié)果是定義1.7.1兩向量和的模和它們夾角的余弦的乘積叫做和的數(shù)量積,記為或,即

注1由定理1.6.1,=射影,=射影,則射影射影.定義1.7.1兩向量和的模和它們夾角的余弦的乘

注2由注1有,=射影.

注3

定理1.7.1證明:若,則.如果或,則.如果注2由注1有,=射影.數(shù)量積的運(yùn)算律

定理1.7.2數(shù)量積滿足下面的運(yùn)算規(guī)律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律(4)數(shù)量積的運(yùn)算律定理1.7.2數(shù)量積滿足下面的運(yùn)算規(guī)律證明:若中有,則(1)~(4)顯然成立.若中沒有,則(1)和(4)顯然成立.(2)若,則等式成立.若,則射影(射影)(射影).又所以證明:若中有,則(1)~(4)顯然成立.(3)射影(射影射影)射影射影

推論這說明向量的數(shù)量積遵循多項(xiàng)式乘法.(3)射影

例1證明:平行四邊形對角線的平方和等于各邊平方和.證明:如圖,中,設(shè),則有,所以所以,即例1證明:平行四邊形對角線的平方和等于各邊平方和.

例2證明:如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么它和平面內(nèi)的任何直線都垂直,即垂直平面.證明:設(shè)直線與面內(nèi)的兩相交直線垂直,為面內(nèi)的任一直線,如圖.下證.在上分別取非零向量,則例2證明:如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂由于相交,即不共線,由共面,知存在,使則所以,即.呂林根解析幾何(第四版)(完整課件)3

例3證明:三角形的三高交于一點(diǎn).證明:中,高交于點(diǎn),下證.設(shè),.則由于,則例3證明:三角形的三高交于一點(diǎn).所以即.所以所以三高交于一點(diǎn).所以直角坐標(biāo)系下數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

定理1.7.3設(shè)則證明:直角坐標(biāo)系下數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算定理1.7.3設(shè)而是兩兩垂直的單位向量,則有所以

推論設(shè),則而是兩兩垂直的單位向量,則有空間兩點(diǎn)距離由,這樣有定理1.7.4設(shè),則證明:由定理1.7.3,有所以空間兩點(diǎn)距離由,這樣有

定理1.7.5空間兩點(diǎn)間的距離為證明:因?yàn)樗远ɡ?.7.5空間兩點(diǎn)向量的方向余弦向量的方向角:向量與坐標(biāo)軸所成的角.向量的方向余弦:方向角的余弦.

定理1.7.6非零向量的方向余弦是向量的方向余弦向量的方向角:向量與坐標(biāo)軸所成的角.且,其中分別為向量與軸,軸,軸的交角.證明:因?yàn)?且,則同理可證其余兩式.

注:由該定理知模和方向余弦可決定向量.呂林根解析幾何(第四版)(完整課件)3兩向量的交角定理1.7.7設(shè)非零向量,,則兩向量的交角定理1.7.7設(shè)非零向量證明:由立得結(jié)論.

推論與互相垂直的充要條件是證明:由

例4已經(jīng)三點(diǎn),且,求(1)與的夾角