高考大題增分專項(xiàng)三高考中的數(shù)列2021年高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)一輪用書理數(shù)課件

高考大題增分專項(xiàng)三

高考中的數(shù)列高考大題增分專項(xiàng)三

高考中的數(shù)列-2-從近五年高考試題分析來看,高考數(shù)列解答題主要題型有:等差、等比數(shù)列的綜合問題;證明一個(gè)數(shù)列為等差或等比數(shù)列;求數(shù)列的通項(xiàng)及非等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和;證明數(shù)列型不等式.命題特點(diǎn)是試題題型規(guī)范、方法可循、難度穩(wěn)定在中檔.-2-從近五年高考試題分析來看,高考數(shù)列解答題主要題型有:等-3-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略一

公式法對(duì)于等差、等比數(shù)列,求其通項(xiàng)及求前n項(xiàng)的和時(shí),只需利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式求解即可.-3-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略一-4-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.∴a1=4,∴{an}是首項(xiàng)為4,公差為3的等差數(shù)列.∴an=4+(n-1)×3=3n+1.(2)由(1)及anbn+1=nbn+bn+1,例1已知{an}是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足

-4-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(1)求數(shù)列-5-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1在等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)若a3,a5分別為等差數(shù)列{bn}的第4項(xiàng)和第16項(xiàng),試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.-5-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1在-6-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略二

轉(zhuǎn)化法無論是求數(shù)列的通項(xiàng)還是求數(shù)列的前n項(xiàng)和,通過變形、整理后,能夠把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或求和公式解決問題.-6-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略二-7-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二例2已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=3,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=log3an,T2n=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1,求T2n.解:(1)∵3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,∴4S2=3S1+S3.∴4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3),即a3=3a2.∴公比q=3.∴an=a1qn-1=3n.(2)由(1)知,bn=log3an=log33n=n,∵b2n-1b2n-b2nb2n+1=(2n-1)2n-2n(2n+1)=-4n,∴T2n=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)-7-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二例2已知等比-8-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)令bn=lna3n+1,n=1,2,…,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.-8-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè)-9-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-9-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-10-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略一

定義法

用定義法證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,常采用的兩個(gè)式子an-an-1

=d(n≥2)和an+1-an=d,前者必須加上“n≥2”,否則n=1時(shí)a0無意義;用定義法證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列也常采用兩個(gè)式子-10-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略一-11-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(1)求a1,a2;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列;(3)若數(shù)列{bn}滿足an=log2bn,試證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求其前n項(xiàng)和Tn.又a1=5滿足an=3n+2,故an=3n+2.因?yàn)閍n+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),所以數(shù)列{an}是以5為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列.-11-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(1)求a-12-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-12-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-13-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn,滿足a1=2,Sn=λnan+μan-1,其中n≥2,n∈N*,λ,μ∈R.(1)若λ=0,μ=4,bn=an+1-2an(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;證明:(1)若λ=0,μ=4,則Sn=4an-1(n≥2),所以an+1=Sn+1-Sn=4(an-an-1),即an+1-2an=2(an-2an-1),所以bn=2bn-1.又由a1=2,a1+a2=4a1,得a2=3a1=6,a2-2a1=2≠0,即bn≠0,-13-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3-14-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(2)若a2=3,由a1+a2=2λa2+μa1,得5=6λ+2μ.即(n-1)an+1-(n-2)an-2an-1=0,所以nan+2-(n-1)an+1-2an=0,兩式相減得nan+2-2(n-1)an+1+(n-2)an-2an+2an-1=0,所以n(an+2-2an+1+an)+2(an+1-2an+an-1)=0,-14-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(2)若a-15-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二因?yàn)閍1-2a2+a3=0,所以an+2-2an+1+an=0,即數(shù)列{an}是等差數(shù)列.-15-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二因?yàn)閍1--16-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略二

遞推相減化歸法對(duì)已知數(shù)列an與Sn的關(guān)系,證明{an}為等差或等比數(shù)列的問題,解題思路為:由an與Sn的關(guān)系遞推出n為n+1時(shí)的關(guān)系式,兩關(guān)系式相減后,進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理,最終化歸為用定義法證明.-16-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略二-17-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二例4已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=(m+1)-man對(duì)任意的n∈N*都成立,其中m為常數(shù),且m<-1.(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;(2)記數(shù)列{an}的公比為q,設(shè)q=f(m),若數(shù)列{bn}滿足(3)在(2)的條件下,設(shè)cn=bn·bn+1,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn<1.-17-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二例4已知數(shù)-18-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1.∵Sn=(m+1)-man,①∴Sn-1=(m+1)-man-1(n≥2),②由①-②,得an=man-1-man(n≥2),即(m+1)an=man-1.∵a1≠0,m<-1,∴an-1≠0,m+1≠0.-18-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二證明:(1-19-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-19-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-20-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*),其中m為常數(shù),且m≠-3.(1)求證:{an}是等比數(shù)列;證明:(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,兩式相減,得(3+m)an+1=2man.∴{an}是等比數(shù)列.-20-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4-21-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-21-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-22-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略一

錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法來求,即和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比,然后作差求解.-22-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略一-23-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二例5(2019河北衡水中學(xué)高三調(diào)考)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,a1=1,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.對(duì)任意n∈N*,有2Sn=2p+pan-p(p∈R).(1)求常數(shù)p的值;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;∴p=1.-23-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二例5(20-24-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二即2(an+1+an)(an+1-an)-(an+1+an)=0,∴(an+1+an)(2an+1-2an-1)=0.由于數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),-24-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二即2(an-25-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n,2Tn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,Tn=(n-1)·2n+1+2.-25-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二∴Tn=1-26-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5已知{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和(n∈N*).解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因?yàn)閝>0,解得q=2.所以bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①由S11=11b4,可得a1+5d=16,②聯(lián)立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-2,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n.-26-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5-27-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(2)設(shè)數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和為Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)×4n,故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述兩式相減,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1-27-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(2)設(shè)數(shù)-28-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略二

裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和.利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),要注意抵消后所剩余的項(xiàng)是前后對(duì)稱的.-28-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略二-29-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-29-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-30-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-30-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-31-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(2019河北唐山高三第一次模擬考試)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(1)求Sn,an;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1,當(dāng)n=1時(shí),a1=1適合上式,所以an=2n-1.-31-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6-32-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-32-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-33-題型一題型二題型三題型四題型五要證明關(guān)于一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的不等式,一般有兩種思路:一是先求和再對(duì)和式放縮;二是先對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)放縮再求數(shù)列的和,必要時(shí)對(duì)其和再放縮.-33-題型一題型二題型三題型四題型五要證明關(guān)于一個(gè)數(shù)列的前-34-題型一題型二題型三題型四題型五-34-題型一題型二題型三題型四題型五-35-題型一題型二題型三題型四題型五對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且b1=a1=1,b2=a1+a2,a3=2b3-6.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(1)解:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,數(shù)列{bn}的公差為d,所以an=2n-1,bn=2n-1.-35-題型一題型二題型三題型四題型五對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7已知數(shù)列{a-36-題型一題型二題型三題型四題型五-36-題型一題型二題型三題型四題型五-37-題型一題型二題型三題型四題型五求解數(shù)列中的存在性問題,先假設(shè)所探求對(duì)象存在,再以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理,若由此推出矛盾,則假設(shè)不成立,即不存在.若推不出矛盾,則得到存在的結(jié)果.-37-題型一題型二題型三題型四題型五求解數(shù)列中的存在性問題-38-題型一題型二題型三題型四題型五例8已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù).(1)證明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由.(1)證明:因?yàn)閍nan+1=λSn-1,所以an+1an+2=λSn+1-1.兩式相減,得an+1(an+2-an)=λan+1.因?yàn)閍n+1≠0,所以an+2-an=λ.-38-題型一題型二題型三題型四題型五例8已知數(shù)列{an}的-39-題型一題型二題型三題型四題型五(2)解：由題設(shè),a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4.由此可得{a2n-1}是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,即an+1-an=2.因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.-39-題型一題型二題型三題型四題型五(2)解：由題設(shè),a1-40-題型一題型二題型三題型四題型五對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8(2019江西贛州月考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1,n∈N*.在等差數(shù)列{bn}中,b2=5,且公差d=2.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)是否存在正整數(shù)n,使得a1b1+a2b2+…+anbn>60n?若存在,求出n的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(1)∵an+1=2Sn+1,當(dāng)n≥2時(shí),an=2Sn-1+1,兩式相減,得an+1=3an(n≥2),又a2=2a1+1=3=3a1,∴an+1=3an(n∈N*),∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,∴an=3n-1.∵b1=b2-d=5-2=3,∴bn=b1+(n-1)d=2n+1.-40-題型一題型二題型三題型四題型五對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8(2019江-41-題型一題型二題型三題型四題型五(2)存在滿足條件的n,n的最小值為4.由(1)知,anbn=(2n+1)·3n-1,設(shè)Tn為數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和,則Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)×3n-2+(2n+1)×3n-1,①3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1+(2n+1)×3n,②①-②,得-2Tn=3×1+2(3+32+…+3n-1)-(2n+1)×3n∴Tn=n·3n>60n,即3n>60,∵33=27,34=81,∴正整數(shù)n的最小值為4.-41-題型一題型二題型三題型四題型五(2)存在滿足條件的n-42-1.解決等差、等比數(shù)列的綜合問題時(shí),重點(diǎn)在于讀懂題意,靈活利用等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式解決問題,求解這類問題要重視方程思想的應(yīng)用;用好等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可以降低運(yùn)算量,減少差錯(cuò).2.求數(shù)列的通項(xiàng)公式就是求出an與n的關(guān)系式,無論條件中的關(guān)系式含有哪些量,一般都需要通過消元、轉(zhuǎn)化和化歸的思想使之變?yōu)榈炔睢⒌缺葦?shù)列.3.高考對(duì)數(shù)列求和的考查主要是:等差、等比數(shù)列的公式求和;能通過錯(cuò)位相減法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;裂項(xiàng)相消法求和;分組或合并后轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和.-42-1.解決等差、等比數(shù)列的綜合問題時(shí),重點(diǎn)在于讀懂題意-43-4.證明數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列主要依據(jù)定義,盡管題目給出的條件多種多樣,但總體目標(biāo)是把條件轉(zhuǎn)化成

與an的差或比為一個(gè)定值.5.數(shù)列與不等式的綜合問題(1)數(shù)列不等式的證明要把數(shù)列的求和與放縮法結(jié)合起來,靈活使用放縮法.(2)證明數(shù)列不等式也經(jīng)常轉(zhuǎn)化為數(shù)列和的最值問題,同時(shí)要注意比較法、放縮法、基本不等式的應(yīng)用.-43-4.證明數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列主要依據(jù)定義,盡管題高考大題增分專項(xiàng)三

高考中的數(shù)列高考大題增分專項(xiàng)三

高考中的數(shù)列-45-從近五年高考試題分析來看,高考數(shù)列解答題主要題型有:等差、等比數(shù)列的綜合問題;證明一個(gè)數(shù)列為等差或等比數(shù)列;求數(shù)列的通項(xiàng)及非等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和;證明數(shù)列型不等式.命題特點(diǎn)是試題題型規(guī)范、方法可循、難度穩(wěn)定在中檔.-2-從近五年高考試題分析來看,高考數(shù)列解答題主要題型有:等-46-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略一

公式法對(duì)于等差、等比數(shù)列,求其通項(xiàng)及求前n項(xiàng)的和時(shí),只需利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式求解即可.-3-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略一-47-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.∴a1=4,∴{an}是首項(xiàng)為4,公差為3的等差數(shù)列.∴an=4+(n-1)×3=3n+1.(2)由(1)及anbn+1=nbn+bn+1,例1已知{an}是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足

-4-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(1)求數(shù)列-48-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1在等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)若a3,a5分別為等差數(shù)列{bn}的第4項(xiàng)和第16項(xiàng),試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.-5-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1在-49-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略二

轉(zhuǎn)化法無論是求數(shù)列的通項(xiàng)還是求數(shù)列的前n項(xiàng)和,通過變形、整理后,能夠把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或求和公式解決問題.-6-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略二-50-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二例2已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=3,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=log3an,T2n=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1,求T2n.解:(1)∵3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,∴4S2=3S1+S3.∴4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3),即a3=3a2.∴公比q=3.∴an=a1qn-1=3n.(2)由(1)知,bn=log3an=log33n=n,∵b2n-1b2n-b2nb2n+1=(2n-1)2n-2n(2n+1)=-4n,∴T2n=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)-7-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二例2已知等比-51-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)令bn=lna3n+1,n=1,2,…,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.-8-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè)-52-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-9-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-53-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略一

定義法

用定義法證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,常采用的兩個(gè)式子an-an-1

=d(n≥2)和an+1-an=d,前者必須加上“n≥2”,否則n=1時(shí)a0無意義;用定義法證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列也常采用兩個(gè)式子-10-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略一-54-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(1)求a1,a2;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列;(3)若數(shù)列{bn}滿足an=log2bn,試證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求其前n項(xiàng)和Tn.又a1=5滿足an=3n+2,故an=3n+2.因?yàn)閍n+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),所以數(shù)列{an}是以5為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列.-11-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(1)求a-55-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-12-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-56-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn,滿足a1=2,Sn=λnan+μan-1,其中n≥2,n∈N*,λ,μ∈R.(1)若λ=0,μ=4,bn=an+1-2an(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;證明:(1)若λ=0,μ=4,則Sn=4an-1(n≥2),所以an+1=Sn+1-Sn=4(an-an-1),即an+1-2an=2(an-2an-1),所以bn=2bn-1.又由a1=2,a1+a2=4a1,得a2=3a1=6,a2-2a1=2≠0,即bn≠0,-13-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3-57-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(2)若a2=3,由a1+a2=2λa2+μa1,得5=6λ+2μ.即(n-1)an+1-(n-2)an-2an-1=0,所以nan+2-(n-1)an+1-2an=0,兩式相減得nan+2-2(n-1)an+1+(n-2)an-2an+2an-1=0,所以n(an+2-2an+1+an)+2(an+1-2an+an-1)=0,-14-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(2)若a-58-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二因?yàn)閍1-2a2+a3=0,所以an+2-2an+1+an=0,即數(shù)列{an}是等差數(shù)列.-15-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二因?yàn)閍1--59-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略二

遞推相減化歸法對(duì)已知數(shù)列an與Sn的關(guān)系,證明{an}為等差或等比數(shù)列的問題,解題思路為:由an與Sn的關(guān)系遞推出n為n+1時(shí)的關(guān)系式,兩關(guān)系式相減后,進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理,最終化歸為用定義法證明.-16-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略二-60-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二例4已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=(m+1)-man對(duì)任意的n∈N*都成立,其中m為常數(shù),且m<-1.(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;(2)記數(shù)列{an}的公比為q,設(shè)q=f(m),若數(shù)列{bn}滿足(3)在(2)的條件下,設(shè)cn=bn·bn+1,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn<1.-17-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二例4已知數(shù)-61-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1.∵Sn=(m+1)-man,①∴Sn-1=(m+1)-man-1(n≥2),②由①-②,得an=man-1-man(n≥2),即(m+1)an=man-1.∵a1≠0,m<-1,∴an-1≠0,m+1≠0.-18-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二證明:(1-62-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-19-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-63-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*),其中m為常數(shù),且m≠-3.(1)求證:{an}是等比數(shù)列;證明:(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,兩式相減,得(3+m)an+1=2man.∴{an}是等比數(shù)列.-20-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4-64-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-21-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-65-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略一

錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法來求,即和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比,然后作差求解.-22-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略一-66-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二例5(2019河北衡水中學(xué)高三調(diào)考)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,a1=1,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.對(duì)任意n∈N*,有2Sn=2p+pan-p(p∈R).(1)求常數(shù)p的值;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;∴p=1.-23-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二例5(20-67-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二即2(an+1+an)(an+1-an)-(an+1+an)=0,∴(an+1+an)(2an+1-2an-1)=0.由于數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),-24-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二即2(an-68-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n,2Tn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,Tn=(n-1)·2n+1+2.-25-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二∴Tn=1-69-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5已知{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和(n∈N*).解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因?yàn)閝>0,解得q=2.所以bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①由S11=11b4,可得a1+5d=16,②聯(lián)立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-2,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n.-26-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5-70-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(2)設(shè)數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和為Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)×4n,故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述兩式相減,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1-27-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二(2)設(shè)數(shù)-71-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略二

裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和.利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),要注意抵消后所剩余的項(xiàng)是前后對(duì)稱的.-28-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二突破策略二-72-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-29-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-73-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-30-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-74-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(2019河北唐山高三第一次模擬考試)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(1)求Sn,an;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1,當(dāng)n=1時(shí),a1=1適合上式,所以an=2n-1.-31-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6-75-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-32-題型一題型二題型三題型四題型五策略一策略二-76-題型一題型二題型三題型四題型五要證明關(guān)于一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的不等式,一般有兩種思路:一是先求和再對(duì)和式放縮;二是先對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)放縮再求數(shù)列的和,必要時(shí)對(duì)其和再放縮.-33-題型一題型二題型三題型四題型五要證明關(guān)于一個(gè)數(shù)列的前-77-題型一題型二題型三題型四題型五-34-題型一題型二題型三題型四題型五-78-題型一題型二題型三題型四題型五對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且b1=a1=1,b2=a1+a2,a3=2b3-6.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(1)解:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,數(shù)列{bn}的公差為d,所以an=2n-1,bn=2n-1.-35-題型一題型二題型三題型四題型五對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7已知數(shù)列{a-79-題型一題型二題型三題型四題型五-36-題型一題型二題型三題型四題型五-80-題型一題型二題型三題型四題型五求解數(shù)列中的存在性問題,先假設(shè)所探求對(duì)象存在,再以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理,若由此推出矛盾,則假設(shè)不成立,即不存在.若推不出矛盾,則得到存在的結(jié)果.-37-題型一題型二題型三題型四題型五求解數(shù)列中的存在性問題-81-題型一題型二題型三題型四題型五例8已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù).(1)證明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由.(1)證明:因?yàn)閍nan+1=λSn-1,所以an+1an+2=λSn+1-1.兩式相減,得an+1(an+2-an)=λa