七年級數(shù)學(xué)整式的乘法(教師講義帶)6109

第2章：整式的乘除與因式分解一、基礎(chǔ)知識1.同底數(shù)冪的乘法：mnmnaam,n不變，指數(shù)相加。mnmn2.冪的乘方：(a)am,n乘。nnn3.積的乘方：(ab)abn分別乘方，再把所得的冪相乘。4.整式的乘法：（1）單項式的乘法法例：一般地，單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，關(guān)于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．（2）單項式乘多項式法例：單項式與多項式相乘，就是依據(jù)乘法分派律，用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加．可用下式表示：a+b+c)=a、b、c都表示單項式)（3）多項式的乘法法例：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．5.乘法公式：（1）平方差公式:平方差公式能夠用語言表達(dá)為“兩個數(shù)的和與這兩個的差積等于這兩個數(shù)的平方差”，即用字母表示為：(a－a2－b；其構(gòu)造特征是：公式的左側(cè)是兩個一次二項式的乘積，而且這兩個二項式中有一項為哪一項完全相同的，另一項則是互為相反數(shù)，右側(cè)是乘式中兩項的平方差.（2）完整平方公式：完整平方公式能夠用語言表達(dá)為“兩個數(shù)和（或差）的平方，等于第一數(shù)的平方加上（或減去）第一數(shù)與第二數(shù)乘積的2倍，加上第二數(shù)的平方”，即用字母表示為：(22；(a－b)2－2；其結(jié)構(gòu)特色是：左側(cè)是“兩個數(shù)的和或差”的平方，右側(cè)是三項，首末兩項是平方項，且符號相同，中間項是，且符號由左側(cè)的“和”或“差”來確立.在完全平方公式中，字母a、b都擁有寬泛意義，它們既能夠分別取詳細(xì)的數(shù)，也可以取一個單項式、一個多項式或代數(shù)式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3)×2+22＝9x2－－+4，或許(3x+y－2)2＝9x2－－+4，或許(3x+y－2)＝(3x)2+2×3x(y－2)+(y－2)2＝+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把當(dāng)作是完整平方公式中的，2當(dāng)作是b；后者是把3x當(dāng)作是完整平方公式中的a，y－2當(dāng)作是1（3）添括號時，假如括號前面是正號，括到括號里的各項都不變號；假如括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都變號。乘法公式的幾種常有的恒等變形有：（1a22＝(a22＝(a－2ab＝(－2（2ab＝12［(2－（22＝14［()2－(a－2］＝22abab

.22（3(2+(a－2＝22.（4()22+c2.利用上述的恒等變形，我們能夠快速地解決相關(guān)看似與乘法公式?jīng)]關(guān)的問題，而且還會收到事半功倍的成效.6.整式的除法：mnmnaaaa0，，n都是正整數(shù)，而且mn底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。（）01(0)aa，任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.（）單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，關(guān)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。（）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。7.因式分解觀點(diǎn)：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這就叫做把這個多項式因式分解，也可稱為將這個多項式分解因式，它與整式乘法互為逆運(yùn)算。8．常用的因式分解方法：（）提公因式法：把mambmc，分解成兩個因式乘積的形式，此中一個因式是各項的公因式(abc)是mambmc除以所得的商，像這類分解因式的方法叫做提公因式法。i多項式各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式。ii公因式的組成：①系數(shù)：各項系數(shù)的最大條約數(shù)；②字母：各項都含有的相同字母；③指數(shù)：相同字母的最低次冪。（）公式法：22（1）常用公式平方差：ab(aab)完整平方：22abb(ab)22a（2）常有的兩個二項式冪的變號規(guī)律：①2n2n(a(ba)；②2n12n1(ab)(ba)n為正整數(shù)）2（）十字相乘法2ⅰ二次項系數(shù)為1的二次三項式xpxq中，假如能把常數(shù)項q分解成兩個因式b的積，而且ab等于一次項系數(shù)中p，那么它就能夠分解成2xpxq2xabxabxaxb2ⅱ二次項系數(shù)不為1的二次三項式axbxc中，假如能把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)1,a2的積，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)1,c的積，而且2a等于一次項系數(shù)b，那么它就能夠分解成：1cac2212bxcaax2acacxccaxa1xaa2xc2。12122112（）分組分解法ⅰ定義：分組分解法，合用于四項以上的多項式，比如22abab沒有公因式，又不可以直接利用分式法分解，可是假如將前兩項和后兩項分別聯(lián)合，把原多項式分紅兩組。再提公因式，即可達(dá)到分解因式的目的。比如：22

22(ab)(a(ab)(ab)(ab)(ab)(ab1)，abab=這類利用分組來分解因式的方法叫分組分解法。ⅱ原則：分組后可直接提取公因式或可直接運(yùn)用公式，但一定使各組之間能持續(xù)分解。ⅲ有些多項式在用分組分解法時，分解方法其實不獨(dú)一，不論如何分組，只要能將多項式正確分解即可。二、經(jīng)典例題第一部分整式的乘除【例1】例題以下運(yùn)算正確的選項是（）5510B.a5·a5=a10C．a(chǎn)·520a4）=a9A.a【思路點(diǎn)撥】選支是整式的加法運(yùn)算，歸并得2a5；選支正確；選支為同底數(shù)冪運(yùn)算應(yīng)指數(shù)相加，而不是相乘，故為a·59；選支為冪的乘方運(yùn)算，應(yīng)底數(shù)不變，指數(shù)相乘，為（a4）520．【分析】本題應(yīng)選Ｂ．【規(guī)律總結(jié)】同底數(shù)冪的乘法是學(xué)習(xí)整式乘法的基礎(chǔ)，必定要學(xué)好，學(xué)習(xí)它時注意領(lǐng)會從特別到一般、從詳細(xì)到抽象，有層次的進(jìn)行歸納抽象，歸納原理．【例2】以下運(yùn)算正確的選項是（）3A.(－x)2x36B.(x)3(25C．2(2)2224xxx．(2xx2)3862)386【思路點(diǎn)撥】選支錯在把指數(shù)相乘，實質(zhì)應(yīng)相加(－x)2?x32·x5；選支錯在符號不對，負(fù)的偶次冪為正，負(fù)的奇次冪為負(fù)，32(x)(=32xx=5x；選支中積的乘方運(yùn)算出現(xiàn)漏乘項錯誤，222224x(2x)=4x2x=224x4x0；選支運(yùn)算正確．【分析】本題應(yīng)選Ｄ．【規(guī)律總結(jié)】冪的乘方與積的乘方，是學(xué)習(xí)整式乘法的基礎(chǔ)．導(dǎo)出冪的乘方的依據(jù)是乘方的意義和同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)．同學(xué)們要真實理解冪的乘方法的性質(zhì)，這樣才不致混雜性質(zhì)而運(yùn)算犯錯．【例3】以下運(yùn)算在正確的選項是（）A.55210xxxB.358(x)(xC.2333(2xy)4x24xyD.11122(x3y)(x3y)x9y224[答案]B[錯因透視]對整式運(yùn)算法例理解不深入才會出現(xiàn)錯誤，5525xxx，3(2)8，1112(x3y)(x3y)(x3y)222y）【例4-2x·(-3xy)【思路點(diǎn)撥】靈巧運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)、乘法互換律等進(jìn)行運(yùn)算．4y·(-3xy)(據(jù)積的乘方)

【分析】原式=[4×(-3)](x·x)(y2·y)(據(jù)乘法互換律、聯(lián)合律)5y(占有理數(shù)的乘法、同底數(shù)冪的乘法)=-12x【規(guī)律總結(jié)】因為單項式是數(shù)字與字母的積，所以，冪的運(yùn)算性質(zhì)，乘法互換律、聯(lián)合律，可作為單項式乘法的依照．單項式乘法法例關(guān)于三個以上的單項式相乘相同合用，如：b·(-3ab2)·5abc2a4=[2×(-3)×5]·(a·a·a)·(··b)·c=-30a44c【例51）2xy(5xy2-1)（）(a2-2bc)·(-2ab)2-1)（）(a2-2bc)·(-2ab)2）小題單項式為，多項式里含三項為：、3xy、-1，乘積仍為三項；(2)小題應(yīng)先算(-3ab)2，再用乘法互換律后的計算方法是相同的．1）原式···(-1)2y3y2-2xy

=10x2-2bc)·4ab2（2）原式=(a2b·a222·(-2bc)=4a4-8a3c=4a【規(guī)律總結(jié)】在解答單項式與多項式相乘問題時，易犯以下錯誤：①出現(xiàn)漏乘，而致使缺項；②出現(xiàn)符號錯誤；③運(yùn)算次序犯錯，造成計算有錯．【例6】計算：(1)(3x-2y)(2(2)(x-y)(x22)【思路點(diǎn)撥】第（）題，先用x分別與2a、相乘，再用-2y分別與2a相乘，而后把所得的積相加；第（2）題，可先用二項式（x-y）中的x分別與三項式中的各項相乘，再用-y分別與三項式中的各項相乘，而后把所得的積相加．【分析】(1)原式··y)·y)·3b=6-4ay-6by(2)原式·x2·xy·y+(-y)·x2+(-y)·xy+(-y)·y2322-x2y-xy2-y3=x=x3-y3【規(guī)律總結(jié)】（1）利用多項式乘法法例時，既不要漏乘，又要注意確立各項的符號．（2）乘積中有同類項，要?dú)w并同類項．【例7】計算(1)(3x22)(-3x23)【思路點(diǎn)撥】認(rèn)真察看題目特色，凡兩因式中相同項看作公式中的a(必須是互為相反數(shù))看作公式中的b方可應(yīng)用平方差公式，而有的，一定經(jīng)過變形才能運(yùn)用平方差公式．【分析】原式=(2y3)3)-(3x)26-9x4=4y5【規(guī)律總結(jié)】公式中的字母可表示詳細(xì)的數(shù)，也可表示單項式或多項式，只需切合平方差公式的構(gòu)造特色，便可運(yùn)用．【例8】化簡：(1)(22(2)(-x+2y)2(3)(-n)2【思路點(diǎn)撥】本題可利用完整平方公式計算，第（1）題是兩數(shù)和的平方，應(yīng)選用“和”的完整平方公式，此中是公式中的a，3b是公式中的b；第(2)題(-2=(2y-x)2=(x-2y)2所以應(yīng)采納“差”的完整平方公式簡捷；第(3)題(-2=[-(2=(2應(yīng)采納“和”的完整平方公式簡捷．【分析】(1)(2)=(2a)+2．．3b+(3222=4a(2)(-x2=(2y-x)=(2y)2-2··x+x2=4y2-4xy+x2(3)(-n)=[-(=(=m2【規(guī)律總結(jié)】（1）這三題其實都能夠用“和”的完整平方公式（或“差”的完全平方公式）計算，只可是依據(jù)題目特色靈巧采納變形可簡化計算過程，此中(-2轉(zhuǎn)變?yōu)?2y-x)2或(x-2y)2是一個常用技巧．（2）完整平方公式(±22±2，睜開式可記成“首(a)平方、尾(b)平方，首(a)尾(乘積的2倍加減在中央”．【例9】計算：(1)y10÷y3÷y4(2)(-ab)10÷y3÷y4(2)(-ab)5÷(-ab)3【思路點(diǎn)撥】先察看題目，確立運(yùn)算次序及可運(yùn)用的公式，再進(jìn)行計算．題目（）中被除數(shù)與除數(shù)的底數(shù)相同，故可先進(jìn)行同底數(shù)冪的除法，再運(yùn)用積的乘方的公式將計算進(jìn)行到最后．10÷y3÷y410-3-43【分析】(1)y(2)(-÷(-=(-=ab2【規(guī)律總結(jié)】像（）這類題目，必定要計算到最后一步．【例10】計算：(1)xn+2÷xn-2(2)(x4)n+2÷xn-2(2)(x4)3·x÷x16（）用小數(shù)或分?jǐn)?shù)表示：-35.2×10【思路點(diǎn)撥】（1）在運(yùn)用“同底數(shù)冪的除法”公式時，指數(shù)假如多項式，指數(shù)相減必定要打括號．(2)中先乘方運(yùn)算再做乘除法；（）先將負(fù)指數(shù)的冪化為小數(shù)，再進(jìn)行乘法運(yùn)算，獲得最后結(jié)果．6n+2÷x(n+2)-(4【分析】(1)x(2)(x4)4)·x4÷x1612·x4÷x1612+4-160=1(3)5.2×10-3=5.2×-3=5.2×1310=5.2×0.001=0.0052【規(guī)律總結(jié)】這里要特別注意“a÷ann(a≠0，，n均為正整數(shù)，而且”括號內(nèi)的條件．+2b3c)÷(2anb)；(2)(3xy)【例11】計算：(1)(a·(2xy)÷(6x3y3)【思路點(diǎn)撥】（1）中被除式的系數(shù)是，可依照單項式相除法例計算;（）是混雜運(yùn)算，先弄清運(yùn)算次序，再依據(jù)相應(yīng)的法例進(jìn)行計算．本題先進(jìn)行乘方，再自左至右進(jìn)行乘除法．2bc)÷(2n2)【分析】解：(1)(a=(1÷2)·(a+2÷n)·(b÷2)·c=1a2bc(2)(3xy2)·(2xy)÷(6xy3)y4)·(2xy)÷(6x3y3)=(9xy5)÷(6x3y3)=(18x2【規(guī)律總結(jié)】單項式相除，第一分清兩工的系數(shù)、相同字母、被除式特有的字母，再進(jìn)行運(yùn)算，聯(lián)合演算重述法例，使法例熟習(xí)，并會用它們嫻熟進(jìn)行計算．3y4z-4x2y3z+2xy)÷(2xy)；(2)［(x+y)【例12】計算：(1)(6x2-(x-y)2］÷(xy)【思路點(diǎn)撥】關(guān)于混雜運(yùn)算，先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的．3yz-4xy3z+2xy3)÷(2xy3)

【分析】(1)(6x3yz)÷(2xy)-(4xy3z)÷(2xy3)+(2xy=(6x3)÷(2xy3)2yz-2xz+1這一項易漏！(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy)［x2-(x-2xy2)］÷(xy)7［4xy］÷（xy）=4【規(guī)律總結(jié)】把多項式除以單項式“轉(zhuǎn)變”為單項式除以單項式，在這個轉(zhuǎn)變過程中，要注意符號問題．第二部分：因式分解【例1】將以下各式分解因式：（）332a36a；（）41_______a；（）22abab；（）4a2b21_______。[答案]（）2a(a6)(a3)（）2(a1)(a1)(a1)（）(ab)(ab1)（）(2ab1)(2ab1)[錯因透視]因式分解是中考取的熱門內(nèi)容，相關(guān)因式分解的問題應(yīng)防備出現(xiàn)一下常有錯誤：①公因式?jīng)]有所有提出，如336a36a2a(2a6a36)a(a6)(2a6)；②因式分解不完全，如41(21)(21)aaa；③丟項，如22abab(ab)(ab)；④分組不合理，致使分解錯誤，如224ab122(4a1)(b2b)(2a1)(2a1)b(b2)，沒法再分解下去?！纠?】連一連：a－1(a＋1)(a－1)a＋6a＋9(3a＋1)(3a－1)a－4a＋4a(a－b)89a2－1(a＋3)2a2－ab(a－2)2【思路點(diǎn)撥】因為因式分解是整式乘法的逆運(yùn)算，我們能夠先運(yùn)用整式乘法法則計算出第二列中各整式相乘的結(jié)果，看跟第一列中的哪個多項式相等，而后用線連結(jié)起來.【分析】(a＋1)(a－1)＝a－1，(3a＋1)(3a－1)＝9a2－，a(a－b)＝2－ab，(a＋3)2＝a＋6a＋9，(a－2)2＝a－4a＋4.【規(guī)律總結(jié)】整式乘法與因式分解是互逆的恒等變形，依據(jù)題目的需要，有時多項式要經(jīng)過因式分解才能轉(zhuǎn)變?yōu)閹讉€整式積的形式，有時幾個多項式的積要經(jīng)過整式乘法化成多項式的形式.22byx【例315x－5y＋5z（2）（）2()4()axy【思路點(diǎn)撥】察看上邊的各個多項式，我們能夠發(fā)現(xiàn)每個多項式的各項都含有公因式，我們能夠運(yùn)用提公因式的方法來做這道題目.第（3）小題分解因式的要點(diǎn)是找尋公因式，本題的公因式能夠看作2a(xy)，也能夠看作(yx)）原式＝5（x－y＋z）（2）原式＝3a(a)2bxy

（3）方法一：原式＝2()4()

axy＝2a(xa(xy)2b]=2a(xy)(axay2b)2byx方法二：原式＝2()4()ayx＝2a(ya(yx)2b]＝(yx)(ayax2b)【規(guī)律總結(jié)】運(yùn)用提公因式分解因式時，找對公因式是要點(diǎn)，提公因式后的各項中不可以再含有其余公因式.有些表面沒有公因式的多項式，利用其互為相反數(shù)的條件，轉(zhuǎn)變?yōu)楹泄蚴降氖阶觼磉_(dá)成因式分解．其一般原則：（1）首項一般不化成含負(fù)號的形式；（）對同時含有奇次項和偶次項的多項式，一般將偶次項的底數(shù)化成它的相反數(shù)的形式，這樣可使各項符號不變．【例4】把以下各式因式分解：（1）2252)24mn（2）169(aab29【思路點(diǎn)撥】本題中兩項都能夠表示成平方的形式，多項式是二項式且前面的符號相反，應(yīng)試慮用平方差公式來分解1）2254mn22n

=[2)(5)]

（m2=（2m5n)(2m5n)（2）2)169(ab)ab22[)]=[13ab)]ab2=[13ab)11(ab)]3aab)]=（24a+2b）(2a+24b)=4(12a+b)(a+12b)【規(guī)律總結(jié)】第（）小題中的（24a+2b）(2a+24b)，將括號內(nèi)提取公因式“”后，應(yīng)把兩個2相乘，而不要當(dāng)作提公因式，誤寫成2(12a+b)(a+12b)．【例5】把以下各式分解因式：（1）212924aabb（）28(2)62mn)nmnn2【思路點(diǎn)撥】本題中多項式的各項沒有公因式且都是三項式，應(yīng)試慮用完整平方公式．）2129abb2=222332（2a）ab（b）2=（2a3b）（2）28(2)26nmnn=224(2)2[42mnmnn2=[42m2=（8m+3n）【規(guī)律總結(jié)】第（）小題中的2m＋n應(yīng)看作一個整體，而不要利用整式乘法進(jìn)行計算，不然分解比較困難，多項式各項沒有公因式且是三項式，應(yīng)試慮用完10全平方公式．【例61）24)162222a222(xyxy（2）(a4(4【思路點(diǎn)撥】只需（1）把24y22x和4xy2）(a把看作整體就不難套用平方差公式和完整平方公式來分解這個多項式的第一步，但本題中的兩小題都能持續(xù)因式分解，所以要特別注意分解要完全．1）24)16222(xyxy2=24)(4)222(xyxy=242)2(4)2(xyxy2y2xyx2y2xy=(44)(44)

x=2(x2y)(x2y)222a2（2）(4(4a=21(a2=2(a2==(aa2(2(2【規(guī)律總結(jié)】因式分解能否分解結(jié)束的標(biāo)記是看分解后的各因式時候還含有可持續(xù)因式分解的多項式。中考考點(diǎn)解讀：整式的乘除是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是中考的一個要點(diǎn)內(nèi)容.其考點(diǎn)主要波及以下幾個方面：考點(diǎn)1、冪的相關(guān)運(yùn)算例12014年湘西）在以下運(yùn)算中，計算正確的選項是（）（A）326aaa（B）235(a)a（）824aaa（D）2224(ab)ab剖析冪的運(yùn)算包含同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算、冪的乘方、積的乘方和同底數(shù)冪的除法運(yùn)算.冪的運(yùn)算是整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ),正確解決冪的相關(guān)運(yùn)算的要點(diǎn)是嫻熟理解各樣運(yùn)算的法例.11解：依據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法例知a，所以（A）錯；依據(jù)冪的乘3aaa3aaa2325方運(yùn)算法例知2)3632(aaa，所以（B）錯；依據(jù)同底數(shù)冪的除法法例知8aaa2826a，所以（C）錯；應(yīng)選（D）.m例2.（2014年齊齊哈爾）已知102n，103，則32mn____________．10剖析:本題主要考察冪的運(yùn)算性質(zhì)的靈巧應(yīng)用，可先逆用同底數(shù)冪的乘法法例mnmnmnmnaaa將指數(shù)相加化為冪相乘的形式,再逆用冪的乘方的法例(a)a將指數(shù)相乘轉(zhuǎn)變?yōu)閮绲某朔降男问蕉筝吶肭笾导纯?解：32mnmnmn103102(10)31022327210（）.考點(diǎn)2、整式的乘法運(yùn)算例32014年賀州）計算：(2)(131)

aa=．4剖析本題主要考察單項式與多項式的乘法運(yùn)算計算時，依照法例將其轉(zhuǎn)變?yōu)閱雾検脚c單項式的乘法運(yùn)算注意符號的變化.111433a解：(2a)(a＝(2a)a(2)1＝a442.考點(diǎn)3、乘法公式例4.(2014年山西省)計算：2x3x1x2剖析運(yùn)用多項式的乘法法例以及乘法公式進(jìn)行運(yùn)算，而后歸并同類項.解：2x3x1x2=269(222)xxxxx=269222xxxxx=9x7.例5.(2014年寧夏)已知：3ab，ab1，化簡(a2)(b2)的結(jié)果是．2剖析本題主要考察多項式與多項式的乘法運(yùn)算第一依照法例進(jìn)行計算而后靈巧變形，使其出現(xiàn)（ab）與ab，以便求值.3解：(a2)(b2)=ab2a2b4=ab2(ab)4=4212.2考點(diǎn)4、利用整式運(yùn)算求代數(shù)式的值例62014