圖像復原和壓縮課件

第5章圖像復原第5章圖像復原1圖像復原－又稱為圖像恢復與圖像增強相似－都要得到在某種意義上改進的圖像，或者說，希望要改進輸入圖像的視覺質(zhì)量不同之處－圖像增強技術(shù)一般要借助人的視覺系統(tǒng)的特性，以取得看起來好的視覺結(jié)果，而圖像復原則認為圖像是在某種情況下退化或惡化了(圖像品質(zhì)下降了)，現(xiàn)在需要根據(jù)相應(yīng)的退化模型和知識重建或恢復原始的圖像圖像恢復技術(shù)是要將圖像退化的過程模型化，并據(jù)此采取相反的過程以得到原始的圖像圖像復原－又稱為圖像恢復與圖像增強相似－都要得到在某種意義上2圖像恢復的內(nèi)容退化模型和循環(huán)矩陣對角化復原的代數(shù)方法逆濾波最小二乘方濾波交互式恢復空間復原技術(shù)圖像恢復的內(nèi)容退化模型和循環(huán)矩陣對角化3退化模型和循環(huán)矩陣對角化退化模型產(chǎn)生原因光學系統(tǒng)中的衍射傳感器非線性畸變光學系統(tǒng)的像差攝影膠片的非線性大氣流的擾動效應(yīng)圖像運動造成的模糊幾何畸變退化模型和循環(huán)矩陣對角化退化模型產(chǎn)生原因光學系統(tǒng)中的衍射傳感4定義：f[x,y]:原始圖像g[x,y]:退化圖像n[x,y]:加性噪聲g[x,y]=H{f[x,y]}+n[x,y]H{}:系統(tǒng)或操作圖像恢復就是在給定g(x,y)和代表退化的H的基礎(chǔ)上，得到對f(x,y)的某個近似的過程定義：f[x,y]:原始圖像圖像恢復就是在給定g(x,y)5H{.}+f(x,y)n(x,y)g(x,y)簡單的通用退化模型H{.}+f(x,y)n(x,y)g(x,y)簡單的通用退化6線性：

H{k1f1+k2f2}=k1H{f1}+k2H{f2}相加性：令k1=k2=1，則H{f1+f2}=H{f1}+H{f2}一致性：令f2=0，則H{k1f1}=k1H{f1}位置（空間）不變性：

H{f[x-a,y-b]}=g[x-a,y-b]H多具有的性質(zhì)2幅圖像常數(shù)圖像任意位置的響應(yīng)只與在該位置的輸入值有關(guān)，而與位置本身無關(guān)線性：H多具有的性質(zhì)2幅圖像常數(shù)圖像任意位置的響應(yīng)只與7常見具體退化模型示例空間不變線性攝影膠片的沖洗過程非線性光學成像系統(tǒng)，由于孔徑衍射產(chǎn)生的退化目標運動造成的模糊退化模糊退化隨機噪聲迭加，隨機性的退化常見具體退化模型示例空間不變線性攝影膠片的沖洗過程非線性光學8退化模型的計算假設(shè)對2個函數(shù)f(x)和h(x)進行均勻采樣，其結(jié)果放到尺寸為A和B地2個數(shù)組。對f(x)，x的取值范圍是0,1,2…A-1；對h(x)，x的取值范圍是0,1,2,….B-1。利用卷積計算g(x)。為了避免卷積的各個周期重疊，取M≥A+B-1，并將函數(shù)用0擴展補齊fe(x)和he(x)表示擴展函數(shù)，卷積為ge(x)=∑fe(m)

he(x-m)

x=0,1,…M-1矩陣表示g=Hfg和f是M維列矢量：fT=[f[0],f[1],…,f[M-1]]gT=[g[0],g[1],…,g[M-1]]退化模型的計算假設(shè)對2個函數(shù)f(x)和h(x)進行均勻采樣，9H稱為M×M循環(huán)矩陣H=g=Hf+n(1)考慮噪聲H稱為M×M循環(huán)矩陣H=g=Hf+n(1)10如果直接對式(1)進行計算求解f，計算量達，如M=N=512,則H的尺寸為262144×262144，可以通過對角化H來簡化當k=0,1…M-1時，循環(huán)矩陣H(設(shè)為M×M)的特征矢量和特征值分別為循環(huán)矩陣對角化如果直接對式(1)進行計算求解f，計算量達，如M=N=51211將H的M個特征矢量組成1個M×M的矩陣WW=[w(0)w(1)w(2)…w(M-2)w(M-1)]H=WDW-1

D=W-1HW其中：D(k,k)=λ(k)，WW-1=W-1W=I將H的M個特征矢量組成1個M×M的矩陣WW=[w(0)12復原的代數(shù)方法圖像復原的主要目的是當給定退化的圖像g以及H和n的某種假設(shè)，估計出原始圖像f代數(shù)復原方法的中心是尋找一個估計的f^，它使事先確定的某種優(yōu)度準則為最小復原的代數(shù)方法圖像復原的主要目的是當給定退化的圖像g以及H和13無約束復原方法由退化模型可知，其噪聲項為：n=g-Hf在并不知道n的情況下，希望找到一個f^，使得Hf^在最小二乘方意義上來說近似于g，也就是說，尋找一個f^，使得

||n||2=||g–Hf^||2J(f^)無約束復原方法由退化模型可知，其噪聲項為：||n||2=14nTn=(g–Hf^)T(g–Hf^)或?qū)嶋H上是求J(f^)的極小值問題，除了要求J(f^)為最小外，不受任何其它條件約束，因此稱為無約束復原dJ(f^)/df^=0=-2HT(g–Hf^)即f^=(HTH)-1HTgM=N時，則有f^=H-1(HT)-1HTg=H-1g(2)nTn=(g–Hf^)T(g–Hf^)或?qū)嶋H上是15約束復原方法在最小二乘方復原處理中，為了在數(shù)學上更容易處理，常常附加某種約束條件。如令Q為f的線性算子，最小二乘復原問題可看成是使形式為||Qf^||2函數(shù)，服從約束條件||g–Hf^||2=||n||2的最小問題，這種帶有附件條件的極值問題可用拉各朗日乘數(shù)法處理約束復原方法在最小二乘方復原處理中，為了在數(shù)學上更容易處理，16處理過程尋找一個f^，使下述準則函數(shù)為最小J(f^)=||Qf^||2+α{||g–Hf^||2-||n||2}拉各朗日系數(shù)dJ(f^)/df^=0f^=(HTH+γQTQ)–1HTgα=1/λ處理過程尋找一個f^，使下述準則函數(shù)為最小J(f^)=|17逆濾波基本原理在不考慮噪聲的情況下，假設(shè)M=N，則根據(jù)前面的公式，有f^=H–1g=WD–1W–1g或W–1f^=D–1W–1gF^(u,v)=G(u,v)/H(u,v)傅立葉變換經(jīng)過傅立葉反變換，可求得原始圖像f(x,y)反向濾波的作用逆濾波基本原理在不考慮噪聲的情況下，假設(shè)M=N，則根據(jù)前面的18在有噪聲的情況下F^(u,v)=F(u,v)+N(u,v)/H(u,v)從上面兩式可以看出，在進行復原處理時可能會發(fā)生下列情況：H(u,v)=0或H(u,v)非常小，在這種情況下，即使無噪聲，也無法精確恢復f(x,y)在有噪聲存在時，在H(u,v)的鄰域內(nèi)，H(u,v)的值可能比N(u,v)的值小的多，由上式得到的噪聲項可能會非常大，不能使f(x,y)正確恢復在有噪聲的情況下F^(u,v)=F(u,v)+N(u19一般說，逆濾波不能正確估計H(u,v)的零點實際中，不用1/H(u,v)，而用另外一個關(guān)于u,v的函數(shù)M(u,v)處理框圖為：f(x,y)H(u,v)+M(u,v)G(u,v)N(u,v)F^(u,v)M(u,v)=1/H(u,v)u2+v2≤w201u2+v2＞w20一般說，逆濾波不能正確估計H(u,v)的零點處理框圖為：f(20例子原始圖像散焦模糊利用原始圖像的一個鄰域光譜面恢復利用大的鄰域進行恢復例子原始圖像散焦模糊利用原始圖像的一個鄰域光譜面恢復利用大的21消除勻速直線運動引起的模糊在獲取圖像時，由于景物和攝像機之間的相對運動，造成圖像的模糊。假設(shè)對平面勻速運動的景物采集1幅圖像f(x,y)，并設(shè)x0(t)和y0(t)分別是景物在x和y方向的運動分量，T是采集時間長度。實際采集到的由運動而造成的模糊圖像g(x,y)為：g(x,y)=∫0Tf[x-x0(t),y-y0(t)]dtG(u,v)=F(u,v)

0Texp{-j2p[ux0(t)+vy0(t)]}dt=F(u,v)H(u,v)H(u,v)=

0Texp{-j2p[ux0(t)+vy0(t)]}dt如果知道運動分量x0(t)和y0(t)，從上式直接得到H(u,v)消除勻速直線運動引起的模糊在獲取圖像時，由于景物和攝像機之間22只考慮x方向的運動情況，即x0(t)=ct/T，y0(t)＝0，則H(u,v)=

0Texp{-j2πux0(t)}dt=(T/πuc)sin(πuc)e-jπuc當n為整數(shù)時，H在u=n/c處為0根據(jù)模糊圖像g(x,y)，不考慮y的變化g(t)=

0Tf[x-x0(t)]dt=

0Tf[x-ct/T]dt=

x-cxf[t]dt,0xL其中：t=x–ct/T.因此，g’(x)=f(x)–f(x-c) or f(x)=g’(x)+f(x-c)只考慮x方向的運動情況，即x0(t)=ct/T，y0(t)＝23假設(shè)L=Kc,其中K使整數(shù).變量x為： x=z+mc其中z在[0,c]范圍，m是(x/a)的整數(shù)部分(m的取值為0,1,…,K-1).則, f(z+mc)=g’(z+mc)+f[z+(m-1)c]這個等式能通過遞歸f(z)解決，f(z)=f(z-a)定義為運動范圍的一部分0z<c. f(x)=Sk=0mg’(x-kc)+f(x-mc)由于g(x)為已知，問題就轉(zhuǎn)化為估計f(x)假設(shè)L=Kc,其中K使整數(shù).變量x為：24為了估計

f(x): f(x-mc)=f(x)–f^(x).對每個kc

x<(k+1)c計算，并將k=0,1,…,K-1的結(jié)果加起來，得到

Kf(x)=Sk=0K-1f(x+kc)–Sk=0K-1f^(x+kc),0x<c f(x)A–(1/K)Sk=0K-1f^(x+kc),0x<c其中(1/K)Sk=0K-1f(x+kc)是未知的，但是當K很大時，其接近平均值，將其設(shè)為常數(shù)A。因此,

f(x-mc)A–(1/K)Sk=0K-1f^(x+kc-mc),0xL A–(1/K)Sk=0K-1Sj=0kg’[x-mc+(k-j)c]

或?qū)?x,yLf(x,y)A–(1/K)Sk=0K-1Sj=0kg’[x-mc+(k-j)c,y]+Sj=0mg’[x-jc,y]為了估計f(x): f(x-mc)=f(x)–f25最小二乘方濾波最小二乘濾波也就是維納濾波，它是使原始圖像f(x,y)及其恢復圖像f^(x,y)之間的均方誤差最小的復原方法具體的數(shù)學公式推導過程忽略，直接給出公式Sf(u,v):為

f[x,y]的功率普，Sh(u,v)為n[x,y]的功率普最小二乘方濾波最小二乘濾波也就是維納濾波，它是使原始圖像f(26討論一下上式的幾種情況（1）如果s=1，方括號中的項就是維納濾波器（2）如果s是變量，就稱為參數(shù)維納濾波器（3）當沒有噪聲時，Sn(u,v)=0，維納濾波器就退化為理想的逆濾波器（4）當Sn(u,v)和Sf(u,v)未知時，用常數(shù)K可代替因此必須調(diào)節(jié)s以滿足f^=(HTH+sQTQ)–1HTg討論一下上式的幾種情況（1）如果s=1，方括號中的項就是維納27逆濾波和維納濾波恢復比較110100SNR退化圖像

傅立葉功率普逆濾波恢復維納濾波恢復光譜圖

逆濾波和維納濾波恢復比較110100SNR退化圖像28原始圖像逆濾波恢復模糊和增加噪聲約束的最小二乘濾波原始圖像逆濾波恢復模糊和增加噪聲約束的最小二乘濾波29交互式恢復前面討論都是自動解析的恢復方法，在具體恢復工作中，常常需要人機結(jié)合，由人來控制恢復過程，以達到一些特殊的效果實際中，有時圖像會被1種2-D的正弦干擾模式(也叫相關(guān)噪聲)覆蓋。令η(x,y)代表幅度為A，頻率分量為(u0,v0)的正弦干擾模式，即：η(x,y)=Asin(u0x+v0y)傅立葉變換為：N(u,v)=-jA[δ(u-u0/(2π),v-v0/v(2π))-δ(u+u0/(2π),v+v0/(2π))]交互式恢復前面討論都是自動解析的恢復方法，在具體恢復工作中，30這里退化僅由噪聲造成，所以有：G(u,v)=F(u,v)+N(u,v)利用前面講的帶阻濾波器消除，以去掉正弦干擾模式影響正弦干擾傅立葉光譜恢復圖像n(x,y)=Asin(u0x+v0y)這里退化僅由噪聲造成，所以有：G(u,v)=F(u,v)+N31例子周期干擾退化圖像傅立葉譜例子周期干擾退化圖像傅立葉譜32干涉模式處理后圖像干涉模式處理后圖像33空間復原技術(shù)空間變換灰度插值空間復原技術(shù)空間變換34空間變換在圖像的獲取或顯示過程中，產(chǎn)生幾何失真，如成像系統(tǒng)有一定的幾何非線性，因此會造成如圖所示的枕形失真或桶形失真，另外，由于地球表面呈球形，攝取的平面圖像也將會有較大的幾何失真。對這些圖像必須加以校正，以免影響分析精度原始圖像枕形失真桶形失真空間變換在圖像的獲取或顯示過程中，產(chǎn)生幾何失真，如成像系統(tǒng)有35校正過程實際空間畸變理想圖像觀測圖像空間變形校正已校正圖像****************++觀測圖像和校正圖像之間對應(yīng)點校正過程實際空理想圖像觀測圖像空間變已校正圖像***36設(shè)原圖為f(x,y)，受到幾何形變得影響變成g(x’,y’)，這里(x’,y’)表示失真圖像的坐標x’=s(x,y)y’=t(x,y)線性失真s(x,y)=k1x+k2y+k3t(x,y)=k4x+k5y+k6非線性失真s(x,y)=k1+k2x+k3y+k4x2+k5xy+k6y2t(x,y)=k7+k8x+k9y+k10x2+k11xy+k12y2如果已知s(x,y)和t(x,y)的解析表達，可以通過反變換來恢復圖像設(shè)原圖為f(x,y)，受到幾何形變得影響變成g(x’,y’)37在實際中，通常不知道解析表達，需要在恢復過程中的輸入圖象(失真圖)和輸出圖(校正圖)上找一些其位置確切知道的點(稱為約束對應(yīng)點)，然后利用這些點建立2幅圖像間其它象素空間位置的對應(yīng)關(guān)系在實際中，通常不知道解析表達，需要在恢復過程中的輸入圖象(失38灰度插值(x,y)(x^,y^)f(x,y)g(x^,y^)最近鄰內(nèi)插灰度插值(x,y)(x^,y^)f(x,y)g(x^,y^)39實例變形圖像

幾何校正后的圖像

實例變形圖像40第5章圖像復原第5章圖像復原41圖像復原－又稱為圖像恢復與圖像增強相似－都要得到在某種意義上改進的圖像，或者說，希望要改進輸入圖像的視覺質(zhì)量不同之處－圖像增強技術(shù)一般要借助人的視覺系統(tǒng)的特性，以取得看起來好的視覺結(jié)果，而圖像復原則認為圖像是在某種情況下退化或惡化了(圖像品質(zhì)下降了)，現(xiàn)在需要根據(jù)相應(yīng)的退化模型和知識重建或恢復原始的圖像圖像恢復技術(shù)是要將圖像退化的過程模型化，并據(jù)此采取相反的過程以得到原始的圖像圖像復原－又稱為圖像恢復與圖像增強相似－都要得到在某種意義上42圖像恢復的內(nèi)容退化模型和循環(huán)矩陣對角化復原的代數(shù)方法逆濾波最小二乘方濾波交互式恢復空間復原技術(shù)圖像恢復的內(nèi)容退化模型和循環(huán)矩陣對角化43退化模型和循環(huán)矩陣對角化退化模型產(chǎn)生原因光學系統(tǒng)中的衍射傳感器非線性畸變光學系統(tǒng)的像差攝影膠片的非線性大氣流的擾動效應(yīng)圖像運動造成的模糊幾何畸變退化模型和循環(huán)矩陣對角化退化模型產(chǎn)生原因光學系統(tǒng)中的衍射傳感44定義：f[x,y]:原始圖像g[x,y]:退化圖像n[x,y]:加性噪聲g[x,y]=H{f[x,y]}+n[x,y]H{}:系統(tǒng)或操作圖像恢復就是在給定g(x,y)和代表退化的H的基礎(chǔ)上，得到對f(x,y)的某個近似的過程定義：f[x,y]:原始圖像圖像恢復就是在給定g(x,y)45H{.}+f(x,y)n(x,y)g(x,y)簡單的通用退化模型H{.}+f(x,y)n(x,y)g(x,y)簡單的通用退化46線性：

H{k1f1+k2f2}=k1H{f1}+k2H{f2}相加性：令k1=k2=1，則H{f1+f2}=H{f1}+H{f2}一致性：令f2=0，則H{k1f1}=k1H{f1}位置（空間）不變性：

H{f[x-a,y-b]}=g[x-a,y-b]H多具有的性質(zhì)2幅圖像常數(shù)圖像任意位置的響應(yīng)只與在該位置的輸入值有關(guān)，而與位置本身無關(guān)線性：H多具有的性質(zhì)2幅圖像常數(shù)圖像任意位置的響應(yīng)只與47常見具體退化模型示例空間不變線性攝影膠片的沖洗過程非線性光學成像系統(tǒng)，由于孔徑衍射產(chǎn)生的退化目標運動造成的模糊退化模糊退化隨機噪聲迭加，隨機性的退化常見具體退化模型示例空間不變線性攝影膠片的沖洗過程非線性光學48退化模型的計算假設(shè)對2個函數(shù)f(x)和h(x)進行均勻采樣，其結(jié)果放到尺寸為A和B地2個數(shù)組。對f(x)，x的取值范圍是0,1,2…A-1；對h(x)，x的取值范圍是0,1,2,….B-1。利用卷積計算g(x)。為了避免卷積的各個周期重疊，取M≥A+B-1，并將函數(shù)用0擴展補齊fe(x)和he(x)表示擴展函數(shù)，卷積為ge(x)=∑fe(m)

he(x-m)

x=0,1,…M-1矩陣表示g=Hfg和f是M維列矢量：fT=[f[0],f[1],…,f[M-1]]gT=[g[0],g[1],…,g[M-1]]退化模型的計算假設(shè)對2個函數(shù)f(x)和h(x)進行均勻采樣，49H稱為M×M循環(huán)矩陣H=g=Hf+n(1)考慮噪聲H稱為M×M循環(huán)矩陣H=g=Hf+n(1)50如果直接對式(1)進行計算求解f，計算量達，如M=N=512,則H的尺寸為262144×262144，可以通過對角化H來簡化當k=0,1…M-1時，循環(huán)矩陣H(設(shè)為M×M)的特征矢量和特征值分別為循環(huán)矩陣對角化如果直接對式(1)進行計算求解f，計算量達，如M=N=51251將H的M個特征矢量組成1個M×M的矩陣WW=[w(0)w(1)w(2)…w(M-2)w(M-1)]H=WDW-1

D=W-1HW其中：D(k,k)=λ(k)，WW-1=W-1W=I將H的M個特征矢量組成1個M×M的矩陣WW=[w(0)52復原的代數(shù)方法圖像復原的主要目的是當給定退化的圖像g以及H和n的某種假設(shè)，估計出原始圖像f代數(shù)復原方法的中心是尋找一個估計的f^，它使事先確定的某種優(yōu)度準則為最小復原的代數(shù)方法圖像復原的主要目的是當給定退化的圖像g以及H和53無約束復原方法由退化模型可知，其噪聲項為：n=g-Hf在并不知道n的情況下，希望找到一個f^，使得Hf^在最小二乘方意義上來說近似于g，也就是說，尋找一個f^，使得

||n||2=||g–Hf^||2J(f^)無約束復原方法由退化模型可知，其噪聲項為：||n||2=54nTn=(g–Hf^)T(g–Hf^)或?qū)嶋H上是求J(f^)的極小值問題，除了要求J(f^)為最小外，不受任何其它條件約束，因此稱為無約束復原dJ(f^)/df^=0=-2HT(g–Hf^)即f^=(HTH)-1HTgM=N時，則有f^=H-1(HT)-1HTg=H-1g(2)nTn=(g–Hf^)T(g–Hf^)或?qū)嶋H上是55約束復原方法在最小二乘方復原處理中，為了在數(shù)學上更容易處理，常常附加某種約束條件。如令Q為f的線性算子，最小二乘復原問題可看成是使形式為||Qf^||2函數(shù)，服從約束條件||g–Hf^||2=||n||2的最小問題，這種帶有附件條件的極值問題可用拉各朗日乘數(shù)法處理約束復原方法在最小二乘方復原處理中，為了在數(shù)學上更容易處理，56處理過程尋找一個f^，使下述準則函數(shù)為最小J(f^)=||Qf^||2+α{||g–Hf^||2-||n||2}拉各朗日系數(shù)dJ(f^)/df^=0f^=(HTH+γQTQ)–1HTgα=1/λ處理過程尋找一個f^，使下述準則函數(shù)為最小J(f^)=|57逆濾波基本原理在不考慮噪聲的情況下，假設(shè)M=N，則根據(jù)前面的公式，有f^=H–1g=WD–1W–1g或W–1f^=D–1W–1gF^(u,v)=G(u,v)/H(u,v)傅立葉變換經(jīng)過傅立葉反變換，可求得原始圖像f(x,y)反向濾波的作用逆濾波基本原理在不考慮噪聲的情況下，假設(shè)M=N，則根據(jù)前面的58在有噪聲的情況下F^(u,v)=F(u,v)+N(u,v)/H(u,v)從上面兩式可以看出，在進行復原處理時可能會發(fā)生下列情況：H(u,v)=0或H(u,v)非常小，在這種情況下，即使無噪聲，也無法精確恢復f(x,y)在有噪聲存在時，在H(u,v)的鄰域內(nèi)，H(u,v)的值可能比N(u,v)的值小的多，由上式得到的噪聲項可能會非常大，不能使f(x,y)正確恢復在有噪聲的情況下F^(u,v)=F(u,v)+N(u59一般說，逆濾波不能正確估計H(u,v)的零點實際中，不用1/H(u,v)，而用另外一個關(guān)于u,v的函數(shù)M(u,v)處理框圖為：f(x,y)H(u,v)+M(u,v)G(u,v)N(u,v)F^(u,v)M(u,v)=1/H(u,v)u2+v2≤w201u2+v2＞w20一般說，逆濾波不能正確估計H(u,v)的零點處理框圖為：f(60例子原始圖像散焦模糊利用原始圖像的一個鄰域光譜面恢復利用大的鄰域進行恢復例子原始圖像散焦模糊利用原始圖像的一個鄰域光譜面恢復利用大的61消除勻速直線運動引起的模糊在獲取圖像時，由于景物和攝像機之間的相對運動，造成圖像的模糊。假設(shè)對平面勻速運動的景物采集1幅圖像f(x,y)，并設(shè)x0(t)和y0(t)分別是景物在x和y方向的運動分量，T是采集時間長度。實際采集到的由運動而造成的模糊圖像g(x,y)為：g(x,y)=∫0Tf[x-x0(t),y-y0(t)]dtG(u,v)=F(u,v)

0Texp{-j2p[ux0(t)+vy0(t)]}dt=F(u,v)H(u,v)H(u,v)=

0Texp{-j2p[ux0(t)+vy0(t)]}dt如果知道運動分量x0(t)和y0(t)，從上式直接得到H(u,v)消除勻速直線運動引起的模糊在獲取圖像時，由于景物和攝像機之間62只考慮x方向的運動情況，即x0(t)=ct/T，y0(t)＝0，則H(u,v)=

0Texp{-j2πux0(t)}dt=(T/πuc)sin(πuc)e-jπuc當n為整數(shù)時，H在u=n/c處為0根據(jù)模糊圖像g(x,y)，不考慮y的變化g(t)=

0Tf[x-x0(t)]dt=

0Tf[x-ct/T]dt=

x-cxf[t]dt,0xL其中：t=x–ct/T.因此，g’(x)=f(x)–f(x-c) or f(x)=g’(x)+f(x-c)只考慮x方向的運動情況，即x0(t)=ct/T，y0(t)＝63假設(shè)L=Kc,其中K使整數(shù).變量x為： x=z+mc其中z在[0,c]范圍，m是(x/a)的整數(shù)部分(m的取值為0,1,…,K-1).則, f(z+mc)=g’(z+mc)+f[z+(m-1)c]這個等式能通過遞歸f(z)解決，f(z)=f(z-a)定義為運動范圍的一部分0z<c. f(x)=Sk=0mg’(x-kc)+f(x-mc)由于g(x)為已知，問題就轉(zhuǎn)化為估計f(x)假設(shè)L=Kc,其中K使整數(shù).變量x為：64為了估計

f(x): f(x-mc)=f(x)–f^(x).對每個kc

x<(k+1)c計算，并將k=0,1,…,K-1的結(jié)果加起來，得到

Kf(x)=Sk=0K-1f(x+kc)–Sk=0K-1f^(x+kc),0x<c f(x)A–(1/K)Sk=0K-1f^(x+kc),0x<c其中(1/K)Sk=0K-1f(x+kc)是未知的，但是當K很大時，其接近平均值，將其設(shè)為常數(shù)A。因此,

f(x-mc)A–(1/K)Sk=0K-1f^(x+kc-mc),0xL A–(1/K)Sk=0K-1Sj=0kg’[x-mc+(k-j)c]

或?qū)?x,yLf(x,y)A–(1/K)Sk=0K-1Sj=0kg’[x-mc+(k-j)c,y]+Sj=0mg’[x-jc,y]為了估計f(x): f(x-mc)=f(x)–f65最小二乘方濾波最小二乘濾波也就是維納濾波，它是使原始圖像f(x,y)及其恢復圖像f^(x,y)之間的均方誤差最小的復原方法具體的數(shù)學公式推導過程忽略，直接給出公式Sf(u,v):為

f[x,y]的功率普，Sh(u,v)為n[x,y]的功率普最小二乘方濾波最小二乘濾波也就是維納濾波，它是使原始圖像f(66討論一下上式的幾種情況（1）如果s=1，方括號中的項就是維納濾波器（2）如果s是變量，就稱為參數(shù)維納濾波器（3）當沒有噪聲時，Sn(u,v)=0，維納濾波器就退化為理想的逆濾波器（4）當Sn(u,v)和Sf(u,v)未知時，用常數(shù)K可代替因此必須調(diào)節(jié)s以滿足f^=(HTH+sQTQ)–1HTg討論一下上式的幾種情況（1）如果s=1，方括號中的項就是維納67逆濾波和維納濾波恢復比較110100SNR退化圖像

傅立葉功率普逆濾波恢復維納濾波恢復光譜圖

逆濾波和維納濾波恢復比較110100SNR退化圖像68原始圖像