中山大學(xué)《高等數(shù)學(xué)二》教學(xué)大綱

5/5中山大學(xué)《高等數(shù)學(xué)二》教學(xué)大綱中山大學(xué)《高等數(shù)學(xué)二》教學(xué)大綱

課程名稱：高等數(shù)學(xué)二Subject:AdvancedMathematics(2)

課程類別：必修總學(xué)時(shí)：72+72周學(xué)時(shí)：4+4學(xué)分：4+4

授課對(duì)象：一年級(jí)本科生專業(yè)：生科、教育、地球、地理和藥學(xué)等

主編姓名：孫軼民單位：數(shù)計(jì)學(xué)院職稱：副教授

主審姓名：王其如單位：數(shù)計(jì)學(xué)院職稱：教授

授課對(duì)象：本科生專業(yè)：藥學(xué)院：藥學(xué)。生科院：生物科學(xué)、生態(tài)學(xué)、中醫(yī)藥大學(xué)、海洋生物資源與環(huán)境、生物技術(shù)、臨床醫(yī)學(xué)（八年制）。教育學(xué)院：應(yīng)用心理學(xué)。地球?qū)W院：地球信息科學(xué)與技術(shù)、地質(zhì)學(xué)。地理學(xué)院：城市規(guī)劃、地理科學(xué)、地理信息系統(tǒng)(繪圖工程)、地理信息系統(tǒng)。

年級(jí)：一年級(jí)

編寫日期：2009-5-18

一、課程的目的與任務(wù)

高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)校理工科各專業(yè)學(xué)生的一門必修的重要基礎(chǔ)理論課。其目的是通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握：

1．函數(shù)、極限、連續(xù)性；

2．一元函數(shù)微積分學(xué)；

3．常微分方程；

4．向量代數(shù)和空間解析幾何；

5．多元函數(shù)微積分學(xué)；

6．無窮級(jí)數(shù)；

等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，為后繼數(shù)學(xué)與專業(yè)課打好必要的基礎(chǔ)。

在基本概念、基本理論和基本方法方面加強(qiáng)學(xué)習(xí)和訓(xùn)練的同時(shí)，還要通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)和提高學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、嚴(yán)謹(jǐn)思考的數(shù)學(xué)思維方法和自學(xué)能力，還要特別注意培養(yǎng)學(xué)生具有比較熟練的運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析和解決在其他課程和實(shí)際工作中所遇到的相關(guān)問題的能力。

本課程開設(shè)時(shí)間為一年，每學(xué)期每周4＋1學(xué)時(shí)，全年共136學(xué)時(shí)（其中“＋1”為輔導(dǎo)、答疑時(shí)間，不計(jì)入總學(xué)時(shí)）。

二、課程的基本要求

1．正確理解下列基本概念和它們之間的內(nèi)在聯(lián)系：

函數(shù)，極限，無窮小，連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，微分，極值，不定積分，定積分，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，條件極值，重積分，曲線積分，無窮級(jí)數(shù)，微分方程。

2．正確理解下列基本定理和公式并能正確運(yùn)用：

極限的主要定理，羅爾定理和拉格朗日中值定理，泰勒展開式，定積分作為其上限函數(shù)的求導(dǎo)定理，牛頓-萊布尼茲公式，格林公式。

3．牢固掌握下列公式：

兩個(gè)重要極限，基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，基本積分公式，函數(shù)ex、sinx、ln（1+x）

的麥克勞林展開式。

4．熟練運(yùn)用下列法則和方法：

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，換元積分法和分部積分法，二重積分的計(jì)算法，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法，變量可分離的方程及一階線性微分方程的解法，二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

5．會(huì)運(yùn)用微積分和常微分方程的方法解一些簡(jiǎn)單的幾何、物理和力學(xué)問題。

三、課程內(nèi)容及重點(diǎn)、難點(diǎn)

1．函數(shù)、極限、連續(xù)

函數(shù)：函數(shù)的概念，函數(shù)的特性，復(fù)合函數(shù)的概念，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形。

極限：數(shù)列極限的定義，收斂數(shù)列的性質(zhì)（唯一性、有界性），函數(shù)極限的定義，函數(shù)的左右極限，函數(shù)極限的性質(zhì)（局部保號(hào)性、不等式取極限），無窮小與無窮大的概念，極限的四則運(yùn)算法則，兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則），兩個(gè)重要極限，無窮小的比較。

函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)及其分類，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值定理，零點(diǎn)定理和介值定理）。

重點(diǎn)：函數(shù)概念，復(fù)合函數(shù)概念，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，極限概念，極限四則運(yùn)算法則，連續(xù)概念。

難點(diǎn)：極限的ε—N、ε—δ定義，等價(jià)無窮小求極限。

2．一元函數(shù)微分學(xué)

導(dǎo)數(shù)與微分：導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的物理應(yīng)用，可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，高階導(dǎo)數(shù)的概念，初等函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的求法，隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的求法，微分的定義，微分的運(yùn)算法則（含微分形式的不變性），微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式，洛必達(dá)法則，用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)極值概念及其求法，簡(jiǎn)單的最大值最小值應(yīng)用問題，用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)，函數(shù)作圖。

重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，初等函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法，羅爾定理和拉格朗日定理，函數(shù)的極值概念，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法。

難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，泰勒展開式。

3．一元函數(shù)積分學(xué)

不定積分：原函數(shù)與不定積分的定義，不定積分的性質(zhì)，基本積分公式，換元積分法，分部積分法，有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分。

定積分及其應(yīng)用：定積分的定義及其性質(zhì)，積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，牛頓-萊布尼茨公式，定積分的換元法和分部積分法，廣義積分的概念，定積分的近似計(jì)算，定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用（面積、旋轉(zhuǎn)體體積、平行截面面積為已知的立體的體積、平面曲線的弧長(zhǎng)），定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用（路程、功、水壓力、引力）。

重點(diǎn)：不定積分和定積分的概念及性質(zhì)，不定積分的基本公式，不定積分、定積分的換元法與分部積分法，變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，牛頓-萊布尼茲公式，用定積分表達(dá)一些幾何量與物理量（如面積、體積、弧長(zhǎng)、功、引力等）。

難點(diǎn)：變上限函數(shù)的求導(dǎo)，廣義積分，用定積分求功、引力等。

4．常微分方程

微分方程的一般概念：微分方程的定義、階、解、通解、初始條件、特解。

一階微分方程：可分離變量微分方程，齊次方程，一階線性微分方程，伯努利方程。

可降階的高階微分方程：y（n）=f(x)型，y″=f（x，y′）型，y″=f（y，y′）型。

高階線性微分方程：高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)齊次線性微分方程，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，用微分方程解簡(jiǎn)單的幾何和物理問題。

重點(diǎn)：變量可分離的方程及一階線性方程的解法，二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

難點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解。

5．向量代數(shù)與空間解析幾何

向量代數(shù)：空間直角坐標(biāo)系，向量概念，向量的線性運(yùn)算，向量的坐標(biāo)，向量的數(shù)量積，向量的向量積，兩向量的夾角，兩向量平行與垂直的條件。

平面與直線：平面的方程（點(diǎn)法式、一般式、截距式），直線的方程（參數(shù)式、對(duì)稱式、一般式），夾角（平面與平面、平面與直線、直線與直線），平行與垂直的條件（平面與平面、平面與直線、直線與直線）。

曲面與空間曲線：曲面方程的概念，球面方程，以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面，母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程，空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。

二次曲面：橢球面，雙曲面，拋物面。

重點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系，向量的概念及其表示，向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、點(diǎn)乘法、叉乘法），單位向量、方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法，平面方程和直線方程及其求法，曲面方程的概念。

難點(diǎn)：向量的叉乘法，利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問題，曲線、曲面的投影。

6．多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)：多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何表示，二元函數(shù)的極限與連續(xù)性，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

偏導(dǎo)數(shù)與全微分：偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法，高階偏導(dǎo)數(shù)的概念及復(fù)合函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，全微分的定義，全微分存在的必要條件和充分條件，多元復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求偏導(dǎo)公式（含方程組的情形），方向?qū)?shù)和梯度。

偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線，多元函數(shù)的極值及其

求法，最大值、最小值問題，條件極值，拉格朗日乘數(shù)法。

重點(diǎn)：多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，復(fù)合函數(shù)—階偏導(dǎo)數(shù)的求法，多元函數(shù)極值和條件極值的概念。

難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，求曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線，求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。

7．多元函數(shù)積分學(xué)

二重積分：二重積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），二重積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用（曲面面積、立體體積），二重積分在物理學(xué)中的應(yīng)用（質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力）。

三重積分：三重積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)），三重積分的應(yīng)用。

曲線積分：兩類曲線積分的定義與性質(zhì)，兩類曲線積分的計(jì)算法，曲線積分的應(yīng)用；格林公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

重點(diǎn)：二重積分、三重積分的概念，二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），兩類曲線積分的概念，格林公式。

難點(diǎn)：三重積分的計(jì)算方法，格林公式。

8．無窮級(jí)數(shù)

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：無窮級(jí)數(shù)及其收斂與發(fā)散的定義，無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，級(jí)數(shù)收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)和P-級(jí)數(shù)的斂散性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較、比值及根值審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理，絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及其關(guān)系。

冪級(jí)數(shù)：冪級(jí)數(shù)的概念，阿貝爾定理，較簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)的收斂域的求法，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)，麥克勞林級(jí)數(shù)，函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

重點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，幾何級(jí)數(shù)和P-級(jí)數(shù)的收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法，比較簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的求法。

難點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理，冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)，函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)。

四、學(xué)時(shí)安排

本課程的教學(xué)時(shí)數(shù)為136學(xué)時(shí)，答疑課為每周一學(xué)時(shí)，共34學(xué)時(shí)，學(xué)時(shí)分配如下：

五、教材及其使用說明

《高等數(shù)學(xué)》（上下冊(cè)），第六版，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2007年。

關(guān)于學(xué)時(shí)分配：兩個(gè)學(xué)期除去元旦、清明、五一、端午、中秋和國(guó)慶放假，還需要安排期中考試時(shí)間，實(shí)際學(xué)時(shí)不足136學(xué)時(shí)，因此每學(xué)期教學(xué)計(jì)劃留有8個(gè)機(jī)動(dòng)學(xué)時(shí)。另外，每周還有一個(gè)學(xué)時(shí)以安排輔導(dǎo)和答疑。

關(guān)于教學(xué)內(nèi)容：教材中除了所有打了“*”號(hào)的內(nèi)容一般