離散數(shù)學(xué)第10章課件高等教育出版社屈婉玲耿素云張立昂主編

第十章群與環(huán)主要內(nèi)容群的定義與性質(zhì)子群與群的陪集分解循環(huán)群與置換群環(huán)與域1第十章群與環(huán)主要內(nèi)容1半群、獨異點與群的定義半群、獨異點、群的實例群中的術(shù)語群的基本性質(zhì)10.1群的定義與性質(zhì)2半群、獨異點與群的定義10.1群的定義與性質(zhì)2半群、獨異點與群的定義定義10.1(1)設(shè)V=<S,°

>是代數(shù)系統(tǒng)，°為二元運算，如果°運算是可結(jié)合的，則稱V為半群.(2)設(shè)V=<S,°>是半群，若e∈S是關(guān)于°運算的單位元，則稱V

是含幺半群，也叫做獨異點.有時也將獨異點V記作

V=<S,°,e>.(3)設(shè)V=<S,°>是獨異點，eS關(guān)于°運算的單位元，若

aS，a1S，則稱V是群.通常將群記作G.3半群、獨異點與群的定義定義10.13實例例1

(1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普通加法.這些半群中除<Z+,+>外都是獨異點(2)設(shè)n是大于1的正整數(shù)，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群，也都是獨異點，其中+和·分別表示矩陣加法和矩陣乘法(3)<P(B),>為半群，也是獨異點，其中為集合對稱差運算(4)<Zn,>為半群，也是獨異點，其中Zn={0,1,…,n1}，

為模n加法4實例例14例2設(shè)G={e,a,b,c}，G上的運算由下表給出，稱為Klein四元群

eabceabceabcaecbbceacbae實例特征：1.滿足交換律2.每個元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何兩個元素運算結(jié)果都等于剩下的第三個元素5例2設(shè)G={e,a,b,c}，G上的運算由下表有關(guān)群的術(shù)語定義10.2(1)若群G是有窮集，則稱G是有限群，否則稱為無限群.群G的基數(shù)稱為群G的階，有限群G的階記作|G|.(2)只含單位元的群稱為平凡群.

(3)若群G中的二元運算是可交換的，則稱G為交換群或阿貝爾(Abel)群.實例：<Z,+>和<R,+>是無限群，<Zn,>是有限群，也是n階群.Klein四元群是4階群.<{0},+>是平凡群.上述群都是交換群，n階(n≥2)實可逆矩陣集合關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成的群是非交換群.6有關(guān)群的術(shù)語定義10.2(1)若群G是有窮集，則稱G是定義10.3設(shè)G是群，a∈G，n∈Z，則a的n次冪.群中元素的冪群中元素可以定義負整數(shù)次冪.7定義10.3設(shè)G是群，a∈G，n∈Z，則a的n次冪.群元素的階定義10.4設(shè)G是群，a∈G，使得等式ak=e成立的最小正整數(shù)k稱為a的階，記作|a|=k，稱a為k階元.若不存在這樣的正整數(shù)k，則稱a為無限階元.例如，在<Z6,>中，2和4是3階元，3是2階元，1和5是6階元，0是1階元.在<Z,+>中，0是1階元，其它整數(shù)的階都不存在.8元素的階定義10.4設(shè)G是群，a∈G，使得等式ak=e群的性質(zhì)：冪運算規(guī)則定理10.1設(shè)G為群，則G中的冪運算滿足：(1)a∈G，(a1)1=a(2)a,b∈G，(ab)1=b1a1(3)a∈G，anam=an+m，n,m∈Z(4)a∈G，(an)m=anm，n,m∈Z(5)若G為交換群，則(ab)n=anbn.證(1)(a1)1是a1的逆元，a也是a1的逆元.根據(jù)逆元唯一性，等式得證.(2)(b1a1)(ab)=b1(a1a)b=b1b=e,同理(ab)(b1a1)=e，故b1a1是ab的逆元.根據(jù)逆元的唯一性等式得證.9群的性質(zhì)：冪運算規(guī)則定理10.1設(shè)G為群，則G中的冪運群的性質(zhì)：方程存在惟一解定理10.2G為群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且僅有惟一解.例3設(shè)群G=<P({a,b}),>，其中為對稱差.解下列群方程：

{a}X=，Y{a,b}=解X={a}1={a}={a}，Y={a,b}1={a,b}={a}證a1b代入方程左邊的x得

a(a1b)=(aa1)b=eb=b所以a1b是該方程的解.下面證明惟一性.

假設(shè)c是方程ax=b的解，必有ac=b，從而有c=ec=(a1a)c=a1(ac)=a1b

同理可證ba1是方程ya=b的惟一解.10群的性質(zhì)：方程存在惟一解定理10.2G為群，a,b∈G，群的性質(zhì)：消去律定理10.3G為群，則G中適合消去律，即對任意a,b,c∈G有(1)若ab=ac，則b=c.(2)若ba=ca，則b=c.證明略11群的性質(zhì)：消去律定理10.3G為群，則G中適合消去律，即群的性質(zhì)：元素的階定理10.4G為群，a∈G且|a|=r.設(shè)k是整數(shù)，則(1)ak=e當且僅當r|k

(2)|a1|=|a|12群的性質(zhì)：元素的階定理10.4G為群，a∈G且|a|實例例5設(shè)G是群，a,b∈G是有限階元.證明(1)|b1ab|=|a|(2)|ab|=|ba|證(1)設(shè)|a|=r，|b1ab|=t，則有從而有t|r.另一方面，由a=(b1)1(b1ab)b1可知r|t.從而有|b1ab|=|a|.13實例例5設(shè)G是群，a,b∈G是有限階元.證明證實例(2)設(shè)|ab|=r，|ba|=t，則有由消去律得(ab)t=e，從而可知，r|t.同理可證t|r.因此|ab|=|ba|.14實例(2)設(shè)|ab|=r，|ba|=t，則有1410.2子群與群的陪集分解定義10.5設(shè)G是群，H是G的非空子集，(1)如果H關(guān)于G中的運算構(gòu)成群，則稱H是G的子群,記作H≤G.(2)若H是G的子群，且HG，則稱H是G的真子群，記作H<G.例如nZ(n是自然數(shù))是整數(shù)加群<Z,+>的子群.當n≠1時,nZ是Z的真子群.

對任何群G都存在子群.G和{e}都是G的子群，稱為G的平凡子群.

1510.2子群與群的陪集分解定義10.5設(shè)G是群，H是G子群判定定理1定理10.5（判定定理一）設(shè)G為群，H是G的非空子集，則H是G的子群當且僅當(1)a,b∈H有ab∈H(2)a∈H有a1∈H.證必要性是顯然的.為證明充分性，只需證明e∈H.因為H非空，存在a∈H.由條件(2)知a1∈H，根據(jù)條件(1)aa1∈H，即e∈H.16子群判定定理1定理10.5（判定定理一）證必要性是顯然的.子群判定定理2定理10.6（判定定理二）設(shè)G為群，H是G的非空子集.H是G的子群當且僅當a,b∈H有ab1∈H.

證必要性顯然.只證充分性.因為H非空，必存在a∈H.根據(jù)給定條件得aa1∈H，即e∈H.任取a∈H,由e,a∈H得ea1∈H，即a1∈H.任取a,b∈H，知b1∈H.再利用給定條件得a(b1)1∈H，即ab∈H.綜合上述，可知H是G的子群.17子群判定定理2定理10.6（判定定理二）證必要性顯然子群判定定理3定理10.7（判定定理三）

設(shè)G為群，H是G的非空有窮子集，則H是G的子群當且僅當a,b∈H有ab∈H.證必要性顯然.為證充分性，只需證明a∈H有a1∈H.任取a∈H,若a=e,則a1=e∈H.若a≠e，令S={a,a2,…}，則SH.由于H是有窮集，必有ai

=aj（i<j）.根據(jù)G中的消去律得aji

=e，由a≠e可知ji>1，由此得aji1a=e和aaji1=e從而證明了a1=aji1∈H.18子群判定定理3定理10.7（判定定理三）證必要性顯然.典型子群的實例:生成子群定義10.6設(shè)G為群，a∈G，令H={ak|k∈Z}，則H是G的子群，稱為由a生成的子群，記作<a>.證首先由a∈<a>知道<a>≠.任取am,al∈<a>，則

am(al)1=amal

=aml∈<a>根據(jù)判定定理二可知<a>≤G.實例：例如整數(shù)加群，由2生成的子群是<2>={2k|k∈Z}=2Z<Z6,>中，由2生成的子群<2>={0,2,4}Klein四元群G={e,a,b,c}的所有生成子群是：<e>={e},<a>={e,a},<b>={e,b},<c>={e,c}.19典型子群的實例:生成子群定義10.6設(shè)G為群，a∈G，令典型子群的實例:中心C定義10.7設(shè)G為群,令C={a|a∈G∧x∈G(ax=xa)}，則C是G的子群，稱為G的中心.證e∈C.C是G的非空子集.任取a,b∈C，只需證明ab1與G中所有的元素都可交換.x∈G，有(ab1)x=ab1x=ab1(x1)1

=a(x1b)1=a(bx1)1=a(xb1)=(ax)b1=(xa)b1=x(ab1)由判定定理二可知C≤G.對于阿貝爾群G，因為G中所有的元素互相都可交換，G的中心就等于G.但是對某些非交換群G，它的中心是{e}.20典型子群的實例:中心C定義10.7設(shè)G為群,令證e典型子群的實例:子群的交例6設(shè)G是群，H,K是G的子群.證明(1)H∩K也是G的子群(2)H∪K是G的子群當且僅當HK或KH21典型子群的實例:子群的交例6設(shè)G是群，H,K是G的子群.圖1定義10.8設(shè)G為群,令L(G)={H|H是G的子群}則偏序集<L(G),>稱為G的子群格子群格實例：Klein四元群的子群格如下：

22圖1定義10.8設(shè)G為群,令子群格實例：22陪集定義與實例定義10.9設(shè)H是G的子群，a∈G.令

Ha={ha|h∈H}稱Ha是子群H在G中的右陪集.稱a為Ha的代表元素.

例7(1)設(shè)G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=<a>是G的子群.H所有的右陪集是：

He={e,a}=H,Ha={a,e}=H,Hb={b,c},Hc={c,b}不同的右陪集只有兩個，即H和{b,c}.

23陪集定義與實例定義10.9設(shè)H是G的子群，a∈G.令

實例(2)設(shè)A={1,2,3}，f1,f2,…,f6是A上的雙射函數(shù).其中

f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}，f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}，f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}，f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}令G={f1,f2,…,f6}，則G關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運算構(gòu)成群.考慮G的子群H={f1,f2}.做出H的全體右陪集如下：

Hf1={f1f1,f2f1}=H,Hf2={f1f2,f2f2}=H

Hf3={f1f3,f2f3}={f3,f5},Hf5={f1f5,f2f5}={f5,f3}

Hf4={f1f4,f2f4}={f4,f6},Hf6={f1f6,f2f6}={f6,f4}結(jié)論：Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.24實例(2)設(shè)A={1,2,3}，f1,f2,…,f6陪集的基本性質(zhì)定理10.8設(shè)H是群G的子群，則(1)He=H(2)a∈G有a∈Ha證(1)He={he|h∈H}={h|h∈H}=H

(2)任取a∈G，由a=ea和ea∈Ha得a∈Ha25陪集的基本性質(zhì)定理10.8設(shè)H是群G的子群，則25定理10.9設(shè)H是群G的子群，則a,b∈G有

a∈Hb

ab1∈H

Ha=Hb陪集的基本性質(zhì)證先證a∈Hb

ab1∈Ha∈Hb

h(h∈H∧a=hb)

h(h∈H∧ab1=h)

ab1∈H

再證a∈Hb

Ha=Hb.充分性.若Ha=Hb，由a∈Ha可知必有a∈Hb.必要性.由a∈Hb可知存在h∈H使得a=hb，即b=h1a

任取h1a∈Ha，（根據(jù)陪集的定義h1∈H）則有h1a=h1(hb)=(h1h)b∈Hb

從而得到HaHb.反之，任取h1b∈Hb，則有

h1b=h1(h1a)=(h1h1)a∈Ha從而得到HbHa.綜合上述，Ha=Hb得證.26定理10.9設(shè)H是群G的子群，則a,b∈G有

定理10.10設(shè)H是群G的子群，在G上定義二元關(guān)系R：a,b∈G,<a,b>∈R

ab1∈H則R是G上的等價關(guān)系，且[a]R=Ha.陪集的基本性質(zhì)證先證明R為G上的等價關(guān)系.自反性.任取a∈G，aa1=e∈H<a,a>∈R對稱性.任取a,b∈G，則<a,b>∈Rab1∈H(ab1)1∈Hba1∈H<b,a>∈R

傳遞性.任取a,b,c∈G，則

<a,b>∈R∧<b,c>∈R

ab1∈H∧bc1∈H

ac1∈H<a,c>∈R下面證明：a∈G，[a]R

=Ha.任取b∈G，（p123等價類）b∈[a]R

<a,b>∈R

ab1∈H

Ha=Hb

b∈Ha

（TH10.9）

27定理10.10設(shè)H是群G的子群，在G上定義二元關(guān)系R：陪推論推論設(shè)H是群G的子群,則(1)a,b∈G，Ha=Hb或Ha∩Hb=

(2)∪{Ha|a∈G}=G

證明：由等價類性質(zhì)可得.定理10.11設(shè)H是群G的子群，則

a∈G，H≈

Ha

證明略28推論推論設(shè)H是群G的子群,則定理10.11設(shè)H是群G的10.4環(huán)與域

定義10.12設(shè)<R,+,·>是代數(shù)系統(tǒng)，+和·是二元運算.如果滿足以下條件:(1)<R,+>構(gòu)成交換群(2)<R,·>構(gòu)成半群(3)·運算關(guān)于+運算適合分配律則稱<R,+,·>是一個環(huán).通常稱+運算為環(huán)中的加法，·運算為環(huán)中的乘法.環(huán)中加法單位元記作0，乘法單位元（如果存在）記作1.對任何元素x，稱x的加法逆元為負元，記作x.若x存在乘法逆元的話，則稱之為逆元，記作x1.2910.4環(huán)與域定義10.12設(shè)<R,+,·>是代數(shù)系環(huán)的實例例15(1)整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集和復(fù)數(shù)集關(guān)于普通的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，分別稱為整數(shù)環(huán)Z，有理數(shù)環(huán)Q，實數(shù)環(huán)R

和復(fù)數(shù)環(huán)C.(2)n(n≥2)階實矩陣的集合Mn(R)關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，稱為n階實矩陣環(huán).(3)集合的冪集P(B)關(guān)于集合的對稱差運算和交運算構(gòu)成環(huán).30環(huán)的實例例1530定理10.16設(shè)<R,+,·>是環(huán)，則

(1)a∈R，a0=0a=0

(2)a,b∈R，(a)b=a(b)=ab

(3)a,b,c∈R，a(bc)=abac，(bc)a=baca

(4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2)

環(huán)的運算性質(zhì)

證(1)a∈R有a0=a(0+0)=a0+a0

由環(huán)中加法的消去律得a0=0.同理可證0a=0.

(2)a,b∈R，有

(a)b+ab=(a+a)b=0b=0

ab+(a)b=(a+(a))b=0b=0

(a)b是ab的負元.由負元惟一性(a)b=ab，同理a(b)=ab

31定理10.16設(shè)<R,+,·>是環(huán)，則

(1)a∈

同理可證,b1,b2,...,bm有

(4)證明思路：用歸納法證明a1,a2,...,an有于是證明(4)32同理可證,b1,b2,...,bm有

實例例16在環(huán)中計算(a+b)3,(ab)2解(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)

=(a2+ba+ab+b2)(a+b)

=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3

(ab)2=(ab)(ab)=a2baab+b2

33實例例16在環(huán)中計算(a+b)3,(ab)2解特殊的環(huán)定義10.13設(shè)<R,+,·>是環(huán)(1)若環(huán)中乘法·適合交換律，則稱R是交換環(huán)(2)若環(huán)中乘法·存在單位元，則稱R是含幺環(huán)(3)若a,b∈R，ab=0

a=0∨b=0，則稱R是無零因子環(huán)(4)若R既是交換環(huán)、含幺環(huán)、無零因子環(huán)，則稱R是整環(huán)(5)設(shè)R是整環(huán)，且R中至少含有兩個元素.若a∈R*，其中

R*=R{0}，都有a－1∈R，則稱R是域.34特殊的環(huán)定義10.13設(shè)<R,+,·>是環(huán)34例17(1)整數(shù)環(huán)Z、有理數(shù)環(huán)Q、實數(shù)環(huán)R、復(fù)數(shù)環(huán)C都是交換環(huán),含幺環(huán),無零因子環(huán)和整環(huán).除了整數(shù)環(huán)以外都是域.(2)令2Z={2z|z∈Z}，則<2Z,+,·>構(gòu)成交換環(huán)和無零因子環(huán).但不是含幺環(huán)和整環(huán).(3)設(shè)nZ,n2,則n階實矩陣的集合Mn(R)關(guān)于矩陣加法和乘法構(gòu)成環(huán)，它是含幺環(huán)，但不是交換環(huán)和無零因子環(huán)，也不是整環(huán).實例35例17實例35第十章習(xí)題課主要內(nèi)容半群、獨異點與群的定義群的基本性質(zhì)子群的判別定理陪集的定義及其性質(zhì)循環(huán)群的生成元和子群環(huán)的定義與性質(zhì)特殊的環(huán)36第十章習(xí)題課主要內(nèi)容36基本要求判斷或證明給定集合和運算是否構(gòu)成半群、獨異點和群熟悉群的基本性質(zhì)能夠證明G的子集構(gòu)成G的子群熟悉陪集的定義和性質(zhì)會求循環(huán)群的生成元及其子群能判斷給定代數(shù)系統(tǒng)是否為環(huán)和域

37基本要求判斷或證明給定集合和運算是否構(gòu)成半群、獨異點和群37練習(xí)11.判斷下列集合和運算是否構(gòu)成半群、獨異點和群.(1)a是正整數(shù)，G={an|nZ},運算是普通乘法.(2)Q+是正有理數(shù)集，運算為普通加法.解(1)是半群、獨異點和群(2)是半群但不是獨異點和群方法：根據(jù)定義驗證，注意運算的封閉性38練習(xí)11.判斷下列集合和運算是否構(gòu)成半群、獨異點和群.解2.設(shè)V1=<Z,+>,V2=<Z,>,其中Z為整數(shù)集合,+和

分別代表普通加法和乘法.判斷下述集合S是否構(gòu)成V1和V2的子半群和子獨異點.(1)S={2k|kZ}(2)S={2k+1|kZ}解(1)S關(guān)于V1構(gòu)成子半群和子獨異點，但是關(guān)于V2僅構(gòu)成子半群(2)S關(guān)于V1不構(gòu)成子半群也不構(gòu)成子獨異點，S關(guān)于V2構(gòu)成子半群和子獨異點練習(xí)2392.設(shè)V1=<Z,+>,V2=<Z,>,其中3.設(shè)Z18為模18整數(shù)加群,求所有元素的階.解：|0|=1,|9|=2，|6|=|12|=3,|3|=|15|=6,|2|=|4|=|8|=|10|=|14|=|16|=9,|1|=|5|=|7|=|11|=|13|=|17|=18,練習(xí)3說明：群中元素的階可能存在，也可能不存在.對于有限群，每個元素的階都存在，而且是群的階的因子.對于無限群，單位元的階存在，是1；而其它元素的階可能存在，也可能不存在.（可能所有元素的階都存在，但是群還是無限群）.403.設(shè)Z18為模18整數(shù)加群,求所有元素的階.解：練有關(guān)群性質(zhì)的證明方法有關(guān)群的簡單證明題的主要類型證明群中的元素某些運算結(jié)果相等證明群中的子集相等證明與元素的階相關(guān)的命題.證明群的其它性質(zhì)，如交換性等.常用的證明手段或工具是算律：結(jié)合律、消去律和特殊元素相關(guān)的等式，如單位元、逆元等冪運算規(guī)則和元素的階相關(guān)的性質(zhì).特別地，a為1階或2階元的充分必要條件是a1=a.41有關(guān)群性質(zhì)的證明方法有關(guān)群的簡單證明題的主要類型41證明方法證明群中元素相等的基本方法就是用結(jié)合律、消去律、單位元及逆元的惟一性、群的冪運算規(guī)則等對等式進行變形和化簡.證明子集相等的基本方法就是證明兩個子集相互包含證明與元素的階相關(guān)的命題，如證明階相等，階整除等.證明兩個元素的階r和s相等或證明某個元素的階等于r，基本方法是證明相互整除.在證明中可以使用結(jié)合律、消去律、冪運算規(guī)則以及關(guān)于元素的階的性質(zhì).特別地，可能用到a為1階或2階元的充分必要條件是a1=a.42證明方法證明群中元素相等的基本方法就是用結(jié)合律、消去律、單位練習(xí)55．設(shè)G為群，a是G中的2階元，證明G中與a可交換的元素構(gòu)成G的子群.證令H={x|xGxa=ax},下面證明H是G的子群.首先e屬于H，H是G的非空子集.任取x,yH，有(xy1)a=x(y1a)=x(a1y)1=x(ay)1

=x(ya)1

=xa1y1

=xay1=axy1

=a(xy1)因此xy1屬于H.由判定定理命題得證.分析：證明子群可以用判定定理，特別是判定定理二.證明的步驟是：驗證H非空任取x,yH，證明xy1H43練習(xí)55．設(shè)G為群，a是G中的2階元，證明G中與a可交換的6.(1)設(shè)G為模12加群,求<3>在G中所有的左陪集(2)設(shè)X={x|xR,x0,1},在X上如下定義6個函數(shù)：f1(x)=x，f2(x)=1/x,f3(x)=1x,f4(x)=1/(1x),f5(x)=(x1)/x,f6(x)=x/(x1),

則G={f1,f2,f3,f4,f5,f6}關(guān)于函數(shù)合成運算構(gòu)成群.求子群H={f1,f2}的所有的右陪集.練習(xí)6解(1)<3>={0,3,6,9},<3>的不同左陪集有3個，即0+<3>=<3>,1+<3>=4+<3>=7+<3>=10+<3>={1,4,7,10},2+<3>=5+<3>=8+<3>=11+<3>={2,5,8,11}.(2){f1,f2}有3個不同的陪集，它們是：

H，Hf3={f3,f5},Hf4={f4,f6}.446.(1)設(shè)G為模12加群,求<3>在G中所有的左陪證a,b∈Z有a?b,a

b∈Z,兩個運算封閉.任取a,b,c∈Z(a?b)?c=(a+b1)?c=(a+b1)+c1=a+b+c2

a?(b?c)=a?(b+c1)=a+(b+c1)1=a+b+c2

(a

b)

c=(a+bab)

c=a+b+c(ab+ac+bc)+abc

a

(b

c)=a

(b+cbc)=a+b+c(ab+ac+bc)+abc

?與

可結(jié)合，1為?的單位元.2a為a關(guān)于?的逆元.Z關(guān)于?構(gòu)成交換群,關(guān)于

構(gòu)成半群.

關(guān)于?滿足分配律.

a

(b?c)=a

(b+c1)=2a+b+cabac1（a

b)?(a

c)=2a+b+cabac1<Z,?,

>構(gòu)成環(huán)練習(xí)1111.在整數(shù)環(huán)中定義?和

兩個運算,a,b∈Z有a?b=a+b1,a

b=a+bab.證明<Z,?,

>構(gòu)成環(huán)45證a,b∈Z有a?b,a

b∈Z,兩個運算封閉.第十章群與環(huán)主要內(nèi)容群的定義與性質(zhì)子群與群的陪集分解循環(huán)群與置換群環(huán)與域46第十章群與環(huán)主要內(nèi)容1半群、獨異點與群的定義半群、獨異點、群的實例群中的術(shù)語群的基本性質(zhì)10.1群的定義與性質(zhì)47半群、獨異點與群的定義10.1群的定義與性質(zhì)2半群、獨異點與群的定義定義10.1(1)設(shè)V=<S,°

>是代數(shù)系統(tǒng)，°為二元運算，如果°運算是可結(jié)合的，則稱V為半群.(2)設(shè)V=<S,°>是半群，若e∈S是關(guān)于°運算的單位元，則稱V

是含幺半群，也叫做獨異點.有時也將獨異點V記作

V=<S,°,e>.(3)設(shè)V=<S,°>是獨異點，eS關(guān)于°運算的單位元，若

aS，a1S，則稱V是群.通常將群記作G.48半群、獨異點與群的定義定義10.13實例例1

(1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普通加法.這些半群中除<Z+,+>外都是獨異點(2)設(shè)n是大于1的正整數(shù)，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群，也都是獨異點，其中+和·分別表示矩陣加法和矩陣乘法(3)<P(B),>為半群，也是獨異點，其中為集合對稱差運算(4)<Zn,>為半群，也是獨異點，其中Zn={0,1,…,n1}，

為模n加法49實例例14例2設(shè)G={e,a,b,c}，G上的運算由下表給出，稱為Klein四元群

eabceabceabcaecbbceacbae實例特征：1.滿足交換律2.每個元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何兩個元素運算結(jié)果都等于剩下的第三個元素50例2設(shè)G={e,a,b,c}，G上的運算由下表有關(guān)群的術(shù)語定義10.2(1)若群G是有窮集，則稱G是有限群，否則稱為無限群.群G的基數(shù)稱為群G的階，有限群G的階記作|G|.(2)只含單位元的群稱為平凡群.

(3)若群G中的二元運算是可交換的，則稱G為交換群或阿貝爾(Abel)群.實例：<Z,+>和<R,+>是無限群，<Zn,>是有限群，也是n階群.Klein四元群是4階群.<{0},+>是平凡群.上述群都是交換群，n階(n≥2)實可逆矩陣集合關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成的群是非交換群.51有關(guān)群的術(shù)語定義10.2(1)若群G是有窮集，則稱G是定義10.3設(shè)G是群，a∈G，n∈Z，則a的n次冪.群中元素的冪群中元素可以定義負整數(shù)次冪.52定義10.3設(shè)G是群，a∈G，n∈Z，則a的n次冪.群元素的階定義10.4設(shè)G是群，a∈G，使得等式ak=e成立的最小正整數(shù)k稱為a的階，記作|a|=k，稱a為k階元.若不存在這樣的正整數(shù)k，則稱a為無限階元.例如，在<Z6,>中，2和4是3階元，3是2階元，1和5是6階元，0是1階元.在<Z,+>中，0是1階元，其它整數(shù)的階都不存在.53元素的階定義10.4設(shè)G是群，a∈G，使得等式ak=e群的性質(zhì)：冪運算規(guī)則定理10.1設(shè)G為群，則G中的冪運算滿足：(1)a∈G，(a1)1=a(2)a,b∈G，(ab)1=b1a1(3)a∈G，anam=an+m，n,m∈Z(4)a∈G，(an)m=anm，n,m∈Z(5)若G為交換群，則(ab)n=anbn.證(1)(a1)1是a1的逆元，a也是a1的逆元.根據(jù)逆元唯一性，等式得證.(2)(b1a1)(ab)=b1(a1a)b=b1b=e,同理(ab)(b1a1)=e，故b1a1是ab的逆元.根據(jù)逆元的唯一性等式得證.54群的性質(zhì)：冪運算規(guī)則定理10.1設(shè)G為群，則G中的冪運群的性質(zhì)：方程存在惟一解定理10.2G為群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且僅有惟一解.例3設(shè)群G=<P({a,b}),>，其中為對稱差.解下列群方程：

{a}X=，Y{a,b}=解X={a}1={a}={a}，Y={a,b}1={a,b}={a}證a1b代入方程左邊的x得

a(a1b)=(aa1)b=eb=b所以a1b是該方程的解.下面證明惟一性.

假設(shè)c是方程ax=b的解，必有ac=b，從而有c=ec=(a1a)c=a1(ac)=a1b

同理可證ba1是方程ya=b的惟一解.55群的性質(zhì)：方程存在惟一解定理10.2G為群，a,b∈G，群的性質(zhì)：消去律定理10.3G為群，則G中適合消去律，即對任意a,b,c∈G有(1)若ab=ac，則b=c.(2)若ba=ca，則b=c.證明略56群的性質(zhì)：消去律定理10.3G為群，則G中適合消去律，即群的性質(zhì)：元素的階定理10.4G為群，a∈G且|a|=r.設(shè)k是整數(shù)，則(1)ak=e當且僅當r|k

(2)|a1|=|a|57群的性質(zhì)：元素的階定理10.4G為群，a∈G且|a|實例例5設(shè)G是群，a,b∈G是有限階元.證明(1)|b1ab|=|a|(2)|ab|=|ba|證(1)設(shè)|a|=r，|b1ab|=t，則有從而有t|r.另一方面，由a=(b1)1(b1ab)b1可知r|t.從而有|b1ab|=|a|.58實例例5設(shè)G是群，a,b∈G是有限階元.證明證實例(2)設(shè)|ab|=r，|ba|=t，則有由消去律得(ab)t=e，從而可知，r|t.同理可證t|r.因此|ab|=|ba|.59實例(2)設(shè)|ab|=r，|ba|=t，則有1410.2子群與群的陪集分解定義10.5設(shè)G是群，H是G的非空子集，(1)如果H關(guān)于G中的運算構(gòu)成群，則稱H是G的子群,記作H≤G.(2)若H是G的子群，且HG，則稱H是G的真子群，記作H<G.例如nZ(n是自然數(shù))是整數(shù)加群<Z,+>的子群.當n≠1時,nZ是Z的真子群.

對任何群G都存在子群.G和{e}都是G的子群，稱為G的平凡子群.

6010.2子群與群的陪集分解定義10.5設(shè)G是群，H是G子群判定定理1定理10.5（判定定理一）設(shè)G為群，H是G的非空子集，則H是G的子群當且僅當(1)a,b∈H有ab∈H(2)a∈H有a1∈H.證必要性是顯然的.為證明充分性，只需證明e∈H.因為H非空，存在a∈H.由條件(2)知a1∈H，根據(jù)條件(1)aa1∈H，即e∈H.61子群判定定理1定理10.5（判定定理一）證必要性是顯然的.子群判定定理2定理10.6（判定定理二）設(shè)G為群，H是G的非空子集.H是G的子群當且僅當a,b∈H有ab1∈H.

證必要性顯然.只證充分性.因為H非空，必存在a∈H.根據(jù)給定條件得aa1∈H，即e∈H.任取a∈H,由e,a∈H得ea1∈H，即a1∈H.任取a,b∈H，知b1∈H.再利用給定條件得a(b1)1∈H，即ab∈H.綜合上述，可知H是G的子群.62子群判定定理2定理10.6（判定定理二）證必要性顯然子群判定定理3定理10.7（判定定理三）

設(shè)G為群，H是G的非空有窮子集，則H是G的子群當且僅當a,b∈H有ab∈H.證必要性顯然.為證充分性，只需證明a∈H有a1∈H.任取a∈H,若a=e,則a1=e∈H.若a≠e，令S={a,a2,…}，則SH.由于H是有窮集，必有ai

=aj（i<j）.根據(jù)G中的消去律得aji

=e，由a≠e可知ji>1，由此得aji1a=e和aaji1=e從而證明了a1=aji1∈H.63子群判定定理3定理10.7（判定定理三）證必要性顯然.典型子群的實例:生成子群定義10.6設(shè)G為群，a∈G，令H={ak|k∈Z}，則H是G的子群，稱為由a生成的子群，記作<a>.證首先由a∈<a>知道<a>≠.任取am,al∈<a>，則

am(al)1=amal

=aml∈<a>根據(jù)判定定理二可知<a>≤G.實例：例如整數(shù)加群，由2生成的子群是<2>={2k|k∈Z}=2Z<Z6,>中，由2生成的子群<2>={0,2,4}Klein四元群G={e,a,b,c}的所有生成子群是：<e>={e},<a>={e,a},<b>={e,b},<c>={e,c}.64典型子群的實例:生成子群定義10.6設(shè)G為群，a∈G，令典型子群的實例:中心C定義10.7設(shè)G為群,令C={a|a∈G∧x∈G(ax=xa)}，則C是G的子群，稱為G的中心.證e∈C.C是G的非空子集.任取a,b∈C，只需證明ab1與G中所有的元素都可交換.x∈G，有(ab1)x=ab1x=ab1(x1)1

=a(x1b)1=a(bx1)1=a(xb1)=(ax)b1=(xa)b1=x(ab1)由判定定理二可知C≤G.對于阿貝爾群G，因為G中所有的元素互相都可交換，G的中心就等于G.但是對某些非交換群G，它的中心是{e}.65典型子群的實例:中心C定義10.7設(shè)G為群,令證e典型子群的實例:子群的交例6設(shè)G是群，H,K是G的子群.證明(1)H∩K也是G的子群(2)H∪K是G的子群當且僅當HK或KH66典型子群的實例:子群的交例6設(shè)G是群，H,K是G的子群.圖1定義10.8設(shè)G為群,令L(G)={H|H是G的子群}則偏序集<L(G),>稱為G的子群格子群格實例：Klein四元群的子群格如下：

67圖1定義10.8設(shè)G為群,令子群格實例：22陪集定義與實例定義10.9設(shè)H是G的子群，a∈G.令

Ha={ha|h∈H}稱Ha是子群H在G中的右陪集.稱a為Ha的代表元素.

例7(1)設(shè)G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=<a>是G的子群.H所有的右陪集是：

He={e,a}=H,Ha={a,e}=H,Hb={b,c},Hc={c,b}不同的右陪集只有兩個，即H和{b,c}.

68陪集定義與實例定義10.9設(shè)H是G的子群，a∈G.令

實例(2)設(shè)A={1,2,3}，f1,f2,…,f6是A上的雙射函數(shù).其中

f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}，f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}，f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}，f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}令G={f1,f2,…,f6}，則G關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運算構(gòu)成群.考慮G的子群H={f1,f2}.做出H的全體右陪集如下：

Hf1={f1f1,f2f1}=H,Hf2={f1f2,f2f2}=H

Hf3={f1f3,f2f3}={f3,f5},Hf5={f1f5,f2f5}={f5,f3}

Hf4={f1f4,f2f4}={f4,f6},Hf6={f1f6,f2f6}={f6,f4}結(jié)論：Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.69實例(2)設(shè)A={1,2,3}，f1,f2,…,f6陪集的基本性質(zhì)定理10.8設(shè)H是群G的子群，則(1)He=H(2)a∈G有a∈Ha證(1)He={he|h∈H}={h|h∈H}=H

(2)任取a∈G，由a=ea和ea∈Ha得a∈Ha70陪集的基本性質(zhì)定理10.8設(shè)H是群G的子群，則25定理10.9設(shè)H是群G的子群，則a,b∈G有

a∈Hb

ab1∈H

Ha=Hb陪集的基本性質(zhì)證先證a∈Hb

ab1∈Ha∈Hb

h(h∈H∧a=hb)

h(h∈H∧ab1=h)

ab1∈H

再證a∈Hb

Ha=Hb.充分性.若Ha=Hb，由a∈Ha可知必有a∈Hb.必要性.由a∈Hb可知存在h∈H使得a=hb，即b=h1a

任取h1a∈Ha，（根據(jù)陪集的定義h1∈H）則有h1a=h1(hb)=(h1h)b∈Hb

從而得到HaHb.反之，任取h1b∈Hb，則有

h1b=h1(h1a)=(h1h1)a∈Ha從而得到HbHa.綜合上述，Ha=Hb得證.71定理10.9設(shè)H是群G的子群，則a,b∈G有

定理10.10設(shè)H是群G的子群，在G上定義二元關(guān)系R：a,b∈G,<a,b>∈R

ab1∈H則R是G上的等價關(guān)系，且[a]R=Ha.陪集的基本性質(zhì)證先證明R為G上的等價關(guān)系.自反性.任取a∈G，aa1=e∈H<a,a>∈R對稱性.任取a,b∈G，則<a,b>∈Rab1∈H(ab1)1∈Hba1∈H<b,a>∈R

傳遞性.任取a,b,c∈G，則

<a,b>∈R∧<b,c>∈R

ab1∈H∧bc1∈H

ac1∈H<a,c>∈R下面證明：a∈G，[a]R

=Ha.任取b∈G，（p123等價類）b∈[a]R

<a,b>∈R

ab1∈H

Ha=Hb

b∈Ha

（TH10.9）

72定理10.10設(shè)H是群G的子群，在G上定義二元關(guān)系R：陪推論推論設(shè)H是群G的子群,則(1)a,b∈G，Ha=Hb或Ha∩Hb=

(2)∪{Ha|a∈G}=G

證明：由等價類性質(zhì)可得.定理10.11設(shè)H是群G的子群，則

a∈G，H≈

Ha

證明略73推論推論設(shè)H是群G的子群,則定理10.11設(shè)H是群G的10.4環(huán)與域

定義10.12設(shè)<R,+,·>是代數(shù)系統(tǒng)，+和·是二元運算.如果滿足以下條件:(1)<R,+>構(gòu)成交換群(2)<R,·>構(gòu)成半群(3)·運算關(guān)于+運算適合分配律則稱<R,+,·>是一個環(huán).通常稱+運算為環(huán)中的加法，·運算為環(huán)中的乘法.環(huán)中加法單位元記作0，乘法單位元（如果存在）記作1.對任何元素x，稱x的加法逆元為負元，記作x.若x存在乘法逆元的話，則稱之為逆元，記作x1.7410.4環(huán)與域定義10.12設(shè)<R,+,·>是代數(shù)系環(huán)的實例例15(1)整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集和復(fù)數(shù)集關(guān)于普通的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，分別稱為整數(shù)環(huán)Z，有理數(shù)環(huán)Q，實數(shù)環(huán)R

和復(fù)數(shù)環(huán)C.(2)n(n≥2)階實矩陣的集合Mn(R)關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，稱為n階實矩陣環(huán).(3)集合的冪集P(B)關(guān)于集合的對稱差運算和交運算構(gòu)成環(huán).75環(huán)的實例例1530定理10.16設(shè)<R,+,·>是環(huán)，則

(1)a∈R，a0=0a=0

(2)a,b∈R，(a)b=a(b)=ab

(3)a,b,c∈R，a(bc)=abac，(bc)a=baca

(4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2)

環(huán)的運算性質(zhì)

證(1)a∈R有a0=a(0+0)=a0+a0

由環(huán)中加法的消去律得a0=0.同理可證0a=0.

(2)a,b∈R，有

(a)b+ab=(a+a)b=0b=0

ab+(a)b=(a+(a))b=0b=0

(a)b是ab的負元.由負元惟一性(a)b=ab，同理a(b)=ab

76定理10.16設(shè)<R,+,·>是環(huán)，則

(1)a∈

同理可證,b1,b2,...,bm有

(4)證明思路：用歸納法證明a1,a2,...,an有于是證明(4)77同理可證,b1,b2,...,bm有

實例例16在環(huán)中計算(a+b)3,(ab)2解(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)

=(a2+ba+ab+b2)(a+b)

=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3

(ab)2=(ab)(ab)=a2baab+b2

78實例例16在環(huán)中計算(a+b)3,(ab)2解特殊的環(huán)定義10.13設(shè)<R,+,·>是環(huán)(1)若環(huán)中乘法·適合交換律，則稱R是交換環(huán)(2)若環(huán)中乘法·存在單位元，則稱R是含幺環(huán)(3)若a,b∈R，ab=0

a=0∨b=0，則稱R是無零因子環(huán)(4)若R既是交換環(huán)、含幺環(huán)、無零因子環(huán)，則稱R是整環(huán)(5)設(shè)R是整環(huán)，且R中至少含有兩個元素.若a∈R*，其中

R*=R{0}，都有a－1∈R，則稱R是域.79特殊的環(huán)定義10.13設(shè)<R,+,·>是環(huán)34例17(1)整數(shù)環(huán)Z、有理數(shù)環(huán)Q、實數(shù)環(huán)R、復(fù)數(shù)環(huán)C都是交換環(huán),含幺環(huán),無零因子環(huán)和整環(huán).除了整數(shù)環(huán)以外都是域.(2)令2Z={2z|z∈Z}，則<2Z,+,·>構(gòu)成交換環(huán)和無零因子環(huán).但不是含幺環(huán)和整環(huán).(3)設(shè)nZ,n2,則n階實矩陣的集合Mn(R)關(guān)于矩陣加法和乘法構(gòu)成環(huán)，它是含幺環(huán)，但不是交換環(huán)和無零因子環(huán)，也不是整環(huán).實例80例17實例35第十章習(xí)題課主要內(nèi)容半群、獨異點與群的定義群的基本性質(zhì)子群的判別定理陪集的定義及其性質(zhì)循環(huán)群的生成元和子群環(huán)的定義與性質(zhì)特殊的環(huán)81第十章習(xí)題課主要內(nèi)容36基本要求判斷或證明給定集合和運算是否構(gòu)成半群、獨異點和群熟悉群的基本性質(zhì)能夠證明G的子集構(gòu)成G的子群熟悉陪集的定義和性質(zhì)會求循環(huán)群的生成元及其子群能判斷給定代數(shù)系統(tǒng)是否為環(huán)和域

82基本要求判斷或證明給定集合和運算是否構(gòu)成半群、獨異點和群37練習(xí)11.判斷下列集合和運算是否構(gòu)成半群、獨異點和群.(1)a是正整數(shù)，G={an|nZ},運算是普通乘法.(2)Q+是正有理數(shù)集，運算為普通加法.解(1)是半群、獨異點和群(2)是半群但不是獨異點和群方法：根據(jù)定義驗證，注意運算的封閉性83練習(xí)11.判斷下列集合和運算是否構(gòu)成半群、獨異點和群.解2.設(shè)V1=<Z,+>,V2=<Z,>,其中Z為整數(shù)集合,+和

分別代表普通加法和乘法.判斷下述集合S是否構(gòu)成V1和V2的子半群和子獨異點.(1)S={2k|kZ}(2)S={2k+1|kZ}解(1)S關(guān)于V1構(gòu)成子半群