高考必做的百例導(dǎo)數(shù)壓軸題

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導(dǎo)數(shù)專題目錄一、導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值、最值的直接應(yīng)用〔1二、交點(diǎn)與根的分布〔23三、不等式證明〔31〔一作差證明不等式〔二變形構(gòu)造函數(shù)證明不等式〔三替換構(gòu)造不等式證明不等式四、HYPERLINK三、不等式證明作差證明不等式〔2010XX,最值、作差構(gòu)造函數(shù)已知函數(shù)．

<1>求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

<2>若,求證：≤≤x．解：<1>函數(shù)f<x>的定義域?yàn)?lt;－1,+∞>,,由得：,∴x＞0,∴f<x>的單調(diào)遞減區(qū)間為<0,+∞>.<2>證明：由<1>得x∈<－1,0>時(shí),,當(dāng)x∈<0,+∞>時(shí),,且∴x＞－1時(shí),f<x>≤f<0>,∴≤0,≤x令,則,∴－1＜x＜0時(shí),,x＞0時(shí),,且∴x＞－1時(shí),g<x>≥g<0>,即≥0

∴≥,∴x＞－1時(shí),≤≤x．〔2007XX20,轉(zhuǎn)換變量,作差構(gòu)造函數(shù),較容易已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù),,其中．設(shè)兩曲線,有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同．⑴用表示,并求的最大值；⑵求證：當(dāng)時(shí),．解：⑴設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．,,由題意,．即由得：,或〔舍去．即有．令,則．于是當(dāng),即時(shí),；當(dāng),即時(shí),．故在為增函數(shù),在為減函數(shù),于是在的最大值為．⑵設(shè),則．故在為減函數(shù),在為增函數(shù),于是函數(shù)在上的最小值是．故當(dāng)時(shí),有,即當(dāng)時(shí),．〔2009全國(guó)II理21,字母替換,構(gòu)造函數(shù)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且⑴求的取值范圍,并討論的單調(diào)性；⑵證明：解:⑴令,其對(duì)稱軸為。由題意知是方程的兩個(gè)均大于的不相等的實(shí)根,其充要條件為,得當(dāng)時(shí),在內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí),在內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí),在內(nèi)為增函數(shù)；⑵由⑴知,由得,設(shè),則當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減。所以,故．變形構(gòu)造函數(shù)證明不等式〔變形構(gòu)造新函數(shù),一次已知函數(shù)．⑴試討論在定義域內(nèi)的單調(diào)性；⑵當(dāng)＜－1時(shí),證明：,．求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：⑴函數(shù)的定義域?yàn)?．當(dāng)時(shí),增區(qū)間為,減區(qū)間為；當(dāng)≤≤0時(shí),增區(qū)間為；當(dāng)時(shí),增區(qū)間為,減區(qū)間為．⑵當(dāng)＞0時(shí),在區(qū)間<0,1>上單調(diào)遞增,不妨設(shè),則,∴等價(jià)于,即．構(gòu)造,則＞0．∴在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí),,即,即．又當(dāng)＞0時(shí),在區(qū)間<0,1>上單調(diào)遞增,∴．∴,即．〔2011XX理21,變形構(gòu)造函數(shù),二次已知函數(shù).⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；⑵設(shè),如果對(duì)任意,≥,求的取值范圍.解：⑴的定義域?yàn)椤?,+∞..當(dāng)時(shí),＞0,故在〔0,+∞單調(diào)增加；當(dāng)時(shí),＜0,故在〔0,+∞單調(diào)減少；當(dāng)－1＜＜0時(shí),令=0,解得.則當(dāng)時(shí),＞0；時(shí),＜0.故在單調(diào)增加,在單調(diào)減少.⑵不妨假設(shè),而＜－1,由⑴知在〔0,+∞單調(diào)減少,從而,等價(jià)于,……①令,則①等價(jià)于在〔0,+∞單調(diào)減少,即.從而,設(shè)并設(shè),∴,∴≤故a的取值范圍為〔－∞,－2].〔2010XX文21,構(gòu)造變形,二次已知函數(shù).⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；⑵設(shè),證明：對(duì)任意,.解：⑴f<x>的定義域?yàn)?lt;0,+>,.當(dāng)a≥0時(shí),＞0,故f<x>在<0,+>單調(diào)增加；當(dāng)a≤－1時(shí),＜0,故f<x>在<0,+>單調(diào)減少；當(dāng)－1＜a＜0時(shí),令＝0,解得x=.當(dāng)x∈<0,>時(shí),＞0；x∈<,+>時(shí),＜0,故f<x>在〔0,單調(diào)增加,在〔,+單調(diào)減少.⑵不妨假設(shè)x1≥x2.由于a≤－2,故f<x>在〔0,+單調(diào)減少.所以等價(jià)于≥4x1－4x2,即f<x2>+4x2≥f<x1>+4x1.令g<x>=f<x>+4x,則+4＝.設(shè),≤－1,對(duì)稱軸為,結(jié)合圖象知≤≤0,于是≤＝≤0.從而g<x>在〔0,+單調(diào)減少,故g<x1>≤g<x2>,即f<x1>+4x1≤f<x2>+4x2,故對(duì)任意x1,x2∈<0,+>,〔XX,變形構(gòu)造,二次已知函數(shù)f<x>=x2－ax+<a－1>,.〔1討論函數(shù)的單調(diào)性；〔2證明：若,則對(duì)任意x,x,xx,有.解：<1>的定義域?yàn)?①若即,則,故在單調(diào)增加。②若,而,故,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)及時(shí),故在單調(diào)減少,在單調(diào)增加。③若,即,同理在單調(diào)減少,在單調(diào)增加.⑵考慮函數(shù)則〔另一種處理由于1<a<5,故,即g<x>在<4,+∞>單調(diào)增加,從而當(dāng)時(shí)有,即,故,當(dāng)時(shí),有.〔另一種處理,結(jié)合二次函數(shù)圖象設(shè)≥≥＞0已知函數(shù)〔1確定函數(shù)的單調(diào)性；〔2若對(duì)任意,且,都有,求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！沧冃螛?gòu)造已知二次函數(shù)和"偽二次函數(shù)"〔、、,<I>證明：只要,無(wú)論取何值,函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；<II>在二次函數(shù)圖象上任意取不同兩點(diǎn),線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,記直線的斜率為,<i>求證：；<ii>對(duì)于"偽二次函數(shù)",是否有①同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論.解：〔I如果為增函數(shù),則<1>恒成立,當(dāng)時(shí)恒成立,<2>由二次函數(shù)的性質(zhì),<2>不可能恒成立.則函數(shù)不可能總為增函數(shù).3分〔II〔i=. 由,則5分〔ii不妨設(shè),對(duì)于"偽二次函數(shù)":=,<3>7分由<ⅰ>中<1>,如果有<ⅰ>的性質(zhì),則,<4>比較<3><4>兩式得,即：,<4>10分不妨令,<5>設(shè),則,∴在上遞增,∴.∴<5>式不可能成立,〔4式不可能成立,.∴"偽二次函數(shù)"不具有<ⅰ>的性質(zhì).12分<變形構(gòu)造,第2問(wèn)用到均值不等式>已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f<x>＝x2＋4ax＋1,g<x>＝6a2lnx＋2b＋1,其中a＞0.⑴設(shè)兩曲線y＝f<x>,y＝g<x>有公共點(diǎn),且在該點(diǎn)處的切線相同,用a表示b,并求b的最大值；⑵設(shè)h<x>＝f<x>＋g<x>－8x,證明：若a≥－1,則h<x>在<0,＋∞>上單調(diào)遞增；⑶設(shè)F<x>＝f<x>＋g<x>,求證：對(duì)任意x1,x2∈<0,＋∞>,x1＜x2有＞8.解：⑴設(shè)f<x>與g<x>交于點(diǎn)P<x0,y0>,則有f<x0>＝g<x0>,即x＋4ax0＋1＝6a2lnx0＋2b＋1.①又由題意知f′<x0>＝g′<x0>,即2x0＋4a＝.②由②解得x0＝a或x0＝－3a<舍去>．將x0＝a代入①整理得b＝a2－3a2lna.令s<a>＝a2－3a2lna,則s′<a>＝2a<1－3lna>,a∈<0,>時(shí),s<a>遞增,a∈<,＋∞>時(shí),s<a>遞減,所以s<a>≤s<>＝,即b≤,b的最大值為.⑵h<x>＝f<x>＋g<x>－8x,h′<x>＝2x＋＋4a－8,因?yàn)閍≥－1,所以h′<x>＝2x＋＋4a－8≥4a＋4a－8≥4<＋1><－1>－8≥0,即h<x>在<0,＋∞>內(nèi)單調(diào)遞增．⑶由⑵知x1＜x2時(shí),h<x1>＜h<x2>,即F<x1>－8x1＜F<x2>－8x2.因?yàn)閤1＜x2,所以＞8.已知函數(shù),a為正常數(shù)．⑴若,且a,求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；⑵在⑴中當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象上任意不同的兩點(diǎn),,線段的中點(diǎn)為,記直線的斜率為,試證明：．⑶若,且對(duì)任意的,,都有,求a的取值范圍．解：⑴∵a,令得或,∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.⑵證明：當(dāng)時(shí)∴,∴,又不妨設(shè),要比較與的大小,即比較與的大小,又∵,∴即比較與的大?。?則,∴在上位增函數(shù)．又,∴,∴,即⑶∵,∴由題意得在區(qū)間上是減函數(shù)．當(dāng),∴由在恒成立．設(shè),,則∴在上為增函數(shù),∴.當(dāng),∴由在恒成立設(shè),為增函數(shù),∴綜上：a的取值范圍為.已知函數(shù)〔．〔Ⅰ求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ記函數(shù)的圖象為曲線．設(shè)點(diǎn),是曲線上的不同兩點(diǎn)．如果在曲線上存在點(diǎn),使得：①；②曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線,則稱函數(shù)存在"中值相依切線"．試問(wèn)：函數(shù)是否存在"中值相依切線",請(qǐng)說(shuō)明理由．解：〔Ⅰ易知函數(shù)的定義域是,．…………1分①當(dāng)時(shí),即時(shí),令,解得或;令,解得．……………2分所以,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減②當(dāng)時(shí),即時(shí),顯然,函數(shù)在上單調(diào)遞增；……………3分③當(dāng)時(shí),即時(shí),令,解得或;令,解得．……………4分所以,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減綜上所述,⑴當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；⑵當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增；⑶當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．……………5分〔Ⅱ假設(shè)函數(shù)存在"中值相依切線"．設(shè),是曲線上的不同兩點(diǎn),且,則……………7分曲線在點(diǎn)處的切線斜率,……………8分依題意得：．化簡(jiǎn)可得：,即=．……………10分設(shè)〔,上式化為：,即．………12分令,．因?yàn)?顯然,所以在上遞增,顯然有恒成立．所以在內(nèi)不存在,使得成立．綜上所述,假設(shè)不成立．所以,函數(shù)不存在"中值相依切線"．……………14分已知函數(shù).〔1若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍；〔2當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),若,求證解：〔1,,即在上恒成立設(shè),,時(shí),單調(diào)減,單調(diào)增,所以時(shí),有最大值.,所以.〔2當(dāng)時(shí),,,所以在上是增函數(shù),上是減函數(shù).因?yàn)?所以即,同理.所以又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)""時(shí),取等號(hào).又,,所以,所以,所以：.已知．<1>求函數(shù)在上的最小值；<2>對(duì)一切,恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；<3>證明:對(duì)一切,都有成立．解：<1>,當(dāng),,單調(diào)遞減,當(dāng),,單調(diào)遞增．①,t無(wú)解；②,即時(shí),；③,即時(shí),在上單調(diào)遞增,；所以．<2>,則,設(shè),則,,,單調(diào)遞減,,,單調(diào)遞增,所以.因?yàn)閷?duì)一切,恒成立,所以；〔3問(wèn)題等價(jià)于證明,由⑴可知的最小值是,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到,設(shè),則,易得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到,從而對(duì)一切,都有成立．〔2011XX21,變形構(gòu)造,反比例設(shè)函數(shù)定義在上,,導(dǎo)函數(shù),．〔1求的單調(diào)區(qū)間和最小值；〔2討論與的大小關(guān)系；〔3是否存在,使得對(duì)任意成立？若存在,求出的取值范圍；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．解：〔1∵,∴〔為常數(shù),又∵,所以,即,∴；,∴,令,即,解得,當(dāng)時(shí),,是減函數(shù),故是函數(shù)的減區(qū)間；當(dāng)時(shí),,是增函數(shù),故是函數(shù)的增區(qū)間；所以是的唯一極值點(diǎn),且為極小值點(diǎn),從而是最小值點(diǎn),所以的最小值是．〔2,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,即,當(dāng)時(shí),,,因此函數(shù)在內(nèi)遞減,當(dāng)時(shí),=0,∴；當(dāng)時(shí),=0,∴．〔3滿足條件的不存在．證明如下：證法一假設(shè)存在,使對(duì)任意成立,即對(duì)任意有①但對(duì)上述的,取時(shí),有,這與①左邊的不等式矛盾,因此不存在,使對(duì)任意成立．證法二假設(shè)存在,使對(duì)任意成立,由〔1知,的最小值是,又,而時(shí),的值域?yàn)?∴當(dāng)時(shí),的值域?yàn)?從而可以取一個(gè)值,使,即,∴,這與假設(shè)矛盾．∴不存在,使對(duì)任意成立．已知函數(shù),〔Ⅰ求的極值〔Ⅱ若在上恒成立,求的取值范圍〔Ⅲ已知,且,求證解：〔1∵,令得,,為增函數(shù),,,為減函數(shù)∴有極大值……4分〔2欲使＜在上恒成立,只需在上恒成立設(shè),,,為增函數(shù),,,為減函數(shù)∴時(shí),是最大值只需,即………8分〔3∵由〔2可知在上單調(diào)增,,那,同理相加得,∴,得：.變式.[XX省XX實(shí)驗(yàn)中學(xué)2013--2014學(xué)年度上學(xué)期期中考試高三理科數(shù)學(xué)試題]〔本小題滿分12分已知函數(shù)〔1試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值〔2若直線與曲線相交于不同兩點(diǎn),若試證明.已知函數(shù)的圖象為曲線,函數(shù)的圖象為直線.<Ⅰ>當(dāng)時(shí),求的最大值;<Ⅱ>設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,且,求證:.解：〔1單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,〔2不妨設(shè),要證只需證,即,令,只需證,令在單調(diào)遞增。,,在單調(diào)遞增。,所以已知函數(shù),其中常數(shù)⑴若處取得極值,求a的值；⑵求的單調(diào)遞增區(qū)間；⑶已知若,且滿足,試比較的大小,并加以證明。替換構(gòu)造不等式證明不等式〔第3問(wèn)用第2問(wèn)已知,直線與函數(shù)的圖像都相切,且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1?！睮求直線的方程及m的值；〔II若,求函數(shù)的最大值?！睮II當(dāng)時(shí),求證：解：〔I的斜率為1,且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)坐標(biāo)為〔1,0,的方程為又與函數(shù)的圖象相切,有一解。由上述方程消去y,并整理得①依題意,方程②有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,解之,得m=4或m=-2,〔II由〔I可知,單調(diào),當(dāng)時(shí),單減。,取最大值,其最大值為2?！睮II證明,當(dāng)時(shí),已知函數(shù)、〔Ⅰ求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ若為正常數(shù),設(shè),求函數(shù)的最小值；〔Ⅲ若,,證明：、解:〔Ⅰ∵,解,得；解,得.∴的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.……3′〔Ⅱ∵,定義域是.∴……5′由,得,由,得∴函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增……7′故函數(shù)的最小值是：.……8′〔Ⅲ∵,,∴在〔Ⅱ中取,可得,即.……10′∴,∴.即.……12′〔替換構(gòu)造不等式已知函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為.⑴求函數(shù)的解析式；⑵設(shè),求證：≥在上恒成立；〔反比例,變形構(gòu)造⑶已知,求證：.〔替換構(gòu)造解：⑴將代入切線方程得.∴,化簡(jiǎn)得.,解得.∴.⑵由已知得在上恒成立化簡(jiǎn),即在上恒成立設(shè),.∵∴,即∴在上單調(diào)遞增,∴在上恒成立.⑶∵,∴,由⑵知有,整理得∴當(dāng)時(shí),.〔替換證明已知函數(shù)．〔1試判斷函數(shù)的單調(diào)性；〔2設(shè),求在上的最大值；〔3試證明：對(duì)任意,不等式都成立〔其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．解：〔1函數(shù)的定義域是．由已知．令,得．因?yàn)楫?dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．〔2由〔1可知當(dāng),即時(shí),在上單調(diào)遞增,所以．當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,所以．當(dāng),即時(shí),．綜上所述,〔3由〔1知當(dāng)時(shí)．所以在時(shí)恒有,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．因此對(duì)任意恒有．因?yàn)?,所以,即．因此對(duì)任意,不等式．〔2010XX,利用⑵結(jié)論構(gòu)造已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.〔反比例,作差構(gòu)造⑶.〔替換構(gòu)造解：本題主要考察函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí),同事考察綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力和分類討論的思想。⑴,則有,解得.⑵由⑴知,,令,則,①當(dāng),若,則,是減函數(shù),所以,故在上恒不成立。②時(shí),若,故當(dāng)時(shí),。綜上所述,所求的取值范圍為⑶由⑵知：當(dāng)時(shí),有.令,有當(dāng)時(shí),令,有即,將上述個(gè)不等式依次相加得,整理得.已知的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行.〔1求a,b滿足的關(guān)系式；〔2若上恒成立,求a的取值范圍；〔3證明：〔n∈N*解：〔Ⅰ,根據(jù)題意,即.〔Ⅱ由〔Ⅰ知,,令,則,=①當(dāng)時(shí),,若,則,在減函數(shù),所以,即在上恒不成立．②時(shí),,當(dāng)時(shí),,在增函數(shù),又,所以．綜上所述,所求的取值范圍是.〔Ⅲ由〔Ⅱ知當(dāng)時(shí),在上恒成立．取得令,得,即,所以上式中n=1,2,3,…,n,然后n個(gè)不等式相加得已知函數(shù)〔1求函數(shù)的極值點(diǎn)?！?若恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍?！?證明：.解：<1>的定義域?yàn)椤?,+∞,.當(dāng)時(shí),,則在〔1,+∞上是增函數(shù)。在〔1,+∞上無(wú)極值點(diǎn).當(dāng)時(shí),令,則.所以當(dāng)時(shí),,∴在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí),,∴在上是減函數(shù)。∴時(shí),取得極大值。綜上可知,當(dāng)時(shí),無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí),有唯一極值點(diǎn).<2>由<1>可知,當(dāng)時(shí),,不成立.故只需考慮.由<1>知,,若恒成立,只需即可,化簡(jiǎn)得：,所以的取值范圍是[1,+∞.<3>由<2>知,∴.∴<替換構(gòu)造>已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑵若≤0恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；〔一次,作差構(gòu)造⑶證明：①當(dāng)時(shí),；②.解：⑴函數(shù)的定義域?yàn)橹?.當(dāng)≤0時(shí),,則在上是增函數(shù).當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).⑵由⑴知,當(dāng)≤0時(shí),在上是增函數(shù).而,≤0不成立.當(dāng)時(shí),由⑴知,要使≤0恒成立,則≤0,解得≥1.⑶①由⑵知當(dāng)時(shí),有在上恒成立,且在是減函數(shù).又,∴當(dāng)時(shí),,即.②令則即,從而.∴成立.〔2011XX理22,替換構(gòu)造已知函數(shù).⑴求的單調(diào)區(qū)間和極值；⑵求證：.解：⑴定義域?yàn)?.令,令故的單調(diào)遞增區(qū)間為,的單調(diào)遞減區(qū)間為的極大值為⑵證明：要證即證,即證即證令,由⑴可知在上遞減,故即,令,故累加得,故,得證法二：=,其余相同證法.〔替換構(gòu)造已知函數(shù).⑴求函數(shù)的最小值；⑵若≥0對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)a的值；〔一次,作差構(gòu)造⑶在⑵的條件下,證明：.解：〔1由題意,由得.當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.即在處取得極小值,且為最小值,其最小值為〔2對(duì)任意的恒成立,即在上,.由〔1,設(shè),所以.由得.∴在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,∴在處取得極大值.因此的解為,∴.〔3由〔2知,因?yàn)?所以對(duì)任意實(shí)數(shù)均有,即.令,則.∴.∴. HYPERLINK四、不等式恒成立求字母范圍恒成立之最值的直接應(yīng)用〔2011北京理18倒數(shù)第3大題,最值的直接應(yīng)用已知函數(shù)。⑴求的單調(diào)區(qū)間；⑵若對(duì)于任意的,都有≤,求的取值范圍.解：⑴,令,當(dāng)時(shí),與的情況如下：+00+0所以,的單調(diào)遞增區(qū)間是和：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間是,當(dāng)時(shí),與的情況如下：0+00所以,的單調(diào)遞減區(qū)間是和：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間是。⑵當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以不會(huì)有當(dāng)時(shí),由〔Ⅰ知在上的最大值是,所以等價(jià)于,解綜上：故當(dāng)時(shí),的取值范圍是[,0].〔2008天津理20倒數(shù)第3大題,最值的直接應(yīng)用,第3問(wèn)帶有小的處理技巧已知函數(shù),其中.⑴若曲線在點(diǎn)處切線方程為,求函數(shù)的解析式；⑵討論函數(shù)的單調(diào)性；⑶若對(duì)于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范圍.解：⑴,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得,于是．由切點(diǎn)在直線上可得,解得．所以函數(shù)的解析式為．⑵．當(dāng)時(shí),顯然<>,這時(shí)在,上內(nèi)是增函數(shù)．當(dāng)時(shí),令,解得．當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表：＋0－－0＋↗極大值↘↘極小值↗∴在,內(nèi)是增函數(shù),在,內(nèi)是減函數(shù)．⑶由⑵知,在上的最大值為與的較大者,對(duì)于任意的,不等式在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng),即,對(duì)任意的成立．從而得,所以滿足條件的的取值范圍是．〔轉(zhuǎn)換變量,作差已知函數(shù). ⑴若,求的單調(diào)區(qū)間；⑵已知是的兩個(gè)不同的極值點(diǎn),且,若恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍。解：⑴,或1令,解得令,解得,的增區(qū)間為；減區(qū)間為,⑵,即由題意兩根為,,又且△,.設(shè),或2+00+極大值極小值又,,,.恒成立之分離常數(shù)〔分離常數(shù)已知函數(shù)<1>若在處的切線平行于直線,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；<2>若,且對(duì)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:<1>定義域?yàn)?直線的斜率為,,,.所以由;由所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為.<2>,且對(duì)時(shí),恒成立,即.設(shè).當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,.所以當(dāng)時(shí),函數(shù)在上取到最大值,且所以,所以所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.〔法二討論法,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).當(dāng)≤時(shí),≥,解得,∴≤.當(dāng)時(shí),,解得,∴.綜上.〔2011XX一模,恒成立,分離常數(shù),二階導(dǎo)數(shù)已知函數(shù),〔其中R,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).<1>當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程；<2>當(dāng)≥1時(shí),若關(guān)于的不等式≥0恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.〔改x≥0時(shí),≥0恒成立.≤1解：〔1當(dāng)時(shí),,,,切線方程為．〔2[方法一]≥1,12><212><2axxexfxa0xxex122設(shè)xxexgxxexgx12><22212>1<><'xxexxgx設(shè),則,在上為增函數(shù),≥,,在上為增函數(shù),≥,≤．[方法二], ,設(shè),,≥0,≥0,在上為增函數(shù),≥. 又≥0恒成立,≥0,≤,≥,,在上為增函數(shù),此時(shí)≥≥0恒成立,≤．〔改x≥0時(shí),≥0恒成立.≤1解：先證明在上是增函數(shù),再由洛比達(dá)法則,∴,∴≤1.〔正常的討論進(jìn)行不了,除非系數(shù)調(diào)到二次項(xiàng)上,分兩種情況討論可得≤1〔兩邊取對(duì)數(shù)的技巧設(shè)函數(shù)且〔1求的單調(diào)區(qū)間；〔2求的取值范圍；〔3已知對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：〔1,當(dāng)時(shí),即.當(dāng)時(shí),即或.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.〔2由時(shí),即,由〔1可知在上遞增,在遞減,所以在區(qū)間〔－1,0上,當(dāng)時(shí),取得極大值,即最大值為.在區(qū)間上,.函數(shù)的取值范圍為.分〔3,兩邊取自然對(duì)數(shù)得〔分離常數(shù)已知函數(shù)．〔Ⅰ若函數(shù)在區(qū)間其中a>0,上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；〔Ⅱ如果當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍；解：〔Ⅰ因?yàn)?x>0,則,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．所以在〔0,1上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在處取得極大值．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間〔其中上存在極值,所以解得．〔Ⅱ不等式即為記所以令,則,,在上單調(diào)遞增,,從而,故在上也單調(diào)遞增,所以,所以．〔2010XX,分離常數(shù),構(gòu)造函數(shù)已知函數(shù)對(duì)任意的恒有.⑴證明：當(dāng)⑵若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意b、c,不等式恒成立,求M的最小值?！驳?問(wèn)不常見,有特點(diǎn),由特殊到一般,先猜后證已知函數(shù)〔Ⅰ求函數(shù)f<x>的定義域〔Ⅱ確定函數(shù)f<x>在定義域上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.〔Ⅲ若x>0時(shí)恒成立,求正整數(shù)k的最大值.解：〔1定義域〔2單調(diào)遞減。當(dāng),令,故在〔－1,0上是減函數(shù),即,故此時(shí)在〔－1,0和〔0,+上都是減函數(shù)〔3當(dāng)x>0時(shí),恒成立,令又k為正整數(shù),∴k的最大值不大于3下面證明當(dāng)k=3時(shí),恒成立當(dāng)x>0時(shí)恒成立令,則,,當(dāng)∴當(dāng)取得最小值當(dāng)x>0時(shí),恒成立,因此正整數(shù)k的最大值為3<恒成立,分離常數(shù),涉及整數(shù)、較難的處理>已知函數(shù)〔Ⅰ試判斷函數(shù)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；〔Ⅱ若恒成立,求整數(shù)k的最大值；〔較難的處理〔Ⅲ求證：<1+1×2><1+2×3>…[1+n<n+1>]>e2n－3.解：〔I上遞減.〔II則上單調(diào)遞增,又存在唯一實(shí)根a,且滿足當(dāng)∴故正整數(shù)k的最大值是3.〔Ⅲ由〔Ⅱ知∴令,則∴l(xiāng)n<1+1×2>+ln<1+2×3>+…+ln[1+n<n+1>]∴〔1+1×2〔1+2×3…[1+n〔n+1]>e2n－3<分離常數(shù),雙參,較難>已知函數(shù),.〔１若函數(shù)依次在處取到極值．①求的取值范圍；②若,求的值．〔２若存在實(shí)數(shù),使對(duì)任意的,不等式恒成立．求正整數(shù)的最大值．解：〔1①②.〔2不等式,即,即.轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù),使對(duì)任意,不等式恒成立,即不等式在上恒成立。即不等式在上恒成立。設(shè),則。設(shè),則,因?yàn)?有。故在區(qū)間上是減函數(shù)。又故存在,使得。當(dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有。從而在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減。又所以當(dāng)時(shí),恒有；當(dāng)時(shí),恒有；故使命題成立的正整數(shù)的最大值為5.〔2008XX理22,分離常數(shù),復(fù)合的超范圍已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;⑵若不等式對(duì)任意的都成立〔其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),求a的最大值.〔分離常數(shù)解:⑴函數(shù)的定義域是,設(shè)則令則當(dāng)時(shí),在〔－1,0上為增函數(shù),當(dāng)x＞0時(shí),在上為減函數(shù).所以h<x>在x=0處取得極大值,而h<0>=0,所以,函數(shù)g<x>在上為減函數(shù).于是當(dāng)時(shí),當(dāng)x＞0時(shí),所以,當(dāng)時(shí),在〔－1,0上為增函數(shù).當(dāng)x＞0時(shí),在上為減函數(shù).故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為〔－1,0,單調(diào)遞減區(qū)間為.⑵不等式等價(jià)于不等式由知,＞0,∴上式變形得設(shè),則則由⑴結(jié)論知,〔≤即所以于是G<x>在上為減函數(shù).故函數(shù)在上的最小值為所以a的最大值為〔變形,分離常數(shù)已知函數(shù)<a為實(shí)常數(shù)>.<1>若,求證：函數(shù)在<1,+∞>上是增函數(shù)；<2>求函數(shù)在[1,e]上的最小值及相應(yīng)的值；<3>若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：⑴當(dāng)時(shí),,當(dāng),,故函數(shù)在上是增函數(shù)．⑵,當(dāng),．若,在上非負(fù)〔僅當(dāng),x=1時(shí),,故函數(shù)在上是增函數(shù),此時(shí)．若,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,此時(shí)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí),,此時(shí)是增函數(shù)．故．若,在上非正〔僅當(dāng),x=e時(shí),,故函數(shù)在上是減函數(shù),此時(shí)．⑶不等式,可化為．∵,∴且等號(hào)不能同時(shí)取,所以,即,因而〔令〔,又,當(dāng)時(shí),,,從而〔僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),所以在上為增函數(shù),故的最小值為,所以a的取值范圍是．〔分離常數(shù),轉(zhuǎn)換變量,有技巧設(shè)函數(shù).⑴若函數(shù)在處與直線相切：①求實(shí)數(shù)的值；②求函數(shù)在上的最大值；⑵當(dāng)時(shí),若不等式≥對(duì)所有的都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：〔1①?！吆瘮?shù)在處與直線相切解得 .②當(dāng)時(shí),令得；令,得,上單調(diào)遞增,在[1,e]上單調(diào)遞減,.〔2當(dāng)b=0時(shí),若不等式對(duì)所有的都成立,則對(duì)所有的都成立,即對(duì)所有的都成立,令為一次函數(shù),.上單調(diào)遞增,,對(duì)所有的都成立...〔注：也可令所有的都成立,分類討論得對(duì)所有的都成立,,請(qǐng)根據(jù)過(guò)程酌情給分恒成立之討論字母范圍〔2007全國(guó)I,利用均值,不常見設(shè)函數(shù)．⑴證明：的導(dǎo)數(shù)；⑵若對(duì)所有都有,求的取值范圍．解：⑴的導(dǎo)數(shù)．由于,故．〔當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立．⑵令,則,①若,當(dāng)時(shí),,故在上為增函數(shù),所以,時(shí),,即．②若,方程的正根為,此時(shí),若,則,故在該區(qū)間為減函數(shù)．所以,時(shí),,即,與題設(shè)相矛盾．綜上,滿足條件的的取值范圍是．設(shè)函數(shù)f<x>=ex+sinx,g<x>=ax,F<x>=f<x>－g<x>.<Ⅰ>若x=0是F<x>的極值點(diǎn),求a的值；<Ⅱ>當(dāng)a=1時(shí),設(shè)P<x1,f<x1>>,Q<x2,g<x2>><x1>0,x2>0>,且PQ//x軸,求P、Q兩點(diǎn)間的最短距離；<Ⅲ>:若x≥0時(shí),函數(shù)y=F<x>的圖象恒在y=F<－x>的圖象上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：<Ⅰ>F<x>=ex+sinx－ax,.因?yàn)閤=0是F<x>的極值點(diǎn),所以.又當(dāng)a=2時(shí),若x<0,;若x>0,.∴x=0是F<x>的極小值點(diǎn),∴a=2符合題意.<Ⅱ>∵a=1,且PQ//x軸,由f<x1>=g<x2>得:,所以.令當(dāng)x>0時(shí)恒成立.∴x∈[0,+∞時(shí),h<x>的最小值為h<0>=1.∴|PQ|min=1.<Ⅲ>令則.因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)恒成立,所以函數(shù)S<x>在上單調(diào)遞增,∴S<x>≥S<0>=0當(dāng)x∈[0,+∞時(shí)恒成立;因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)x∈[0,+∞時(shí)恒成立.當(dāng)a≤2時(shí),,在[0,+∞單調(diào)遞增,即.故a≤2時(shí)F<x>≥F<－x>恒成立.〔用到二階導(dǎo)數(shù),二次設(shè)函數(shù).⑴若,求的最小值；⑵若當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：〔1時(shí),,.當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.所以在上單調(diào)減小,在上單調(diào)增加故的最小值為〔2,當(dāng)時(shí),,所以在上遞增,而,所以,所以在上遞增,而,于是當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),由得當(dāng)時(shí),,所以在上遞減,而,于是當(dāng)時(shí),,所以在上遞減,而,所以當(dāng)時(shí),.綜上得的取值范圍為.<第3問(wèn)設(shè)計(jì)很好,2問(wèn)是單獨(dú)的,可以拿掉>已知函數(shù),斜率為的直線與相切于點(diǎn).〔Ⅰ求的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí),討論的極值點(diǎn)?！并笞C明：.解：〔Ⅰ由題意知：………………2分解得：；解得：所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減………………4分〔Ⅱ=得：.若即,+-+極大值極小值此時(shí)的極小值點(diǎn)為,極大值點(diǎn)………………7分若即,,則,在上單調(diào)遞增,無(wú)極值點(diǎn).若即,,+-+極大值極小值此時(shí)的極大值點(diǎn)為,極小值點(diǎn).綜上述：當(dāng)時(shí),的極小值點(diǎn)為,極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí),無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí),的極大值點(diǎn)為,極小值點(diǎn).〔2011全國(guó)I文21,恒成立,一次,提出一部分再處理的技巧設(shè)函數(shù).⑴若a=,求的單調(diào)區(qū)間；⑵若當(dāng)≥0時(shí)≥0,求a的取值范圍.解：⑴時(shí),,.當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故在,單調(diào)增加,在<－1,0>單調(diào)減少.⑵.令,則.①若,則當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),而,從而當(dāng)x≥0時(shí)≥0,即≥0,符合題意.②若,則當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),而,從而當(dāng)時(shí)＜0,即＜0,不合題意.綜合得的取值范圍為〔2011全國(guó)新理21,恒成立,反比例,提出公因式再處理的技巧,本題的創(chuàng)新之處是將一般的過(guò)定點(diǎn)〔0,0變?yōu)檫^(guò)定點(diǎn)〔1,0,如果第2問(wèn)范圍變?yōu)閯t更間單已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.⑴求、的值；⑵如果當(dāng),且時(shí),,求的取值范圍。解：⑴,依意意且,即,,解得,.⑵由⑴知,所以.設(shè),則.〔注意h<x>恒過(guò)點(diǎn)<1,0>,由上面求導(dǎo)的表達(dá)式發(fā)現(xiàn)討論點(diǎn)0和1①當(dāng),由,〔變形難想,法二當(dāng)時(shí),.而,故當(dāng)時(shí),,可得；當(dāng)x<1,+>時(shí),<0,可得>0,從而當(dāng)x>0,且x1時(shí),－<+>>0,即>+.法二：的分子≤＜0,∴.②當(dāng)0<k<1,由于當(dāng)x<1,>時(shí),<k－1><x2+1>+2x>0,故>0,而=0,故當(dāng)x<1,>時(shí),>0,可得<0,不合題意.③當(dāng)k≥1,此時(shí)>0,則x<1,+>時(shí),遞增,,∴<0,不合題意.綜上,k的取值范圍為<－,0]<恒成立,討論,較容易,但說(shuō)明原理>已知函數(shù).〔1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；〔2若對(duì)上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：〔1.當(dāng)時(shí),,在上增,無(wú)極值；當(dāng)時(shí),,在上減,在上增,∴有極小值,無(wú)極大值.〔2當(dāng)時(shí),在上恒成立,則是單調(diào)遞增的,則只需恒成立,所以.當(dāng)時(shí),在上減,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),這與恒成立矛盾,故不成立.綜上：.〔2010新課程理21,恒成立,討論,二次,用到結(jié)論設(shè)函數(shù).⑴若,求的單調(diào)區(qū)間；⑵若當(dāng)時(shí),求的取值范圍.解：命題意圖：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、不等式恒成立問(wèn)題以及參數(shù)取值范圍問(wèn)題,考查分類討論、轉(zhuǎn)化與劃歸解題思想及其相應(yīng)的運(yùn)算能力.⑴時(shí),,.當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.故在單調(diào)減少,在單調(diào)增加.⑵①當(dāng)≤時(shí),,由⑴結(jié)論知≥,則,故,從而當(dāng),即時(shí),,而,于是當(dāng)時(shí),,符合題意.②時(shí),由可得.〔太難想,法二,故當(dāng)時(shí),,而,于是當(dāng)時(shí),.綜合得的取值范圍為.法二：設(shè),則,令,得.當(dāng),,在此區(qū)間上是增函數(shù),∴≤,∴在此區(qū)間上遞增,∴≤,不合題意.〔恒成立,2010全國(guó)卷2理數(shù),利用⑴結(jié)論,較難的變形討論設(shè)函數(shù)．⑴證明：當(dāng)時(shí),；⑵設(shè)當(dāng)時(shí),,求a的取值范圍．解：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力及分類討論的思想,考查考生的計(jì)算能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.[點(diǎn)評(píng)]導(dǎo)數(shù)常作為高考的壓軸題,對(duì)考生的能力要求非常高,它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能,還要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力.估計(jì)以后對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查力度不會(huì)減弱。作為壓軸題,主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等,常伴隨對(duì)參數(shù)的討論,這也是難點(diǎn)之所在.已知函數(shù),且函數(shù)是上的增函數(shù)?！?求的取值范圍；〔2若對(duì)任意的,都有〔e是自然對(duì)數(shù)的底,求滿足條件的最大整數(shù)的值。解析：〔1設(shè),所以,得到．所以的取值范圍為………2分〔2令,因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù),且,所以是上的增函數(shù)?！?分由條件得到〔兩邊取自然對(duì)數(shù),猜測(cè)最大整數(shù),現(xiàn)在證明對(duì)任意恒成立。…………6分等價(jià)于,………………8分設(shè),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以對(duì)任意的都有,即對(duì)任意恒成立,所以整數(shù)的最大值為2．……………………14分〔2008XX卷21已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).⑴當(dāng)n=2時(shí),求函數(shù)f<x>的極值；⑵當(dāng)a=1時(shí),證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時(shí),有f<x>≤x－1.解：⑴由已知得函數(shù)f<x>的定義域?yàn)閧x|x＞1},當(dāng)n=2時(shí),所以①當(dāng)a＞0時(shí),由f<x>=0得＞1,＜1,此時(shí)=.當(dāng)x∈〔1,x1時(shí),＜0,f<x>單調(diào)遞減；當(dāng)x∈〔x1+∞時(shí),＞0,f<x>單調(diào)遞增.②當(dāng)a≤0時(shí),＜0恒成立,所以f<x>無(wú)極值.綜上所述,n=2時(shí),當(dāng)a＞0時(shí),f<x>在處取得極小值,極小值為當(dāng)a≤0時(shí),f<x>無(wú)極值.⑵證法一：因?yàn)閍=1,所以①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),令則=1+＞0〔x≥2.所以當(dāng)x∈[2,+∞]時(shí),g<x>單調(diào)遞增,又g<2>=0,因此≥g<2>=0恒成立,所以f<x>≤x－1成立.②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),要證≤x－1,由于＜0,所以只需證ln<x－1>≤x－1,令h<x>=x－1－ln<x－1>,則=1－≥0<x≥2>,所以,當(dāng)x∈[2,+∞]時(shí),單調(diào)遞增,又h<2>=1＞0,所以當(dāng)x≥2時(shí),恒有h<x>＞0,即ln<x－1>＜x－1命題成立.綜上所述,結(jié)論成立.證法二：當(dāng)a=1時(shí),當(dāng)x≤2,時(shí),對(duì)任意的正整數(shù)n,恒有≤1,故只需證明1+ln<x－1>≤x－1.令則當(dāng)x≥2時(shí),≥0,故h<x>在上單調(diào)遞增,因此,當(dāng)x≥2時(shí),h<x>≥h<2>=0,即1+ln<x－1>≤x－1成立.故當(dāng)x≥2時(shí),有≤x－1.即f〔x≤x－1.HYPERLINK五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用〔綜合運(yùn)用已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；⑵已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,證明當(dāng)時(shí),⑶如果,且,證明解：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力及用函數(shù)思想分析解決問(wèn)題的能力.⑴,令=0,得.當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表<>1<>+0-極大值∴在<>內(nèi)是增函數(shù),在<>內(nèi)是減函數(shù)；極大值.⑵證明：由題意可知g<x>=f<2－x>,∴g<x>=<2－x>.令F<x>=f<x>－g<x>＝,則當(dāng)時(shí),2x－2>0,從而,從而在[1,+∞>是增函數(shù)。又F<1>=F<x>>F<1>=0,即f<x>>g<x>.⑶證明：①若②若∴根據(jù)①②得由⑵可知,>,則=,所以>,從而>.因?yàn)?所以,又由⑴可知函數(shù)在區(qū)間〔－∞,1內(nèi)是增函數(shù),所以>,即>2.〔2010天津理數(shù)21,綜合運(yùn)用已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；⑵已知函數(shù)對(duì)任意滿足,證明：當(dāng)時(shí),⑶如果,且,證明：解：⑴∵=,∴=.<2分>令=0,解得.2＋0－↗極大值↘∴在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).<3分>∴當(dāng)時(shí),取得極大值=.<4分>⑵證明：,則=.<6分>當(dāng)時(shí),＜0,＞3,從而＜0,∴＞0,在是增函數(shù).<7分><8分>⑶證明：∵在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).∴當(dāng),且,、不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).不妨設(shè),由⑵可知,又,∴.∵,∴.∵,且在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),∴,即<12分>已知函數(shù)<1>求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；<2>若函數(shù)對(duì)任意滿足,求證：當(dāng),<3>若,且,求證：解：⑴∵=,∴=.<2分>令=0,解得.2＋0－↗極大值↘∴在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).<3分>∴當(dāng)時(shí),取得極大值=.<4分>⑵證明：,,∴=.<6分>當(dāng)時(shí),＜0,＞4,從而＜0,∴＞0,在是增函數(shù).<8分>⑶證明：∵在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).∴當(dāng),且,、不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).不妨設(shè),由⑵可知,又,∴.∵,∴.∵,且在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),∴,即已知函數(shù),〔Ⅰ若,求的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ?qū)τ谌我獾?比較與的大小,并說(shuō)明理由．解：〔Ⅰ,,1分=1\*GB3①當(dāng)時(shí),在上恒成立,的遞增區(qū)間為；2分=2\*GB3②當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間為；3分=3\*GB3③當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為；4分〔Ⅱ令,,令,在上恒成立,當(dāng)時(shí),成立,在上恒成立,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),恒成立,當(dāng)時(shí),恒成立,對(duì)于任意的時(shí),,又,,,即．〔2011XX理21,利用2的對(duì)稱已知函數(shù)．⑴討論的單調(diào)性；⑵設(shè),證明：當(dāng)時(shí),；〔作差⑶若函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,證明：.解：⑴①若單調(diào)增加.②若且當(dāng)所以單調(diào)增加,在單調(diào)減少.⑵設(shè)函數(shù)則當(dāng).故當(dāng),⑶由⑴可得,當(dāng)?shù)膱D像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn),故,從而的最大值為不妨設(shè)由⑵得從而由⑴知,〔恒成立,思路不常見已知函數(shù),其中為實(shí)數(shù)．<1>當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程；<2>是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意,恒成立?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由,若存在,求出的值并加以證明．解：⑴時(shí),,,,又,所以切線方程為.⑵①當(dāng)時(shí),,則令,,再令,當(dāng)時(shí),∴在上遞減,∴當(dāng)時(shí),,∴,所以在上遞增,,所以②時(shí),,則由①知當(dāng)時(shí),在上遞增當(dāng)時(shí),,所以在上遞增,∴,∴；由①②得.已知函數(shù),在區(qū)間上有最大值4,最小值1,設(shè)．〔Ⅰ求的值；〔Ⅱ不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的范圍；〔Ⅲ方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的范圍．解:〔Ⅰ<1>當(dāng)時(shí),上為增函數(shù)故當(dāng)上為減函數(shù)故即..〔Ⅱ方程化為,令,∵∴記∴∴〔Ⅲ方程化為,令,則方程化為〔∵方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,∴由的圖像知,有兩個(gè)根、,且或,記則或∴已知函數(shù),設(shè)〔1是否存在唯一實(shí)數(shù),使得,若存在,求正整數(shù)m的值；若不存在,說(shuō)明理由?！?當(dāng)時(shí),恒成立,求正整數(shù)n的最大值。解：〔1由得則因此在內(nèi)單調(diào)遞增?！?分因?yàn)?,即存在唯一的根,于是……………6分〔2由得,且恒成立,由第〔1題知存在唯一的實(shí)數(shù),使得,且當(dāng)時(shí),,；當(dāng)時(shí),,因此當(dāng)時(shí),取得最小值……………9分由,得即于是又由,得,從而,故正整數(shù)n的最大值為3?！?2分<第3問(wèn)難想>已知函數(shù),其中ｅ是自然數(shù)的底數(shù),。當(dāng)時(shí),解不等式；若在［－１,１］上是單調(diào)增函數(shù),求的取值范圍；當(dāng)時(shí),求整數(shù)ｋ的所有值,使方程在［ｋ,ｋ＋１］上有解。⑴因?yàn)?所以不等式即為,又因?yàn)?所以不等式可化為,所以不等式的解集為．………4分⑵,①當(dāng)時(shí),,在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故符合要求；………6分②當(dāng)時(shí),令,因?yàn)?所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,,不妨設(shè),因此有極大值又有極小值．若,因?yàn)?所以在內(nèi)有極值點(diǎn),故在上不單調(diào)．………8分若,可知,因?yàn)榈膱D象開口向下,要使在上單調(diào),因?yàn)?必須滿足即所以.綜上可知,的取值范圍是．………10分⑶當(dāng)時(shí),方程即為,由于,所以不是方程的解,所以原方程等價(jià)于,令,因?yàn)閷?duì)于恒成立,所以在和內(nèi)是單調(diào)增函數(shù),……………13分又,,,,所以方程有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且分別在區(qū)間和上,所以整數(shù)的所有值為．………16分〔2011高考,單調(diào)性應(yīng)用,第2問(wèn)難已知a、b是實(shí)數(shù),函數(shù)和是的導(dǎo)函數(shù),若在區(qū)間I上恒成立,則稱和在區(qū)間I上單調(diào)性一致.〔1設(shè),若函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致,求實(shí)數(shù)b的取值范圍；〔2設(shè)且,若函數(shù)和在以a,b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致,求|a－b|的最大值.解：⑴因?yàn)楹瘮?shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致,所以,即即實(shí)數(shù)b的取值范圍是⑵由若,則由,,和在區(qū)間上不是單調(diào)性一致,所以.;又.所以要使,只有,取,當(dāng)時(shí),因此當(dāng)時(shí),因?yàn)?函數(shù)和在區(qū)間〔b,a上單調(diào)性一致,所以,即,設(shè),考慮點(diǎn)<b,a>的可行域,函數(shù)的斜率為1的切線的切點(diǎn)設(shè)為則；當(dāng)時(shí),因?yàn)?函數(shù)和在區(qū)間〔a,b上單調(diào)性一致,所以,即,當(dāng)時(shí),因?yàn)?函數(shù)和在區(qū)間〔a,b上單調(diào)性一致,所以,即而x=0時(shí),不符合題意,當(dāng)時(shí),由題意：,綜上可知,。〔2010XX文數(shù),另類區(qū)間已知函數(shù)其中a<0,且a≠-1.〔Ⅰ討論函數(shù)的單調(diào)性；〔Ⅱ設(shè)函數(shù)〔e是自然數(shù)的底數(shù)。是否存在a,使在[a,－a]上為減函數(shù)？若存在,求a的取值范圍；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。79. 〔2008XX理22,第2問(wèn)無(wú)從下手,思路太難想設(shè)函數(shù).⑴求的單調(diào)區(qū)間和極值;⑵是否存在實(shí)數(shù),使得關(guān)于的不等式的解集為?若存在,求的取值范圍;若不存在,試說(shuō)明理由.說(shuō)明：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù),單調(diào)性,極值,不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．滿分14分．解：⑴．故當(dāng)時(shí),,時(shí),．所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減．由此知在的極大值為,沒有極小值．⑵①當(dāng)時(shí),由于,故關(guān)于的不等式的解集為．②當(dāng)時(shí),由知,其中為正整數(shù),且有．又時(shí),．且．取整數(shù)滿足,,且,則,即當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式的解集不是．綜合①②知,存在,使得關(guān)于的不等式的解集為,且的取值范圍為．80. 〔第二問(wèn)較難設(shè)函數(shù),,是的一個(gè)極大值點(diǎn)．⑴若,求的取值范圍；⑵當(dāng)是給定的實(shí)常數(shù),設(shè)是的3個(gè)極值點(diǎn),問(wèn)是否存在實(shí)數(shù),可找到,使得的某種排列〔其中=依次成等差數(shù)列?若存在,求所有的及相應(yīng)的；若不存在,說(shuō)明理由．解：本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識(shí)．〔Ⅰ時(shí),,,令,,設(shè)是的兩個(gè)根,〔1當(dāng)或時(shí),則不是極值點(diǎn),不合題意；〔2當(dāng)且時(shí),由于是的極大值點(diǎn),故,即,<Ⅱ>解：,令,,于是,假設(shè)是的兩個(gè)實(shí)根,且由〔Ⅰ可知,必有,且是的三個(gè)極值點(diǎn),則,假設(shè)存在及滿足題意,〔1當(dāng)?shù)炔顣r(shí),即時(shí),則或,于是,即此時(shí)或〔2當(dāng)時(shí),則或①若,則,于是,即兩邊平方得,于是,此時(shí),此時(shí)=②若,則,于是,即兩邊平方得,于是,此時(shí)此時(shí)綜上所述,存在b滿足題意,當(dāng)b=－a－3時(shí),,時(shí),,時(shí),.81. 已知函數(shù),,記〔Ⅰ求的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ當(dāng)時(shí),若,比較：與的大??；〔Ⅲ若的極值為,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù),使方程有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根？若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。解：〔Ⅰ的定義域?yàn)椤?,+∞,又,當(dāng)時(shí),>0恒成立∴在〔0,+∞上單調(diào)遞增；令得當(dāng)時(shí),若,∴在〔0,上單調(diào)遞減；若,,∴在〔,+∞上單調(diào)遞增故時(shí),增區(qū)間為；時(shí),增區(qū)間為,減區(qū)間為〔0,?！?分〔Ⅱ令,則,所以在［1,+∞上單調(diào)遞增,∴,∴.〔Ⅲ由〔Ⅰ知僅當(dāng)時(shí),在＝處取得極值由可得＝２,方程為,令,得．．．由方程有四個(gè)不同的根,得方程有兩個(gè)不同的正根,令,當(dāng)直線與曲線相切時(shí),,得切點(diǎn)坐標(biāo)〔３,∴切線方程為,其在y軸上截距為；當(dāng)直線在軸上截距時(shí),和在y軸右側(cè)有兩個(gè)不同交點(diǎn),所以k的取值范圍為〔,0.〔注：也可用導(dǎo)數(shù)求解HYPERLINK六、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題82. 某工廠生產(chǎn)某種兒童玩具,每件玩具的成本為30元,并且每件玩具的加工費(fèi)為t元<其中t為常數(shù),且2≤t≤5>,設(shè)該工廠每件玩具的出廠價(jià)為x元<35≤x≤41>,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,日銷售量與ex<e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)>成反比例,當(dāng)每件玩具的出廠價(jià)為40元時(shí),日銷售量為10件．<1>求該工廠的日利潤(rùn)y<元>與每件玩具的出廠價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；<2>當(dāng)每件玩具的日售價(jià)為多少元時(shí),該工廠的利潤(rùn)y最大,并求y的最大值．解：<1>設(shè)日銷售量為,則＝10,∴k＝10e40.則日銷售量為,∴日利潤(rùn)y＝<x－30－t>·.∴y＝,其中35≤x≤41.<2>y′＝,令y′＝0得x＝31＋t.①當(dāng)2≤t≤4時(shí),33≤31＋t≤35.∴當(dāng)35≤x≤41時(shí),y′≤0.∴當(dāng)x＝35時(shí),y取最大值,最大值為10<5－t>e5.②當(dāng)4<t≤5時(shí),35<t＋31≤36,函數(shù)y在[35,t＋31]上單調(diào)遞增,在[t＋31,41]上單調(diào)遞減．∴當(dāng)x＝t＋31時(shí),y取最大值10e9－t.∴當(dāng)2≤t≤4時(shí),x＝35時(shí),日利潤(rùn)最大值為10<5－t>e5元．當(dāng)4<t≤5時(shí),x＝31＋t時(shí),日利潤(rùn)最大值為10e9－t元．83. 如圖,ABCD是正方形空地,正方形的邊長(zhǎng)為30m,電源在點(diǎn)P處,點(diǎn)P到邊AD、AB的距離分別為9m、3m,某廣告公司計(jì)劃在此空地上豎一塊長(zhǎng)方形液晶廣告屏幕MNEF,MN：NE=16：9,線段MN必須過(guò)點(diǎn)P,滿足M、N分別在邊AD、AB上,設(shè),液晶廣告屏幕MNEF的面積為〔I求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出該函數(shù)的定義域；〔II當(dāng)x取何值時(shí),液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小？解：〔I如圖,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)由已知有,又MN過(guò)點(diǎn)D時(shí),x最小值為10,..定義域?yàn)閇10,30].〔II令,當(dāng)關(guān)于x為減函數(shù)；當(dāng)時(shí),關(guān)于為增函數(shù).時(shí),S取得最小值.答：當(dāng)AN長(zhǎng)為〔m時(shí),液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小HYPERLINK\l"_top"七、導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角函數(shù)84. 已知函數(shù),函數(shù)是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù)．〔I求的最大值；〔II若上恒成立,求t的取值范圍；〔Ⅲ討論關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)．解：〔I,上單調(diào)遞減,在[－1,1]上恒成立,,故的最大值為……4分〔II由題意只需＜,∴＞0<其中≤－1>恒成立.令＞0<≤－1>,則,即,而恒成立,∴.〔Ⅲ由令當(dāng)上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí),為減函數(shù)；當(dāng)而方程無(wú)解；當(dāng)時(shí),方程有一個(gè)根；當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)根． …………14分已知函數(shù)是奇函數(shù),函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,當(dāng)時(shí),<為常數(shù)>.〔I求的解析式；〔II已知當(dāng)時(shí),取得極值,求證：對(duì)任意恒成立；〔III若是上的單調(diào)函數(shù),且當(dāng)時(shí),有,求證：.解:<Ⅰ>當(dāng)時(shí),必有,則而若點(diǎn)在的圖象上,則關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)必在的圖象上,即當(dāng)時(shí),由于是奇函數(shù),則任取有且又當(dāng)時(shí),由必有綜上,當(dāng)時(shí).……5分〔Ⅱ若時(shí)取到極值,則必有當(dāng)時(shí),即又由知,當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),.……9分〔Ⅲ若在為減函數(shù),則對(duì)任意皆成立,這樣的實(shí)數(shù)不存在若為增函數(shù),則可令.由于在上為增函數(shù),可令,即當(dāng)時(shí),在上為增函數(shù)由,設(shè),則與所設(shè)矛盾若則與所設(shè)矛盾故必有85. 設(shè)函數(shù)〔,其中．〔Ⅰ當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程；〔Ⅱ當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極大值和極小值；〔Ⅲ當(dāng),時(shí),若不等式對(duì)任意的恒成立,求的值。解：當(dāng)時(shí),,得,且,．所以,曲線在點(diǎn)處的切線方程是,整理得．〔Ⅱ解：．令,解得或．由于,以下分兩種情況討論．〔1若,當(dāng)變化時(shí),的正負(fù)如下表：因此,函數(shù)在處取得極小值,且；函數(shù)在處取得極大值,且．〔2若,當(dāng)變化時(shí),的正負(fù)如下表