求軌跡方程的常用方法

..求軌跡方程的常用方法〔一求軌跡方程的一般方法：1.定義法：如果動點P的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線〔如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義,則可先設(shè)出軌跡方程,再根據(jù)已知條件,待定方程中的常數(shù),即可得到軌跡方程。2.直譯法：如果動點P的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷,但點P滿足的等量關(guān)系易于建立,則可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關(guān)系,再用點P的坐標〔x,y表示該等量關(guān)系式,即可得到軌跡方程。3.參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效,則可尋求引發(fā)動點P運動的某個幾何量t,以此量作為參變數(shù),分別建立P點坐標x,y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x＝f〔t,y＝g〔t,進而通過消參化為軌跡的普通方程F〔x,y＝0。4.代入法〔相關(guān)點法：如果動點P的運動是由另外某一點P'的運動引發(fā)的,而該點的運動規(guī)律已知,〔該點坐標滿足某已知曲線方程,則可以設(shè)出P〔x,y,用〔x,y表示出相關(guān)點P'的坐標,然后把P'的坐標代入已知曲線方程,即可得到動點P的軌跡方程。5：交軌法：在求動點軌跡時,有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題,這種問題通常通過解方程組得出交點〔含參數(shù)的坐標,再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程〔若能直接消去兩方程的參數(shù),也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程,該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。一：用定義法求軌跡方程例1：已知的頂點A,B的坐標分別為〔-4,0,〔4,0,C為動點,且滿足求點C的軌跡。[變式]：已知圓的圓心為M1,圓的圓心為M2,一動圓與這兩個圓外切,求動圓圓心P的軌跡方程。二：用直譯法求軌跡方程此類問題重在尋找數(shù)量關(guān)系。例2：一條線段兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動,且BM=a,AM=b,求AB中點M的軌跡方程？[變式]:動點P〔x,y到兩定點A〔－3,0和B〔3,0的距離的比等于2〔即,求動點P的軌跡方程？三：用參數(shù)法求軌跡方程此類方法主要在于設(shè)置合適的參數(shù),求出參數(shù)方程,最后消參,化為普通方程。注意參數(shù)的取值范圍。例3．過點P〔2,4作兩條互相垂直的直線l1,l2,若l1交x軸于A點,l2交y軸于B點,求線段AB的中點M的軌跡方程。四：用代入法求軌跡方程例4.軌跡方程。[變式]如圖所示,已知P<4,0>是圓x2+y2=36內(nèi)的一點,A、B是圓上兩動點,且滿足∠APB=90°,求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程五、用交軌法求軌跡方程例5.已知橢圓〔a＞b＞o的兩個頂點為,,與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2,求A1P1與A2P2交點M的軌跡方程.六、用點差法求軌跡方程例6.已知橢圓,〔1求過點且被平分的弦所在直線的方程；〔2求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；〔3過引橢圓的割線,求截得的弦的中點的軌跡方程；練習(xí)1.在中,B,C坐標分別為〔-3,0,〔3,0,且三角形周長為16,則點A的軌跡方程是_______________________________.2.兩條直線與的交點的軌跡方程是__________.3.已知圓的方程為<x-1>2+y2=1,過原點O作圓的弦0A,則弦的中點M的軌跡方程是_____4.當參數(shù)m隨意變化時,則拋物線的頂點的軌跡方程為______。5:點M到點F〔4,0的距離比它到直線的距離小1,則點M的軌跡方程為________。6:求與兩定點距離的比為1：2的點的軌跡方程為_____________7.拋物線的通徑〔過焦點且垂直于對稱軸的弦與拋物線交于A、B兩點,動點C在拋物線上,求△ABC重心P的軌跡方程。8.已知動點P到定點F〔1,0和直線x=3的距離之和等于4,求點P的軌跡方程。9.過原點作直線l和拋物線交于A、B兩點,求線段AB的中點M的軌跡方程。高二〔上求軌跡方程的常用方法答案例1：已知的頂點A,B的坐標分別為〔-4,0,〔4,0,C為動點,且滿足求點C的軌跡。[解析]由可知,即,滿足橢圓的定義。令橢圓方程為,則,則軌跡方程為〔,圖形為橢圓〔不含左,右頂點。[點評]熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關(guān)鍵。圓：到定點的距離等于定長橢圓：到兩定點的距離之和為常數(shù)〔大于兩定點的距離雙曲線：到兩定點距離之差的絕對值為常數(shù)〔小于兩定點的距離到定點與定直線距離相等。[變式1]:1:已知圓的圓心為M1,圓的圓心為M2,一動圓與這兩個圓外切,求動圓圓心P的軌跡方程。解：設(shè)動圓的半徑為R,由兩圓外切的條件可得：,。。∴動圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點的雙曲線的右支,c=4,a=2,b2=12。故所求軌跡方程為2:一動圓與圓O：外切,而與圓C：內(nèi)切,那么動圓的圓心M的軌跡是：A：拋物線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支[解答]令動圓半徑為R,則有,則|MO|-|MC|=2,滿足雙曲線定義。故選D。二：用直譯法求曲線軌跡方程此類問題重在尋找數(shù)量關(guān)系。例2：一條線段AB的長等于2a,兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動,求AB中點P解設(shè)M點的坐標為由平幾的中線定理：在直角三角形AOB中,OM=M點的軌跡是以O(shè)為圓心,a為半徑的圓周.[點評]此題中找到了OM=這一等量關(guān)系是此題成功的關(guān)鍵所在。一般直譯法有下列幾種情況：1代入題設(shè)中的已知等量關(guān)系：若動點的規(guī)律由題設(shè)中的已知等量關(guān)系明顯給出,則采用直接將數(shù)量關(guān)系代數(shù)化的方法求其軌跡。2列出符合題設(shè)條件的等式：有時題中無坐標系,需選定適當位置的坐標系,再根據(jù)題設(shè)條件列出等式,得出其軌跡方程。3運用有關(guān)公式：有時要運用符合題設(shè)的有關(guān)公式,使其公式中含有動點坐標,并作相應(yīng)的恒等變換即得其軌跡方程。4借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì)：有時動點規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯,這時可借助平面幾何中的有關(guān)定理、性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等,從而分析出其數(shù)量的關(guān)系,這種借助幾何定理的方法是求動點軌跡的重要方法.[變式2]:動點P〔x,y到兩定點A〔－3,0和B〔3,0的距離的比等于2〔即,求動點P的軌跡方程？[解答]∵|PA|=代入得化簡得〔x－52+y2=16,軌跡是以〔5,0為圓心,4為半徑的圓.三：用參數(shù)法求曲線軌跡方程此類方法主要在于設(shè)置合適的參數(shù),求出參數(shù)方程,最后消參,化為普通方程。注意參數(shù)的取值范圍。例3．過點P〔2,4作兩條互相垂直的直線l1,l2,若l1交x軸于A點,l2交y軸于B點,求線段AB的中點M的軌跡方程。[解析]分析1：從運動的角度觀察發(fā)現(xiàn),點M的運動是由直線l1引發(fā)的,可設(shè)出l1的斜率k作為參數(shù),建立動點M坐標〔x,y滿足的參數(shù)方程。解法1：設(shè)M〔x,y,設(shè)直線l1的方程為y－4＝k〔x－2,〔k≠０∵M為AB的中點,消去k,得x＋2y－5＝0。另外,當k＝0時,AB中點為M〔1,2,滿足上述軌跡方程；當k不存在時,AB中點為M〔1,2,也滿足上述軌跡方程。綜上所述,M的軌跡方程為x＋2y－5＝0。分析2：解法1中在利用k1k2＝－1時,需注意k1、k2是否存在,故而分情形討論,能否避開討論呢？只需利用△PAB為直角三角形的幾何特性：解法2：設(shè)M〔x,y,連結(jié)MP,則A〔2x,0,B〔0,2y,∵l1⊥l2,∴△PAB為直角三角形化簡,得x＋2y－5＝0,此即M的軌跡方程。分析3：：設(shè)M〔x,y,由已知l1⊥l2,聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k2＝－1,即可列出軌跡方程,關(guān)鍵是如何用M點坐標表示A、B兩點坐標。事實上,由M為AB的中點,易找出它們的坐標之間的聯(lián)系。解法3：設(shè)M〔x,y,∵M為AB中點,∴A〔2x,0,B〔0,2y。又l1,l2過點P〔2,4,且l1⊥l2∴PA⊥PB,從而kPA·kPB＝－1,注意到l1⊥x軸時,l2⊥y軸,此時A〔2,0,B〔0,4中點M〔1,2,經(jīng)檢驗,它也滿足方程x＋2y－5＝0綜上可知,點M的軌跡方程為x＋2y－5＝0。[點評]解法1用了參數(shù)法,消參時應(yīng)注意取值范圍。解法2,3為直譯法,運用了kPA·kPB＝－1,這些等量關(guān)系。。用參數(shù)法求解時,一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量,如時間,速度,距離,角度,有向線段的數(shù)量,直線的斜率,點的橫,縱坐標等。也可以沒有具體的意義,選定參變量還要特別注意它的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響[變式3]過圓O：x2+y2=4外一點A〔4,0,作圓的割線,求割線被圓截得的弦BC的中點M的軌跡。解法一："幾何法"設(shè)點M的坐標為〔x,y,因為點M是弦BC的中點,所以O(shè)M⊥BC,所以|OM|２＋|ＭＡ|２＝|ＯＡ|２,即<x2+y2>+<x－４>2+y2=16化簡得：〔x－22+y2=4................................①由方程①與方程x2+y2=4得兩圓的交點的橫坐標為1,所以點M的軌跡方程為〔x－22+y2=4〔0≤x＜1。所以M的軌跡是以〔2,0為圓心,2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。解法二："參數(shù)法"設(shè)點M的坐標為〔x,y,B〔x1,y1,C〔x2,y2直線AB的方程為y=k<x－4>,由直線與圓的方程得〔1+k2x2－8k2x+16k2－4=0...........<*>,由點M為BC的中點,所以x=...............<1>,又OM⊥BC,所以k=.................<2>由方程〔1〔2消去k得〔x－22+y2=4,又由方程〔*的△≥0得k2

≤,所以x＜1.所以點M的軌跡方程為〔x－22+y2=4〔0≤x＜1所以M的軌跡是以〔2,0為圓心,2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。四：用代入法等其它方法求軌跡方程例4.軌跡方程。分析：題中涉及了三個點A、B、M,其中A為定點,而B、M為動點,且點B的運動是有規(guī)律的,顯然M的運動是由B的運動而引發(fā)的,可見M、B為相關(guān)點,故采用相關(guān)點法求動點M的軌跡方程。[解析]設(shè)動點M的坐標為〔x,y,而設(shè)B點坐標為〔x0,y0則由M為線段AB中點,可得即點B坐標可表為〔2x－2a,2y[點評]代入法的關(guān)鍵在于找到動點和其相關(guān)點坐標間的等量關(guān)系[變式4]如圖所示,已知P<4,0>是圓x2+y2=36內(nèi)的一點,A、B是圓上兩動點,且滿足∠APB=90°,求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程[解析]：設(shè)AB的中點為R,坐標為<x,y>,則在Rt△ABP中,|AR|=|PR|又因為R是弦AB的中點,依垂徑定理在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－<x2+y2>又|AR|=|PR|=所以有<x－4>2+y2=36－<x2+y2>,即x2+y2－4x－10=0因此點R在一個圓上,而當R在此圓上運動時,Q點即在所求的軌跡上運動設(shè)Q<x,y>,R<x1,y1>,因為R是PQ的中點,所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程五、用交軌法求軌跡方程六、用點差法求軌跡方程分析：此題中四問都跟弦中點有關(guān),因此可考慮設(shè)弦端坐標的方法．解：設(shè)弦兩端點分別為,,線段的中點,則①－②得．由題意知,則上式兩端同除以,有,將③④代入得．⑤〔1將,代入⑤,得,故所求直線方程為：．⑥將⑥代入橢圓方程得,符合題意,為所求．〔2將代入⑤得所求軌跡方程為：．〔橢圓內(nèi)部分〔3將代入⑤得所求軌跡方程為：．〔橢圓內(nèi)部分練習(xí)1[正確解答]ABC為三角形,故A,B,C不能三點共線。軌跡方程里應(yīng)除去點,即軌跡方程為2.兩條直線與的交點的軌跡方程是.[解答]:直接消去參數(shù)即得<交軌法>:3:已知圓的方程為<x-1>2+y2=1,過原點O作圓的弦0A,則弦的中點M的軌跡方程是.[解答]:令M點的坐標為<,則A的坐標為<2,代入圓的方程里面得:4:當參數(shù)m隨意變化時,則拋物線的頂點的軌跡方程為[分析]：把所求軌跡上的動點坐標x,y分別用已有的參數(shù)m來表示,然后消去參數(shù)m,便可得到動點的軌跡方程。[解答]：拋物線方程可化為它的頂點坐標為消去參數(shù)m得：故所求動點的軌跡方程為。5:點M到點F〔4,0的距離比它到直線的距離小1,則點M的軌跡方程為[分析]：點M到點F〔4,0的距離比它到直線的距離小1,意味著點M到點F〔4,0的距離與它到直線的距離相等。由拋物線標準方程可寫出點M的軌跡方程。[解答]：依題意,點M到點F〔4,0的距離與它到直線的距離相等。則點M的軌跡是以F〔4,0為焦點、為準線的拋物線。故所求軌跡方程為。6:求與兩定點距離的比為1：2的點的軌跡方程為_________[分析]:設(shè)動點為P,由題意,則依照點P在運動中所遵循的條件,可列出等量關(guān)系式。[解答]：設(shè)是所求軌跡上一點,依題意得由兩點間距離公式得：化簡得：7拋物線的通徑〔過焦點且垂直于對稱軸的弦與拋物線交于A、B兩點,動點C在拋物線上,求△ABC重心P的軌跡方程。[分析]：拋物線的焦點為。設(shè)△ABC重心P的坐標為,點C的坐標為。其中[解答]：因點是重心,則由分點坐標