經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)(第二版) 4-4換元積分法

§4.1

定積分的概念與性質(zhì)

§4.3

積分的基本公式

第四章積分及其應(yīng)用

§4.4

換元積分法

§4.2

不定積分的概念與性質(zhì)

§4.5

分部積分法

§4.6

無限區(qū)間上的反常積分

§4.7

積分學(xué)的應(yīng)用1§4.4換元積分法

這是因為例如,所以,的原函數(shù).不是

換元積分法

要解決上述問題,可進行適當?shù)淖兞刻鎿Q

在利用基本積分公式對被積函數(shù)求不定積分時,要求積分變量與被積函數(shù)中的元(即)必須嚴格對應(yīng).只有這樣才能直接積分.否則,就不能利用直接積分法.2這是因為例如,的原函數(shù).不是

換元積分法所以,令則被積函數(shù)被積表達式所以,將代回3

換元積分法令則由于即是的原函數(shù).所求不定積分是正確的.上述方法具有普遍性是否正確呢?4

分析

案例1求不定積分

微分法

積分法逆運算從求導(dǎo)數(shù)入手

對于復(fù)合函數(shù)令則對的導(dǎo)數(shù)為將上式右端求不定積分:

=======變量替換令=======變量還原=========用積分公式

復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)

以上積分過程逆運算5=======變量替換=========用積分公式========變量還原

換元積分法設(shè)若是可微函數(shù),則有6對照案例一換元積分法公式

這是的函數(shù)

案例的計算過程

這是的函數(shù)

這是的導(dǎo)數(shù)

這是的導(dǎo)數(shù)

7練習(xí)1求解被積函數(shù)是兩個因子:和的乘積注意到視則因子是的函數(shù),恰是的導(dǎo)數(shù).而因子由此

正是

形式.

設(shè)則于是可用換元積分法

8練習(xí)2求解被積函數(shù)是兩個因子:和的乘積視于是被積函數(shù)具有形式

則于是可用換元積分法

因設(shè)9練習(xí)2求解被積函數(shù)是兩個因子:和的乘積視于是被積函數(shù)具有形式

可用換元積分法

因本例可不設(shè)出中間變量,按如下格式書寫:10練習(xí)3求解因且若視則可用換元積分法

11練習(xí)4求解若視則可用換元積分法

注意到是線性函數(shù),

是線性函數(shù)的函數(shù)且的導(dǎo)數(shù)是常數(shù),

即

12練習(xí)５解于是用降冪公式

求并注意到由不定積分的運算性質(zhì)由換元積分法13有

計算定積分案例2注意到于是由牛頓—萊布尼茨公式本案例是求定積分.在用牛頓——萊布尼茨公式之前,需先求出被積函數(shù)的一個原函數(shù).14計算定積分案例2由牛頓—萊布尼茨公式本案例一般按下面的方式書寫15練習(xí)6解故計算定積分由于由牛頓—萊布尼茨公式16

計算定積分案例3本案例是求定積分.在用牛頓—萊布尼茨公式之前,需先求出被積函數(shù)的一個原函數(shù).

令

得則

為去掉被積函數(shù)中的根式為

化當時,

當時,

于是

=======變量換元=======恒等變形=======

用公式17練習(xí)7解計算定積分令得則當時,

當時,

于是

出新元,換新限;

新元不出現(xiàn),

上下限不變.18練習(xí)8解

計算定積分當時,

在