信號(hào)與系統(tǒng)教案第7章 系統(tǒng)函數(shù)

第七章系統(tǒng)函數(shù)7.1

系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性一、系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖二、系統(tǒng)函數(shù)與時(shí)域響應(yīng)三、系統(tǒng)函數(shù)收斂域與極點(diǎn)的關(guān)系四、系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)7.2

系統(tǒng)的穩(wěn)定性7.3

信號(hào)流圖7.4系統(tǒng)模擬一、直接實(shí)現(xiàn)二、級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)三、并聯(lián)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)擊目錄，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)第七章系統(tǒng)函數(shù)7.1

系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性一、系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖集總參數(shù)的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s或z的有理分式，它與方程、框圖、沖激響應(yīng)及頻域響應(yīng)有直接關(guān)系。即A(.)=0的根p1，p2，…，pn稱為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的極點(diǎn)；B(.)=0的根1，2，…，m稱為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的零點(diǎn)。將零極點(diǎn)畫在復(fù)平面上得零、極點(diǎn)分布圖。

例例：已知H(s)的零、極點(diǎn)分布圖如示，并且h(0+)=2。求H(s)的表達(dá)式。解：由分布圖可得根據(jù)初值定理，有7.1

系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性二、系統(tǒng)函數(shù)H(s)極點(diǎn)分布與時(shí)域響應(yīng)h(t)的對(duì)應(yīng)關(guān)系幾種典型情況當(dāng)，極點(diǎn)在左半平面，衰減振蕩當(dāng)，極點(diǎn)在右半平面，增幅振蕩單極點(diǎn)二重極點(diǎn)7.1

系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性結(jié)論：LTI連續(xù)系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。①H(s)在左半開(kāi)平面的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都為衰減的。即當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)h(t)→0。②H(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)分量。③H(s)在虛軸上的高階極點(diǎn)或右半開(kāi)平面上的極點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞增的。即當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)h(t)→

∞。有實(shí)際物理意義的物理系統(tǒng)都是穩(wěn)定系統(tǒng)，即隨，這表明的極點(diǎn)位于左半開(kāi)平面，由此可知，收斂域包括虛軸，均存在，兩者可通用，只需即可。7.1

系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性三、系統(tǒng)函數(shù)收斂域與其極點(diǎn)之間的關(guān)系根據(jù)收斂域的定義，H(·)收斂域不能含H(·)的極點(diǎn)。例：某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(1)若系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，求單位沖激響應(yīng)h(t);(2)若系統(tǒng)為反因果系統(tǒng)，求單位沖激響應(yīng)h(t);解(1)Re[s]>3，(2)Re[s]<-0.5，7.1

系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性四、系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)1、連續(xù)因果系統(tǒng)

若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)均在左半開(kāi)平面，則它在虛軸上(s=jω)也收斂，有H(jω)=H(s)|s=jω

，下面介紹兩種常見(jiàn)的系統(tǒng)。（1）全通函數(shù)若系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(jω)|為常數(shù)，則稱為全通系統(tǒng)，其相應(yīng)的H(s)稱為全通函數(shù)。凡極點(diǎn)位于左半開(kāi)平面，零點(diǎn)位于右半開(kāi)平面，并且所有零點(diǎn)與極點(diǎn)對(duì)于虛軸為一一鏡像對(duì)稱的系統(tǒng)函數(shù)即為全通函數(shù)。7.1

系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性（2）最小相移函數(shù)右半開(kāi)平面沒(méi)有零點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小相移函數(shù)。解釋見(jiàn)p3367.2

系統(tǒng)的穩(wěn)定性7.2

系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)是指，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(.)不會(huì)出現(xiàn)于f(.)之前的系統(tǒng)。連續(xù)因果系統(tǒng)的充分必要條件是：沖激響應(yīng)h(t)=0,t<0

或者，系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域?yàn)椋篟e[s]>σ0

7.2

系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、穩(wěn)定系統(tǒng)的定義一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。即，若系統(tǒng)對(duì)所有的激勵(lì)|f(.)|≤Mf

，其零狀態(tài)響應(yīng)|yzs(.)|≤My，則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定。（1）連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是穩(wěn)定、因果（連續(xù)）H(s)極點(diǎn)都在左半開(kāi)平面7.2

系統(tǒng)的穩(wěn)定性因果系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件可簡(jiǎn)化為（2）連續(xù)因果系統(tǒng)

因?yàn)橐蚬到y(tǒng)左半開(kāi)平面的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)為衰減函數(shù)。故，若H(s)的極點(diǎn)均在左半開(kāi)平面，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。7.2

系統(tǒng)的穩(wěn)定性例1：如圖反饋因果系統(tǒng)，問(wèn)當(dāng)K滿足什么條件時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？其中子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)G(s)=1/[(s+1)(s+2)]解：設(shè)加法器的輸出信號(hào)X(s)

X(s)X(s)=KY(s)+F(s)Y(s)=G(s)X(s)=KG(s)Y(s)+G(s)F(s)H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/[1-KG(s)]=1/(s2+3s+2-k)H(s)的極點(diǎn)為為使極點(diǎn)在左半平面，必須(3/2)2-2+k<(3/2)2,k<2，即當(dāng)k<2，系統(tǒng)穩(wěn)定。7.2

系統(tǒng)的穩(wěn)定性三、連續(xù)因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則——羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則

對(duì)因果系統(tǒng)，只要判斷H(s)的極點(diǎn)，即A(s)=0的根（稱為系統(tǒng)特征根）是否都在左半平面上，即可判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不必知道極點(diǎn)的確切值。所有的根均在左半平面的多項(xiàng)式稱為霍爾維茲多項(xiàng)式。1、必要條件—簡(jiǎn)單方法一實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于左半開(kāi)平面的必要條件是：（1）所有系數(shù)都必須非0，即不缺項(xiàng)；（2）系數(shù)的符號(hào)相同。例1

A(s)=s3+4s2-3s+2符號(hào)相異，不穩(wěn)定例2

A(s)=3s3+s2+2，a1=0，不穩(wěn)定例3

A(s)=3s3+s2+2s+8需進(jìn)一步判斷，非充分條件。7.2

系統(tǒng)的穩(wěn)定性2、羅斯列表將多項(xiàng)式A(s)的系數(shù)排列為如下陣列—羅斯陣列第1行anan-2an-4…第2行an-1an-3an-5…第3行cn-1cn-3cn-5…它由第1，2行，按下列規(guī)則計(jì)算得到：…第4行由2，3行同樣方法得到。一直排到第n+1行。羅斯準(zhǔn)則指出：若第一列元素具有相同的符號(hào)，則A(s)=0所有的根均在左半開(kāi)平面。若第一列元素出現(xiàn)符號(hào)改變，則符號(hào)改變的總次數(shù)就是右半平面根的個(gè)數(shù)。7.2

系統(tǒng)的穩(wěn)定性特例：對(duì)于二階系統(tǒng)A(s)=a2s2+a1s+a0，若a2>0，不難得出，A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式的條件為：a1>0，a0>0例1A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2羅斯陣列：212218028.502第1列元素符號(hào)改變2次，因此，有2個(gè)根位于右半平面。注意：在排羅斯陣列時(shí)，可能遇到一些特殊情況，如第一列的某個(gè)元素為0或某一行元素全為0，這時(shí)可斷言：該多項(xiàng)式不是霍爾維茲多項(xiàng)式。

7.2

系統(tǒng)的穩(wěn)定性例2已知某因果系統(tǒng)函數(shù)為使系統(tǒng)穩(wěn)定，k應(yīng)滿足什么條件？解列羅斯陣列

331+k(8-k)/31+k所以，–1<k<8，系統(tǒng)穩(wěn)定。7.2

系統(tǒng)的穩(wěn)定性四、離散因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則——朱里準(zhǔn)則

為判斷離散因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性，要判斷A(z)=0的所有根的絕對(duì)值是否都小于1。朱里提出一種列表的檢驗(yàn)方法，稱為朱里準(zhǔn)則。朱里列表：第1行anan-1an-2……a2a1a0第2行a0a1a2……an-2an-1an第3行cn-1cn-2cn-3……c1c0第4行c0c1c2……cn-2cn-1第5行dn-2dn-3dn-4……d0第6行d0d1d2……dn-2

……第2n-3行r2r1r07.2

系統(tǒng)的穩(wěn)定性第3行按下列規(guī)則計(jì)算：…一直到第2n-3行，該行有3個(gè)元素。朱里準(zhǔn)則指出，A(z)=0的所有根都在單位圓內(nèi)的充分必要的條件是:(1)A(1)>0(2)(-1)nA(-1)>0

(3)an>|a0|cn-1>|c0|dn-2>|d0|……r2>|r0|奇數(shù)行，其第1個(gè)元素必大于最后一個(gè)元素的絕對(duì)值。特例：對(duì)二階系統(tǒng)。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得

A(1)>0A(-1)>0a2>|a0|7.2

系統(tǒng)的穩(wěn)定性例

A(z)=4z4-4z3+2z-1解4-402-1-120-4415-140440-1415209

-210564>1，15>4，209>56所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

(-1)4A(-1)=5>0排朱里列表A(1)=1>07.3

信號(hào)流圖7.3

信號(hào)流圖用方框圖描述系統(tǒng)的功能比較直觀。信號(hào)流圖是用有向的線圖描述方程變量之間因果關(guān)系的一種圖，用它描述系統(tǒng)比方框圖更加簡(jiǎn)便。信號(hào)流圖首先由Mason于1953年提出的，應(yīng)用非常廣泛。信號(hào)流圖就是用一些點(diǎn)和有向線段來(lái)描述系統(tǒng)，與框圖本質(zhì)是一樣的，但簡(jiǎn)便多了。一、信號(hào)流圖1、定義：信號(hào)流圖是由結(jié)點(diǎn)和有向線段組成的幾何圖形。它可以簡(jiǎn)化系統(tǒng)的表示，并便于計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)。2、信號(hào)流圖中常用術(shù)語(yǔ)7.3

信號(hào)流圖(1)結(jié)點(diǎn)：信號(hào)流圖中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)變量或信號(hào)。(2)支路和支路增益：連接兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的有向線段稱為支路。每條支路上的權(quán)值（支路增益）就是該兩結(jié)點(diǎn)間的系統(tǒng)函數(shù)（轉(zhuǎn)移函數(shù)）F(s)H(s)Y(s)即用一條有向線段表示一個(gè)子系統(tǒng)。(3)源點(diǎn)與匯點(diǎn)，混合結(jié)點(diǎn)：僅有出支路的結(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)（或輸入結(jié)點(diǎn)）。僅有入支路的結(jié)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)（或輸出結(jié)點(diǎn)）。有入有出的結(jié)點(diǎn)為混合結(jié)點(diǎn)

7.3

信號(hào)流圖沿箭頭指向從一個(gè)結(jié)點(diǎn)到其他結(jié)點(diǎn)的路徑稱為通路。如果通路與任一結(jié)點(diǎn)相遇不多于一次，則稱為開(kāi)通路。若通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)（與其余結(jié)點(diǎn)相遇不多于一次），則稱為閉通路。相互沒(méi)有公共結(jié)點(diǎn)的回路，稱為不接觸回路。只有一個(gè)結(jié)點(diǎn)和一條支路的回路稱為自回路。(5)前向通路：從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的開(kāi)通路稱為前向通路。(6)前向通路增益，回路增益：前向通路中各支路增益的乘積稱為前向通路增益?；芈分懈髦吩鲆娴某朔e稱為回路增益。(4)通路、開(kāi)通路、閉通路（回路、環(huán)）、不接觸回路、自回路：7.3

信號(hào)流圖3、信號(hào)流圖的基本性質(zhì)

（1）信號(hào)只能沿支路箭頭方向傳輸。支路的輸出=該支路的輸入與支路增益的乘積。（2）當(dāng)結(jié)點(diǎn)有多個(gè)輸入時(shí)，該接點(diǎn)將所有輸入支路的信號(hào)相加，并將和信號(hào)傳輸給所有與該結(jié)點(diǎn)相連的輸出支路。如：x4=ax1+bx2+dx5

x3=cx4

x6=ex4（3）混合結(jié)點(diǎn)可通過(guò)增加一個(gè)增益為1的出支路而變?yōu)閰R點(diǎn)。7.3

信號(hào)流圖4、方框圖流圖注意：加法器前引入增益為1的支路5、流圖簡(jiǎn)化的基本規(guī)則：（1）支路串聯(lián)：支路增益相乘。X2=H2X3=H2H1X1（2）支路并聯(lián)：支路增益相加。X2=H1X1+H2X1=(H1+H2)X17.3

信號(hào)流圖（3）混聯(lián)：X4=H3X3=H3(H1X1+H2X2)=H1H3X1+H2H3X27.3

信號(hào)流圖（4）自環(huán)的消除：X3=H1X1+H2X2+H3X3所有來(lái)向支路除1–H37.3

信號(hào)流圖例：化簡(jiǎn)下列流圖。注意化簡(jiǎn)具體過(guò)程可能不同，但最終結(jié)果一定相同。解：消x3消x2消x4消自環(huán)7.3

信號(hào)流圖二、梅森公式上述化簡(jiǎn)求H復(fù)雜。利用Mason公式方便。系統(tǒng)函數(shù)H(.)記為H。梅森公式為：稱為信號(hào)流圖的特征行列式為所有不同回路的增益之和；為所有兩兩不接觸回路的增益乘積之和；為所有三三不接觸回路的增益乘積之和；…i表示由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路的標(biāo)號(hào)Pi

是由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路增益；△i

稱為第i條前向通路特征行列式的余因