空間直線(xiàn)、平面的垂直-課件

精品課件高中數(shù)學(xué)必修2第八章立體幾何初步新人教版

空間直線(xiàn)、平面的垂直特級(jí)教師優(yōu)秀課件精選精品高中數(shù)學(xué)必修2第八章立體幾何初步新人教版空間直線(xiàn)、1教學(xué)目標(biāo)異面直線(xiàn)所成角、直線(xiàn)與平面所成角、二面角的定義；直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面垂直的判定定理，異面

直線(xiàn)所成角、直線(xiàn)和平面所成的角、二面角及其求法；異面直線(xiàn)垂直、直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理

的綜合應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)異面直線(xiàn)所成角、直線(xiàn)與平面所成角、二面角的定義；直線(xiàn)教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角、二面角的求解；異面直線(xiàn)垂直、直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的判定．找異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角、二面角；異面直線(xiàn)垂直、直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的判定定

理的應(yīng)用．教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角、二面角引入空間中兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系

1.空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有三種:__________、_________、_________.異面直線(xiàn)平行直線(xiàn)相交直線(xiàn)引入空間中兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系

1.空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有2.分類(lèi)(1)從有無(wú)公共點(diǎn)的角度來(lái)看，可分為兩類(lèi)平行直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)(2)從是否共面的角度來(lái)看，可分為兩類(lèi)相交直線(xiàn)共面直線(xiàn)直線(xiàn)平行直線(xiàn)不共面直線(xiàn):異面直線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn):相交直線(xiàn)直線(xiàn)異面直線(xiàn)2.分類(lèi)(1)從有無(wú)公共點(diǎn)的角度來(lái)看，可分為兩類(lèi)平行直線(xiàn)無(wú)公直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直異面直線(xiàn)a與b所成的角1.如圖，己知兩條異面直線(xiàn)a,b經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線(xiàn)a'∥a,

b'∥b,我們把直線(xiàn)a'與b'所成的角叫做_________________________

(或夾角).直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直異面直線(xiàn)a與b所成的角1.如圖，己知兩條異面直0°≤a≤90°2.范圍:______________.3.當(dāng)θ=____時(shí)，a與b互相垂直，記作______.

異面直線(xiàn)所成角的范圍是0°<θ≤90°，所以垂直有兩種情況：

異面垂直和相交垂直.4.當(dāng)兩條直線(xiàn)a,b相互平行時(shí)，我們規(guī)定它們所成的角為_(kāi)_______.

所以空間兩條直線(xiàn)所成角α的取值范圍是________________.

0°<θ≤90°a⊥b90°0°0°≤a≤90°2.范圍:______________.3.[教材解難]

求異面直線(xiàn)所成的角的步驟

(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法，遇題設(shè)中有中點(diǎn)，

?？紤]中位線(xiàn)；若異面直線(xiàn)依附于某幾何體，且對(duì)異面直線(xiàn)平移

有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，使異面直線(xiàn)轉(zhuǎn)化為相交

直線(xiàn).

(2)求——轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過(guò)解三角形，求出所找的

角.

(3)結(jié)論——設(shè)由(2)所求得的角的大小為θ.若0°<θ≤90°，則θ為

所求；若90°<θ≤180°，則180°-θ為所求.[教材解難]

求異面直線(xiàn)所成的角的步驟

(1)找出(或作例1如圖8.6-3,已知正方體ABCD-A'B'C'D'.

(1)哪些棱所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)AA'垂直？

(2)求直線(xiàn)BA'與CC'所成的角的大小.

(3)求直線(xiàn)BA'與AC所成的角的大小.解:(1)棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'所在直線(xiàn)分別與直線(xiàn)AA'垂直.

(2)因?yàn)锳BCD-A'B'C'D'是正方體，所以BB'∥CC,因此∠A'BB'為直線(xiàn)BA'與

CC'所成的角.又因?yàn)椤螦'BB'=45°,所以直線(xiàn)BA'與CC所成的角等于45°.

(3)如圖8.6-4,連接A'C',因?yàn)锳BCD-A'B'C'D'是正方體，所以AA'⊥CC'.從

而四邊形AA'C'C是平行四邊形，所以AC//A'C.于是∠BA'C'為異面直線(xiàn)

BA'與AC所成的角，

連接BC',易知△A'BC'是等邊三角形，所以∠BA'C'=60°.從而異面直線(xiàn)BA'

與AC所成的角等于60°.例1如圖8.6-3,已知正方體ABCD-A'B'C'D'.例

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是A1B1,

B1C1的中點(diǎn)，

求異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角的大小.

拓展練習(xí)例

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是[解]

方法一

如圖所示，連接A1C1,B1D1,并設(shè)它們相交于點(diǎn)O，

取DD1的中點(diǎn)G,連接OG,A1G,C1G,

則OG//B1D，EF//A1C1,

∴∠GOA1為異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角(或其補(bǔ)角)

∵GA1=GC1,O為A1C1的中點(diǎn)，∴GO⊥A1C1.

∴異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角為90°.[解]

方法一

如圖所示，連接A1C1,B1D1,方法二

如圖所示，連接A1D,取A1D的中點(diǎn)H,

連接HE，則HE∥∴∠HEF為異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角(或其補(bǔ)角).

方法二

如圖所示，連接A1D,取A1D的中點(diǎn)H,

連接方法三:如圖，連接A1C1,分別取AA1,CC1的中點(diǎn)M,N,連接MN.

∵E,F分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn)，∴EF//A1C1,又MN//A1C1,

∴MN//EF.

連接DM,

B1N,

MB1,

DN,則B1N//DM,

∴四邊形DMB1N為平行四邊形，∴MN與DB1必相交，

設(shè)交點(diǎn)為P，則∠DPM為異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角(或其補(bǔ)角).方法三:如圖，連接A1C1,分別取AA1,CC1的中點(diǎn)M方法四:如圖，在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)與其大小相等的正方體，

連接B1Q，易得B1Q//EF,

∴∠DB1Q就是異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角(或其補(bǔ)角).

方法四:如圖，在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)與其大小相等的正方體

方法歸納

求異面直線(xiàn)所成角的步驟

一作:選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，用平移法作出異面直線(xiàn)所成的角;

二證:證明作出的角就是要求的角；

三計(jì)算:將異面直線(xiàn)所成的角放入某個(gè)三角形中，利用特殊三角形

求解.

例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為底面A1B1C1D1的中心，

求證AO1⊥BD.例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為底面A[證明]如圖，連接B1D1

∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴BB1∥DD1.∴四邊形BB1D1D是平行四邊形,∴B1D1//BD.

∴直線(xiàn)AO1與B1D1所成的角即為直線(xiàn)AO1與BD所成

的角.連接AB1,

AD1,易證AB1=AD1.

又O1為底面A1B1C1D1的中心，

∴O1為B1D1的中點(diǎn)

∴AO1⊥B1D1,

∴AO1⊥BD.[證明]如圖，連接B1D1

∵ABCD-A1B1C1D1是方法歸納

證明直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的方法

①等腰三角形中線(xiàn)即是高線(xiàn).

②勾股定理.

③異面直線(xiàn)所成的角為直角.方法歸納

證明直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的方法

①等腰三角形中線(xiàn)即是高空間直線(xiàn)、平面的垂直_課件證明:如圖，取AC的中點(diǎn)F,

連接DF,EF,證明:如圖，取AC的中點(diǎn)F,

連接DF,EF,在△PAC中，∵D是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，

∴DF//PA,同理可得EF//BC,

∴∠DFE為異面直線(xiàn)PA與BC所成的角(或其補(bǔ)角).

在△DEF中，DE=3,

在△PAC中，∵D是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，

∴DF//1.判所下列命題是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)"√".錯(cuò)誤的畫(huà)“×".

(1)如果兩條平行直線(xiàn)中的一條與已知直線(xiàn)垂直，那么另一條也

與已知直線(xiàn)垂直.

(

)

(2)垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行

(

)

1.判所下列命題是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)"√".錯(cuò)誤的畫(huà)2.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'的各條棱所在直線(xiàn)中.

(1)與直線(xiàn)AB垂直的直線(xiàn)有____條;

(2)與直線(xiàn)AB異面且垂直的直線(xiàn)有____條;

(3)與直線(xiàn)AB和A'D'都垂直的直線(xiàn)有____條;

(4)與直線(xiàn)AB和A'D'都垂直且相交的直線(xiàn)是______.84412.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'的各條棱所在直

(1)直線(xiàn)BC和AC'所成的角的大小:

(2)直線(xiàn)AA'和BC"所成的角的大小.

(1)因?yàn)锽C∥BC，所以∠B'C'A'是異面直線(xiàn)A'C'與BC所成的角

(1)直線(xiàn)BC和AC'所成的角的大小:

(2)直線(xiàn)AA'4.如圖.在正三棱柱ABC-A'B'C'中.D為棱AC的中點(diǎn).AB=BB'=2.

求證BD⊥AC'.4.如圖.在正三棱柱ABC-A'B'C'中.D為棱AC的引入引入定義畫(huà)法直線(xiàn)與平面垂直如果直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的__________直線(xiàn)都______，就說(shuō)

直線(xiàn)l與平面α互相垂直，記作.直線(xiàn)_____.

直線(xiàn)l叫作平

面α的_____，平面α叫作直線(xiàn)l的_____，直線(xiàn)與平面垂

直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫作______.任意一條垂直l⊥a垂線(xiàn)垂面垂足通常把直線(xiàn)畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直,

如圖定義畫(huà)法直線(xiàn)與平面垂直如果直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的________PO為垂線(xiàn)段，其長(zhǎng)度為點(diǎn)P到面α的距離垂線(xiàn)段過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線(xiàn)有且只有一條PO為垂線(xiàn)段，其長(zhǎng)度為點(diǎn)P到面α的距離垂線(xiàn)段過(guò)一點(diǎn)垂直于已知空間直線(xiàn)、平面的垂直_課件文字語(yǔ)言:如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的_____________________，

則該直線(xiàn)與此平面垂直.

直線(xiàn)與平面垂直的判定定理兩條相交直線(xiàn)垂直圖形語(yǔ)言:如圖所示.文字語(yǔ)言:如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的___________1.直線(xiàn)與平面垂直是直線(xiàn)與平面相交的特殊情形.

2.注意定義中“任意一條直線(xiàn)”與“所有直線(xiàn)”等同但不可說(shuō)成“無(wú)數(shù)

條直線(xiàn)”.3.判定定理?xiàng)l件中的“兩條相交直線(xiàn)”是關(guān)鍵性詞語(yǔ)，此處強(qiáng)調(diào)“相

交”，若兩條直線(xiàn)平行，則直線(xiàn)與平面不一定垂直.1.直線(xiàn)與平面垂直是直線(xiàn)與平面相交的特殊情形.

2.注意證明:如圖8.6-13,在平面α內(nèi)取兩條相交直線(xiàn)m,n,

∴直線(xiàn)a⊥α,

∴a⊥m,

a⊥n.

∵b//a,

∴b⊥m,b⊥n.

又m?α,n?α,m,n是兩條相交直線(xiàn),

∴b⊥α.例3求證:如果兩條平行直線(xiàn)中的一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，那

么另一條直線(xiàn)也垂直于這個(gè)平面.

已知:如圖8.6-12，a//b,a⊥α,求證b⊥α.證明:如圖8.6-13,在平面α內(nèi)取兩條相交直線(xiàn)m,n,例

如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC,AC=BC,N是AB的中點(diǎn).求證:CN⊥平面ABB1A1.例

如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AA1⊥底面ABCCN?底面ABCAA1⊥CNAC=BCN是AB的中點(diǎn)AB⊥CN,又AA1?平面ABB1A1,

AB?平面ABB1A1,

AA1∩AB=A，所以

CN⊥平面ABB1A1.證明AA1⊥底面ABCCN?底面ABCAA1⊥CNAC=BCN是方法歸納

線(xiàn)面垂直的判定定理實(shí)質(zhì)是由線(xiàn)線(xiàn)垂直推證線(xiàn)面垂直，途徑是找到

一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直.推證線(xiàn)線(xiàn)垂直時(shí)注意分析

幾何圖形，尋找隱含條件.方法歸納

線(xiàn)面垂直的判定定理實(shí)質(zhì)是由線(xiàn)線(xiàn)垂直推證線(xiàn)面垂直，直線(xiàn)與平面所成的角直線(xiàn)和平面所成的角當(dāng)直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，它們所成的角是90°.當(dāng)直線(xiàn)與平面

平行或在平面內(nèi)時(shí)，它們所成的角是___.

定義范圍畫(huà)法平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的_____所成的___，叫作這

條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角.射影角0°如圖，______就是斜線(xiàn)AP與平面α所成的角0°≤θ≤90°∠PAO直線(xiàn)與平面所成的角直線(xiàn)和平面所成的角當(dāng)直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，它們把握定義應(yīng)注意兩點(diǎn):

①斜線(xiàn)上不同于斜足的點(diǎn)P的選取是任意的;

②斜線(xiàn)在平面上的射影是過(guò)斜足和垂足的一條直線(xiàn)而不是線(xiàn)段.把握定義應(yīng)注意兩點(diǎn):

①斜線(xiàn)上不同于斜足的點(diǎn)P的選取是任例4

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線(xiàn)A1B和平面

A1DCB1所成的角.例4

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線(xiàn)解

連接BC1,

BC1與B1C相交于點(diǎn)O,

連接A1O.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.

∵A1B1⊥B1C1,

A1B1⊥B1B,

B1C1∩B1B=B1,

∴A1B1⊥平面BCC1B1.

∴A1B1⊥BC1.

又BC1⊥B1C,

∴BC1⊥平面A1DCB1.解

連接BC1,

BC1與B1C相交于點(diǎn)O,

連接A1空間直線(xiàn)、平面的垂直_課件方法歸納

求直線(xiàn)與平面所成的角的步驟

(1)作:在斜線(xiàn)上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，在這一步確定垂足的

位置是關(guān)鍵;

(2)證:證明所找到的角為直線(xiàn)與平面所成的角，證明的主要依據(jù)為

直線(xiàn)與平面所成的角的定義;

(3)求:一般來(lái)說(shuō)是借助三角形的相關(guān)知識(shí)求角.方法歸納

求直線(xiàn)與平面所成的角的步驟

(1)作:在斜線(xiàn)1.如果兩條直線(xiàn)和一個(gè)平面所成的角相等，那么這兩條直線(xiàn)一定

平行嗎?

兩條直線(xiàn)與一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線(xiàn)相交、平行

或異面，例如圓錐的兩條母線(xiàn)，與底面所成角相等，但是母線(xiàn)

是相交直線(xiàn).1.如果兩條直線(xiàn)和一個(gè)平面所成的角相等，那么這兩條直線(xiàn)一定

2.如圖.四梭錐S-ABCD的底面是正方形.SD⊥平面ABCD.求證:

AC⊥平面SDB.2.如圖.四梭錐S-ABCD的底面是正方形.SD⊥平面A解答

∵四棱柱A1B1C1D1-ABCD是直棱柱，

∴B1D1⊥A1A,

若A1C⊥B1D1

則B1D1⊥平面A1AC1C

∴B1D1⊥AC,

又由B1D∥BD，

則有BD⊥AC，

反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1

故答案為:BD⊥AC.

3.如圖，在直四棱柱A'B'C'D'-ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿(mǎn)

足什么條件時(shí)，A'C⊥B'D'？.解答

∵四棱柱A1B1C1D1-ABCD是直棱柱，

∴B14.過(guò)△ABC所在平面α外一點(diǎn)P.作PO⊥α,垂足為O.連接PA,PB,

PC.

(1)若PA=PB=PC,則點(diǎn)O是△ABC的___心.

(2)若PA=PB=PC,∠C=90°,則點(diǎn)O是AB邊的___點(diǎn)

(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都為P.則點(diǎn)O是△ABC的___

心.外中垂4.過(guò)△ABC所在平面α外一點(diǎn)P.作PO⊥α,垂足為O直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)①線(xiàn)面垂直→線(xiàn)線(xiàn)平行；

②作平行線(xiàn)文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)_____平行符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言作用a//ba⊥αb⊥α→_____直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)①線(xiàn)面垂直→線(xiàn)線(xiàn)平行；

②作平行線(xiàn)文字語(yǔ)1.直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線(xiàn)平行的另一種方

法.

2.定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了

“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù).1.直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線(xiàn)平行的另一種方例5

如圖8.6-19，直線(xiàn)l平行于平面α,求證:直線(xiàn)l上各點(diǎn)到平面

α的距離相等.

證明:過(guò)直線(xiàn)l上任意兩點(diǎn)A,B分別作平面α的垂線(xiàn)AA1,BB1,

垂足分別為A1,B.

∵AA1⊥α,BB⊥α.

∴AA1//AB1

設(shè)直線(xiàn)AA1,BB1確定的平面為β.

β∩α=A1B1

∵l//α

∴l(xiāng)//A1B1

∴四邊形AA1B1B是矩形，

∴AA1=BB1.

由A,B是直線(xiàn)l上任取的兩點(diǎn).可知直線(xiàn)l上各點(diǎn)到平面α的距離相等.例5

如圖8.6-19，直線(xiàn)l平行于平面α,求證:直一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距

離，叫做這條直線(xiàn)到這個(gè)平面的距離.由例5我們還可以進(jìn)一步得出,

如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面

的距離都相等.

我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距

例6推導(dǎo)棱臺(tái)的體積公式

其中S'，S分別是棱臺(tái)的上、下底面面積，h是高.解:如圖8.6-20.延長(zhǎng)棱臺(tái)各側(cè)棱交于點(diǎn)P.得到截得棱臺(tái)的

棱錐.過(guò)點(diǎn)P作棱臺(tái)的下底面的垂線(xiàn)，分別與梭臺(tái)的上、下

底面交于點(diǎn)O',則PO垂直于棱臺(tái)的上底面(想一想，為什么

？).從而O'O=h.

設(shè)藏得棱臺(tái)的棱錐的體積為V,去掉的棱錐的體積為V'、高為h',則PO'=h'.

于是

由棱臺(tái)的上、下底面平行.可以證明棱臺(tái)的上、下底面相似,所以例6推導(dǎo)棱臺(tái)的體積公式

其中S'，S分別是棱臺(tái)的上、下底例在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F分別在A1D,AC上，

EF⊥A1D,EF⊥AC,求證:EF//BD1.

[證明]如圖所示，連接A1C1,C1D,B1D1,BD.例在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F分別在A1∵AC//A1C1,

EF⊥AC,

∴EF⊥A1C1.

又EF⊥A1D,

A1D∩AC1=A1,

∴EF⊥平面A1C1D1

①

∵BB1⊥平面A1B1C1D1,

A1C1?平面A1B1C1D1,

∴BB1⊥A1C1

∵四邊形A1B1C1D1為正方形，

∴A1C1⊥B1D1,

又B1D1∩BB1=B1,

∴A1C1⊥平面BB1D1D,

而B(niǎo)D1?平面BB1D1D,

∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.

又DC1∩A1C1=C1,

∴BD1⊥平面A1C1D.

②

由①②可知EF//BD1.

∵AC//A1C1,

EF⊥AC,

∴EF⊥A1C1方法歸納

線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理是證明兩直線(xiàn)平行的重要依據(jù)，證明兩直線(xiàn)平

行的常用方法:

(1)a//b,b//c→a//c.

(2)a//α,a?β,β∩α=b→a//b.

(3)α//β,

γ∩α=a,γ∩β=b→a//b.

(4)a⊥α,b⊥α→a//b.

方法歸納

線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理是證明兩直線(xiàn)平行的重要依據(jù)，證明1.已知直線(xiàn)a,b和平面α,

且a⊥b,a⊥α,

則b與a的位置關(guān)系是

_______.a//b1.已知直線(xiàn)a,b和平面α,

且a⊥b,a⊥α,

2.已知A,B兩點(diǎn)在平面α的同側(cè)，且它們與α的距離相等，求證:

直線(xiàn)AB//α.

證明:作出點(diǎn)A、B到α的垂線(xiàn)段AA'、BB'.

AA'平行且等于BB'→AA'BB'是平行四邊形

→AB//A'B',AB?α，A'B'?α→AB//α.2.已知A,B兩點(diǎn)在平面α的同側(cè)，且它們與α的距離相等，求3.如圖，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,F是EB的中點(diǎn)，

求證:DF//平面ABC.

∴FG∥CD，F(xiàn)G=CD，

∵FG⊥平面ABC，

∴四邊形CDFG是矩形，DF∥CG，

CG?平面ABC，DF不包含于平面ABC,

∴DF∥平面ABC.3.如圖，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,4.求證:垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行.(提示:過(guò)這條直

線(xiàn)作平面與這兩個(gè)平面相交，則它們的交線(xiàn)平行.)證明：設(shè)直線(xiàn)為l，平面為α，β.

而l⊥α，l⊥β.則過(guò)l作平面m，

且l?平面m,則

假設(shè)m∩α=l1,m∩β=l2.

由提示l1∥l2，

又l1?α,

l2?α，則l2∥α.

同理過(guò)l作平面n，使n∩α=l3,n∩β=l4.

則同理l4∥平面α.

又l3?β，l4?β，則α∥β.4.求證:垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行.(提示:過(guò)二面角圖示平面內(nèi)的一條直線(xiàn)把平面分成兩部分，這兩部分通常稱(chēng)

為_(kāi)______.從這一條直線(xiàn)出發(fā)的____________所組成的圖

形叫做二面角.這條直線(xiàn)叫做二面角的___,這兩個(gè)半平

面叫做二面角的___.

概念半平面兩個(gè)半平面棱面二面角圖示平面內(nèi)的一條直線(xiàn)把平面分成兩部分，這兩部分通常稱(chēng)

平

面

角OA?α，OB?β,α∩β=l,O∈l,

OA⊥l,

OB⊥l→∠AOB

是二面角的平面角.

文字圖示符號(hào)范圍規(guī)定在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于___的射線(xiàn)，則這兩條射線(xiàn)構(gòu)成的___叫做這個(gè)

二面角的平面角棱角二面角的大小可以用它的________來(lái)度量,二面角的平面角是多___________________0°≤∠AOB≤180°

少度,就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度,平面角是_____的二面角叫做

直二面角直角平面角平

面

角OA?α，OB?β,α∩β=l,O∈l,

O棱為l，面分別為α,β的二面角記為_(kāi)________.如圖所示，

也可在α,β內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點(diǎn)P,Q,將這個(gè)

二面角記作二面角__________.

記法a-1-βP-l-Q棱為l，面分別為α,β的二面角記為_(kāi)________.無(wú)關(guān)如圖，根據(jù)等角定理可知，∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平面

角的大小與角的頂點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，只與二面角的大小有關(guān).1.二面角與平面幾何中的角有什么區(qū)別?平面幾何中的角是從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線(xiàn)組成的圖形;二面角是從

一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.2.二面角的平面角的大小，與角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)嗎?無(wú)關(guān)如圖，根據(jù)等角定理可知，∠AOB=∠A'O'B',即二例下列命題中:

①兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角;②異面直線(xiàn)a,b分別和一

個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則a,b所成的角與這個(gè)二面角的平面角

相等或互補(bǔ);③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)

面內(nèi)作射線(xiàn)所成的角的最小角;

④二面角的大小與其平面角的

頂點(diǎn)在棱上的位置沒(méi)有關(guān)系.其中正確的是

（

）

A.①③

B.②④

C.③④

D.①②

拓展練習(xí)例下列命題中:

①兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角;②解析

由二面角的定義:從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

叫做二面角,所以①不對(duì)，實(shí)質(zhì)上它共有四個(gè)二面角;由a，b分別垂

直于兩個(gè)面，則a,b都垂直于二面角的棱，故②正確;

③中所作的

射線(xiàn)不一定垂直于二面角的棱，故③不對(duì);由定義知④正確.故選B.

答案B解析

由二面角的定義:從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的規(guī)律方法

1.要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致.

2.要注意二面角的平面角與頂點(diǎn)在棱上且角兩邊分別在二面角面

內(nèi)的角的聯(lián)系與區(qū)別.

3.可利用實(shí)物模型，作圖幫助判斷.規(guī)律方法

1.要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一1.定義:兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是___________,就

說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.平面α與平面β垂直，記作________.

2.畫(huà)法:兩個(gè)互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫(huà)成與水平平

面的______垂直.如圖所示.平面與平面垂直直二面角α⊥β橫邊1.定義:兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是_____平面與平面垂直的判定定理l⊥α,

______→α⊥β

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的_______，則這兩個(gè)平面

垂直垂線(xiàn)l?β平面與平面垂直的判定定理l⊥α,

______→α⊥β

例7如圖8.6-27所示，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求證:平面

A'BD⊥平面ACC'A'.

證明:

∵ABCD-A'B'C'D'是正方體，

∴AA⊥平面ABCD.

∴AA'⊥

BD.

又BD⊥AC.

∴BD⊥平面ACC'A'.

∴平而A'BD⊥平面ACC'A'.例7如圖8.6-27所示，在正方體ABCD-A'B'C'D例8如圖8.6-28.AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面，

C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn).求證:平面PAC⊥平面PBC.

證明:∵PA⊥平面ABC,

BC?平面ABC.

∴PA⊥BC.

∵點(diǎn)C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn),AB是⊙O的直

徑，

∴∠BCA=90°,即BC⊥AC.

又PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,

∴BC⊥平面PAC,

又BC?平面PBC,

∴平面PAC⊥平面PBC.例8如圖8.6-28.AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所拓展練習(xí)如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平

面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA=AC,求二面角P-BC-A

的大小解

∵PA⊥平面ABC,

BC?平面ABС,

∴PA⊥ВС.

∵AB是⊙O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC.

又∵РА∩AC=А,

∴BC⊥平面PAC.

而PC?平面PAC,

∴PC⊥BC.

拓展練習(xí)如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平

又∵BC是二面角P-BC-A的棱,

∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.

由PA=AC知，△PAC是等腰直角三角形,

∴∠PCA=45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.又∵BC是二面角P-BC-A的棱,

∴∠PCA是二面角P規(guī)律方法

確定二面角的平面角的方法:

(1)定義法:在二面角的棱上找一特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂

直于棱的射線(xiàn).

(2)垂面法:過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半

平面產(chǎn)生交線(xiàn)，這兩條交線(xiàn)所成的角，即為二面角的平面角.

(3)線(xiàn)面垂直法:該法就是利用線(xiàn)面垂直來(lái)尋找二面角的平面角，是

最常用的也是最好用的一種方法.由一個(gè)半平面內(nèi)異于棱上的點(diǎn)A向

另一半平面作垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)B,由B點(diǎn)向二面角的棱作垂線(xiàn)，垂足

為點(diǎn)O,連接AO,則∠AOB為二面角的平面角(或其補(bǔ)角).規(guī)律方法

確定二面角的平面角的方法:

(1)定義法:空間中的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系1.如圖。檢查工作的相鄰兩個(gè)(平)面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的

一邊緊靠在工件的一個(gè)面上，另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng)，

觀察尺邊和這個(gè)面是否密合就可以了,這是為什么?

解答

檢查工件的相鄰的兩個(gè)面是否垂直時(shí)，只要

用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上，

另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng)一下，若曲尺的另一

邊和工件的另一面密合,

就說(shuō)明工件的另一個(gè)面經(jīng)過(guò)

工件的一個(gè)面的垂線(xiàn),

由面面垂直的判定定理得工件

的這兩個(gè)互相垂直。如果不轉(zhuǎn)運(yùn)，無(wú)法判斷曲尺的

另一邊和工件的另一面是否密合,也就無(wú)法判斷工件

的相鄰的兩個(gè)面是否垂直.1.如圖。檢查工作的相鄰兩個(gè)(平)面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的2.已知直線(xiàn)a,b與平面α,β,γ.

能使α⊥β的充分條件是(

).

(A)α⊥γ

，β⊥γ

(B)α∩β=a,

b⊥a,

b?β

(C)a//?,a//α

(D)a//α,a⊥βD2.已知直線(xiàn)a,b與平面α,β,γ.

能使α⊥β的充3.如下頁(yè)圖.AB⊥平面BCD，BC⊥CD.你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相

垂直，為什么？

解答平面ABC⊥平面BCD,

平面ABD⊥平面BCD,

平面ACD⊥平

面ABC3.如下頁(yè)圖.AB⊥平面BCD，BC⊥CD.你能發(fā)現(xiàn)哪些4.如圖，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，D為棱AC的中點(diǎn).求證:平

面BDC'⊥平面ACC'A'.

證明：∵A'A⊥平面ABC

BD?平面ABC

∴A'A⊥BD

∵△ABC是正三角形,D為棱AC的中點(diǎn)∴BD⊥AC

∵BD⊥A'A，BD⊥AC，AA'?平面ACC'A，AC?平面ACC'A，

A'A∩AC=A→BD⊥平面ACC'A

又∵BD?平面BDC'

∴BDC'⊥平面ACC'A'

4.如圖，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，D為棱AC的中點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另

一個(gè)平面______

垂直文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a⊥βa∩β=la?αa⊥l→a⊥β平面與平面垂直的性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)圖形語(yǔ)言作用證明直線(xiàn)與平面垂直圖形語(yǔ)言作用證明直線(xiàn)與平面垂直例9如圖8.6-32.已知平面α⊥平面β.直線(xiàn)a⊥β,

a?α.判斷a與α的

位置關(guān)系.

解:在α內(nèi)作垂直于α與β交線(xiàn)的直線(xiàn)b,

∵α⊥β.

∴b⊥β.

又a⊥β.

∴a//b.

又a?α.

∴a//α.

即直線(xiàn)a與平面α平行.

例9如圖8.6-32.已知平面α⊥平面β.直線(xiàn)a⊥β,

例

如圖8.6-33，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求證:BC⊥平面PAB.

證明:如圖8.6-34，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PB,垂足為E.

∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB,

∴AE⊥平面PBC,

∵BC?平面PBC,

∴AE⊥BC.

∵PA⊥平面ABC,

BC?平面ABC,

∴PA⊥BC.

又PA∩AE=А,

∴BC⊥平面PAB.例

如圖8.6-33，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥拓展練習(xí)如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是

∠DAB=60°的菱形，側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面

ABCD.若G為AD邊的中點(diǎn)，求證:BG⊥平面PAD.拓展練習(xí)如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊拓展練習(xí)證明:連接PG,BD,

∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB=60°,

∴△ABD是正三角形,

∵G是AD的中點(diǎn)，

∴BG⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴BG⊥平面PAD.拓展練習(xí)證明:連接PG,BD,

∵四邊形ABCD是菱形規(guī)律總結(jié)1.若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的定理

將其轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直、線(xiàn)線(xiàn)垂直.

在應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，注意三點(diǎn):①兩個(gè)平面垂直，是前提條件;②直線(xiàn)必須在其中一個(gè)

平面內(nèi);③直線(xiàn)必須垂直于它們的交線(xiàn).規(guī)律總結(jié)1.若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂2.先找條件中有沒(méi)有在一個(gè)平面內(nèi)與交線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，若沒(méi)有與

交線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，一般需作輔助線(xiàn),基本作法是過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)

一點(diǎn)作交線(xiàn)的垂線(xiàn),這樣便把面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直問(wèn)題,

進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題.2.先找條件中有沒(méi)有在一個(gè)平面內(nèi)與交線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，若沒(méi)有與1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)

“×”.

(1)如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)所有直線(xiàn)都垂直于平面β.

（

）

(2)如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線(xiàn)平行于平面β.

（

）

(3)如果平面α不垂直于平面β，那么平面a內(nèi)一定不存在直線(xiàn)垂直

于平面β.

（

）1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)2.若平面α⊥平面β，且a∩β=l,則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是(

)

(1)平面α內(nèi)的直線(xiàn)必垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線(xiàn).

(2)平面α內(nèi)的已知直線(xiàn)必垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn).

(3)平面α內(nèi)的任一條直線(xiàn)必垂直于平面β.

(4)過(guò)平面α內(nèi)任意一點(diǎn)作交線(xiàn)l的垂線(xiàn)，則此垂線(xiàn)必垂直于平面β.

(A)3

(B)2

(C)1

(D)0B2.若平面α⊥平面β，且a∩β=l,則下列命題中正確的個(gè)3.已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線(xiàn)，則

“α⊥β”是“m⊥β”的(

).

(A)充分不必要條件

(B)必要不充分條件

(C)充要條件

(D)既不充分也不必要條件B3.已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線(xiàn)，則

解答

設(shè)過(guò)直線(xiàn)a與平面α內(nèi)的一點(diǎn)的平面與α的交線(xiàn)為a'.

∵a∥α,

∴a∥a'.

∵a⊥AB,

∴a'⊥AB.

∵a'?α，α⊥β,

∴a'⊥β.

∴a⊥β,

即a與β的位置關(guān)系是a⊥β.4.已知平面α，β.直線(xiàn)a,且α⊥β，α∩β=AB.a//α,a⊥AB.判斷直

線(xiàn)a與平面β的位置關(guān)系.并說(shuō)明理由.解答

設(shè)過(guò)直線(xiàn)a與平面α內(nèi)的一點(diǎn)的平面與α的交線(xiàn)為a'1.選擇題

(1)若空間中四條不同的直線(xiàn)l1,l2,l3,l4滿(mǎn)足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4.則下面

結(jié)論正確的是(

).

(A)l1⊥l4

(B)l1//l4

(C)l1,l4既不垂直也不平行

(D)l1,l4的位置關(guān)系不確定

(2)設(shè)l,m,n均為直線(xiàn).其中m,n在平面α內(nèi).則"l⊥α”是"l⊥m"且“l(fā)⊥n”

的(

).

(A)充分不必要條件

(B)必要不充分條件

(C)充要條件

(D)既不充分也不必要條件

(3)直線(xiàn)l1,l2互相平行的一個(gè)充分條件是(

)

(A)l1,l2都平行于同一個(gè)平面

(B)l1,l2與同一個(gè)平面所成的角相等

(C)l1,l2都垂直于同一個(gè)平面

(D)l1平行于l2所在的平面DAD1.選擇題

(1)若空間中四條不同的直線(xiàn)l1,l2,l2.判斷下列命題是個(gè)正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)"√",錯(cuò)誤的畫(huà)"X".

(1)過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與這個(gè)平面垂直.

（

）

(2)過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與這個(gè)平面平行.

（

）

(3)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與這條直線(xiàn)垂直.

（

）

(4)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與這條直線(xiàn)平行.

（

）

(5)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行.

（

）

2.判斷下列命題是個(gè)正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)"√",錯(cuò)誤的畫(huà)"3.判斷下列命題是否正確.正確的說(shuō)明理由,錯(cuò)誤的舉例說(shuō)明.

(1)一條直線(xiàn)行于一個(gè)平面，另一條直線(xiàn)與這個(gè)平面垂直，則這兩條

直線(xiàn)互相垂直；

(2)如果平面α//平面α1，平面β//平面β1，那么平面α與平面β所成的

二面角和平面α1與與平面β1所成的二面角相等或互補(bǔ)；

(3)如果平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，那么平而α⊥平面γ.

解:(1)正確,設(shè)直線(xiàn)a//平面α

,直線(xiàn)b⊥平面α

,則存在直線(xiàn)c?α,且a//c,∴b⊥c,∴b⊥a.

(2)正確,兩個(gè)平面平行,則其法向量也平行,兩個(gè)二面角的兩個(gè)半平

面的法向量所成角相等或互補(bǔ);

(3)錯(cuò)誤,如長(zhǎng)方體中兩底面都與同一側(cè)面垂直,但兩底面不垂直.3.判斷下列命題是否正確.正確的說(shuō)明理由,錯(cuò)誤的舉例說(shuō)明4.如圖,在直二棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,

P為AB

的中點(diǎn),Q為棱C1C的中點(diǎn).求證:

(1)PQ⊥AB;

(2)PQ⊥C1C;

(3)PQ⊥A1B.

證明:(1)如圖,取AB的中點(diǎn)D,連接CD、DP,

∴PD//CQ,

∴四邊形CDPQ為平行四邊形,

∴CD//PQ.

又∵CACB,D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴PQ⊥AB.

(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,

CD?平面ABC,

∴AA1⊥CD,由(1)知CD//PQ,∴PQ⊥AA1.

又AA1//CC1，∴PQ⊥CC1.

(3)由(1)(2)知,PQ⊥AB，PQ⊥AA1,而AB∩AA1=A.

∴PQ⊥平面AA1B1B.

∵A1B?平面AA1B1B,

∴PQ⊥A1B.4.如圖,在直二棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB5.如圖，在三棱錐P-ABC中，CD⊥AB，垂足為D，

PO⊥底面ABC,垂足為O，且O在CD上,求證AB⊥PC.

證明:∵PO⊥底面ABC,AB?底面ABC,

∴PO⊥AB.

∵O在CD上，∴PO∩CD=O.

又CD⊥AB

∴AB⊥平面POC，∵PC?平面POC,

∴AB⊥PC.5.如圖，在三棱錐P-ABC中，CD⊥AB，垂足為D，

P6.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，平面ABC'D'與正方

體的各個(gè)面所在的平面所成的二面角的大小分別是多少？解:在正方體ABCD-A'B'C'D'中，考慮平面ABC'D'與平面ABCD,

AB⊥平面B'C'CB,

BC',BC?平面B'C'CB,所以平面∠B'BC就是平面ABC'D'與

平面ABCD所成角,

即平面ABC'D'與平面ABCD成角∠C'BC=45°.

同理平面ABC'D'與平面ABCD,平面A'B'C'D',平面ABB'A',平面CC'D'D都成

45°角,

又因?yàn)锳B⊥平面ADD'A',平面ABC'D'與平面ADD'A'垂直,即所成的角為90°,

同理可得平面ABC'D'與平面ADD'A',平面BCC'B'都垂直,即與它們所成的角為

90°.

所以平面ABC'D'與平面ABCD,平面A'B'C'D',平面ABB'A',平面CC'D'D都成

45°角,平面ABC'D'與平面ADD'A',平面BCC'B'都垂直,即與它們所成的角為90°.6.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，平面ABC'7.如圖，在三棱錐V-ABC中，已知∠VAB=∠VAC=

∠ABC=90°,判斷平面VAB與平面VBC的位置關(guān)系，

并說(shuō)明理由.

解答

∵∠VAB=∠VAC=90°,

∴VA⊥AB,

VA⊥AC,又AB∩AC=A,

∴VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC.

∠ABC=90°,∴AB⊥BC,VA∩VB=V，

∴BC⊥平面VBA，又ВC?平面VBC,

∴平面VBA⊥平面VBC.7.如圖，在三棱錐V-ABC中，已知∠VAB=∠VAC=

∠8.求證:如果共點(diǎn)的三條直線(xiàn)兩兩垂直，那么它們中每?jī)蓷l直線(xiàn)確

定的平面也兩兩垂直.

解答

已知:直線(xiàn)a，b，c共點(diǎn)且兩兩垂直，直線(xiàn)a和b確定的平面為α,直

線(xiàn)a和c確定的平面為β,直線(xiàn)b和c確定的平面為γ,

求證:a⊥γ，b⊥β，c⊥α，

證明:∵直線(xiàn)a,b，c共點(diǎn)且兩兩垂直,直線(xiàn)b和c確定的平面為γ,

∴由直線(xiàn)與平面垂直的判定定理可得a⊥γ，同理可證b⊥β，c⊥α，

∴原命題得證8.求證:如果共點(diǎn)的三條直線(xiàn)兩兩垂直，那么它們中每?jī)蓷l直線(xiàn)解答

證明:

如圖，

∵平面α⊥平面γ,

∴平面α與平面γ相交,

設(shè)交線(xiàn)為m,

在平面α內(nèi)作直線(xiàn)a⊥m,∵平面α⊥平面γ，∴a⊥γ,

在平面β內(nèi)任取一點(diǎn)O,由直線(xiàn)a和點(diǎn)O確定平面M，設(shè)M∩β于b,

∵平面α∥平面β,由面面平行的判定定理,得a∥b,

∵a//b，a⊥γ,

∴b⊥γ

又∵b?β,

∴平面β⊥平面γ.9.已知平面α,

β,

γ，且α⊥γ,

β//α,

求證β⊥γ.解答

證明:

如圖，

∵平面α⊥平面γ,

∴平面α10.已知平面α,

β,

γ,且α⊥γ,

β⊥γ,

α∩β=l,

求證l⊥γ.

解答

證明:如圖，在平面內(nèi)γ任取一點(diǎn)P,

過(guò)點(diǎn)P作PA⊥l1,PB⊥l2，A，B為垂足.

∵α∩γ=l1，α⊥γ,

PA?γ,

∴PA⊥α

又∵l?α,

∴PA⊥I.

同理:PB⊥l,

∴l(xiāng)⊥γ.10.已知平面α,

β,

γ,且α⊥γ,

β⊥γ,11.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P,Q分別為棱AD,CC1

的中點(diǎn),求證A1P⊥BQ.

證明:取DD1的中點(diǎn)R,連接QR，AR,

如圖:

AR∩A1P=O

∵Q是CC1的中點(diǎn)，∴QR平行且等于CD.而AB平行且等于CD，

∴QR平行且等于AB,

∴四邊形ABQRR是平行四邊形，∴BQ//AR

在正方形AA1D1D中，∵P,R分別是AD,DD1的中點(diǎn),

∴Rt△AA1P≌Rt△DAR,

∴∠AA1P=∠DAR.

∵∠DAR+∠A1AR=90°,

∴∠AA1P+∠A1AR=90°

∴∠AOA1=90°，

即A1P⊥AR,

∴A1P⊥BQ.11.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P,12.如圖，m,n是兩條相交直線(xiàn)，l1,l2是與m,n都垂直的兩條直

線(xiàn)，且直線(xiàn)l與l1，l2都相交，求證∠1=∠2.

解答

證明:∵m,n是兩條相交直線(xiàn),l1,l2是與m,n都垂直

的兩條直線(xiàn),

∴兩條直線(xiàn)分別垂直于m,n的平面，

∴l(xiāng)1和l2平行，

此時(shí)，若l與l1和l2相交，說(shuō)明，三條直線(xiàn)在同一個(gè)

平面內(nèi),且l與l1和l2相交,

∴∠1，∠2為同位角，根據(jù)兩直線(xiàn)平行同位角相等，

可得:∠1=∠2,得證.12.如圖，m,n是兩條相交直線(xiàn)，l1,l2是與m,證明:設(shè)兩平行線(xiàn)為a,b,平面為α.

①a,b都平行于α或都在α內(nèi)，或一條與α平行，另一條在α內(nèi)時(shí)，

a,b和α所成的角都等于0°,∴

a，b與α成等角；②a，b都和α垂直時(shí)，a,b和α所成的角都等于90°；

③a，b和α斜交時(shí)，如圖,

設(shè)a∩α=A，b∩α=B,

在a，b.上分別取點(diǎn)C，D,

使C，D在α的同側(cè)，作CE⊥α于E，DF⊥α于F,

則CE∥DF,連結(jié)AE，BF，則直線(xiàn)AE，BF分別是a，b在α內(nèi)的射影，∴∠CAE，∠DBF

分別是a,b和α所成的角。

∵a∥b，CE∥DF，且∠ACE和∠BDF的方向相同，

∴∠ACE=∠BDF,

∴∠CAE=∠DBF，即斜線(xiàn)a,b與α所成的角相等.

綜上所述，兩條平行線(xiàn)和同一平面所成的角相等.

13.求證:兩條平行直線(xiàn)與同一個(gè)平面所成的角相等.證明:設(shè)兩平行線(xiàn)為a,b,平面為α.

①a,b都平14.如下頁(yè)圏，在棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,

AD=BD,你能判定CD⊥AB,以及AC=BC嗎?

解答

VA=VB,

AD=BD→VD⊥AB,

VO⊥平面ABC,

AB?平面ABC上

→VO⊥AB

→AB⊥平面VCD,

CD?平面VCD→AB⊥CD

即CD⊥AB

又AD=BD,CD=CD,∠BDC=∠ADC=90°

△ADC≌△BD→AC=BC14.如下頁(yè)圏，在棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O15.如圖.在正方形SG1G2G3中,

E.F分別是G1G2,G2G3

的中點(diǎn).D是EF的中點(diǎn)，若沿SE,SF及EF把這個(gè)正方形

折成一個(gè)四面體,使G1,G2,G3三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)

記為G.則在四面體S-EFC中，哪些棱與面互相垂直?

解答

∵在折疊過(guò)程中，

始終有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，

即SG⊥GE，SG⊥GF，

所以SG⊥平面EFG.15.如圖.在正方形SG1G2G3中,

E.F分別是16.求證:垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面的直線(xiàn)也垂直于另一

個(gè)平面.

已知:

α∥β，a⊥α，求證:

α⊥β.

證明:如圖，過(guò)直線(xiàn)a作兩平面γ，δ,

使

γ∩α=b，γ∩β=b'，δ∩α=c，δ∩β=c'，

∵α∥β，根據(jù)面面平行的性質(zhì),

∴b∥b'，c//c'

∵a⊥α,b?α,c?α，∴a⊥b,

a⊥c.

∴a⊥b',

a⊥c'.

又b'與c'都在β內(nèi)且相交，∴α⊥β.16.求證:垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面的直線(xiàn)也垂直于另17.求證:三個(gè)兩兩亞直的平面的交線(xiàn)也兩兩垂直.

解答

設(shè)三個(gè)互相垂直的平面分別為α、β、γ,且α∩β=a,

β∩γ=b,

γna=c,三個(gè)平面的公共點(diǎn)為O,如圖所示：

在平面γ內(nèi)，除點(diǎn)O外,任意取一點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN⊥c，MP⊥b，

M、P為垂足,則有平面和平面垂直的性質(zhì)可得MN⊥α

,MP⊥β,

∴a⊥MN，a⊥MP，∴a⊥平面γ.

再由b、c在平面γ內(nèi),可得a⊥b，a⊥c.

同理可證，c⊥b，c⊥a,從而證得a、b、c互相垂直.17.求證:三個(gè)兩兩亞直的平面的交線(xiàn)也兩兩垂直.

解答18.如圖.在三棱錐V-ABC中,VA=VB=VB=AC=BC=2,VC=1.作出二面角V-AB-C的平面角.并求出它的余弦值.

解:如答圖所示,取AB的中點(diǎn)M,連接VM,CM.

∵VA=VB，AC=BC

∴VM⊥AB,

CM⊥AB

∴∠VMC為二面角V-AB-C的平面角

18.如圖.在三棱錐V-ABC中,VA=VB=VB=AC19.如圖.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AA1

=AB.求證A1C⊥AB1.

證明:連接A1B.

∵ABC-A1B1C1為直三棱柱

∴BB1⊥平面ABC，BC?平面ABC

∴BB1⊥BC

又∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC

∵BC⊥BB1，BC⊥AB,

BB1?平面ABB1A1,

AB?平面ABB1A1,

BB1∩AB=B

∴BC⊥平面ABB1A1,

AB1?平面ABB1A1

∴BC⊥AB1

∵AA1=AB，在正方形ABB1A1中，對(duì)角線(xiàn)AB1⊥A1B

∵AB1⊥A1B，AB1⊥BC，A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC

A1B∩BC=B

∴AB⊥平面A1BC,

A1?平面A1BC，∴A1C⊥AB1.19.如圖.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=20.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)C的直

線(xiàn)VC垂直于⊙O所在平面，D，E分別是VA，VC的中點(diǎn).判斷

直線(xiàn)DE平面VC的位置關(guān)系.并說(shuō)明理由.

證明：∵AC⊥BC,VC⊥AC,

∴AC⊥面VBC,

∵D、E分別カVC、VA中點(diǎn)，

∴DE∥AC,

∴DE⊥面VBC.20.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)C21.如圖.在四棱錐P-ABC中.底面ABCD為正方形.

PA⊥底面ABCD.PA=AB,E為線(xiàn)段PB的中點(diǎn).F為線(xiàn)

段BC上的動(dòng)點(diǎn)，平面AEF與平面PBC是否互相垂直?

如果垂直，請(qǐng)證明:如果不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由.

平面AEF與平面PBC互相垂直

理由如下:

因?yàn)镻A⊥底面ABCD，BC?平面ABCD,所以PA⊥BC.

因?yàn)锳BCD為正方形，所以AB⊥BC

又PA∩AB=A，且PA,AB?平面PAB,

所以BC⊥平面PAB.

因?yàn)锳E?平面PAB，所以AE⊥BC.

因?yàn)镻A=AB，E為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，所以AE⊥PB,

又PB∩BC=B，且PB，BC?平面PBC，所以AE⊥平面PBC,

因?yàn)锳E?平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.21.如圖.在四棱錐P-ABC中.底面ABCD為正方形.1.求二面角大小的步驟

作作出平面角證證明所作的角滿(mǎn)足定義，即為所求二面角的

平面角求將作出的角放在三角形中，計(jì)算出平面角的

大小簡(jiǎn)稱(chēng)為“一作二證三求”.總結(jié)1.求二面角大小的步驟

作作出平面角證證明所作的角滿(mǎn)足定義，總結(jié)2.平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用思路

(1)本質(zhì):通過(guò)直線(xiàn)與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直，即線(xiàn)面垂

直→面面垂直.

(2)證題思路:處理面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為處理線(xiàn)面垂直問(wèn)題，進(jìn)一

步轉(zhuǎn)化為處理線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題來(lái)解決.總結(jié)2.平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用思路

(1)本質(zhì):精品課件高中數(shù)學(xué)必修2第八章立體幾何初步新人教版

空間直線(xiàn)、平面的垂直特級(jí)教師優(yōu)秀課件精選精品高中數(shù)學(xué)必修2第八章立體幾何初步新人教版空間直線(xiàn)、112教學(xué)目標(biāo)異面直線(xiàn)所成角、直線(xiàn)與平面所成角、二面角的定義；直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面垂直的判定定理，異面

直線(xiàn)所成角、直線(xiàn)和平面所成的角、二面角及其求法；異面直線(xiàn)垂直、直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理

的綜合應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)異面直線(xiàn)所成角、直線(xiàn)與平面所成角、二面角的定義；直線(xiàn)教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角、二面角的求解；異面直線(xiàn)垂直、直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的判定．找異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角、二面角；異面直線(xiàn)垂直、直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的判定定

理的應(yīng)用．教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)異面直線(xiàn)所成的角、直線(xiàn)與平面所成的角、二面角引入空間中兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系

1.空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有三種:__________、_________、_________.異面直線(xiàn)平行直線(xiàn)相交直線(xiàn)引入空間中兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系

1.空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有2.分類(lèi)(1)從有無(wú)公共點(diǎn)的角度來(lái)看，可分為兩類(lèi)平行直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)(2)從是否共面的角度來(lái)看，可分為兩類(lèi)相交直線(xiàn)共面直線(xiàn)直線(xiàn)平行直線(xiàn)不共面直線(xiàn):異面直線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn):相交直線(xiàn)直線(xiàn)異面直線(xiàn)2.分類(lèi)(1)從有無(wú)公共點(diǎn)的角度來(lái)看，可分為兩類(lèi)平行直線(xiàn)無(wú)公直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直異面直線(xiàn)a與b所成的角1.如圖，己知兩條異面直線(xiàn)a,b經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線(xiàn)a'∥a,

b'∥b,我們把直線(xiàn)a'與b'所成的角叫做_________________________

(或夾角).直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直異面直線(xiàn)a與b所成的角1.如圖，己知兩條異面直0°≤a≤90°2.范圍:______________.3.當(dāng)θ=____時(shí)，a與b互相垂直，記作______.

異面直線(xiàn)所成角的范圍是0°<θ≤90°，所以垂直有兩種情況：

異面垂直和相交垂直.4.當(dāng)兩條直線(xiàn)a,b相互平行時(shí)，我們規(guī)定它們所成的角為_(kāi)_______.

所以空間兩條直線(xiàn)所成角α的取值范圍是________________.

0°<θ≤90°a⊥b90°0°0°≤a≤90°2.范圍:______________.3.[教材解難]

求異面直線(xiàn)所成的角的步驟

(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法，遇題設(shè)中有中點(diǎn)，

?？紤]中位線(xiàn)；若異面直線(xiàn)依附于某幾何體，且對(duì)異面直線(xiàn)平移

有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，使異面直線(xiàn)轉(zhuǎn)化為相交

直線(xiàn).

(2)求——轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過(guò)解三角形，求出所找的

角.

(3)結(jié)論——設(shè)由(2)所求得的角的大小為θ.若0°<θ≤90°，則θ為

所求；若90°<θ≤180°，則180°-θ為所求.[教材解難]

求異面直線(xiàn)所成的角的步驟

(1)找出(或作例1如圖8.6-3,已知正方體ABCD-A'B'C'D'.

(1)哪些棱所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)AA'垂直？

(2)求直線(xiàn)BA'與CC'所成的角的大小.

(3)求直線(xiàn)BA'與AC所成的角的大小.解:(1)棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'所在直線(xiàn)分別與直線(xiàn)AA'垂直.

(2)因?yàn)锳BCD-A'B'C'D'是正方體，所以BB'∥CC,因此∠A'BB'為直線(xiàn)BA'與

CC'所成的角.又因?yàn)椤螦'BB'=45°,所以直線(xiàn)BA'與CC所成的角等于45°.

(3)如圖8.6-4,連接A'C',因?yàn)锳BCD-A'B'C'D'是正方體，所以AA'⊥CC'.從

而四邊形AA'C'C是平行四邊形，所以AC//A'C.于是∠BA'C'為異面直線(xiàn)

BA'與AC所成的角，

連接BC',易知△A'BC'是等邊三角形，所以∠BA'C'=60°.從而異面直線(xiàn)BA'

與AC所成的角等于60°.例1如圖8.6-3,已知正方體ABCD-A'B'C'D'.例

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是A1B1,

B1C1的中點(diǎn)，

求異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角的大小.

拓展練習(xí)例

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是[解]

方法一

如圖所示，連接A1C1,B1D1,并設(shè)它們相交于點(diǎn)O，

取DD1的中點(diǎn)G,連接OG,A1G,C1G,

則OG//B1D，EF//A1C1,

∴∠GOA1為異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角(或其補(bǔ)角)

∵GA1=GC1,O為A1C1的中點(diǎn)，∴GO⊥A1C1.

∴異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角為90°.[解]

方法一

如圖所示，連接A1C1,B1D1,方法二

如圖所示，連接A1D,取A1D的中點(diǎn)H,

連接HE，則HE∥∴∠HEF為異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角(或其補(bǔ)角).

方法二

如圖所示，連接A1D,取A1D的中點(diǎn)H,

連接方法三:如圖，連接A1C1,分別取AA1,CC1的中點(diǎn)M,N,連接MN.

∵E,F分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn)，∴EF//A1C1,又MN//A1C1,

∴MN//EF.

連接DM,

B1N,

MB1,

DN,則B1N//DM,

∴四邊形DMB1N為平行四邊形，∴MN與DB1必相交，

設(shè)交點(diǎn)為P，則∠DPM為異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角(或其補(bǔ)角).方法三:如圖，連接A1C1,分別取AA1,CC1的中點(diǎn)M方法四:如圖，在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)與其大小相等的正方體，

連接B1Q，易得B1Q//EF,

∴∠DB1Q就是異面直線(xiàn)DB1與EF所成的角(或其補(bǔ)角).

方法四:如圖，在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)與其大小相等的正方體

方法歸納

求異面直線(xiàn)所成角的步驟

一作:選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，用平移法作出異面直線(xiàn)所成的角;

二證:證明作出的角就是要求的角；

三計(jì)算:將異面直線(xiàn)所成的角放入某個(gè)三角形中，利用特殊三角形

求解.

例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為底面A1B1C1D1的中心，

求證AO1⊥BD.例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為底面A[證明]如圖，連接B1D1

∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴BB1∥DD1.∴四邊形BB1D1D是平行四邊形,∴B1D1//BD.

∴直線(xiàn)AO1與B1D1所成的角即為直線(xiàn)AO1與BD所成

的角.連接AB1,

AD1,易證AB1=AD1.

又O1為底面A1B1C1D1的中心，

∴O1為B1D1的中點(diǎn)

∴AO1⊥B1D1,

∴AO1⊥BD.[證明]如圖，連接B1D1

∵ABCD-A1B1C1D1是方法歸納

證明直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的方法

①等腰三角形中線(xiàn)即是高線(xiàn).

②勾股定理.

③異面直線(xiàn)所成的角為直角.方法歸納

證明直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的方法

①等腰三角形中線(xiàn)即是高空間直線(xiàn)、平面的垂直_課件證明:如圖，取AC的中點(diǎn)F,

連接DF,EF,證明:如圖，取AC的中點(diǎn)F,

連接DF,EF,在△PAC中，∵D是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，

∴DF//PA,同理可得EF//BC,

∴∠DFE為異面直線(xiàn)PA與BC所成的角(或其補(bǔ)角).

在△DEF中，DE=3,

在△PAC中，∵D是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，

∴DF//1.判所下列命題是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)"√".錯(cuò)誤的畫(huà)“×".

(1)如果兩條平行直線(xiàn)中的一條與已知直線(xiàn)垂直，那么另一條也

與已知直線(xiàn)垂直.

(

)

(2)垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行

(

)

1.判所下列命題是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)"√".錯(cuò)誤的畫(huà)2.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'的各條棱所在直線(xiàn)中.

(1)與直線(xiàn)AB垂直的直線(xiàn)有____條;

(2)與直線(xiàn)AB異面且垂直的直線(xiàn)有____條;

(3)與直線(xiàn)AB和A'D'都垂直的直線(xiàn)有____條;

(4)與直線(xiàn)AB和A'D'都垂直且相交的直線(xiàn)是______.84412.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'的各條棱所在直

(1)直線(xiàn)BC和AC'所成的角的大小:

(2)直線(xiàn)AA'和BC"所成的角的大小.

(1)因?yàn)锽C∥BC，所以∠B'C'A'是異面直線(xiàn)A'C'與BC所成的角

(1)直線(xiàn)BC和AC'所成的角的大小:

(2)直線(xiàn)AA'4.如圖.在正三棱柱ABC-A'B'C'中.D為棱AC的中點(diǎn).AB=BB'=2.

求證BD⊥AC'.4.如圖.在正三棱柱ABC-A'B'C'中.D為棱AC的引入引入定義畫(huà)法直線(xiàn)與平面垂直如果直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的__________直線(xiàn)都______，就說(shuō)

直線(xiàn)l與平面α互相垂直，記作.直線(xiàn)_____.

直線(xiàn)l叫作平

面α的_____，平面α叫作直線(xiàn)l的_____，直線(xiàn)與平面垂

直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫作______.任意一條垂直l⊥a垂線(xiàn)垂面垂足通常把直線(xiàn)畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直,

如圖定義畫(huà)法直線(xiàn)與平面垂直如果直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的________PO為垂線(xiàn)段，其長(zhǎng)度為點(diǎn)P到面α的距離垂線(xiàn)段過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線(xiàn)有且只有一條PO為垂線(xiàn)段，其長(zhǎng)度為點(diǎn)P到面α的距離垂線(xiàn)段過(guò)一點(diǎn)垂直于已知空間直線(xiàn)、平面的垂直_課件文字語(yǔ)言:如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的_____________________，

則該直線(xiàn)與此平面垂直.

直線(xiàn)與平面垂直的判定定理兩條相交直線(xiàn)垂直圖形語(yǔ)言:如圖所示.文字語(yǔ)言:如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的___________1.直線(xiàn)與平面垂直是直線(xiàn)與平面相交的特殊情形.

2.注意定義中“任意一條直線(xiàn)”與“所有直線(xiàn)”等同但不可說(shuō)成“無(wú)數(shù)

條直線(xiàn)”.3.判定定理?xiàng)l件中的“兩條相交直線(xiàn)”是關(guān)鍵性詞語(yǔ)，此處強(qiáng)調(diào)“相

交”，若兩條直線(xiàn)平行，則直線(xiàn)與平面不一定垂直.1.直線(xiàn)與平面垂直是直線(xiàn)與平面相交的特殊情形.

2.注意證明:如圖8.6-13,在平面α內(nèi)取兩條相交直線(xiàn)m,n,

∴直線(xiàn)a⊥α,

∴a⊥m,

a⊥n.

∵b//a,

∴b⊥m,b⊥n.

又m?α,n?α,m,n是兩條相交直線(xiàn),

∴b⊥α.例3求證:如果兩條平行直線(xiàn)中的一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，那

么另一條直線(xiàn)也垂直于這個(gè)平面.

已知:如圖8.6-12，a//b,a⊥α,求證b⊥α.證明:如圖8.6-13,在平面α內(nèi)取兩條相交直線(xiàn)m,n,例

如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC,AC=BC,N是AB的中點(diǎn).求證:CN⊥平面ABB1A1.例

如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AA1⊥底面ABCCN?底面ABCAA1⊥CNAC=BCN是AB的中點(diǎn)AB⊥CN,又AA1?平面ABB1A1,

AB?平面ABB1A1,

AA1∩AB=A，所以

CN⊥平面ABB1A1.證明AA1⊥底面ABCCN?底面ABCAA1⊥CNAC=BCN是方法歸納