第13章三角形中的邊角關(guān)系命題與證明(總復(fù)習(xí))課件

第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明

（總復(fù)習(xí)）制作人：金勇第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明

（總復(fù)習(xí)）制作人1．三角形的概念①三角形有三條邊，三個(gè)內(nèi)角，三個(gè)頂點(diǎn).②組成三角形的線段叫做三角形的邊;③相鄰兩邊所組成的角叫做三角形內(nèi)角，簡稱角;④相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)，④三角形ABC用符號(hào)表示為△ABC，⑤三角形ABC的邊AB可用邊AB所對的角C的小寫字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.

不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形．1．三角形的概念①三角形有三條邊，三個(gè)內(nèi)角，三個(gè)頂點(diǎn).1．三角形的概念

不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形．注意：1:三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；2:三角形是一個(gè)封閉的圖形；3:△ABC是三角形ABC的符號(hào)標(biāo)記，單獨(dú)的△沒有意義1．三角形的概念不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組2．三角形的三邊關(guān)系注意：1：三邊關(guān)系的依據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段是短2:判斷三條線段能否構(gòu)成三角形的方法：只要滿足較小的兩條線段之和大于第三條線段，便可構(gòu)成三角形;若不滿足，則不能構(gòu)成三角形.3:三角形第三邊的取值范圍是:

兩邊之差<第三邊<兩邊之和

三角形的任意兩邊之和大于第三邊;三角形的任意兩邊之差小于第三邊.2．三角形的三邊關(guān)系注意：三角形的任意兩邊之和大于第三3．三角形的高、中線、角平分線、注意：①三角形的高是線段；②銳角三角形三條高全在三角形的內(nèi)部；直角三角形有兩條高是直角邊，另一條在內(nèi)部；鈍角三角形有兩條高在三角形外，另一條在內(nèi)部。③三角形三條高所在直線交于一點(diǎn)．(1)三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．表示法：①AD是△ABC的BC上的高線.②AD⊥BC于D.③∠ADB=∠ADC=90°.3．三角形的高、中線、角平分線、注意：(1)三角形的高：注意：①三角形的中線是線段；②三角形三條中線全在三角形的內(nèi)部；③三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；④中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形．(2)三角形中線：連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段．表示法：①AD是△ABC的BC上的中線.②BD=DC=?BC.3．三角形的高、中線、角平分線、注意：(2)三角形中線：連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段．表注意：①三角形的角平分線是線段；②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部；③三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；④用量角器畫三角形的角平分線．(3)三角形的角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段。表示法：①AD是△ABC的∠BAC的平分線.②∠1=∠2=?∠BAC.123．三角形的高、中線、角平分線、注意：(3)三角形的角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的4．三角形的分類：1：按邊分類2：按角分類4．三角形的分類：1：按邊分類2：按角分類5．對“定義”的理解：能明確界定某個(gè)對象含義的語句叫做定義。注意：明確界定某個(gè)對象有兩種形式：①揭示對象的特征性質(zhì)；例如：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高．②明確對象的范圍。例如：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)5．對“定義”的理解：能明確界定某個(gè)對象含義的語句叫做定義6．有關(guān)“命題”的概念注意：①命題有真命題和假命題兩種，

對某一事件作出正確或不正確判斷的語句叫做命題。②命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成的.前一部分，也稱之為條件，后一部分稱之為結(jié)論。③命題通常是用“如果······,那么······.”的形式給出.④“如果p,那么q.”中的題設(shè)與結(jié)論互換，得一個(gè)新命題：“如果q,那么p.”這兩個(gè)命題稱為互逆命題.其中一個(gè)命題叫原命題，另一個(gè)命題叫做逆命題.⑤當(dāng)一個(gè)命題是真命題時(shí)它的逆命題不一定是真命題.⑥符合命題的題設(shè)，但不滿足命題的結(jié)論的例子，稱之為反例.要說明一個(gè)命題是假命題，只要舉一個(gè)反例即可.6．有關(guān)“命題”的概念注意：對某一事件作出正確或不正7．有關(guān)“公理、定理、證明、推論、演繹推理、輔助線”等概念（2）定理：從公理或其他真命題出發(fā)，用推理方法證明為正確的，并被選作判斷命題真假的依據(jù)的真命題（1）公理：從長期實(shí)踐中總結(jié)出來的，不需要再作證明的真命題。（4）演繹推理：從已知條件出發(fā)，依據(jù)定義、公理、定理，并按照邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出結(jié)論的方法。（5）證明：演繹推理的過程就是演繹證明，簡稱“證明”。（3）推論：由公理、定理直接得出的真命題。（6）輔助線：為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線段或直線。7．有關(guān)“公理、定理、證明、推論、演繹推理、輔助線”等概念（8．三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．(2)從剪拼可以看出：∠A+∠B+∠C=180o

（1）從折疊可以看出：∠A+∠B+∠C=180o

(3)由推理證明可知：∠A+∠B+∠C=180o

8．三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．(2)證明三角形內(nèi)角和定理的方法添加輔助線思路：1、構(gòu)造平角

21EDCBA圖1ABC圖2DE12EDFABC圖312證明三角形內(nèi)角和定理的方法添加輔助線思路：1、構(gòu)造平角21添加輔助線思路:2、構(gòu)造同旁內(nèi)角EABC圖1（EDF（（1234（ABC圖2添加輔助線思路:2、構(gòu)造同旁內(nèi)角EABC圖1（EDF（（129．三角形的外角

三角形的外角的定義:三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系：2:三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；1:三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)；3:三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。4:三角形的外角和為360°。9．三角形的外角三角形的外角的定義:三角形一邊與另一邊的考點(diǎn)一：數(shù)三角形的個(gè)數(shù)例1圖中三角形的個(gè)數(shù)是（）

A．8B．9C．10D．11B考點(diǎn)一：數(shù)三角形的個(gè)數(shù)B

考點(diǎn)二：三角形三邊關(guān)系例2：已知四組線段的長分別如下，以各組線段為邊，能組成三角形的是()A．1，2，3B．2，5，8C．3，4，5D．4，5，10例3：下列各組條件中，不能組成三角形的是()A.a+1、a+2、a+3(a>3)B.3cm、8cm、10cmC.三條線段之比為1:2:3D.3a、5a、2a+1(a>1)CC考點(diǎn)二：三角形三邊關(guān)系例2：已知四組線段的長分別如下

考點(diǎn)二：三角形三邊關(guān)系例3．△ABC的三邊長分別為4、9、x,⑴求x的取值范圍；⑵求△ABC周長的取值范圍；⑶當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，求x；⑷當(dāng)△ABC的周長為偶數(shù)時(shí)，求x；⑸若△ABC為等腰三角形，求x．考點(diǎn)二：三角形三邊關(guān)系例3．△ABC的三邊長分別為4、

考點(diǎn)三：三角形的三線例4：下列說法錯(cuò)誤的是（）A:三角形的三條中線都在三角形內(nèi)。B:直角三角形的高線只有一條。C:三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)。D:鈍角三角形內(nèi)只有一條高線。例5：在三條邊都不相等的三角形中，同一條邊上的中線，高和這邊所對角的角平分線，最短的是（）A:中線。B:高線。C:角平分線。D:不能確定。BB考點(diǎn)三：三角形的三線例4：下列說法錯(cuò)誤的是（）

考點(diǎn)四：三角形內(nèi)角和定理：解：設(shè)∠B=xo

，則∠A=3xo，∠C=4xo

，從而:x+3x+4x=180o，解得x=22.5o．即：∠B=22.5o，∠A=67.5o，∠C=90o．例3△ABC中，∠B=∠A=∠C，求

△ABC的三個(gè)內(nèi)角度數(shù).考點(diǎn)四：三角形內(nèi)角和定理：解：設(shè)∠B=xo，則∠例4如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，則∠BOC等于（）A.95°B.120°C.135°D.650

分析與解：∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（180°-（∠1+∠2+∠A）=∠1+∠2+∠A=135°．

考點(diǎn)四：三角形內(nèi)角和定理：例4如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠A=80°，∠1=151.在△ABC中，三邊長a,b,c都是整數(shù)，且滿足a>b>c,a=8,那么滿足條件的三角形共有多少個(gè)？變式：1.已知小明家距離學(xué)校10千米,而小蓉家距離小明家3千米.如果小蓉家到學(xué)校的距離是d千米,則d滿足？1.在△ABC中，三邊長a,b,c都是整數(shù)，且滿足a>b>c2.如圖，在△ABC中，∠BAC=4∠ABC=4∠C，BD⊥AC于點(diǎn)D，求∠ABD的度數(shù)。答案∠ABD=30°變式2.用三條繩子打結(jié)成三角形(不考慮結(jié)頭長)，已知其中兩條長分別是3米和7米，問這個(gè)等腰三角形的周長是多少？2.如圖，在△ABC中，∠BAC=4∠ABC=4∠C，BD⊥3.如圖，草原上有四口油井，位于四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，現(xiàn)在要建立一個(gè)維修站H，試問H建在何處，才能使它到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最小，說明理由.4.如圖，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于點(diǎn)E，若∠1=64°，則∠2=

.

3.如圖，草原上有四口油井，位于四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，5.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．6B．7C．8D．96.已知：如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點(diǎn)P．求證：∠P=90°．5.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B8.如圖1，求證：∠BOC=∠A+∠B+∠C．如圖2，∠ABC=100°，∠DEF=130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度數(shù)．7.求證：三角形內(nèi)角之和等于180°．8.如圖1，求證：∠BOC=∠A+∠B+∠C．如圖2，∠AB10.已知如圖所示,在△ABC中,DE//BC,F是AB上的一點(diǎn),FE的延長線交BC的延長線于點(diǎn)G,求證∠EGH>∠ADE.9.如圖，已知，直線AB∥CD，證明：∠A+∠C=∠AEC.10.已知如圖所示,在△ABC中,DE//BC,F是AB上的第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明

（總復(fù)習(xí)）制作人：金勇第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明

（總復(fù)習(xí)）制作人1．三角形的概念①三角形有三條邊，三個(gè)內(nèi)角，三個(gè)頂點(diǎn).②組成三角形的線段叫做三角形的邊;③相鄰兩邊所組成的角叫做三角形內(nèi)角，簡稱角;④相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)，④三角形ABC用符號(hào)表示為△ABC，⑤三角形ABC的邊AB可用邊AB所對的角C的小寫字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.

不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形．1．三角形的概念①三角形有三條邊，三個(gè)內(nèi)角，三個(gè)頂點(diǎn).1．三角形的概念

不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形．注意：1:三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；2:三角形是一個(gè)封閉的圖形；3:△ABC是三角形ABC的符號(hào)標(biāo)記，單獨(dú)的△沒有意義1．三角形的概念不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組2．三角形的三邊關(guān)系注意：1：三邊關(guān)系的依據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段是短2:判斷三條線段能否構(gòu)成三角形的方法：只要滿足較小的兩條線段之和大于第三條線段，便可構(gòu)成三角形;若不滿足，則不能構(gòu)成三角形.3:三角形第三邊的取值范圍是:

兩邊之差<第三邊<兩邊之和

三角形的任意兩邊之和大于第三邊;三角形的任意兩邊之差小于第三邊.2．三角形的三邊關(guān)系注意：三角形的任意兩邊之和大于第三3．三角形的高、中線、角平分線、注意：①三角形的高是線段；②銳角三角形三條高全在三角形的內(nèi)部；直角三角形有兩條高是直角邊，另一條在內(nèi)部；鈍角三角形有兩條高在三角形外，另一條在內(nèi)部。③三角形三條高所在直線交于一點(diǎn)．(1)三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．表示法：①AD是△ABC的BC上的高線.②AD⊥BC于D.③∠ADB=∠ADC=90°.3．三角形的高、中線、角平分線、注意：(1)三角形的高：注意：①三角形的中線是線段；②三角形三條中線全在三角形的內(nèi)部；③三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；④中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形．(2)三角形中線：連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段．表示法：①AD是△ABC的BC上的中線.②BD=DC=?BC.3．三角形的高、中線、角平分線、注意：(2)三角形中線：連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段．表注意：①三角形的角平分線是線段；②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部；③三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；④用量角器畫三角形的角平分線．(3)三角形的角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段。表示法：①AD是△ABC的∠BAC的平分線.②∠1=∠2=?∠BAC.123．三角形的高、中線、角平分線、注意：(3)三角形的角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的4．三角形的分類：1：按邊分類2：按角分類4．三角形的分類：1：按邊分類2：按角分類5．對“定義”的理解：能明確界定某個(gè)對象含義的語句叫做定義。注意：明確界定某個(gè)對象有兩種形式：①揭示對象的特征性質(zhì)；例如：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高．②明確對象的范圍。例如：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)5．對“定義”的理解：能明確界定某個(gè)對象含義的語句叫做定義6．有關(guān)“命題”的概念注意：①命題有真命題和假命題兩種，

對某一事件作出正確或不正確判斷的語句叫做命題。②命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成的.前一部分，也稱之為條件，后一部分稱之為結(jié)論。③命題通常是用“如果······,那么······.”的形式給出.④“如果p,那么q.”中的題設(shè)與結(jié)論互換，得一個(gè)新命題：“如果q,那么p.”這兩個(gè)命題稱為互逆命題.其中一個(gè)命題叫原命題，另一個(gè)命題叫做逆命題.⑤當(dāng)一個(gè)命題是真命題時(shí)它的逆命題不一定是真命題.⑥符合命題的題設(shè)，但不滿足命題的結(jié)論的例子，稱之為反例.要說明一個(gè)命題是假命題，只要舉一個(gè)反例即可.6．有關(guān)“命題”的概念注意：對某一事件作出正確或不正7．有關(guān)“公理、定理、證明、推論、演繹推理、輔助線”等概念（2）定理：從公理或其他真命題出發(fā)，用推理方法證明為正確的，并被選作判斷命題真假的依據(jù)的真命題（1）公理：從長期實(shí)踐中總結(jié)出來的，不需要再作證明的真命題。（4）演繹推理：從已知條件出發(fā)，依據(jù)定義、公理、定理，并按照邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出結(jié)論的方法。（5）證明：演繹推理的過程就是演繹證明，簡稱“證明”。（3）推論：由公理、定理直接得出的真命題。（6）輔助線：為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線段或直線。7．有關(guān)“公理、定理、證明、推論、演繹推理、輔助線”等概念（8．三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．(2)從剪拼可以看出：∠A+∠B+∠C=180o

（1）從折疊可以看出：∠A+∠B+∠C=180o

(3)由推理證明可知：∠A+∠B+∠C=180o

8．三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．(2)證明三角形內(nèi)角和定理的方法添加輔助線思路：1、構(gòu)造平角

21EDCBA圖1ABC圖2DE12EDFABC圖312證明三角形內(nèi)角和定理的方法添加輔助線思路：1、構(gòu)造平角21添加輔助線思路:2、構(gòu)造同旁內(nèi)角EABC圖1（EDF（（1234（ABC圖2添加輔助線思路:2、構(gòu)造同旁內(nèi)角EABC圖1（EDF（（129．三角形的外角

三角形的外角的定義:三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系：2:三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；1:三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)；3:三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。4:三角形的外角和為360°。9．三角形的外角三角形的外角的定義:三角形一邊與另一邊的考點(diǎn)一：數(shù)三角形的個(gè)數(shù)例1圖中三角形的個(gè)數(shù)是（）

A．8B．9C．10D．11B考點(diǎn)一：數(shù)三角形的個(gè)數(shù)B

考點(diǎn)二：三角形三邊關(guān)系例2：已知四組線段的長分別如下，以各組線段為邊，能組成三角形的是()A．1，2，3B．2，5，8C．3，4，5D．4，5，10例3：下列各組條件中，不能組成三角形的是()A.a+1、a+2、a+3(a>3)B.3cm、8cm、10cmC.三條線段之比為1:2:3D.3a、5a、2a+1(a>1)CC考點(diǎn)二：三角形三邊關(guān)系例2：已知四組線段的長分別如下

考點(diǎn)二：三角形三邊關(guān)系例3．△ABC的三邊長分別為4、9、x,⑴求x的取值范圍；⑵求△ABC周長的取值范圍；⑶當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，求x；⑷當(dāng)△ABC的周長為偶數(shù)時(shí)，求x；⑸若△ABC為等腰三角形，求x．考點(diǎn)二：三角形三邊關(guān)系例3．△ABC的三邊長分別為4、

考點(diǎn)三：三角形的三線例4：下列說法錯(cuò)誤的是（）A:三角形的三條中線都在三角形內(nèi)。B:直角三角形的高線只有一條。C:三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)。D:鈍角三角形內(nèi)只有一條高線。例5：在三條邊都不相等的三角形中，同一條邊上的中線，高和這邊所對角的角平分線，最短的是（）A:中線。B:高線。C:角平分線。D:不能確定。BB考點(diǎn)三：三角形的三線例4：下列說法錯(cuò)誤的是（）

考點(diǎn)四：三角形內(nèi)角和定理：解：設(shè)∠B=xo

，則∠A=3xo，∠C=4xo

，從而:x+3x+4x=180o，解得x=22.5o．即：∠B=22.5o，∠A=67.5o，∠C=90o．例3△ABC中，∠B=∠A=∠C，求

△ABC的三個(gè)內(nèi)角度數(shù).考點(diǎn)四：三角形內(nèi)角和定理：解：設(shè)∠B=xo，則∠例4如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，則∠BOC等于（）A.95°B.120°C.135°D.650

分析與解：∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（180°-（∠1+∠2+∠A）=∠1+∠2+∠A=135°．

考點(diǎn)四：三角形內(nèi)角和定理：例4如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠A=80°，∠1=151.在△ABC中，三邊長a,b,c都是整數(shù)，且滿足a>b>c,a=8,那么滿足條