物理課件1-10第十章轉(zhuǎn)動(dòng)

開(kāi)篇問(wèn)題----請(qǐng)猜一猜一個(gè)硬球和一個(gè)圓柱滾下斜坡。它們倆同時(shí)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，哪一個(gè)先到底部？它們同時(shí)到底部。它們幾乎同時(shí)到達(dá)底部，除非摩擦力不同。球先到達(dá)底部。圓柱先到達(dá)底部。不確定，除非知道它們的質(zhì)量和半徑。上頁(yè)下頁(yè)返回退出剛體運(yùn)動(dòng)研究的基礎(chǔ)：剛體是由無(wú)數(shù)個(gè)連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)稱為剛體的一個(gè)質(zhì)量元dm。每個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)都服從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律。剛體的運(yùn)動(dòng)是這些質(zhì)量元運(yùn)動(dòng)的總和。剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng).上頁(yè)下頁(yè)返回退出剛體平動(dòng)

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)思考：火車拐彎時(shí)所作的運(yùn)動(dòng)是不是平動(dòng)？平動(dòng)：若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說(shuō)剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線.上頁(yè)下頁(yè)返回退出剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果剛體中的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)中都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)就叫做轉(zhuǎn)動(dòng)，這一直線就叫做轉(zhuǎn)軸。1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸相對(duì)參考系

。，轉(zhuǎn)軸2定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸上只有一點(diǎn)相對(duì)參考系方向不斷變化。上頁(yè)下頁(yè)返回退出一般運(yùn)動(dòng)：可看成平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。上頁(yè)下頁(yè)返回退出如車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng).到轉(zhuǎn)軸的垂線上頁(yè)下頁(yè)返回退出10-1

角的度量上頁(yè)下頁(yè)返回退出OXRv2ΔsAB

v1tAt

Δ

t

BΔ角位移沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，角位移取正值沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，角位移取負(fù)值角位置角速度角加速度dlimt

0t

dt單位：rad/sd上頁(yè)下頁(yè)返回退出d2limt

0t

dt

dt2單位：rad/s2是恒量0t0012t2t00tdtd00tdt02–

202

()勻速圓周運(yùn)動(dòng)d

dt勻角加速圓周運(yùn)動(dòng)ddtdt一般圓周運(yùn)動(dòng)d00是恒量tdtd0t：上頁(yè)下頁(yè)返回退出一質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)：v=dl

ddt

dtR

R將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到切向加速度與角加速度之間的關(guān)系：ta

dv

R

ddt

dtR切向加速度與角加速度的關(guān)系：勻角加速度圓周運(yùn)動(dòng)量at上頁(yè)下頁(yè)返回退出為常量勻變速(率)圓周運(yùn)動(dòng)at

R為常在任何時(shí)刻一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的總加速度是兩個(gè)分量的矢量和a

=

at

+

a

R(R)2RaRv2R2

R2上頁(yè)下頁(yè)返回退出tv

2

Rv

Ra

Rdv

dtna

Rat

R圓周運(yùn)動(dòng)的重要公式：d

d

t

d

d

td

dt4td

dt4rad

/s22

R16t2R上頁(yè)下頁(yè)返回退出1222t222

rad/s1vv2v1

v2r2

2r1

115

rad/s21t1r2

2r1

111

012dtt2

|44020rev上頁(yè)下頁(yè)返回退出例10-3角速度、線速度與加速度一個(gè)旋轉(zhuǎn)木馬開(kāi)始時(shí)。在t

=0時(shí)它獲得了一個(gè)恒定的角加速度α

=

0.060rad/s2,它的角速度經(jīng)歷了8.0s的增長(zhǎng)。在t

=8.0s時(shí)，請(qǐng)確定下列量的大小：（a）旋轉(zhuǎn)木馬的角速度；（b）離開(kāi)中心2.5m處，圖1-8b點(diǎn)P，小孩（圖10-8a）的線速度；（c）小孩的切向（線）加速度；（d）小孩的向心加速度；以及（e）小孩的總線加速度。解題思路角加速度α是恒定的，所以可以用α

=Δω/Δt去解時(shí)間t

=8.0s后的ω。用這個(gè)ω和給定的α

，用已經(jīng)導(dǎo)出的關(guān)系式，公式10-4，10-5和10-6，來(lái)確定其它量。上頁(yè)下頁(yè)返回退出0

(0.060

rad/2s)(8.0

s) 0.48

rad/

s2t1在時(shí)間間隔8.0s內(nèi)，旋轉(zhuǎn)木馬的角速度從ω1=0（

）增加到ω2=

0.48rad/s。（b）在R

=2.5m處t

=8.0s時(shí)刻，小孩的線速度v

R

(2.5

m)(0.48

rad/

s) 1.2

m/

s（c）小孩的切向加速度由公式10-5給出；at

R

(2.5

m)(0.060

rad/

s)

0.15

m/

s解：(a)由2讓(

1)

/

t

，0

。解ω2，

得t8.0s

，0.060rad/以s2及到1上頁(yè)下頁(yè)返回退出0.58m

/

s

21(

0.15m

/

s

2

)1(

attan

)tanaR0.25

rad所以θ≈15°。0.58m

/

s2(1.2

m/

s)2(2.5

m)v2RaR(d）在t

=8.0s時(shí)小孩的向心加速度由公式10-6給出：（e）在（c）和（d）中計(jì)算的兩個(gè)加速度分量是相互垂直的。這樣在t

=8.0s時(shí)總線加速度大小為aa

2

a

2t

R(0.15

m/

s2

)2

(0.58

m/s2

)2

0.60m

/

s2它的方向是上頁(yè)下頁(yè)返回退出上頁(yè)下頁(yè)返回退出例10-4

計(jì)算機(jī)硬盤轉(zhuǎn)度是7200rpm（rpm

=

每分鐘周轉(zhuǎn)數(shù)

=

rev/min）。（a）盤片角速度是多少？（b）如果該驅(qū)動(dòng)器的讀寫頭離開(kāi)轉(zhuǎn)動(dòng)軸3.00cm，在它之下的盤片上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線速度是

多少?（c）如果沿著運(yùn)動(dòng)方向一個(gè)數(shù)據(jù)位（bit）需要0.50μm長(zhǎng)，那么離開(kāi)轉(zhuǎn)軸3.0cm處的寫入

頭每秒能寫多少數(shù)據(jù)位？解題思路用給定的頻率去找盤片的角速度ω，以及盤片上某點(diǎn)的線速度（v=Rω）。位率用一位的長(zhǎng)度去除線速度得到（v

=距離/時(shí)間）。解（a）首先找出用rev/s表示的頻率，已有f

(7200rev

/

min)

(60s

/

min)120rev

/

minf

7200rev

/

min120Hz角速度為2

f754

rad

/

s上頁(yè)下頁(yè)返回退出（b）離轉(zhuǎn)軸3.00cm處某點(diǎn)線速度由公式10-4給出：v

R

(3.00

10

2

m)(754

rad/

s) 22.6

m/

s（c）每一數(shù)據(jù)位需要0.50×10-6m，所以在22.6m/s下每秒通過(guò)磁頭的數(shù)據(jù)位數(shù)目是45

106

bits/s上頁(yè)下頁(yè)返回退出22.6m

/

s0.50

10

6

m

/

bit或45megabits/s(Mbps)。10-2角速度的矢量性質(zhì)（a）轉(zhuǎn)動(dòng)的

。（b）用以獲得

方向的右手法則如果旋轉(zhuǎn)軸固定在一個(gè)方向上，那么ω只能在大小上變化。這樣，α必須也指向轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方向。如果像圖a所示旋轉(zhuǎn)是逆時(shí)針的并且大小是增加的，那么α指向上方；如果ω是減少的（

是減慢的），那么α指向下方。上頁(yè)下頁(yè)返回退出10-3恒定角加速度例10-6

離心加速度

離心轉(zhuǎn)子在30s內(nèi)從

加速到20000rpm。（a）它的平均角加速度是多少?(b)在它的加速周期內(nèi)離心轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)了多少圈，假設(shè)角加速度恒定。/解題思路

為了確定

t

，

需要初和末角速度。對(duì)于（b）用公式10-9（一個(gè)圓周對(duì)應(yīng)著θ

=2πrad）。上頁(yè)下頁(yè)返回退出解（a）初角速度是ω

=0。末角速度是2

f

(2rad/

rev)

(20,000rev

/

min)2100rad/

s和

，(60s/

min)t

30s有因t/02100rad

/

s

070rad

/s2t

30s即，每秒轉(zhuǎn)子的角速度增加70rad/s（b）為求θ可以運(yùn)用公式10-9b或10-9c，或用兩者相互核對(duì)答案。前者給出20

1

(70

rad/

s2)(30

s)23.15 104

ard2

rad

/

rev43.15

10

rad5.0

103

rev上頁(yè)下頁(yè)返回退出10-4力矩上頁(yè)下頁(yè)返回退出對(duì)不同的部位，R1

和R2

，施以同3R2向的力。如果

R1

，那么達(dá)到了相同的效應(yīng)（角加速度），

F2

需。213要是3倍的F1

，或

F1F一扇門的俯視圖。產(chǎn)生相同的αF1

R1

F2

R2上頁(yè)下頁(yè)返回退出上頁(yè)下頁(yè)返回退出zP*OFdFM

rd上頁(yè)下頁(yè)返回退出d

:

力臂剛體繞O

z

軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體上P點(diǎn),且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),的作用點(diǎn)P

的矢徑.Fr

為由點(diǎn)O

到力對(duì)轉(zhuǎn)軸

Z的力矩M

r

FFr

sinFM0,000–

FFiMiFF–

FFi,

MiF–

Fro1

r2M

2FrFi0FFMi

0上頁(yè)下頁(yè)返回退出（1）

力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)F垂直于轉(zhuǎn)軸只能引起軸的變形,對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)貢獻(xiàn)。r

F1轉(zhuǎn)動(dòng)平面F1FF2)rr

(F1

F2r

F1

rF2rr

F上頁(yè)下頁(yè)返回退出2平行于轉(zhuǎn)軸，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)有貢獻(xiàn)平面內(nèi)的力才可能對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)有貢獻(xiàn)Zr

F2

sinF2

dd r

sin是轉(zhuǎn)軸到力作用線的距離，稱為力臂。（2）在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用+、-號(hào)表示。轉(zhuǎn)動(dòng)平面F1FF2rd上頁(yè)下頁(yè)返回退出合力矩等于各分力矩的矢量和1

2

3剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消MijjirjM上頁(yè)下頁(yè)返回退出riijFjiFijOMijdMji例10-7復(fù)合軸的力矩上頁(yè)下頁(yè)返回退出解凈力矩為RA

FA

RB

FB

sin

60(0.30

m)(50

N)

(0.50

m)(50

N)(0.866)6.7

mN此凈力矩使向順時(shí)針?lè)较蚣铀龠\(yùn)動(dòng)。vr2

krad

/s頁(yè)返回退10-5轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)上頁(yè)下頁(yè)返回退出第二定律，可得：OfiFiiiimri對(duì)剛體中任一質(zhì)量元

mi-外力F

i應(yīng)用-內(nèi)力f

iFi

fi

miO’ωai采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：iiFi

sin

fi

sinmiai

miri10-5轉(zhuǎn)動(dòng)慣量上頁(yè)下頁(yè)返回退出iFi

sinmiai

mirifi

sini2i

i

i

i

i

i

i

i用Frri

乘si以n

上式左右f

r兩s端in：m

r設(shè)剛體由N

個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)可寫出上述類似方程，將N

個(gè)方程左右相加，得：N

N

Ni

i

i

i

i

ii

iFr

sin

fr

sin(

m

r2

)i

1i

1i

10上頁(yè)下頁(yè)返回退出Ni

1Nr2

)i

1FiifiiimriO’ωMz剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IzM

I

I

d

d

tO上頁(yè)下頁(yè)返回退出zII

d

d

t剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律（2）角動(dòng)量d

Lzd

tzL

?I

d

d

t（1）一定，

I

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度；比較：

第二運(yùn)動(dòng)定律

F

maLz

I上頁(yè)下頁(yè)返回退出剛體的質(zhì)量可認(rèn)為是連續(xù)分布的，I

r2dmd

m

—質(zhì)元的質(zhì)量r

—質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離I

和質(zhì)量分布有關(guān)；I

和轉(zhuǎn)軸有關(guān)，同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同.ir

2iIm：

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量按轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義有上頁(yè)下頁(yè)返回退出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義平動(dòng)：

動(dòng)量xdtFm

dvxpx

mvx平動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)：角動(dòng)量dMzI

dt轉(zhuǎn)動(dòng)定律質(zhì)量是平動(dòng)中慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。L

I上頁(yè)下頁(yè)返回退出上頁(yè)下頁(yè)返回退出解：（a）兩重物離開(kāi)轉(zhuǎn)動(dòng)軸相同距離，2.0m上頁(yè)下頁(yè)返回退出I

m

R

2

(5.0

kg)(2.0

m)2

(7.0

kg)(2.0

m)

220

kg

m

2

28kg

m

2

48kgm

2(b)5.0kg質(zhì)量離開(kāi)軸0.5米，而7.0kg的質(zhì)量離開(kāi)軸4.5米，那么Im

R

2

(5.0

kg)(0.50

m)

2(7.0

kg)(4.5

m)

21.3kg m

2

142

kg m

2

143kgm

2思考:

(a)(b)的結(jié)果間存在什么聯(lián)系?上頁(yè)下頁(yè)返回退出上頁(yè)下頁(yè)返回退出10-6轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)中的問(wèn)題解答例10-9重滑輪上頁(yè)下頁(yè)返回退出滑輪質(zhì)量不均勻，邊緣處更重上頁(yè)下頁(yè)返回退出m1m22TTT11T2G2G1aaam1m2解:滑輪具有一定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在轉(zhuǎn)動(dòng)中受到阻力矩的作用，兩邊的張力不再相等，設(shè)物體m1

這邊繩的張力為T1、T1’(T1’=T1)，物體m這邊的張力為T2、T2’(T2’=T2)例題一輕繩跨過(guò)一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有。設(shè)滑輪的質(zhì)量為m。繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑質(zhì)量為m1和m2的物體1和2，m1<m2，半徑為r，所受的摩擦阻力矩為動(dòng)。試求物體的加速度和繩的張力。212T1

G1

m1aG2

T2

m2aT

r

TrIa

r上頁(yè)下頁(yè)返回退出a/

r/

rm2m2

m1

gm

I

1

r

221

1m2

m1

2

mm

2m1

mg＋2/

rT2

m1

g－aT1

m1

g

am

2mg1/

r21m2

m1

gm

m

1

m2

1

21

m2m2

m1

2

m而滑輪邊緣上的切向加速度和物體的加速度相等上頁(yè)下頁(yè)返回退出am2

m1

g1

m/

r2m

mr21r當(dāng)不計(jì)滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩即令m=0、τ

=0時(shí)，有2m1m22m

m1T1

T2

gm2

m1gm2

m1上頁(yè)下頁(yè)返回退出a阿特伍德機(jī)裝置，可用來(lái)測(cè)量重力加速度g。10-7確定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例題

求質(zhì)量為m、長(zhǎng)為

l

的均勻細(xì)棒對(duì)下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（1）轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并和棒垂直；上頁(yè)下頁(yè)返回退出23轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的一端并和棒垂直；轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒上距中心為h的一點(diǎn)并和棒垂直。元o解:(1)建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元J

x2dmx

dx1

ml

212

x2

m

dxl

2l

2lodxx上頁(yè)下頁(yè)返回退出0ll

m

1x2

dx

ml

2

3

(2)建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元J

x2dmohxdxJ

與剛體質(zhì)量、質(zhì)量分布、軸的位置有關(guān)（3）建立坐標(biāo)系，分割質(zhì)量元J

x2dmx1

ml2

mh212x2

m

dxl

2

hll

2

h上頁(yè)下頁(yè)返回退出例題求圓盤對(duì)于通過(guò)中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為m，密度均勻。rRdr解：設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為，在圓盤上取一半徑為r、寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2

rdr，環(huán)的質(zhì)量dm=

2

rdr?？傻?上頁(yè)下頁(yè)返回退出2R

41J

r

2

dmR203rdrm

R2JCJmR21JC

2

mRJ

JC

2mR

2上頁(yè)下頁(yè)返回退出1

mR2

mR2解：同上例CMI

I2Mh2

3

MR2010-8轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能應(yīng)