高等數(shù)學(xué)第2章D2-5函數(shù)的微分課件

二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用*四、微分在估計誤差中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概念函數(shù)的微分第二章二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用*四、微分在估計誤1一、微分的概念

引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在的微分當(dāng)x

在取得增量時,變到邊長由其一、微分的概念引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化2的微分,定義:

若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是即在點(diǎn)可微,的微分,定義:若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A3定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點(diǎn)可微,則故在點(diǎn)可導(dǎo),且在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即定理:函數(shù)證:“必要性”已知在點(diǎn)可微,則4定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點(diǎn)的可導(dǎo),則定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處5說明:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當(dāng)故當(dāng)說明:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當(dāng)故6微分的幾何意義當(dāng)很小時,則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記微分的幾何意義當(dāng)很小時,則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切7例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見P116表)又如,例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見P116表)又如,8二、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)二、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,9例1.求解:例1.求解:10例2.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例3.在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.注意:例2.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例3.11注數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如注數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如12三、微分在近似計算中的應(yīng)用當(dāng)很小時,使用原則:得近似等式:三、微分在近似計算中的應(yīng)用當(dāng)很小時,使用原則:得近似等式:13特別當(dāng)很小時,常用近似公式:很小)證明:令得特別當(dāng)很小時,常用近似公式:很小)證明:令得14的近似值.解:設(shè)取則例4.求的近似值.解:設(shè)取則例4.求15的近似值.解:例5.計算的近似值.解:例5.計算16例6.有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,解:已知球體體積為鍍銅體積為V在時體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,例6.有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,17*四、微分在估計誤差中的應(yīng)用某量的精確值為A,其近似值為a,稱為a

的絕對誤差稱為a

的相對誤差若稱為測量

A

的絕對誤差限稱為測量

A

的相對誤差限*四、微分在估計誤差中的應(yīng)用某量的精確值為A,其近似18誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計算y值時的誤差故y的絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得x,誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計算y值時的誤差故19例7.

設(shè)測得圓鋼截面的直徑

測量D的

絕對誤差限欲利用公式圓鋼截面積,解:計算A

的絕對誤差限約為

A

的相對誤差限約為試估計面積的誤差.計算(mm2)例7.設(shè)測得圓鋼截面的直徑測量D的絕對誤差限欲利用公20內(nèi)容小結(jié)1.微分概念微分的定義及幾何意義可微可導(dǎo)2.微分運(yùn)算法則微分形式不變性:(u是自變量或中間變量)3.微分的應(yīng)用近似計算估計誤差內(nèi)容小結(jié)1.微分概念微分的定義及幾何意義可微可導(dǎo)2.21思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)處的及并說明其正負(fù).思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)處的及并222.2.235.

設(shè)由方程確定,解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時由上式得求6.設(shè)且則5.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時由上式得求6.24作業(yè)P1231;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);

9(2);

*12習(xí)題課作業(yè)P1231;習(xí)題課251.已知求解：因?yàn)樗詡溆妙}1.已知求解：因?yàn)樗詡溆妙}26已知求解:方程兩邊求微分,得2.習(xí)題課已知求解:方程兩邊求微分,得2.習(xí)題課27二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用*四、微分在估計誤差中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概念函數(shù)的微分第二章二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用*四、微分在估計誤28一、微分的概念

引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在的微分當(dāng)x

在取得增量時,變到邊長由其一、微分的概念引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化29的微分,定義:

若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是即在點(diǎn)可微,的微分,定義:若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A30定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點(diǎn)可微,則故在點(diǎn)可導(dǎo),且在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即定理:函數(shù)證:“必要性”已知在點(diǎn)可微,則31定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點(diǎn)的可導(dǎo),則定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處32說明:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當(dāng)故當(dāng)說明:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當(dāng)故33微分的幾何意義當(dāng)很小時,則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記微分的幾何意義當(dāng)很小時,則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切34例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見P116表)又如,例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見P116表)又如,35二、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)二、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,36例1.求解:例1.求解:37例2.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例3.在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.注意:例2.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例3.38注數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如注數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如39三、微分在近似計算中的應(yīng)用當(dāng)很小時,使用原則:得近似等式:三、微分在近似計算中的應(yīng)用當(dāng)很小時,使用原則:得近似等式:40特別當(dāng)很小時,常用近似公式:很小)證明:令得特別當(dāng)很小時,常用近似公式:很小)證明:令得41的近似值.解:設(shè)取則例4.求的近似值.解:設(shè)取則例4.求42的近似值.解:例5.計算的近似值.解:例5.計算43例6.有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,解:已知球體體積為鍍銅體積為V在時體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,例6.有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,44*四、微分在估計誤差中的應(yīng)用某量的精確值為A,其近似值為a,稱為a

的絕對誤差稱為a

的相對誤差若稱為測量

A

的絕對誤差限稱為測量

A

的相對誤差限*四、微分在估計誤差中的應(yīng)用某量的精確值為A,其近似45誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計算y值時的誤差故y的絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得x,誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計算y值時的誤差故46例7.

設(shè)測得圓鋼截面的直徑

測量D的

絕對誤差限欲利用公式圓鋼截面積,解:計算A

的絕對誤差限約為

A

的相對誤差限約為試估計面積的誤差.計算(mm2)例7.設(shè)測得圓鋼截面的直徑測量D的絕對誤差限欲利用公47內(nèi)容小結(jié)1.微分概念微分的定義及幾何意義可微可導(dǎo)2.微分運(yùn)算法則微分形式不變性:(u是自變量或中間變量)3.微分的應(yīng)用近似計算估計誤差內(nèi)容小結(jié)1.微分概念微分的定義及幾何意義可微可導(dǎo)2.48思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)處的及并說明其正負(fù).思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)處的及并492.2.505.

設(shè)由方程確定,解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時由上式得求6.設(shè)且則5.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時由上式得求6.51作業(yè)P1231