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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長為1),則這個幾何體的體積是()A. B. C.16 D.322.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.1 B. C.3 D.43.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線段的中點(diǎn),則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.4.已知雙曲線(,)的左、右焦點(diǎn)分別為,以(為坐標(biāo)原點(diǎn))為直徑的圓交雙曲線于兩點(diǎn),若直線與圓相切,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.6.已知函數(shù)為奇函數(shù),且,則()A.2 B.5 C.1 D.37.已知,則的大小關(guān)系為A. B. C. D.8.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對于樣本,下列結(jié)論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為89.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件10.在一個數(shù)列中,如果,都有(為常數(shù)),那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列,叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列,且,,公積為,則()A. B. C. D.11.定義:表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若,,,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.12.在正方體中,點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn),過點(diǎn)作平面使平面,平面若直線平面,則的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中,的系數(shù)是__________.(用數(shù)字填寫答案)14.將底面直徑為4,高為的圓錐形石塊打磨成一個圓柱,則該圓柱的側(cè)面積的最大值為__________.15.春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā),為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn),我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生,6名護(hù)士到湖北、兩地參加疫情防控工作,每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士,其中甲乙兩名護(hù)士不到同一地,共有__________種選派方法.16.拋物線上到其焦點(diǎn)距離為5的點(diǎn)有_______個.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知是拋物線:的焦點(diǎn),點(diǎn)在上,到軸的距離比小1.(1)求的方程;(2)設(shè)直線與交于另一點(diǎn),為的中點(diǎn),點(diǎn)在軸上,.若,求直線的斜率.18.(12分)設(shè)數(shù)列的前列項(xiàng)和為,已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求證:.19.(12分)已知中,角,,的對邊分別為,,,已知向量,且.(1)求角的大??;(2)若的面積為,,求.20.(12分)如圖,在四邊形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.(Ⅰ)求證:平面ADE⊥平面BDEF;(Ⅱ)若二面角CBFD的大小為60°,求CF與平面ABCD所成角的正弦值.21.(12分)已知在中,角,,的對邊分別為,,,的面積為.(1)求證:;(2)若,求的值.22.(10分)如圖,三棱柱的所有棱長均相等,在底面上的投影在棱上,且∥平面(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】幾何體為一個三棱錐,高為4,底面為一個等腰直角三角形,直角邊長為4,所以體積是,選A.2、A【解析】
采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐,長度如上圖所以所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對本題可以利用長方體,根據(jù)三視圖刪掉沒有的點(diǎn)與線,屬中檔題.3、C【解析】
由題可推斷出和都是直角三角形,設(shè)球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿足,結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形,由球心到各點(diǎn)距離相等可得,,故是直角三角形,設(shè),則有,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問題,屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】
連接,可得,在中,由余弦定理得,結(jié)合雙曲線的定義,即得解.【詳解】連接,則,,所以,在中,,,故在中,由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義,得,所以雙曲線的離心率故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.5、D【解析】
求解不等式,得到集合A,B,利用交集、補(bǔ)集運(yùn)算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集混合運(yùn)算,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.6、B【解析】
由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.7、D【解析】
分析:由題意結(jié)合對數(shù)的性質(zhì),對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解:由題意可知:,即,,即,,即,綜上可得:.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛:對于指數(shù)冪的大小的比較,我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,但很多時候,因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同,不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時,若底數(shù)不同,則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù),然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較,利用圖象法求解,既快捷,又準(zhǔn)確.8、D【解析】
由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點(diǎn)睛】樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.9、A【解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
計算出的值,推導(dǎo)出,再由,結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】由題意可知,則對任意的,,則,,由,得,,,,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和,考查了數(shù)列的新定義,推導(dǎo)出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.11、D【解析】
由題意得,表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當(dāng)時,數(shù)形結(jié)合(如圖)得的解集中的整數(shù)解有無數(shù)多個,解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當(dāng)時,,數(shù)形結(jié)合(如圖),由解得.在內(nèi)有3個整數(shù)解,為1,2,3,滿足,所以符合題意.當(dāng)時,作出函數(shù)和的圖象,如圖所示.若,即的整數(shù)解只有1,2,3.只需滿足,即,解得,所以.綜上,當(dāng)時,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選D.12、B【解析】
作出圖形,設(shè)平面分別交、于點(diǎn)、,連接、、,取的中點(diǎn),連接、,連接交于點(diǎn),推導(dǎo)出,由線面平行的性質(zhì)定理可得出,可得出點(diǎn)為的中點(diǎn),同理可得出點(diǎn)為的中點(diǎn),結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示:設(shè)平面分別交、于點(diǎn)、,連接、、,取的中點(diǎn),連接、,連接交于點(diǎn),四邊形為正方形,、分別為、的中點(diǎn),則且,四邊形為平行四邊形,且,且,且,則四邊形為平行四邊形,,平面,則存在直線平面,使得,若平面,則平面,又平面,則平面,此時,平面為平面,直線不可能與平面平行,所以,平面,,平面,平面,平面平面,,,所以,四邊形為平行四邊形,可得,為的中點(diǎn),同理可證為的中點(diǎn),,,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查線段長度比值的計算,涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是找出平面與正方體各棱的交點(diǎn)位置,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)組合的知識,結(jié)合組合數(shù)的公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:項(xiàng)來源可以是:(1)取1個,4個(2)取2個,3個的系數(shù)為:故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查組合的知識,熟悉二項(xiàng)式定理展開式中每一項(xiàng)的來源,實(shí)質(zhì)上每個因式中各取一項(xiàng)的乘積,轉(zhuǎn)化為組合的知識,屬中檔題.14、【解析】
由題意欲使圓柱側(cè)面積最大,需使圓柱內(nèi)接于圓錐.設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為r,則,將側(cè)面積表示成關(guān)于的函數(shù),再利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】欲使圓柱側(cè)面積最大,需使圓柱內(nèi)接于圓錐.設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為r,則,所以.∴,當(dāng)時,的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的側(cè)面積的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力,求解時注意將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.15、24【解析】
先求出每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士的選派方法的種數(shù),再減去甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)即可.【詳解】解:每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)有,若甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)有,則甲乙兩名護(hù)士不到同一地的種數(shù)有.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用間接法求排列組合問題,正難則反,是基礎(chǔ)題.16、2【解析】
設(shè)符合條件的點(diǎn),由拋物線的定義可得,即可求解.【詳解】設(shè)符合條件的點(diǎn),則,所以符合條件的點(diǎn)有2個.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義的應(yīng)用,考查拋物線的焦半徑.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)由拋物線定義可知,解得,故拋物線的方程為;(2)設(shè)直線:,聯(lián)立,利用韋達(dá)定理算出的中點(diǎn),又,所以直線的方程為,求出,利用求解即可.【詳解】(1)設(shè)的準(zhǔn)線為,過作于,則由拋物線定義,得,因?yàn)榈降木嚯x比到軸的距離大1,所以,解得,所以的方程為(2)由題意,設(shè)直線方程為,由消去,得,設(shè),,則,所以,又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,令,得,點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,解得,所以直線的斜率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.涉及拋物線的弦的中點(diǎn),斜率問題時,可采用韋達(dá)定理或“點(diǎn)差法”求解.18、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)由已知可得,構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)時,由,可求,時,由,可證,驗(yàn)證時,不等式也成立,即可得證.【詳解】(1)由可得,,即,所以,解得,(2)當(dāng)時,,,當(dāng)時,,綜上,由可得遞增,,時;所以,綜上:故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式,利用放縮法證明不等式,涉及等比數(shù)列的求和公式,屬于難題.19、(1);(2).【解析】試題分析:(1)利用已知及平面向量數(shù)量積運(yùn)算可得,利用正弦定理可得,結(jié)合,可求,從而可求的值;(2)由三角形的面積可解得,利用余弦定理可得,故可得.試題解析:(1)∵,,,∴,∴,即,又∵,∴,又∵,∴.(2)∵,∴,又,即,∴,故.20、(1)見解析(2)【解析】分析:(1)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值;也可以應(yīng)用常規(guī)法,作出線面角,放在三角形當(dāng)中來求解.詳解:(Ⅰ)在△ABD中,∠ABD=30°,由AO2=AB2+BD2-2AB·BDcos30°,解得BD=,所以AB2+BD2=AB2,根據(jù)勾股定理得∠ADB=90°∴AD⊥BD.又因?yàn)镈E⊥平面ABCD,AD平面ABCD,∴AD⊥DE.又因?yàn)锽DDE=D,所以AD⊥平面BDEF,又AD平面ABCD,∴平面ADE⊥平面BDEF,(Ⅱ)方法一:如圖,由已知可得,,則,則三角形BCD為銳角為30°的等腰三角形.則.過點(diǎn)C做,交DB、AB于點(diǎn)G,H,則點(diǎn)G為點(diǎn)F在面ABCD上的投影.連接FG,則,DE⊥平面ABCD,則平面.過G做于點(diǎn)I,則BF平面,即角為二面角CBFD的平面角,則60°.則,,則.在直角梯形BDEF中,G為BD中點(diǎn),,,,設(shè),則,,則.,則,即CF與平面ABCD所成角的正弦值為.(Ⅱ)方法二:可知DA、DB、DE兩兩垂直,以D為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.設(shè)DE=h,則D(0,0,0),B(0,,0),C(-,-,h).,.設(shè)平面BCF的法向量為m=(x,y,z),則所以取x=,所以m=(,-1,-),取平面BDEF的法向量為n=(1,0,0),由,解得,則,又,則,設(shè)CF與平面ABCD所成
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