高等代數(shù)【北大版】53課件

第五章二次型§5.1二次型的矩陣表示§5.2標(biāo)準(zhǔn)形§5.3唯一性§5.4正定二次型章小結(jié)與習(xí)題第五章二次型§5.1二次型的矩陣表示§5.2標(biāo)準(zhǔn)形§51一、復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形二、實數(shù)域上的二次型的規(guī)范形三、小結(jié)§5.3唯一性5.3唯一性一、復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形二、實數(shù)域上的二次型的規(guī)范形三、2問題的產(chǎn)生：1、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，與所作的非退化線性替換有關(guān).如：二次型作非退化線性替換得標(biāo)準(zhǔn)形得標(biāo)準(zhǔn)形5.3唯一性問題的產(chǎn)生：1、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，與所作的非退化線性3

2、二次型經(jīng)過非退化線性替換所得的標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)不為零的平方項的個數(shù)是唯一確定的，與所作的非退化線性替換無關(guān).而秩(D)等于D的主對角線上不為零的元素的個數(shù).∵若作非退化線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形

，則有5.3唯一性2、二次型經(jīng)過非退化線性替換所得的標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)不為零的平43.問題：如何在一般數(shù)域P上，進(jìn)一步“規(guī)范”平方項非零系數(shù)的形式？（這樣產(chǎn)生了唯一性的問題）定義二次型的秩等于矩陣A的秩，即秩

f

＝秩（A）.5.3唯一性3.問題：定義5.3唯一性5、復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形復(fù)二次型的規(guī)范形的定義標(biāo)準(zhǔn)形再作非退化線性替換設(shè)復(fù)二次型

經(jīng)過非退化線性替換可逆,得這里5.3唯一性、復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形復(fù)二次型的規(guī)范形的定義標(biāo)準(zhǔn)形再作6則

稱之為復(fù)二次型

的規(guī)范形.

5.3唯一性則稱之為復(fù)二次型的規(guī)范形.5.3唯一性7

注意：①復(fù)二次型的規(guī)范形中平方項的系數(shù)只有1和0兩種.②復(fù)二次型的規(guī)范形是唯一的，由秩f確定.2.（定理3）任一復(fù)二次型經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可化為規(guī)范形，且規(guī)范形唯一.推論1.任一復(fù)對稱矩陣A合同于對角矩陣推論2.兩個復(fù)對稱矩陣A、B合同5.3唯一性注意：2.（定理3）任一復(fù)二次型經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可8二、實數(shù)域上的二次型的規(guī)范形再作非退化線性替換

實二次型的規(guī)范形的定義設(shè)實二次型經(jīng)過可逆，得標(biāo)準(zhǔn)形

非退化線性替換其中，r=秩f

5.3唯一性二、實數(shù)域上的二次型的規(guī)范形再作非退化線性替換實二次型的規(guī)9

則稱之為實二次型的規(guī)范形.5.3唯一性則稱之為實二次型的規(guī)范形.5.310①實二次型的規(guī)范形中平方項的系數(shù)只有1，－1，0.②實二次型的規(guī)范形中平方項的系數(shù)中1的個數(shù)與－1的個數(shù)之和=秩=秩(A)是唯一確定的.③規(guī)范形是唯一的.注意5.3唯一性①實二次型的規(guī)范形中平方項的系數(shù)只有1，－1，0.②實二11

定理4任一實二次型可經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換化成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一.證明：只證唯一性.2、慣性定理設(shè)實二次型

經(jīng)過非退化線性替換

化成規(guī)范形

（1）

5.3唯一性定理4任一實二次型可經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換化成規(guī)范12只需證（2）用反證法，設(shè)由(1)、(2)，有經(jīng)過非退化線性替換化成規(guī)范形（3）5.3唯一性只需證（2）用反證法，設(shè)由(1)、(2)，有經(jīng)過非退化線性替13（4）則G可逆，且有考慮齊次線性方程組（5）5.3唯一性（4）則G可逆，且有考慮齊次線性方程組（5）5.3唯一性14方程組（5）中未知量的個數(shù)為n，方程的個數(shù)為所以（5）有非零解.令為（5）的非零解，

則有而不全為0.

將代入（3）的左端，得其值為5.3唯一性方程組（5）中未知量的個數(shù)為n，方程的個數(shù)為所以（5）有非零15同理可證，故.

矛盾.所以，得將其代入（3）的右端，得其值為由及5.3唯一性同理可證，故.矛盾.所以，得將其代入（3）的右端，得其16定義實二次型的規(guī)范形中正平方項的個數(shù)p稱為的正慣性指數(shù)；稱為的負(fù)慣性指數(shù)；負(fù)平方項的個數(shù)稱為的符號差.它們的差5.3唯一性定義實二次型的規(guī)范形中正平方項的個數(shù)p稱為17推論1、任一實對稱矩陣A合同于一個形式為其中的個數(shù)，+1的個數(shù)的正慣性指數(shù)；－1的個數(shù)的負(fù)慣性指數(shù).的對角矩陣.5.3唯一性推論1、任一實對稱矩陣A合同于一個形式為其中的個數(shù)，+1的個18推論2、實二次型具有相同的規(guī)范形，且的正慣性指數(shù)=的正慣性指數(shù).推論3、實對稱矩陣A、B合同

的正慣性且二次型指數(shù)相等.5.3唯一性推論2、實二次型具有相同的規(guī)范形，且的正慣性指數(shù)=的正慣性指19

例1、設(shè)，證明：存在使又D′=D,且使

即則令證：設(shè)則存在可逆矩陣5.3唯一性例1、設(shè)，證明：存在使又D′=D,且使即則令證：設(shè)20例2、如果兩實元二次型的矩陣是合同的，則認(rèn)為上的一切元二次類.它們是屬于同一類的，那么實數(shù)域型可分為則r

的可能取值是0，1，2，…，n，指數(shù)p的可能取值是0，1，…，r，共種.的正慣性即有證：任取實n元二次型設(shè)而對任意給定的5.3唯一性例2、如果兩實元二次型的矩陣是合同的，則認(rèn)為上的一切元二次類211種2種n＋1種故共有類.5.3唯一性1種2種n＋1種故共有類.5.3唯一性22三、小結(jié)基本概念這里，r＝秩(f).2、

n元實二次型的規(guī)范形這里，

＝秩(f)，p稱為f的正慣性指數(shù)；稱為f的負(fù)慣性指數(shù)；稱為符號差.1、n元復(fù)二次型的規(guī)范形5.3唯一性三、小結(jié)基本概念這里，r＝秩(f).2、n元實二次型23基本結(jié)論定理3任意一個復(fù)系數(shù)二次型，經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性變換可變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的.即，任一復(fù)對稱矩陣A合同于一個對角矩陣推論兩個復(fù)對稱矩陣A、B合同5.3唯一性基本結(jié)論定理3任意一個復(fù)系數(shù)二次型，經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€24定理4任意一個實二次型，經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性變換可變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的.即，任一實對稱矩陣A合同于一個對角矩陣其中的個數(shù)等于矩陣Ａ的秩.5.3唯一性定理4任意一個實二次型，經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性變換可變成25推論兩個實對稱矩陣A、B合同的充要條件是正慣性指數(shù)相等.且二次型與的5.3唯一性推論兩個實對稱矩陣A、B合同的充要條件是正慣性指數(shù)相等.且26第五章二次型§5.1二次型的矩陣表示§5.2標(biāo)準(zhǔn)形§5.3唯一性§5.4正定二次型章小結(jié)與習(xí)題第五章二次型§5.1二次型的矩陣表示§5.2標(biāo)準(zhǔn)形§527一、復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形二、實數(shù)域上的二次型的規(guī)范形三、小結(jié)§5.3唯一性5.3唯一性一、復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形二、實數(shù)域上的二次型的規(guī)范形三、28問題的產(chǎn)生：1、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，與所作的非退化線性替換有關(guān).如：二次型作非退化線性替換得標(biāo)準(zhǔn)形得標(biāo)準(zhǔn)形5.3唯一性問題的產(chǎn)生：1、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，與所作的非退化線性29

2、二次型經(jīng)過非退化線性替換所得的標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)不為零的平方項的個數(shù)是唯一確定的，與所作的非退化線性替換無關(guān).而秩(D)等于D的主對角線上不為零的元素的個數(shù).∵若作非退化線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形

，則有5.3唯一性2、二次型經(jīng)過非退化線性替換所得的標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)不為零的平303.問題：如何在一般數(shù)域P上，進(jìn)一步“規(guī)范”平方項非零系數(shù)的形式？（這樣產(chǎn)生了唯一性的問題）定義二次型的秩等于矩陣A的秩，即秩

f

＝秩（A）.5.3唯一性3.問題：定義5.3唯一性31、復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形復(fù)二次型的規(guī)范形的定義標(biāo)準(zhǔn)形再作非退化線性替換設(shè)復(fù)二次型

經(jīng)過非退化線性替換可逆,得這里5.3唯一性、復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形復(fù)二次型的規(guī)范形的定義標(biāo)準(zhǔn)形再作32則

稱之為復(fù)二次型

的規(guī)范形.

5.3唯一性則稱之為復(fù)二次型的規(guī)范形.5.3唯一性33

注意：①復(fù)二次型的規(guī)范形中平方項的系數(shù)只有1和0兩種.②復(fù)二次型的規(guī)范形是唯一的，由秩f確定.2.（定理3）任一復(fù)二次型經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可化為規(guī)范形，且規(guī)范形唯一.推論1.任一復(fù)對稱矩陣A合同于對角矩陣推論2.兩個復(fù)對稱矩陣A、B合同5.3唯一性注意：2.（定理3）任一復(fù)二次型經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可34二、實數(shù)域上的二次型的規(guī)范形再作非退化線性替換

實二次型的規(guī)范形的定義設(shè)實二次型經(jīng)過可逆，得標(biāo)準(zhǔn)形

非退化線性替換其中，r=秩f

5.3唯一性二、實數(shù)域上的二次型的規(guī)范形再作非退化線性替換實二次型的規(guī)35

則稱之為實二次型的規(guī)范形.5.3唯一性則稱之為實二次型的規(guī)范形.5.336①實二次型的規(guī)范形中平方項的系數(shù)只有1，－1，0.②實二次型的規(guī)范形中平方項的系數(shù)中1的個數(shù)與－1的個數(shù)之和=秩=秩(A)是唯一確定的.③規(guī)范形是唯一的.注意5.3唯一性①實二次型的規(guī)范形中平方項的系數(shù)只有1，－1，0.②實二37

定理4任一實二次型可經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換化成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一.證明：只證唯一性.2、慣性定理設(shè)實二次型

經(jīng)過非退化線性替換

化成規(guī)范形

（1）

5.3唯一性定理4任一實二次型可經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換化成規(guī)范38只需證（2）用反證法，設(shè)由(1)、(2)，有經(jīng)過非退化線性替換化成規(guī)范形（3）5.3唯一性只需證（2）用反證法，設(shè)由(1)、(2)，有經(jīng)過非退化線性替39（4）則G可逆，且有考慮齊次線性方程組（5）5.3唯一性（4）則G可逆，且有考慮齊次線性方程組（5）5.3唯一性40方程組（5）中未知量的個數(shù)為n，方程的個數(shù)為所以（5）有非零解.令為（5）的非零解，

則有而不全為0.

將代入（3）的左端，得其值為5.3唯一性方程組（5）中未知量的個數(shù)為n，方程的個數(shù)為所以（5）有非零41同理可證，故.

矛盾.所以，得將其代入（3）的右端，得其值為由及5.3唯一性同理可證，故.矛盾.所以，得將其代入（3）的右端，得其42定義實二次型的規(guī)范形中正平方項的個數(shù)p稱為的正慣性指數(shù)；稱為的負(fù)慣性指數(shù)；負(fù)平方項的個數(shù)稱為的符號差.它們的差5.3唯一性定義實二次型的規(guī)范形中正平方項的個數(shù)p稱為43推論1、任一實對稱矩陣A合同于一個形式為其中的個數(shù)，+1的個數(shù)的正慣性指數(shù)；－1的個數(shù)的負(fù)慣性指數(shù).的對角矩陣.5.3唯一性推論1、任一實對稱矩陣A合同于一個形式為其中的個數(shù)，+1的個44推論2、實二次型具有相同的規(guī)范形，且的正慣性指數(shù)=的正慣性指數(shù).推論3、實對稱矩陣A、B合同

的正慣性且二次型指數(shù)相等.5.3唯一性推論2、實二次型具有相同的規(guī)范形，且的正慣性指數(shù)=的正慣性指45

例1、設(shè)，證明：存在使又D′=D,且使

即則令證：設(shè)則存在可逆矩陣5.3唯一性例1、設(shè)，證明：存在使又D′=D,且使即則令證：設(shè)46例2、如果兩實元二次型的矩陣是合同的，則認(rèn)為上的一切元二次類.它們是屬于同一類的，那么實數(shù)域型可分為則r

的可能取值是0，1，2，…，n，指數(shù)p的可能取值是0，1，…，r，共種.的正慣性即有證：任取實n元二次型設(shè)而對任意給定的5.3唯一性例2、如果兩實元二次型的矩陣是合同