中原工學院線性代數試卷及答案

3頁，此頁為A卷第3頁，此頁為A卷第1頁（注：參加重修考試者請在重修標識框內打鉤）本科專業(yè)線性代數課程期末試卷A卷 B卷…本科專業(yè)線性代數課程期末試卷A卷 B卷……題號一二 三四五 六七 八 九十總分… 13階方陣AA

)，且detA5，又設B… １ ２ ３……

,5

)，則detB ．… １ ２ １…線

３ ２1 2 1

1… 2、已知線性方程組2

13無解，則a … … 1

a 2x ． 2 號 …學 …3、二次型

a 33

x

0

是正定二次型，則的… f x, x, x… 1 2

2x21

x22

x23

2xx1

axx a2 3

x x … 1 3… 取值范圍． 三、為何值時，方程4xx 2x

2有解，并求出通解（10分）… 1 2 3…訂 4、已知向量組… …

(1,2,3,4)，2

(2,3,4,5)，3

(3,4,5,6)，4

(4,5,6,7)，

6xx1

4x3

23…… 則該向量組的秩名 ……姓 … 5、設3階方陣A的三個特征值-2，2，3，則A ．………… 1 1 1… 二已知A0 1 1且A2ABE其中是3階單位矩陣，求矩裝 E… 0 0 1… …級 … 陣B（10分）班 ……………3頁，此頁為A3頁，此頁為A卷第3頁四、求向量 (2,0,1,3)，… 1 2 3 4……… (4,2,3,7)的秩及其一個極大線性無關組（10）… 5…

六、設向量組，

線性無關，證明：向量組

，………

1+2

2 3

1 1 2（10）1 231 2342 3471 581 3510………號 …學 …訂………名 …姓 ………………裝… 五、計算行列式D裝………級 …班 ……………

（10）

2 1 2

3 3 1 2 3七、化二次形 1 1 0八、求A 的特征值與特征向量分）… 4 3 0… fx23x25x22x

4xx

1 0 2… 1 2 3 12 13 …… 成標準形，并求出所用的變換矩陣（10）…………線………號 …學 …訂………名 …姓 …裝………級 …班 ……………本試卷答案共2頁，此頁為第本試卷答案共2頁，此頁為第2頁本科專業(yè)線性代數課程期末試卷標準答案（即評分標準）

xx1因此，原線性方程組可化為1 3

是任意實數．一、填空題（每題5分，共25分）1、-100 2、-1 3、 2a 2 4、2 5、-12

x2x 1 1

2x1 33通解為x1k2 1 其中k是任意實數

10分 ， ．A2AB

得A(AB)E 而且

x2 1 03， ， 3

1 1 1A0 1 1 10 3

四、解：對由ααααα1 2 3 4

構成的矩陣，進行行變換0 0 1

1

0 1

23121411312141101α，α，α，α，α

因此矩陣A可逆，且

1 2 3

5 2 1 1 0 3 0 1 1 2 15 2 3 1 7 0 3 3 6 31 1 2

A1

0 1 1

， 6分 0 0

6分11012101110112 0 11012101110112 0 1 1 2 10000000000

0 0

0 0 0

0 0 00 1 1 1 1 1 2 0 2 1 α0

，α，α，

的秩為2；極大線性無關組為

1 2 3 4 5BAA1

0 1 10 1 10 0 0． 10 0 0 1 0 0 1 1 2

，或者α, α1

，或者α, α1

，或者α, α1

． 100121rr010121rr01211258410024135100126

1 2 4 1 2 4三、解：A4 1 2 20 1 2 2

0 1 2 2

D(2r

6分2 2 6 1 4 2 3 0 1 2 4 3 0 0 0 1

rA

．當1A的秩為3，此時原線性方程組無解． 4分

4 10 10分當1時，rArA2，故線性方程組有解．此時，上面的階梯矩陣為1234r1234rr012100240005

23+2，3+2

線性相關， 0 1 2 1 6分

1 1 2 2

1 2 3 3 1 2 3 0 0 0 0

則存在不全為零的數a,b,c，使得ab1 2

c3

0 4分即1

)b(22

32

+23

)1

32

+23

)0整理得(a1

(a2

(2b+2c)3

0 6

得通解Xk

00

RA

2的全部特征向量為1 1 i因為向量組，

線性無關，可得

11 2 3 ac0 a0

0a0 解之得 0 與假設矛盾

X k0

R) 10分 b

1 1 1 1 2b+2c0 1 所以向量組2+2線性無關。10分對 1，解方程組(EA)X0，由1 1 2 2 1 2 3 3 1 2 3 2 3210101420210101420r0121 2 3

12 13

EA(xx

2x

)22x2x24xx

1 0 1 0 0 01 (xx1

32x3

2)22(x2

3 23x)2x23 3

1yxx2x

xyy 3y

得通解Xk

2(kR)，所以A的對應于特征值 1的全部特征向量為1 1 2

1 1 2 3

2 2 2 3令y x

即x y y

6分

12 2

2 2 3 y x x y3 3 3 3

11 1就把f化成標準形fy22y2y2， 8分

X k

2

k 0) 15分所用變換矩陣為

1 2 3

2 2 2 1 1 3 C0 1 C10) 10 0 0 11 1 0