高數(shù)課件2-6gauss公式

第六節(jié)公式通量與散度Green公式推廣Gauss公式公式一、二、通量與散度前面Newton-Lebniz

公式推廣到了平面區(qū)域的情況，得到了Green

公式。此公式表達了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系。下面再把Green

公式做進一步推廣，這就是下面將要介紹的Gauss

公式，Gauss

公式表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系，同時Gauss

公式也是計算曲面積分的一有效方法。一、Gauss公式定理設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面Σ圍成,函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有公式

x

y

z(P

Q

R)dv

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy(

)dvx

y

zP

Q

R

(

P

cos

Q

cos

R

cos

)dS這里是的整個邊界曲面的外側(cè)，cos

,cos

,cos

是上點(x,y,z)處的法向量的方向余弦.或oxyz123xyD證明首先假設(shè)穿過

且平行于坐標(biāo)軸的直線與的邊界曲面的交點恰好為兩個設(shè)閉區(qū)域在面xoy上的投影區(qū)域為Dxy

.由1

,2

和3

三部分組成,:1

z

z1

(

x,

y)2

:

z

z

(

x,

y)2以投影區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線，母線平行與坐標(biāo)軸的柱面上介于上下邊界曲面之間的部分3根據(jù)三重積分的計算法2z

(

x,

y

){dz}dxdyxyz1

(

x,

y

)

DRRdv

zz

{R[

x,

y,

z2

(

x,

y)]

R[

x,

y,

z1

(

x,

y)]}dxdy.Dxy根據(jù)曲面積分的計算法(1取下側(cè),2取上側(cè),3取外側(cè))

R(

x,

y,

z)dxdy

R[

x,

y,

z1

(

x,

y)]dxdy,1Dxy

R(

x,

y,

z)dxdy

R[

x,

y,

z2

(

x,

y)]dxdy,2Dxy

R(

x,

y,

z)dxdy

0.3于是

R(x,y,z)dxdy

{R[

x,

y,

z2

(

x,

y)]

R[

x,

y,

z1

(

x,

y)]}dxdy,Dxy

z

R

dv

R(

x,

y,

z)dxdy.同理

x

P

dv

P(

x,

y,

z)dydz,

y

Q

dv

Q(

x,

y,

z)dzdx,合并以上三式得：x

y

z

(P

Q

R)dv

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy——————

公式由兩類曲面積分之間的關(guān)系知()dvP

Q

Rx

y

z

(

P

cos

Q

cos

R

cos

)dS.Gauss公式的實質(zhì)表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.注1.

若

不滿足上述條件，可以引進若干張輔助曲面將

分成幾個有限的小區(qū)域使之都滿足上述條件注意到沿輔助曲面相反兩側(cè)的兩個曲面積分絕對值相等，而符號相反，相加時正好抵消，因此上述公式對這樣的區(qū)域也成立，故一般地

x

y

z

(P

Q

R)dv

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy2.公式成立的條件

封閉曲面

方向取外側(cè)P

,Q

,R

連續(xù)x

y

z(3)根據(jù)Gauss

公式，用三重積分來計算曲面積分是比較方便的，但Gauss

公式同時也說明，可用曲面積分來計算三重積分.例1計算曲面積分

(

x

y)dxdy

(

y

z)

xdydz其中Σ為柱面x2

y2

1及平面z

0,z

3所圍成的空間閉區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè).解

P

(

y

z)x,Q

0,

R

x

y,xzyo

1zP

y

z,

Q

0,

R

0,P

Q

Rx

yGauss原式(

x

y

z

)dv

2

9

(

y

z)dv左右對稱2

0

zdv

10d

d

30zdz柱坐標(biāo)xozy1另解原式

(

)

柱

頂

底柱例1

求

(x

y)dxdy

(y

z)xdydz，Σ：x2+y2=1及z=0、z=3

所圍閉區(qū)域邊界曲面的外側(cè)。柱

xOy頂、底

yOz

(

y

z)

xdydz

(

)(

x

y)dxdy頂

底

2

(

y

z)

xdydz

0柱，前

柱，前，右

左右對稱

4

zxdydz

4Dyz2

z

1

y2

(dydz)

9

例2

計算

(

y2

x)dydz

(z2

y)dzdx

(

x2

z)dxdy其中

是曲面z

2

x2

y2

(1

z

2)的上側(cè)解記

0

:

z

1

,

x

y

12

2取下側(cè)oxyzz

=

1

:

0所圍成的閉區(qū)域由Gauss

公式得

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy

0

0其中P

y2

x,Q

z2

y,

R

x2

z(

0取外側(cè))

Pdydz

Qdzdx

Rdxdy

0

(1

1

1)dv

3

體積而曲頂柱體的體積（用柱坐標(biāo)）21 2r

2V

dv

d

dr

rdz0

0

120

01

d

(1

r

2

)rdr

2或用先重后單法2V

dz1x2

y2

2

z21

dxdy

(2

z)dz

2而

(y2

x)dydz

(z2

y)dzdx

(x2

z)dxdy

0

(

x2

z)dxdy

(

x2

1)dxdy

0D2

DD

[1

(

x2

y2

)d

d

]2

01

2

1

[

d

r

2

rdr

]04

33

92

4

4故原式

3

例

3

計算曲面積分

(x2

cos

y2

cos

z2

cos

)ds,其中Σ為錐面x2

y2

z2介于平面z

0及z

h(h

0)之間的部分的下側(cè),

cos,cos,cos

是Σ在(x,y,z)處的法向量的方向余弦.xyzoh解

空間曲面在xoy

面上的投影域為Dxy曲面不是封閉曲面,

為利用公式

y2

h2

)補充1

:

z

h

(

x21取上側(cè)

1構(gòu)成封閉曲面

1圍成空間區(qū)域

.在上使用

公式,Dxyxyzo

h1

(

x2

cos

y2

cos

z2cos

)dS1h(

x

y

z)dz,x2

y2

2

(

x

y

z)dv

2

dxdyDxyh其中Dxy

{(

x,

y)

|

x

y

h

}.2

2

2

dxdy

x2

y2

(

x

y)dz

0,Dxy

(

x2

cos

y2

cos

z2

cos

)dS1

(h2

x2

y2

)dxdyDxy

(

x2

cos

y2

cos

z2

cos

)dS

z2dS11

h2dxdyDxy故所求積分為

(

x2

cos

y2

cos

z2

cos

)dS2

1

h4

h42

1

h4

.另解xyzoh(

x,

y,z)1x2

y2

（

z）2n下0dS2x3

y3

z32

2x

y

（

z）

z3原式

dS222x

y

（

z）前后、左右對稱yx

z

dxdyxy2

21

z2

22(

x

y

)3

(

x2

y2

)2D

：x

2

y2

h22

1

h4dS

z32x

y2

（

z）2前后、左右對稱：z

x2

y2xyzoh注①

應(yīng)用Gauss

公式計算曲面積分時，要求曲面必須是封閉曲面，若不封閉，則需要添加一輔助曲面使其封閉，而在所添加的曲面上，曲面積分應(yīng)是容易計算的，用Gauss

公式計算三重積分，最后減去所補曲面上的積分值，往往可使計算簡化②Gauss

公式要求曲面取外側(cè)這一點也不容忽視，尤其是對非封閉曲面的曲面積分，所添加的輔助曲面的側(cè)一定要和所給曲面的側(cè)相容，若不滿足外側(cè)的要求，可利用反向性予以調(diào)整（相差一個負(fù)號）③可以證明在特殊情況下，

Gauss

公式就是Green

公式二、通量與散度引例.設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的密度為1,速度場為v(x,

y,

z)

P(x,

y,

z)i

Q(x,

y,

z)

j

R(x,

y,

z)

k設(shè)

為場中任一有向曲面,

則由對坐標(biāo)的曲面積分的物理意義可知,

單位時間通過曲面

的流量為

P

d

y

d

z

Q

d

z

d

x

Rdx

d

y由兩類曲面積分的關(guān)系,流量還可表示為

P

cos

Q

cos

R

cos

d

S

v

n

d

S

P

d

y

d

z

Q

d

z

d

x

Rdx

d

y若

為方向向外的閉曲面,則單位時間通過

的流量為當(dāng)

>0

時,說明流入

的流體質(zhì)量少于流出的,表明

內(nèi)有泉;nn當(dāng)

<0

時,說明流入

的流體質(zhì)量多于流出的,表明

內(nèi)有洞;當(dāng)

=0

時,說明流入與流出

的流體質(zhì)量相等.根據(jù)

公式,

流量也可表為③為了揭示場內(nèi)任意點M

處的特性,設(shè)

是包含點M且方向向外的任一閉曲面,記

所圍域為,在③式兩邊同除以

的體積

V,

并令

以任意方式縮小至點

M

則有M

Vlim

M

P

Q

R

x

y

z此式反應(yīng)了流速場在點M

的特點:其值為正,負(fù)或0,分別反映在該點有流體涌出,吸入,或沒有任何變化.定義:

設(shè)有向量場A(x,

y,

z)

P(x,

y,

z)i

Q(x,

y,

z)

j

R(x,

y,

z)

k其中P,Q,R

具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),

是場內(nèi)的一片有向曲面,其單位法向量n,則稱

A

n

d

S

為向量場A

通過有向曲面

的通量(流量).在場中點M(x,y,z)處P

Q

R

記作

div

Ax

y

z稱為向量場A

在點M的散度.div

A

0

表明該點處有正源,div

A

0

表明該點處有負(fù)源,div

A

0

表明該點處無源,散度絕對值的大小反映了源的強度.若向量場A

處處有div

A

0,則稱A

為無源場.例如,勻速場v

(vx

,vy

,vz

)(其中vx

,vy

,vz

為常數(shù)),divv

0故它是無源場.說明:由引例可知,散度是通量對體積的變化率,且應(yīng)用

計算流速為

v

=

{x,2y,3z}的不可壓縮流體在單位時間內(nèi)穿過圍x2

y2

z2

(0

z

a)成的整個封閉曲面表面外側(cè)的流量Φ解：

xdydz

2

ydzdx

3zdxdy公式

(1

2

3)dv

6V

2a3另解設(shè)ρ=1

則流量

xdydz

2

ydzdx

3zdxdy

xdydz

2

ydzdx

3zdxdy12

3(1)求1

xdydz

1

2

31

:

x

z2

y2后側(cè)2

:x

z2

y2

前側(cè)3

:

z

a上側(cè)在yoz面上的投影為零兩者的在yoz面上投影域同為Dyz

:

z

y

z,0

z

a1

xdydz

xdydz

xdydz

xdydz

1

2

3

xdydz

xdydz

y2

)dydzDyzz

2z23z2

y2

dydz

a31

2

y2

dydz

Dyz

2yzD(2).同理232

ydzdx

2

a3

(3).

3

3zdxdy

3zdxdy

3zdxdyz=a

上側(cè)3

:3

44

:

z

x

y2

2下側(cè)投影域都是Dxy

:

x

y

a2

2

2

y2

dxdyDxy

Dxyx23

3adxdy

3302032

3a

3r dr

ada由(1),(2),(3)得3321

2a思考與練習(xí)

為判斷下列演算是否正確?1.所圍

,x3

y3

z3d

y

d

z