三角函數(shù)的應(yīng)用（原卷版）

5．7三角函數(shù)的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)中，，，的物理意義1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅就是．2、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期．3、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率．4、稱為相位．5、時(shí)的相位稱為初相．知識(shí)點(diǎn)二、三角函數(shù)模型的應(yīng)用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)研究很多問(wèn)題，在刻畫(huà)周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)其未來(lái)等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．實(shí)際問(wèn)題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技術(shù)．知識(shí)點(diǎn)三、三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟（1）建模問(wèn)題步驟：審讀題意→建立三角函數(shù)式→根據(jù)題意求出某點(diǎn)的三角函數(shù)值→解決實(shí)際問(wèn)題．（2）建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵，先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫(xiě)出具體的三角函數(shù)式．知識(shí)點(diǎn)四、三角函數(shù)應(yīng)用題的三種模式（1）給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實(shí)際問(wèn)題．（2）給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問(wèn)題．（3）整理一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過(guò)擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型，進(jìn)一步用函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)五、三角函數(shù)模型應(yīng)用注意點(diǎn)（1）一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似地刻畫(huà)實(shí)際情況，因此應(yīng)特別注意自變量的取值范圍．（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意從背景中提取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，并利用相關(guān)知識(shí)來(lái)理解．【題型歸納目錄】題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用題型二：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題型三：數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用題型五：幾何中的三角函數(shù)模型【典型例題】題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用例1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）智能主動(dòng)降噪耳機(jī)工作的原理是通過(guò)耳機(jī)兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過(guò)主動(dòng)降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來(lái)抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相位為，則通過(guò)主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（

）A． B． C． D．例2．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖，彈簧掛著一個(gè)小球作上下運(yùn)動(dòng)，小球在t秒時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h（厘米）由如下關(guān)系式確定：，，.已知當(dāng)時(shí)，小球處于平衡位置，并開(kāi)始向下移動(dòng)，則小球在秒時(shí)h的值為（

）A．-2 B．2 C． D．例3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若電流I（單位：A）與時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．則函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_____，當(dāng)時(shí)的電流為_(kāi)_____A．變式1．（2022·山東山東·高一期中）將塑料瓶底部扎一個(gè)小孔做成漏斗，再掛在架子上，就做成了一個(gè)簡(jiǎn)易單擺．在漏斗下方紙板，板的中間畫(huà)一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸，把漏斗灌上細(xì)沙并拉離平衡位置，放手使它擺動(dòng)，同時(shí)勻速拉動(dòng)紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像．它表示了漏斗對(duì)平衡位置的位移s（縱坐標(biāo)）隨時(shí)間t（橫坐標(biāo)）變化的情況．如圖所示，已知一根長(zhǎng)為lcm的線一端固定，另一端懸一個(gè)漏斗，漏斗擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移s（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是，其中，，則估計(jì)線的長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)是（精確到0.1cm）（

）A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm變式2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某個(gè)彈簧振子（簡(jiǎn)稱振子）在完成一次全振動(dòng)的過(guò)程中，時(shí)間t（單位：s）與位移y（單位：mm）之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象如圖所示，其變化規(guī)律可以用求刻畫(huà).(1)求此彈簧振子運(yùn)動(dòng)的周期；(2)求時(shí)彈簧振子所處的位置距離初始位置（）的距離是多少？變式3．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，一根長(zhǎng)l（單位：cm）的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小鋼球，當(dāng)小鋼球做單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移S（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，其中.(1)當(dāng)時(shí)，小鋼球離開(kāi)平衡位置的位移S是多少cm？(2)要使小鋼球擺動(dòng)的周期是1s，則線的長(zhǎng)度l應(yīng)該為多少cm（精確到0.1cm）？【方法技巧與總結(jié)】處理物理學(xué)問(wèn)題的策略（1）常涉及的物理學(xué)問(wèn)題有單擺、光波、電流、機(jī)械波等，其共同的特點(diǎn)是具有周期性．（2）明確物理概念的意義，此類問(wèn)題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)知識(shí)結(jié)合解題．題型二：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用例4．（2022·江西省萬(wàn)載中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，一條河寬AC為1km，兩岸各有一座城市A和B，A與B的直線距離是4km，今需鋪設(shè)一條電纜連接城市A和B，已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬(wàn)元/km，水下電纜的修建費(fèi)是4萬(wàn)元/km，假設(shè)兩岸是平行直線（沒(méi)有彎曲），設(shè)∠CAD=θ，鋪設(shè)電纜總施工費(fèi)用為y元.(1)求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式.(2)應(yīng)該鋪設(shè)地下電纜BD多長(zhǎng)時(shí)方可使總施工費(fèi)用y達(dá)到最小.例5．（2022·廣東佛山·高一期末）2021年7月20日，佛山正式印發(fā)了《城市“暢通工程”兩年行動(dòng)方案》（以下簡(jiǎn)稱《方案》），聚焦人民群眾反映強(qiáng)烈的城市交通擁堵問(wèn)題，通過(guò)微改造、微調(diào)整，為市民出行創(chuàng)造更加暢通有序的交通環(huán)境．現(xiàn)某醫(yī)院附近有條長(zhǎng)500米，寬6米的道路（如圖1所示的矩形ABCD），改造前，路的一側(cè)劃有100個(gè)長(zhǎng)5米，寬2.5米的停車位（如矩形AEFG），按《方案》，在不改變停車位形狀大小、不改變汽車通道寬度的條件下，可通過(guò)壓縮道路旁邊綠化帶及改變停車位方向來(lái)增加停車位，記綠化帶被壓縮的寬度（米），停車位相對(duì)道路傾斜的角度，其中．(1)求d關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)若，求該路段改造后的停車位比改造前增加的個(gè)數(shù)．例6．（2022·遼寧丹東·高一期末）如圖，某地一天從時(shí)的溫度變化曲線近似滿足，其中，，.(1)求，，，；(2)求這一天時(shí)的最大溫差近似值.參考數(shù)據(jù)：，.【方法技巧與總結(jié)】解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟題型三：數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題例7．（2022·全國(guó)·高一）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)刻與水深值（單位：）記錄表：時(shí)刻水深值經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，可以近似用函數(shù)來(lái)描述．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式；(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為，安全條例規(guī)定至少要有的安全間隙（船底與海底的距離），問(wèn)該船在一天內(nèi)（）何時(shí)能進(jìn)入港口？例8．（2022·江西景德鎮(zhèn)·高一期中）“八月十八潮，壯觀天下無(wú)．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩(shī)展現(xiàn)了湖水漲落的壯闊畫(huà)面，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行潮水漲落與時(shí)間的關(guān)系的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，通過(guò)實(shí)地考察某港口水深y（米）與時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系，經(jīng)過(guò)多次測(cè)量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù)：t（小時(shí)）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1該小組成員通過(guò)查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識(shí)儲(chǔ)備，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)圖象．(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請(qǐng)你運(yùn)用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，給該船舶公司提供安全進(jìn)此港時(shí)間段的建議．例9．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某“帆板”集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度（米）隨著時(shí)間（，單位：小時(shí)）而周期性變化．每天各時(shí)刻的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：（時(shí)）（米）(1)試在圖中描出所給點(diǎn)；(2)觀察圖，從，，中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；(3)如果確定在一天內(nèi)的時(shí)至?xí)r之間，當(dāng)浪高不低于米時(shí)才進(jìn)行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時(shí)間．變式4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）平潭國(guó)際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場(chǎng)進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到該處水深y（米）是隨著一天的時(shí)間t（0≤t≤24，單位小時(shí)）呈周期性變化，某天各時(shí)刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如表：t（時(shí)）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖（坐標(biāo)系在答題卷中）．觀察散點(diǎn)圖，從①，②，③．中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)為保證隊(duì)員安全，規(guī)定在一天中的5～18時(shí)且水深不低于1.05米的時(shí)候進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)（1）中的選擇的函數(shù)解析式，試問(wèn)：這一天可以安排什么時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全．變式5．（2022·廣西·桂林十八中高一開(kāi)學(xué)考試）某港口的水深（單位：是時(shí)間的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：0369121518212410139.97101310.1710一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于時(shí)就是安全的．(1)若有以下幾個(gè)函數(shù)模型：，，，你認(rèn)為哪個(gè)模型可以更好地刻畫(huà)與之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系？請(qǐng)你求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？變式6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某港口的水深(單位：)是時(shí)間(，單位：)的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：0369121518212410139.9710139.9710一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于時(shí)就是安全的．(1)若有以下幾個(gè)函數(shù)模型：，你認(rèn)為哪個(gè)模型可以更好地刻畫(huà)y與t之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？【方法技巧與總結(jié)】數(shù)據(jù)擬合的通法（1）處理的關(guān)鍵：數(shù)據(jù)擬合是一項(xiàng)重要的數(shù)據(jù)處理能力，解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何把實(shí)際問(wèn)題三角函數(shù)模型化，而散點(diǎn)圖在這里起了關(guān)鍵作用．（2）一般方法：數(shù)據(jù)對(duì)→作散點(diǎn)圖→確定擬合函數(shù)→解決實(shí)際問(wèn)題．題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用例10．（2022·廣東廣州·高一期末）一半徑為2m的水輪，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3秒轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間．如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)P距離水面的高度h（單位：m）表示為時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)，記，則（

）A．0 B．1 C．3 D．4例11．（2022·浙江溫州·高二期中）一半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)時(shí)，則點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個(gè)函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．例12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖是一大觀覽車的示意圖，已知觀覽車輪半徑為80米，觀覽車中心到地面的距離為82米，觀覽車每30分鐘沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)1圈.若是從距地面42米時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間時(shí)的初始位置，以觀覽車的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t（單位：分鐘），且此時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度為h（單位：米），則h是關(guān)于t的函數(shù).當(dāng)時(shí)關(guān)于的圖象，下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)稱中心為B．對(duì)稱中心為C．對(duì)稱軸為D．對(duì)稱軸為變式7．（2022·上海市建平中學(xué)高一期中）一個(gè)半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米．已知水輪按逆時(shí)針作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每6秒轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間．(1)以過(guò)點(diǎn)O且平行于水輪所在平面與水面的交線L的直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，試將點(diǎn)P距離水面的高度h（單位：米）表示為時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)；(2)在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的任意一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P距離水面的高度不低于2米？變式8．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）一半徑為的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面；已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.（1）以水輪所在平面與水面的交線為軸，以過(guò)點(diǎn)且與水面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)距離水面的高度表示為時(shí)間的函數(shù)；（2）點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？變式9．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，一個(gè)摩天輪的半徑為10m，輪子的最低處距離地面2m．如果此摩天輪按逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每30min轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（點(diǎn)P與摩天輪中心O的高度相同）時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)．(1)求此人相對(duì)于地面的高度h（m）關(guān)于時(shí)間t（min）的函數(shù)關(guān)系式；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間此人相對(duì)于地面的高度不小于17m？變式10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某游樂(lè)場(chǎng)的摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為分鐘．在圓周上均勻分布12個(gè)座艙，標(biāo)號(hào)分別為1~12（可視為點(diǎn)），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，座艙與地面的距離h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系基本符合正弦函數(shù)模型，現(xiàn)從圖示位置，即1號(hào)座艙位于圓周最右端時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t分鐘．(1)求1號(hào)座艙與地面的距離h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的解析式；(2)在前24分鐘內(nèi)，求1號(hào)座艙與地面的距離為17米時(shí)t的值；(3)記1號(hào)座艙與5號(hào)座艙高度之差的絕對(duì)值為H米，求當(dāng)H取得最大值時(shí)t的值．變式11．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高一期末）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，該摩天輪輪盤直徑為米，設(shè)置有個(gè)座艙，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面米，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周大約需要分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開(kāi)始計(jì)時(shí).(1)經(jīng)過(guò)分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式滿足（其中），求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間，距離地面的高度第一次恰好達(dá)到50米？(3)若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙，且中間間隔5個(gè)座艙，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，記兩人距離地面的高度差為米，求的最大值.題型五：幾何中的三角函數(shù)模型例13．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，已知扇形的半徑為，中心角為，四邊形是扇形的內(nèi)接矩形，為上一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)在怎樣的位置時(shí)，矩形的面積最大？并求出這個(gè)最大值．例14．（2022·江西萍鄉(xiāng)·高一期末）如圖，四邊形是一塊邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮，其中扇形的半徑為，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一點(diǎn)，，工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個(gè)有兩邊分別在與上的矩形鐵皮.(1)寫(xiě)出矩形鐵皮的面積與角度的函數(shù)關(guān)系式；(2)求矩形鐵皮面積的最大值和此時(shí)的值.例15．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）我市某旅游區(qū)有一個(gè)人工湖，如圖所示，它的邊界是由圓O的半個(gè)圓?。≒為此圓弧的中點(diǎn)）和直徑MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為1千米．為增加旅游收入，現(xiàn)在該人工湖上規(guī)劃建造兩個(gè)觀景區(qū)：其中荷花池觀景區(qū)的形狀為矩形ABCD；噴泉觀景區(qū)的形狀為．要求端點(diǎn)A，B均在直徑MN上，端點(diǎn)C，D均在圓弧上．設(shè)OC與直徑MN所成的角為．(1)試用分別表示矩形ABCD和的面積；(2)若在矩形ABCD兩側(cè)線段AD，BC的位置架起兩座觀景橋，已知建造觀景橋的費(fèi)用每千米8萬(wàn)元（包含橋的寬度費(fèi)用），建造噴泉觀景區(qū)費(fèi)用每平方千米16萬(wàn)元，建造荷花池的總費(fèi)用為5萬(wàn)元．問(wèn)：的角度為多少時(shí)，建造該觀景區(qū)總費(fèi)用最低，并求出其最低費(fèi)用值．（結(jié)果保留整數(shù)）變式12．（2022·貴州·凱里一中高一開(kāi)學(xué)考試）已知扇形（如圖所示），圓心角，半徑，在弧上取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形，記，矩形的面積為y.(1)寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并化簡(jiǎn)；(2)求矩形面積的最大值，并求此時(shí)x的取值.變式13．（2022·遼寧·大連市第一中學(xué)高一期中）扇形的圓心角為，所在圓半徑OA為2，它按如圖（Ⅰ）（Ⅱ）兩種方式有內(nèi)接矩形CDEF．圖（Ⅰ）矩形CDEF的頂點(diǎn)C、D在扇形的半徑OB上，頂點(diǎn)E在圓弧AB上，頂點(diǎn)F在半徑OA上，設(shè)；圖（Ⅱ）點(diǎn)M是圓弧的中點(diǎn)，矩形CDEF的頂點(diǎn)D、E在圓弧AB上，且關(guān)于直線OM對(duì)稱，頂點(diǎn)C、F分別在半徑OB、OA上，設(shè)；設(shè)圖（Ⅰ）下矩形CDEF面積的最大值為，圖（Ⅱ）下矩形CDEF面積的最大值為，求出與，并比較與的大?。兪?4．（2022·江西·南昌縣蓮塘第一中學(xué)高一期中）某中學(xué)校園內(nèi)有塊扇形空地，經(jīng)測(cè)量其半徑為m，圓心角為.學(xué)校準(zhǔn)備在此扇形空地上修建一所矩形室內(nèi)籃球場(chǎng)ABCD，初步設(shè)計(jì)方案如圖1所示.(1)求出初步設(shè)計(jì)方案中矩形ABCD面積的最大值.(2)你有沒(méi)有更好的設(shè)計(jì)方案來(lái)獲得更大的籃球場(chǎng)面積？若有在圖2畫(huà)出來(lái)，并證明你的結(jié)論.變式15．（2022·安徽·高一期中）某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司為吸引更多消費(fèi)者購(gòu)房，決定在一塊閑置的扇形空地中修建一個(gè)花園，如圖所示．已知扇形的圓心角，半徑為200米．現(xiàn)需要修建的花園為平行四邊形，其中、分別在半徑、上，在上．(1)求扇形的弧長(zhǎng)和面積；(2)設(shè)，平行四邊形的面積為S．求S關(guān)于角的函數(shù)解析式，并指出函數(shù)的定義域．變式16．（2022·云南·昆明一中高一期末）如圖，已知直線，A是之間的一定點(diǎn)，并且點(diǎn)A到，的距離分別為和2.B，C分別是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)，.(1)寫(xiě)出關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)求函數(shù)的最小值及相對(duì)應(yīng)的x的值.變式17．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在矩形的四條邊上，且矩形ABCD的周長(zhǎng)為l．如果AB與的夾角為，那么當(dāng)為何值時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最大？【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈的模型波動(dòng)（的單位：千元，，，，為月份，且）．已知3月出廠價(jià)最高，為9千元，7月出廠價(jià)最低，為5千元，則的解析式為（

）A． B．C． D．2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若電流ⅠA．隨著時(shí)間t（s）變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，3．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）筒車是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具，是中國(guó)古代人民偉大的發(fā)明之一.如圖，已知某個(gè)半徑為6m的筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼妱蛩傩D(zhuǎn)2圈，筒車軸心O距水面3m，設(shè)筒車上某個(gè)盛水筒P，以P剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，則盛水筒P出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間（單位：s）為（

）A．7 B．8 C．9 D．104．（2022·遼寧·大連八中高一階段練習(xí)）單擺從某點(diǎn)開(kāi)始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開(kāi)平衡位置O的距離S（厘米）和時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系為，那么單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)的振幅（厘米）和一次所需的時(shí)間（秒）為（

）A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，25．（2022·江西·上饒中學(xué)高一階段練習(xí)）鑄于明嘉靖十二年的泰山岱廟鐵塔，造型質(zhì)樸雄偉，原有十三級(jí)，抗日戰(zhàn)爭(zhēng)中被日軍飛機(jī)炸毀，現(xiàn)僅存三級(jí)，它的底座是近似圓形的，如圖1．我國(guó)古代工匠已經(jīng)知道，將長(zhǎng)方體磚塊以某個(gè)固定的角度相接就可砌出近似圓形的建筑，現(xiàn)存鐵塔的底座是用10塊一樣的長(zhǎng)方體磚塊砌成的近似圓形的墻面，每塊長(zhǎng)方體磚塊底面較長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位，如圖2，則此近似圓形墻面內(nèi)部所能容納最大圓的半徑是（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）表中給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深關(guān)系．時(shí)刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深（m）5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若該港口的水深y(m)和時(shí)刻t（0≤t≤24）的關(guān)系可用函數(shù)來(lái)近似描述，則該港口在11：00的水深為（

）A．4m B．5m C．6m D．7m7．（2022·北京·高一期末）石景山游樂(lè)園“夢(mèng)想之星”摩天輪采用國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風(fēng)格現(xiàn)代簡(jiǎn)約.“夢(mèng)想之星”摩天輪直徑米，總高約米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時(shí)間為分鐘，配有個(gè)球形全透視度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙.甲乙兩名同學(xué)通過(guò)即時(shí)交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進(jìn)入各自座艙的時(shí)間相差分鐘.這兩名同學(xué)在摩天輪上游玩的過(guò)程中，他們所在的高度之和的最大值約為（

）A．米 B．米 C．米 D．米8．（2022·北京·高一期中）如圖，摩天輪的半徑為40米.摩天輪的中心O點(diǎn)距離地面的高度為45米，摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).每30分鐘轉(zhuǎn)一圈.若摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處.下面有關(guān)結(jié)論正確的是（

）A．經(jīng)過(guò)10分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度為45米B．第25分鐘和第70分鐘點(diǎn)P距離地面的高度相同C．從第10分鐘至第20分鐘，點(diǎn)P距離地面的高度一直在上升D．摩天輪旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)P距離地面的高度不低于65米的時(shí)間為10分鐘二、多選題9．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高一期中）如圖為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)5圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y（m）與時(shí)間x（s）滿足關(guān)系式，則有（

）A． B． C． D．10．（2022·全國(guó)·高一）如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心O到水平地面的距離為60米，最上端的點(diǎn)記為Q，現(xiàn)在摩天輪開(kāi)始逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，30分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時(shí)間的函數(shù)為B．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時(shí)間的函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為C．經(jīng)過(guò)10分鐘點(diǎn)Q距離地面35米D．摩天輪從開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，點(diǎn)Q距離水平地面的高度不超過(guò)85米的時(shí)間為20分鐘11．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，如圖），證明了被稱為幾何學(xué)的基石——勾股定理的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度得到如圖所示的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，現(xiàn)以弦圖的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，線段OA在如圖所示的x軸上（其中有兩“股”線延長(zhǎng)交x，y軸分別為A，B），此“數(shù)學(xué)風(fēng)車”繞點(diǎn)O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間為2秒，，分別用，表示t秒后A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，那么以下選項(xiàng)正確的有（

）A．函數(shù)與的圖象經(jīng)過(guò)平移后可以重合B．函數(shù)的最大值為2C．函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D．函數(shù)在上單調(diào)遞減12．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）阻尼器是一種以提供運(yùn)動(dòng)的阻力，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置．如圖，我國(guó)第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”．由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器模型的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移（cm）和時(shí)間t（）的函數(shù)關(guān)系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次位移為的時(shí)間分別為，，，且，，則下列是的單調(diào)區(qū)間的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）小明給學(xué)校設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)文化長(zhǎng)廊，計(jì)劃將長(zhǎng)廊的頂部遮雨棚設(shè)計(jì)成如圖所示的橫截面為正弦型曲線的形狀（雨棚的厚度忽略不計(jì)）．已知入口處高度AB和出口處高度CD均為H，為使參觀者行走方便，要求雨棚的最低點(diǎn)到地面的距離不小于雨棚的最高點(diǎn)到地面距離的，則雨棚橫截面正弦型曲線振幅的最大值為_(kāi)_____．14．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某游樂(lè)場(chǎng)中半徑為米的摩天輪逆時(shí)針（固定從一側(cè)觀察）勻速旋轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，其最低點(diǎn)離底面米，如果以你從最低點(diǎn)登上摩天輪的時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，那么你與底面的距離高度（米）隨時(shí)間（秒）變化的關(guān)系式為_(kāi)____.15．（2022·福建福州·高一期末）某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)（x=1，2，3，…，12）來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫為28℃；12月份的月平均氣溫為18℃，則10月份的平均氣溫為_(kāi)__________℃.16．（2