新高考藝術(shù)生數(shù)學基礎復習講義 考點32 對數(shù)函數(shù)（教師版含解析）

考點32對數(shù)函數(shù)知識理解知識理解對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).y＝logax的3個特征(1)底數(shù)a>0，且a≠1(2)自變量x>0(3)函數(shù)值域為R三．對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象與性質(zhì)底數(shù)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R圖象過定點(1，0)，即恒有l(wèi)oga1＝0當x>1時，恒有y>0；當0<x<1時，恒有y<0當x>1時，恒有y<0；當0<x<1時，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)注意當對數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的大小不確定時，需分a>1和0<a<1兩種情況進行討論四．反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線y＝x對稱．考向分析考向一對數(shù)函數(shù)辨析考向分析【例1】(2020·全國課時練習)下列函數(shù)為對數(shù)函數(shù)的是()A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)D．y＝2logax(a＞0且a≠1)【答案】C【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，可得判定，只有函數(shù)且復數(shù)對數(shù)函數(shù)的概念，所以函數(shù)且是對數(shù)函數(shù)，而選項A、B、D中的函數(shù)只能是對數(shù)型函數(shù)，不是對數(shù)函數(shù).故選：C.【舉一反三】1．(2020·全國單元測試)下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A． B． C． D．【答案】D【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義：形如且的形式，則函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，只有D符合.故選D2．(2021·全國高一)下列函數(shù)表達式中，是對數(shù)函數(shù)的有()①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】B【解析】由于①中自變量出現(xiàn)在底數(shù)上，①不是對數(shù)函數(shù)；由于②中底數(shù)不能保證，且，②不是對數(shù)函數(shù)；由于⑤⑦的真數(shù)分別為，，⑤⑦也不是對數(shù)函數(shù)；由于⑥中的系數(shù)為2，⑥也不是對數(shù)函數(shù)；只有③④符合對數(shù)函數(shù)的定義.故選：B3．(2020·全國練習)下列函數(shù)，是對數(shù)函數(shù)的是A．y=lg10x B．y=log3x2C．y=lnx D．y=log(x–1)【答案】C【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義，形如y=logax(a>0，a≠1)的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，由此得到：y=lg10x=x，y==2、y=都不是對數(shù)函數(shù)，只有y=lnx是對數(shù)函數(shù)．故選C．考向二對數(shù)函數(shù)的定義域【例2】(1)(2020·云南省保山第九中學高三開學考試(理))函數(shù)的定義域是()A． B． C． D．(2)(2021·湖北鄂州市·高一期末)已知的定義域為，那么的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】(1)A(2)A【解析】對于函數(shù)，有，解得，因此，函數(shù)的定義域是.故選：A.(2)由條件可知恒成立，即，解得：，所以的取值范圍是.故選：A【舉一反三】1．(2021·四川資陽市)已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為()A． B． C． D．【答案】D【解析】已知函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)，有，即，解得.因此，函數(shù)的定義域為.故選：D.2.(2021·廣西期末)函數(shù)的定義域為()A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可知解得且.所以函數(shù)的定義域為故選：D3．(2021·全國高一課時練習)函數(shù)的定義域是()A． B．C． D．【答案】D【解析】由題可得，，解得．所以函數(shù)的定義域是．故選：D．4．(2021·全國練習)函數(shù)的定義域是()A． B．C． D．【答案】A【解析】由，即，解得，所以的定義域是故選：A考向三對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【例3-1】(2021·四川高一開學考試)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，函數(shù)應滿足：，解得：；而在上單增，在上單減；∵是減函數(shù)，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：D【例3-2】(2021·吳縣中學)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則要使在上單調(diào)遞增，則滿足，即，得，即實數(shù)的取值范圍是，故選：．【例3-3】．(2021·浙江)已知，，，則，，的大小關系是()A． B． C． D．【答案】A【解析】，即；，即；，即，所以.故選：A【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】比較對數(shù)值大小的常見類型及解題方法常見類型解題方法底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷底數(shù)為同一字母需對底數(shù)進行分類討論底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進行比較底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1，0等中間量進行比較【舉一反三】1．(2021·重慶北碚區(qū)·西南大學附中)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A． B． C． D．【答案】D【解析】對于函數(shù)，，解得或，所以，函數(shù)的定義域為.內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，外層函數(shù)為增函數(shù)，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.2．(2021·廣東廣州市·高三二模)已知，，，則()A． B．C． D．【答案】D【解析】，即；，即.所以.故選：D3．(2021·陜西西安市·西安中學高三月考(理))設函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，，可得是偶函數(shù)，所以等價于當時，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，整理可得，解得：或，所以使得成立的x的取值范圍是，故選：B4．(2021·廣東珠海市)已知，，，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，則，所以，故選：B5．(2021·湖北開學考試)已知，，，則下列關系正確的是()A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，，所以，故選：D．8．(2021·全國)若函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得，設，根據(jù)對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)單調(diào)性可知：在上是單調(diào)增函數(shù)，且，所以，所以，故選:C．9(2021·全國課時練習)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍()A． B．C． D．【答案】C【解析】令，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以t在上遞減，且恒成立,即，且，解得，又，即，所以，所以的取值范圍，故選：C考向四對數(shù)函數(shù)的值域【例4-1】(2021·廣西玉林市)若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知，函數(shù)的值域包含，當時，符合題意；當時，則，解得；當時，顯然不符合題意，故實數(shù)的取值范圍是．故選：A.【例4-2】(2021·貴州畢節(jié)市)已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)a的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】B【解析】時，，又的值域為，則時，的值域包含，，解得：.故選：B【舉一反三】1．(2021·重慶)已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域包含，所以，存在，使得，即，而函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，，.故選：D.2．(2020·新疆烏魯木齊市·烏魯木齊101中學)求下列函數(shù)的定義域與值域：(1)；(2).【答案】(1)定義域是，值域是；(2)定義域是，值域是.【解析】(1)對于函數(shù)，有，可得，由于，則，因此，函數(shù)的定義域為，值域是；(2)，，則，因此，函數(shù)的定義域是，值域是.考向五對數(shù)函數(shù)的定點【例5】(2021·四川開學考試)函數(shù)(，且)的圖象一定經(jīng)過的點是()A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，則，即函數(shù)圖象過定點．故選：B．【舉一反三】1．(2020·平羅中學)函數(shù)的圖像一定經(jīng)過點()A． B． C． D．【答案】B【解析】當，即時，，即函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點.故選：B.2．(2020·平羅中學)函數(shù)的圖象過定點()A． B． C． D．【答案】D【解析】因為對數(shù)函數(shù)且過定點，函數(shù)可以由數(shù)向左平移個單位，再向上平移個單位得到，故函數(shù)的圖象過定點故選：D.3．(2020·河南信陽市)函數(shù)的圖像恒過定點，點在冪函數(shù)的圖像上，則()A．2 B．3 C．8 D．9【答案】D【解析】由可得當時，，，設，則，解得，于是，∴.故選：D.強化練習一、單選題強化練習1．(2021·全國課時練習)若某對數(shù)函數(shù)的圖象過點，則該對數(shù)函數(shù)的解析式為()A． B．C．或 D．不確定【答案】A【解析】設函數(shù)為，依題可知，，解得，所以該對數(shù)函數(shù)的解析式為．故選：A．2．(2021·全國課時練習)已知函數(shù)(且)的圖象必經(jīng)過定點P，則P點坐標是()A． B．C． D．【答案】C【解析】令，解得，所以，因此函數(shù)的圖象過定點．故選：C．3．(2020·全國課時練習)下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A．y＝log3(x＋1) B．y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)C．y＝logax2(a>0，且a≠1) D．y＝lnx【答案】D【解析】形如的函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，只有D滿足.故選D.4．(2021·江蘇鹽城市·高三一模)已知函數(shù)的定義域為集合M，函數(shù)的值域為N，則()A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，又，故.故選:C.5．(2021·安徽高三一模(理))已知函數(shù)f(x)=e|lnx|，，b=f(log2)，c=f(21.2)，則()A．b>c>a B．c>b>aC．c>a>b D．b>a>c【答案】B【解析】所以故選：B6．(2021·六安市裕安區(qū)新安中學)已知，則的大小關系是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由指數(shù)冪與對數(shù)的運算公式，可得，因為，可得，所以，即，所以，即，又由，即，所以.故選：C.7．(2021·四川開學考試)已知，，，則的大小關系為()A． B． C． D．【答案】A【解析】由對數(shù)的運算性質(zhì)可知：，，，所以，故選：A.8．(2021·湖南永州市·高三二模)已知，，，則()A． B．C． D．【答案】D【解析】,,因為，所以故故選：D9．(2021·陜西西安市·西安中學高三月考(文))設，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，所以．故選：A．10．(2021·云南師大附中高三月考(文))已知，，，則()A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，，，所以，故選：B.11．(2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三月考(理))函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，所以函數(shù)的定義域為.因為函數(shù)在上為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D12．(2021·湖北開學考試)已知函數(shù)(且)的圖象恒過定點P，點P在冪函數(shù)的圖象上，則()A． B．2 C．1 D．【答案】C【解析】函數(shù)中，令，解得，此時；所以函數(shù)y的圖象恒過定點，又點P在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得；所以，所以．故選：C．13．(2020·全國高三專題練習)已知對數(shù)函數(shù)，則______．【答案】2【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義，可得，解得．故答案為．14．(2020·全國課時練習)若函數(shù)y＝(a2－3a＋3)logax是對數(shù)函數(shù)，則a的值為______．【答案】2【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義結(jié)合題意可知：，據(jù)此可得：.15．(2020·全國高一課時練習)函數(shù)的定義域為____________；單調(diào)增區(qū)間____________；單調(diào)減區(qū)間____________；值域是____________．【答案】【解析】由，解得，所以函數(shù)的定義域為；因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的減區(qū)間是，增區(qū)間為；因為，所以，以為在上是減函數(shù)，且，所以函數(shù)的值域為；故答案為：①；②；③；④.16．(2020·天津經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學高一月考)函數(shù)的值域是________.【答案】【解析】解：由題可知，函數(shù)，則，解得：，所以函數(shù)的定義域為，設，，則時，為增函數(shù)，時，為減函數(shù)，可知當時，有最大值為，而，所以，而對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，∴函數(shù)的值域為.故答案為：.17．(2020·陜西省子洲中學高三月考(文))函數(shù)的值域為_____.【答案】【解析】當時，，則，因此，函數(shù)的值域為.故答案為：.18．(2020·福建省廈門第六中學高一期中)函數(shù)的值域是________.【答案】【解析】由，解得，即函數(shù)的定義域為令，則，即函數(shù)的值域是故答案為：19．(2021·壽縣第一中學高一開學考試)不等式的解集為_________.【答案】【解析】因為，所以，即，因為，所以恒成立，所以，即，所以，所以，所以原不等式的解集為故答案為：20．(2020·河南高二月考(文))函數(shù)在單調(diào)遞減，則的范圍是__