2021年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學真題 解析版

2021年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．幾種氣體的液化溫度（標準大氣壓）如下表：氣體氧氣氫氣氮氣氦氣液化溫度℃﹣183﹣253﹣195.8﹣268其中液化溫度最低的氣體是（）A．氦氣B．氮氣C．氫氣D．氧氣2．如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直線DE經(jīng)過點A，∠DAB＝50°，則∠EAC的度數(shù)是（）A．40°B．50°C．60°D．70°3．如圖所示的幾何體，其俯視圖是（）A．B．C．D．4．下列計算正確的是（）A．3a2+4a2＝7a4B．?＝1C．﹣18+12÷（﹣）＝4D．5．已知關(guān)于x的不等式組﹣a﹣1＝無實數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥﹣B．a(chǎn)≥﹣2C．a(chǎn)＞﹣D．a(chǎn)＞﹣26．某學校初一年級學生來自農(nóng)村，牧區(qū)，城鎮(zhèn)三類地區(qū)，下面是根據(jù)其人數(shù)比例繪制的扇形統(tǒng)計圖，由圖中的信息，得出以下3個判斷，錯誤的有（）①該校初一學生在這三類不同地區(qū)的分布情況為3：2：7．②若已知該校來自牧區(qū)的初一學生為140人，則初一學生總?cè)藬?shù)為1080人．③若從該校初一學生中抽取120人作為樣本，調(diào)查初一學生父母的文化程度，則從農(nóng)村、牧區(qū)、城鎮(zhèn)學生中分別隨機抽取30、20、70人，樣本更具有代表性．A．3個B．2個C．1個D．0個7．在平面直角坐標系中，點A（3，0），B（0，4）．以AB為一邊在第一象限作正方形ABCD，則對角線BD所在直線的解析式為（）A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝48．如圖，正方形的邊長為4，剪去四個角后成為一個正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國魏晉時期數(shù)學家劉徽的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計π的值，下面d及π的值都正確的是（）A．d＝，π≈8sin22.5°B．d＝C．d＝D．d＝，π≈4sin22.5°，π≈8sin22.5°，π≈4sin22.5°9．以下四個命題：①任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分；②A，B，C，D，E，F(xiàn)六個足球隊進行單循環(huán)賽，若A，B，C，D，E分別賽了5，4，3，2，1場，則由此可知，還沒有與B隊比賽的球隊可能是D隊；③兩個正六邊形一定位似；④有13人參加捐款，其中小王的捐款數(shù)比13人捐款的平均數(shù)多2元，則小王的捐款數(shù)不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．其中真命題的個數(shù)有（）A．1個B．2個C．3個D．4個10．已知二次項系數(shù)等于1的一個二次函數(shù)，其圖象與x軸交于兩點（m，0），（n，0），且過A（0，b），B（3，a）兩點（b，a是實數(shù)），若0＜m＜n＜2，則ab的取值范圍是（）A．0＜ab＜B．0＜ab＜C．0＜ab＜D．0＜ab＜二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．本題要求把正確結(jié)果填在答題卡規(guī)定的橫線上，不需要解答過程）11．因式分解：x3y﹣4xy＝．12．正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點，若A點坐標為（，﹣2k1+k2＝．），則13．已知圓錐的母線長為10，高為8，則該圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的弧長為．（用含π的代數(shù)式表示），圓心角為度．14．動物學家通過大量的調(diào)查，估計某種動物活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.5，據(jù)此若設(shè)剛出生的這種動物共有a只，則20年后存活的有只，現(xiàn)年20歲的這種動物活到25歲的概率是．15．已知菱形ABCD的面積為2，點E是一邊BC上的中點，點P是對角線BD上的動點．連接AE，若AE平分∠BAC，則線段PE與PC的和的最小值為，最大值為．16．若把第n個位置上的數(shù)記為xn，則稱x1，x2，x3，…，xn有限個有序放置的數(shù)為一個數(shù)列A．定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是這個數(shù)列中第n個位置上的數(shù)，n＝1，2，…，k且yn＝3，1，2，1，則其“伴生數(shù)列”B是并規(guī)定x0＝xn，xn+1＝x1．如果數(shù)列A只有四個數(shù)，且x1，x2，x3，x4依次為．三、解答題（本大題共8小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）計算求解：（1）計算（）﹣1﹣（﹣）÷+tan30°；（2）解方程組．18．（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE∥DF且分別交對角線AC于點E，F(xiàn)．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）當四邊形ABCD分別是矩形和菱形時，請分別說出四邊形BEDF的形狀．（無需說明理由）19．（10分）某大學為了解大學生對中國共產(chǎn)黨黨史知識的學習情況，在大學一年級和二年級舉行有關(guān)黨史知識測試活動．現(xiàn)從一、二兩個年級中各隨機抽取20名學生的測試成績（滿分50分，30分及30分以上為合格；40分及40分以上為優(yōu)秀）進行整理、描述和分析，給出了下面的部分信息．大學一年級20名學生的測試成績?yōu)椋?9，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．大學二年級20名學生的測試成績條形統(tǒng)計圖如圖所示；兩個年級抽取的學生的測試成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、優(yōu)秀率如下表所示：年級大一大二平均數(shù)a眾數(shù)b中位數(shù)優(yōu)秀率43cmn39.544請你根據(jù)上面提供的所有信息，解答下列問題：（1）上表中a＝，b＝，c＝，m＝，n；根據(jù)樣本統(tǒng)計數(shù)據(jù)，你認為該大學一、二年級中哪個年級學生掌握黨史知識較好？并說明理由（寫出一條理由即可）；（2）已知該大學一、二年級共1240名學生參加了此次測試活動，通過計算，估計參加此次測試活動成績合格的學生人數(shù)能否超過1000人；（3）從樣本中測試成績?yōu)闈M分的一、二年級的學生中隨機抽取兩名學生，用列舉法求兩人在同一年級的概率．20．（8分）如圖，線段EF與MN表示某一段河的兩岸，EF∥MN．綜合實踐課上，同學們需要在河岸MN上測量這段河的寬度（EF與MN之間的距離），已知河對岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同學們首先在河岸MN上選取點A處，用測角儀測得C建筑物位于A北偏東45°方向，再沿河岸走20米到達B處，測得D建筑物位于B北偏東55°方向，請你根據(jù)所測數(shù)據(jù)求出該段河的寬度，（用非特殊角的三角函數(shù)或根式表示即可）21．（7分）下面圖片是七年級教科書中“實際問題與一元一次方程”的探究3．探究3電話計費問題下表中有兩種移動電話計費方式．月使用費/元主叫限定時間/min主叫超時費/（元/min）0.25被叫方式一方式二5888150350免費免費0.19考慮下列問題：月使用費固定收：主叫不超限定時間不再收費，主叫超時部分加收超時費，被叫免費．（1）設(shè)一個月內(nèi)用移動電話主叫為tmin（t是正整數(shù)）．根據(jù)上表，列表說明：當t在不同時間范圍內(nèi)取值時，按方式一和方式二如何計費．（2）觀察你的列表，你能從中發(fā)現(xiàn)如何根據(jù)主叫時間選擇省錢的計費方式嗎？通過計算驗證你的看法．小明升入初三再看這個問題，發(fā)現(xiàn)兩種計費方式，每一種都是因主叫時間的變化而引起計費的變化，他把主叫時間視為在正實數(shù)范圍內(nèi)變化，決定用函數(shù)來解決這個問題．（1）根據(jù)函數(shù)的概念，小明首先將問題中的兩個變量分別設(shè)為自變量x和自變量的函數(shù)y，請你幫小明寫出：x表示問題中的，y表示問題中的．并寫出計費方式一和二分別對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）在給出的正方形網(wǎng)格紙上畫出（1）中兩個函數(shù)的大致圖象，并依據(jù)圖象直接寫出如何根據(jù)主叫時間選擇省錢的計費方式．（注：坐標軸單位長度可根據(jù)需要自己確定）22．（7分）為了促進學生加強體育鍛煉，某中學從去年開始，每周除體育課外，又開展了“足球俱樂部1小時”活動．去年學校通過采購平臺在某體育用品店購買A品牌足球共花費2880元，B品牌足球共花費2400元，且購買A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍，每個足球的售價，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于參加俱樂部人數(shù)增加，需要從該店再購買A、B兩種足球共50個，已知該店對每個足球的售價，今年進行了調(diào)整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年購買A、B兩種足球的總費用不超過去年總費用的一半，那么學校最多可購買多少個B品牌足球？23．（10分）已知AB是⊙O的任意一條直徑．（1）用圖1，求證：⊙O是以直徑AB所在直線為對稱軸的軸對稱圖形；（2）已知⊙O的面積為4π，直線CD與⊙O相切于點C，過點B作BD⊥CD，垂足為D，如圖2．求證：①BC2＝2BD；②改變圖2中切點C的位置，使得線段OD⊥BC時，OD＝2．24．（12分）已知拋物線y＝ax2+kx+h（a＞0）．（1）通過配方可以將其化成頂點式為，根據(jù)該拋物線在對稱軸兩側(cè)從左到右圖象的特（填上方或下方），即4ah﹣k20（填大于或小征，可以判斷，當頂點在x軸于）時，該拋物線與x軸必有兩個交點；（2）若拋物線上存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x軸的兩側(cè)，則拋物線頂點必在x軸下方，請你結(jié)合A、B兩點在拋物線上的可能位置，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對這個結(jié)論的正確性給以說明；（為了便于說明，不妨設(shè)x1＜x2且都不等于頂點的橫坐標；另如果需要借助圖象輔助說明，可自己畫出簡單示意圖）（3）利用二次函數(shù)（1）（2）結(jié)論，求證：當a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0時，（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．2021年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．幾種氣體的液化溫度（標準大氣壓）如下表：氣體氧氣氫氣氮氣氦氣液化溫度℃﹣183﹣253﹣195.8﹣268其中液化溫度最低的氣體是（）A．氦氣B．氮氣C．氫氣D．氧氣【分析】根據(jù)有理數(shù)大小比較的方法進行比較即可求解．【解答】解：∵﹣268＜﹣253＜﹣195.8＜﹣183，∴其中液化溫度最低的氣體是氦氣．故選：A．2．如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直線DE經(jīng)過點A，∠DAB＝50°，則∠EAC的度數(shù)是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根據(jù)三角新內(nèi)角和可以先求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義，可知∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，從而可以求得∠EAC的度數(shù)．【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵∠DAB＝50°，∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝180°﹣∠DAB﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故選：D．3．如圖所示的幾何體，其俯視圖是（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)視圖的意義，從上面看該幾何體，所得到的圖形進行判斷即可．【解答】解：從上面看該幾何體，所看到的圖形如下：故選：B．4．下列計算正確的是（）A．3a2+4a2＝7a4B．?＝1C．﹣18+12÷（﹣）＝4D．﹣a﹣1＝【分析】根據(jù)各個選項中的式子可以計算出正確的結(jié)果，從而可以解答本題．【解答】解：3a2+4a2＝7a2，故選項A錯誤；當a＞0時，＝a＝1，當a＜0時，＝﹣a＝﹣1，故選項B錯誤；﹣18+12÷（﹣）＝﹣18﹣18＝﹣36，故選項C錯誤；﹣a﹣1＝故選：D．﹣（a+1）＝＝＝，故選項D正確；5．已知關(guān)于x的不等式組無實數(shù)解，則a的取值范圍是（）D．a(chǎn)＞﹣2A．a(chǎn)≥﹣B．a(chǎn)≥﹣2C．a(chǎn)＞﹣【分析】分別解兩個不等式，根據(jù)不等式組無實數(shù)解，得到關(guān)于a的不等式，解之即可．【解答】解：解不等式﹣2x﹣3≥1得：x≤﹣2，解不等式﹣1≥得：x≥2a+2，∵關(guān)于x的不等式組無實數(shù)解，∴不等式的解集為2a+2＞﹣2，解得：a＞﹣2，故選：D．6．某學校初一年級學生來自農(nóng)村，牧區(qū)，城鎮(zhèn)三類地區(qū)，下面是根據(jù)其人數(shù)比例繪制的扇形統(tǒng)計圖，由圖中的信息，得出以下3個判斷，錯誤的有（）①該校初一學生在這三類不同地區(qū)的分布情況為3：2：7．②若已知該校來自牧區(qū)的初一學生為140人，則初一學生總?cè)藬?shù)為1080人．③若從該校初一學生中抽取120人作為樣本，調(diào)查初一學生父母的文化程度，則從農(nóng)村、牧區(qū)、城鎮(zhèn)學生中分別隨機抽取30、20、70人，樣本更具有代表性．A．3個B．2個C．1個D．0個【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計圖分別求出各組人數(shù)所占比例，進而得出答案．【解答】解：該校來自城鎮(zhèn)的初一學生的扇形的圓心角為：360°﹣90°﹣60°＝210°，∴該校初一學生在這三類不同地區(qū)的分布情況為90：60：210＝3：2：7，故①正確，不符合題意；若已知該校來自牧區(qū)的初一學生為140人，則初一學生總?cè)藬?shù)為140÷＝840（人），故②錯誤，符合題意；120×120×120×＝30（人），＝20（人），＝70（人），故③正確，不符合題意；故選：C．7．在平面直角坐標系中，點A（3，0），B（0，4）．以AB為一邊在第一象限作正方形ABCD，則對角線BD所在直線的解析式為（）A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝4【分析】過D點作DH⊥x軸于H，如圖，證明△ABO≌△DAH得到AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，則D（7，3），然后利用待定系數(shù)法求直線BD的解析式．【解答】解：過D點作DH⊥x軸于H，如圖，∵點A（3，0），B（0，4）．∴OA＝3，OB＝4，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠ABO+∠DAH＝90°，∴∠ABO＝∠DAH，在△ABO和△DAH中，，∴△ABO≌△DAH（AAS），∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，∴D（7，3），設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，把D（7，3），B（0，4）代入得，解得，∴直線BD的解析式為y＝﹣x+4．故選：A．8．如圖，正方形的邊長為4，剪去四個角后成為一個正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d，根據(jù)我國魏晉時期數(shù)學家劉徽的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計π的值，下面d及π的值都正確的是（）A．d＝，π≈8sin22.5°B．d＝C．d＝D．d＝，π≈4sin22.5°，π≈8sin22.5°，π≈4sin22.5°【分析】根據(jù)外接圓的性質(zhì)可知，圓心各個頂點的距離相等，過圓心向邊作垂線，解直角三角形，再根據(jù)圓周長公式可求得．【解答】解：如圖，連接AD，BC交于點O，過點O作OP⊥BC于點P，則CP＝PD，且∠COP＝22.5°，設(shè)正八邊形的邊長為a，則a+2×a＝4，解得a＝4（﹣1），在Rt△OCP中，OC＝＝，∴d＝2OC＝由πd≈8CD，，則π≈32（﹣1），∴π≈8sin22.5°．故選：C．9．以下四個命題：①任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分；②A，B，C，D，E，F(xiàn)六個足球隊進行單循環(huán)賽，若A，B，C，D，E分別賽了5，4，3，2，1場，則由此可知，還沒有與B隊比賽的球隊可能是D隊；③兩個正六邊形一定位似；④有13人參加捐款，其中小王的捐款數(shù)比13人捐款的平均數(shù)多2元，則小王的捐款數(shù)不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．其中真命題的個數(shù)有（）A．1個B．2個C．3個D．4個【分析】利用三角形的中位線的性質(zhì)、相似多邊形的定義及平均數(shù)的知識分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：①任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分，正確，是真命題，符合題意；②由每個隊分別與其它隊比賽一場，最多賽5場，A隊已經(jīng)賽完5場，則每個隊均與A隊賽過，E隊僅賽一場（即與A隊賽過），所以E隊還沒有與B隊賽過，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意．③兩個正六邊形一定相似但不一定位似，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；④有13人參加捐款，其中小王的捐款數(shù)比13人捐款的平均數(shù)多2元，則小王的捐款數(shù)不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少，正確，是真命題，符合題意，正確的有2個，故選：B．10．已知二次項系數(shù)等于1的一個二次函數(shù)，其圖象與x軸交于兩點（m，0），（n，0），且過A（0，b），B（3，a）兩點（b，a是實數(shù)），若0＜m＜n＜2，則ab的取值范圍是（）A．0＜ab＜B．0＜ab＜C．0＜ab＜D．0＜ab＜【分析】方法1、由二次項系數(shù)為1的拋物線判斷出拋物線的開口向上，開口大小一定，進而判斷出ab＞0，再根據(jù)完全平方公式判斷出a＝b，且拋物線與x軸只有一個交點時，是ab的最大值的分界點，進而求出m＝n＝，進而求出a＝b＝，即可得出結(jié)論．方法2、先表示出b＝mn，a＝（3﹣m）（3﹣n），進而得出ab＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]，再判斷出0＜﹣（m﹣）2+≤，0＜﹣（n﹣）2+≤，即可得出結(jié)論．【解答】解法1、∵函數(shù)是一個二次項系數(shù)為1的二次函數(shù)，∴此函數(shù)的開口向上，開口大小一定，∵拋物線與x軸交于兩點（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，∴a＞0，b＞0，∴ab＞0，∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0（a＝b時取等號），即a2+b2≥2ab（當a＝b時取等號），∴當a＝b時，ab才有可能最大，∵二次函數(shù)過A（0，b），B（3，a）兩點，∴點A，B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，即拋物線的對稱軸為直線x＝1.5，∵拋物線與x軸交于兩點（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，∴拋物線的頂點越接近x軸，ab的值越大，即當拋物線與x軸只有一個交點時，是ab最大值的分界點，當拋物線與x軸只有一個交點時，此時m＝n＝，∴拋物線的解析式為y＝（x﹣）2＝x2﹣3x+，∴a＝b＝，∴ab＜（）2＝，∴0＜ab＜，故選：C．解法2、∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，b）和（3，a）兩點，∴b＝mn，a＝（3﹣m）（3﹣n），∴ab＝mn（3﹣m）（3﹣n）＝（3m﹣m2）（3n﹣n2）＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]∵0＜m＜n＜3，∴0＜﹣（m﹣）2+≤，0＜﹣（n﹣）2+≤，∵m＜n，∴ab不能取，，∴0＜mn＜故選：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．本題要求把正確結(jié)果填在答題卡規(guī)定的橫線上，不需要解答過程）11．因式分解：x3y﹣4xy＝xy（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式xy，再利用平方差公式對因式x2﹣4進行分解．【解答】解：x3y﹣4xy，＝xy（x2﹣4），＝xy（x+2）（x﹣2）．12．正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點，若A點坐標為（，﹣2k1+k2＝﹣8．），則【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得k1、k2，即可求得k1+k2的值．【解答】解：∵正比例函數(shù)y＝k1x與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點，若A點坐標為（，﹣2），∴﹣2＝k1，﹣2＝，∴k1＝﹣2，k2＝﹣6，∴k1+k2＝﹣8，故答案為﹣8．13．已知圓錐的母線長為10，高為8，則該圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的弧長為12π．（用含π的代數(shù)式表示），圓心角為216度．【分析】根據(jù)圓錐的展開圖為扇形，結(jié)合圓周長公式的求解．【解答】解：設(shè)底面圓的半徑為rcm，由勾股定理得：r＝∴2πr＝2π×6＝12π，＝6，根據(jù)題意得2π×6＝解得n＝216，，即這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為216°．故答案為：12π，216．14．動物學家通過大量的調(diào)查，估計某種動物活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.5，據(jù)此若設(shè)剛出生的這種動物共有a只，則20年后存活的有0.8a只，現(xiàn)年20歲的這種動物活到25歲的概率是．【分析】用概率乘以動物的總只數(shù)即可得出20年后存活的數(shù)量；先設(shè)出所有動物的只數(shù)，根據(jù)動物活到各年齡階段的概率求出相應(yīng)的只數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【解答】解：若設(shè)剛出生的這種動物共有a只，則20年后存活的有0.8a只，設(shè)共有這種動物x只，則活到20歲的只數(shù)為0.8x，活到30歲的只數(shù)為0.5x，故現(xiàn)年20歲到這種動物活到25歲的概率為故答案為：0.8a，．＝，15．已知菱形ABCD的面積為2，點E是一邊BC上的中點，點P是對角線BD上的動點．連接AE，若AE平分∠BAC，則線段PE與PC的和的最小值為，最大值為2+．【分析】由點E是一邊BC上的中點及AE平分∠BAC，可得△ABC是等邊三角形，根據(jù)菱形ABCD的面積為2，可得菱形的邊長為2；求PE+PC的最小值，點E和點C是定點，點P是線段BD上動點，由軸對稱最值問題，可求出最小值；求和的最大值，觀察圖形可知，當PE和PC的長度最大時，和最大，即點P和點D重合時，PE+PC的值最大．【解答】解：根據(jù)圖形可畫出圖形，如圖所示，過點B作BF∥AC交AE的延長線于點F，∴∠F＝∠CAE，∠EBF＝∠ACE，∵點E是BC的中點，∴△ACE≌△FBE（AAS），∴BF＝AC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF＝AC，在菱形ABCD中，AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等邊三角形；∴∠ABC＝60°，設(shè)AB＝a，則BD＝，∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝2∴a＝2，即AB＝BC＝CD＝2；∵四邊形ABCD是菱形，，即＝2，∴點A和點C關(guān)于BD對稱，∴PE+PC＝AP+EP，當點A，P，E三點共線時，AP+EP的和最小，此時AE＝點P和點D重合時，PE+PC的值最大，此時PC＝DC＝2，過點D作DG⊥BC交BC的延長線于點G，連接DE，；∵AB∥CD，∠ABC＝60°，∴∠DCG＝60°，∴CG＝1，DG＝∴EG＝2，∴DE＝，＝，此時PE+PC＝2+即線段PE與PC的和的最小值為；最大值為2+；2+；．故答案為：．16．若把第n個位置上的數(shù)記為xn，則稱x1，x2，x3，…，xn有限個有序放置的數(shù)為一個數(shù)列A．定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是這個數(shù)列中第n個位置上的數(shù)，n＝1，2，…，k且yn＝并規(guī)定x0＝xn，xn+1＝x1．如果數(shù)列A只有四個數(shù)，且x1，x2，x3，x4依次為3，1，2，1，則其“伴生數(shù)列”B是0，1，0，1．【分析】根據(jù)“伴生數(shù)列”的定義依次取n＝1，2，3，4，求出對應(yīng)的yn即可．【解答】解：當n＝1時，x0＝x4＝1＝x2，∴y1＝0，當n＝2時，x1≠x3，∴y2＝1，當n＝3時，x2＝x4，∴y3＝0，當n＝4時，x3≠x5＝x1，∴y4＝1，∴“伴生數(shù)列”B是：0，1，0，1，故答案為0，1，0，1．三、解答題（本大題共8小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）計算求解：（1）計算（）﹣1（2）解方程組﹣（﹣）÷+tan30°；．【分析】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪、二次根式的除法法則和特殊角的三角函數(shù)值計算；（2）先把原方程組化簡，然后利用加減消元法解方程組．【解答】解：（1）原式＝3﹣（﹣）+×＝3﹣（4﹣2）+1＝3﹣2+1＝2；（2）原方程整理為，①×12﹣②得：13x＝3900，解得x＝300，把x＝300代入①得：y＝400，∴方程組的解為．18．（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE∥DF且分別交對角線AC于點E，F(xiàn)．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）當四邊形ABCD分別是矩形和菱形時，請分別說出四邊形BEDF的形狀．（無需說明理由）【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，再由BE∥DF，可得∠AEB＝∠CFD，進而判斷△ABE≌△CDF；（2）【解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，∴180°﹣∠BEC＝180°﹣∠DFA，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），（2）連接ED，BF，BD，由（1）知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，1°當四邊形ABCD是矩形時，四邊形BEDF是平行四邊形，2°當四邊形ABCD是菱形時，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴四邊形BEDF是菱形．19．（10分）某大學為了解大學生對中國共產(chǎn)黨黨史知識的學習情況，在大學一年級和二年級舉行有關(guān)黨史知識測試活動．現(xiàn)從一、二兩個年級中各隨機抽取20名學生的測試成績（滿分50分，30分及30分以上為合格；40分及40分以上為優(yōu)秀）進行整理、描述和分析，給出了下面的部分信息．大學一年級20名學生的測試成績?yōu)椋?9，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．大學二年級20名學生的測試成績條形統(tǒng)計圖如圖所示；兩個年級抽取的學生的測試成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、優(yōu)秀率如下表所示：年級大一大二平均數(shù)a眾數(shù)b中位數(shù)優(yōu)秀率43cmn39.544請你根據(jù)上面提供的所有信息，解答下列問題：（1）上表中a＝41.1，b＝43，c＝42.5，m＝55%，n＝65%；根據(jù)樣本統(tǒng)計數(shù)據(jù)，你認為該大學一、二年級中哪個年級學生掌握黨史知識較好？并說明理由（寫出一條理由即可）；（2）已知該大學一、二年級共1240名學生參加了此次測試活動，通過計算，估計參加此次測試活動成績合格的學生人數(shù)能否超過1000人；（3）從樣本中測試成績?yōu)闈M分的一、二年級的學生中隨機抽取兩名學生，用列舉法求兩人在同一年級的概率．【分析】（1）由平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解即可，再由兩個年級的優(yōu)秀率進行說明即可；（2）先求出樣本合格率，再由參加此次測試活動的總?cè)藬?shù)乘以合格率即可；（3）畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，兩人在同一年級的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）將一年級20名同學成績整理如下表：成績?nèi)藬?shù)251302374392435494502'∴a＝（25×1+30×2+37×4+39×2+43×5+49×4+50×2）＝41.1，b＝43，c＝＝42.5，m＝（5+4+2）÷20×100%＝55%，n＝（3+5+2+3）÷20×100%＝65%，故答案為：41.1，43，42.5，55%，＝65%；從表中優(yōu)秀率看，二年級樣本優(yōu)秀率達到65%高于一年級的55%，因此估計二年級學生的優(yōu)秀率高，所以用優(yōu)秀率評價，估計二年級學生掌握黨史知識較好．（2）∵樣本合格率為：＝92.5%，∴估計總體的合格率大約為92.5%，∴估計參加測試的兩個年級合格學生約為：1240×92.5＝1147（人），∴估計參加此次測試活動成績合格的學生人數(shù)能超過1000人；（3）一年級滿分有2人，記為A，B，二年級滿分有3人，記為C，D，E，畫樹狀圖如圖：共有20種等可能的結(jié)果，兩人在同一年級的結(jié)果有8種，∴兩人在同一年級的概率為＝．20．（8分）如圖，線段EF與MN表示某一段河的兩岸，EF∥MN．綜合實踐課上，同學們需要在河岸MN上測量這段河的寬度（EF與MN之間的距離），已知河對岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同學們首先在河岸MN上選取點A處，用測角儀測得C建筑物位于A北偏東45°方向，再沿河岸走20米到達B處，測得D建筑物位于B北偏東55°方向，請你根據(jù)所測數(shù)據(jù)求出該段河的寬度，（用非特殊角的三角函數(shù)或根式表示即可）【分析】過C、D分別作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足為P、Q，設(shè)河寬為x米，根據(jù)直角三角形的三角函數(shù)得出x，進而解答即可．【解答】解：如圖，過C、D分別作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足為P、Q，設(shè)河寬為x米．由題意知，△ACP為等腰直角三角形，∴AP＝CP＝x（米），BP＝x﹣20（米），在Rt△BDQ中，∠BDQ＝55°，∴，∴tan55°?x＝x+40，∴（tan55°﹣1）?x＝40，∴，所以河寬為答：河寬為米．米．21．（7分）下面圖片是七年級教科書中“實際問題與一元一次方程”的探究3．探究3電話計費問題下表中有兩種移動電話計費方式．月使用費/元主叫限定時間/min主叫超時費/（元/min）0.25被叫方式一方式二5888150350免費免費0.19考慮下列問題：月使用費固定收：主叫不超限定時間不再收費，主叫超時部分加收超時費，被叫免費．（1）設(shè)一個月內(nèi)用移動電話主叫為tmin（t是正整數(shù)）．根據(jù)上表，列表說明：當t在不同時間范圍內(nèi)取值時，按方式一和方式二如何計費．（2）觀察你的列表，你能從中發(fā)現(xiàn)如何根據(jù)主叫時間選擇省錢的計費方式嗎？通過計算驗證你的看法．小明升入初三再看這個問題，發(fā)現(xiàn)兩種計費方式，每一種都是因主叫時間的變化而引起計費的變化，他把主叫時間視為在正實數(shù)范圍內(nèi)變化，決定用函數(shù)來解決這個問題．（1）根據(jù)函數(shù)的概念，小明首先將問題中的兩個變量分別設(shè)為自變量x和自變量的函數(shù)y，請你幫小明寫出：x表示問題中的主叫時間，y表示問題中的計費．并寫出計費方式一和二分別對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）在給出的正方形網(wǎng)格紙上畫出（1）中兩個函數(shù)的大致圖象，并依據(jù)圖象直接寫出如何根據(jù)主叫時間選擇省錢的計費方式．（注：坐標軸單位長度可根據(jù)需要自己確定）【分析】（1）由題意可知，x表示問題中的主叫時間，y表示問題中的計費；再根據(jù)分段計費的費用就可以得出各個時段各種不同的付費方法就可以得出結(jié)論；（2）畫出圖象，再根據(jù)圖象解答即可．【解答】解：（1）由題意，可得x表示問題中的主叫時間，y表示問題中的計費；方式一：y＝；；方式二：y＝故答案為：主叫時間，計費；（2）大致圖象如下：由圖可知：當主叫時間在270分鐘以內(nèi)選方式一，270分鐘時兩種方式相同，超過270分鐘選方式二．22．（7分）為了促進學生加強體育鍛煉，某中學從去年開始，每周除體育課外，又開展了“足球俱樂部1小時”活動．去年學校通過采購平臺在某體育用品店購買A品牌足球共花費2880元，B品牌足球共花費2400元，且購買A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍，每個足球的售價，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于參加俱樂部人數(shù)增加，需要從該店再購買A、B兩種足球共50個，已知該店對每個足球的售價，今年進行了調(diào)整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年購買A、B兩種足球的總費用不超過去年總費用的一半，那么學校最多可購買多少個B品牌足球？【分析】設(shè)去年A足球售價為x元/個，則B足球售價為（x+12）元/個，根據(jù)“購買A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍”列出分式方程，通過解方程求得A足球售價為48元/個，B足球售價為60元/個；然后設(shè)今年購進B足球的個數(shù)為a個，再根據(jù)“今年購買A、B兩種足球的總費用不超過去年總費用的一半”列出不等式并解答即可．【解答】解：設(shè)去年A足球售價為x元/個，則B足球售價為（x+12）元/個．由題意得：，即，∴96（x+12）＝120x，∴x＝48．經(jīng)檢驗，x＝48是原分式方程的解且符合題意．∴A足球售價為48元/個，B足球售價為60元/個．設(shè)今年購進B足球的個數(shù)為a個，則有：．∴50.4×50﹣50.4a+54a≤26403．∴6a≤120，∴．∴最多可購進33個B足球．23．（10分）已知AB是⊙O的任意一條直徑．（1）用圖1，求證：⊙O是以直徑AB所在直線為對稱軸的軸對稱圖形；（2）已知⊙O的面積為4π，直線CD與⊙O相切于點C，過點B作BD⊥CD，垂足為D，如圖2．求證：①BC2＝2BD；②改變圖2中切點C的位置，使得線段OD⊥BC時，OD＝2．【分析】（1）過點P作PP′⊥AB，交⊙O于點P′，垂足為M，由垂徑定理得出△OPP'是等腰三角形，由軸對稱的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）①求出AB＝4，證明△ACB∽△CDB，由相似三角形的性質(zhì)得出②證明四邊形BOCD是邊長為2的正方形，由正方形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖，設(shè)P是⊙O上點A，B以外任意一點，過點P作PP′⊥AB，交⊙O于點P′，垂足為M，，則可得出結(jié)論；若M與圓心O不重合，連接OP，OP′，在△OPP'中，∵OP＝OP′，∴△OPP'是等腰三角形，又PP′⊥AB，∴PM＝MP′，則AB是PP'的垂直平分線，若M與圓心O重合，顯然AB是PP'的垂直平分線，這就是說，對于圓上任意一點P，在圓上都有關(guān)于直線AB的對稱點P'，因此⊙O是以直徑AB所在直線為對稱軸的軸對稱圖形；（2）①證明：設(shè)⊙O半徑為r，由πr2＝4π可得r＝2，∴AB＝4，連接AC，則∠BCA＝90°，∵C是切點，連接OC，∴OC⊥CD，∵BD⊥CD，∴OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC，而∠OCB＝∠OBC，∴∠DBE＝∠OBC，又∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∴△ACB∽△CDB，∴，∴BC2＝AB?BD＝4BD，∴；②證明：由①證明可知∠CBD＝∠OBC，與切點C的位置無關(guān)，又OD⊥BC，∴BD＝OB，又∵△OCB是等腰三角形，∴BC與OD互相垂直平分，又∠BDC＝90°，∴四邊形BOCD是邊長為2的正方形，∴．24．（12分）已知拋物線y＝ax2+kx+h（a＞0）．（1）通過配方可以將其化成頂點式為，根據(jù)該拋物線在對稱軸兩側(cè)從左到右圖象的特征，可以判斷，當頂點在x軸下方（填上方或下方），即4ah﹣k2＜0（填大于或小于）時，該拋物線與x軸必有兩個交點；（2）若拋物線上存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x軸的兩側(cè)，則拋物線頂點必在x軸下方，請你結(jié)合A、B兩點在拋物線上的可能位置，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對這個結(jié)論的正確性給以說明；（為了便于說明，不妨設(shè)x1＜x2且都不等于頂點的橫坐標；另如果需要借助圖象輔助說明，可自己畫出簡單示意圖）（3）利用二次函數(shù)（1）（2）結(jié)論，求證：當a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0時，（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．【分析】（1）先提公因式a，再利用配方法配成完全平方公式，即可得到答案；（2）若設(shè)x1＜x2且不等于頂點橫坐標則A，B兩點位置可能有以下三種情況：①當A，B都在對稱軸左側(cè)時，②當A，B都在對稱軸右側(cè)時，③當A，B在對稱軸兩側(cè)時，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；（3）令y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c），根據(jù)點的特殊性得，y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）上存在兩點（﹣1，2a+2c），（0，a+b+c）分別位于x軸兩側(cè)，然后根據(jù)（1）（2）可得答案．【解答】解：（1）y＝ax2+kx+h＝a（x2+x）+h＝a[xx+（）2﹣（）2]+h＝a（x+）2﹣+h＝a（x+）2+，∴頂點式為：，當頂點在x軸下方時，即4ah﹣k2＜0（填大于或小于）時，該拋物線與x軸必有兩個交點；故答案為：，下方，＜；（2）若設(shè)x1＜x2且不等于頂點橫坐標則A，B兩點位置可能有以下三種情況：①當A，B都在對稱軸左側(cè)時，由于在對稱軸左側(cè)，函數(shù)值隨x的增大而減小，所以點A在x軸上方，點B在x軸下方，頂點M在點B下方，所以拋物線頂點必在x軸下方．如圖所示：②當A，B都在對稱軸右側(cè)時，由于在對稱軸右側(cè)，函數(shù)值隨x的增大而增大，所以點B在x軸上方，點A在x軸下方，頂點M在點A下方，所以拋物線頂點必在x軸下方．如圖所示：③當A，B在對稱軸兩側(cè)時，由于A，B分布在x軸兩側(cè)，所以不管A，B哪個點在x軸下方，都可以根據(jù)拋物線的對稱性將其中一個點對稱到對稱軸另一側(cè)的拋物線上，同①或②，可以說明拋物線頂點必在x軸下方．如圖所示：（3）證明：令y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c），a＞0，當x1＝0時，y1＝a+b+c；當x2＝﹣1時，y2＝2（a+c）．而（a+c）（a+b+c）＜0，∴y1?y2＜0，∴y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）上存在兩點（﹣1，2a+2c），（0，a+b+c）分別位于x軸兩側(cè)，∴由（1）（2）可知，y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）頂點在x軸下方，即，又a＞0，∴4a（a+b+c）﹣（b﹣c）2＜0，即：（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．2021年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本題包括10道小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確答案，請在答題卡上將代表正確答案的字母用2B鉛筆涂黑）1．|﹣2|的倒數(shù)是（）A．2B．C．﹣2D．﹣2．下列計算正確的是（）A．x2+x3＝x5B．2x3﹣x3＝1C．x3?x4＝x7D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y63．為迎接中國共產(chǎn)黨建黨一百周年，某班50名同學進行了黨史知識競賽，測試成績統(tǒng)計如下表，其中有兩個數(shù)據(jù)被遮蓋．成績/分人數(shù)91■92■931942953965976988991010012下列關(guān)于成績的統(tǒng)計量中，與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)的是（）A．平均數(shù)，方差B．中位數(shù)，方差C．中位數(shù)，眾數(shù)D．平均數(shù)，眾數(shù)4．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根D．無法確定5．如圖，是由若干個相同的小立方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖，則搭成這個幾何體的小立方體的個數(shù)不可能是（）A．3B．4C．5D．66．隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，我國快遞業(yè)務(wù)量逐年增加，據(jù)統(tǒng)計從2018年到2020年，我國快遞業(yè)務(wù)量由507億件增加到833.6億件，設(shè)我國從2018年到2020年快遞業(yè)務(wù)量的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．507（1+2x）＝833.6B．507×2（1+x）＝833.6C．507（1+x）2＝833.6D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.67．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結(jié)論錯誤的是（）A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC8．定義：一次函數(shù)y＝ax+b的特征數(shù)為[a，b]，若一次函數(shù)y＝﹣2x+m的圖象向上平移3個單位長度后與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交于A，B兩點，且點A，B關(guān)于原點對稱，則一次函數(shù)y＝﹣2x+m的特征數(shù)是（）A．[2，3]B．[2，﹣3]C．[﹣2，3]D．[﹣2，﹣3]9．如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，點E為射線BC上一個動點，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點B落在點B′處，過點B′作AD的垂線，分別交AD，BC于M，N兩點，當B′為線段MN的三等分點時，BE的長為（）A．B．C．或D．或10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，動點P，Q同時從點A出發(fā)，點P沿A→B→C的路徑運動，點Q沿A→D→C的路徑運動，點P，Q的運動速度相同，當點P到達點C時，點Q也隨之停止運動，連接PQ．設(shè)點P的運動路程為x，PQ2為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A．C．B．D．二、填空題（本題包括7道小題，每小題3分，共21分。將答案直接填在答題卡對應(yīng)題的橫線上）11．冠狀病毒是一類病毒的總稱，其最大直徑約為0.00000012米，數(shù)據(jù)0.00000012用科學記數(shù)法表示為．12．如圖所示，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率是．13．一副三角板如圖所示擺放，且AB∥CD，則∠1的度數(shù)為．14．我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長x尺，竿長y尺，則可列方程組為．15．若關(guān)于x的不等式組，有且只有2個整數(shù)解，則a的取值范圍是．16．如圖，AB是⊙O的弦，AB＝2，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB＝60°，若點M，N分別是AB，BC的中點，則圖中陰影部分面積的最大值是．17．如圖，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜邊在x軸上的等腰直角三角形，點A1，A2，A3，…，An都在x軸上，點B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，則點Bn的坐標為．（用含有正整數(shù)n的式子表示）三、解答題（本題包括9道小題，共69分，每小題分值均在各題號后面標出，請在答題卡上寫出各題解答的文字說明、證明過程或計算步驟）18．（5分）計算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣|．19．（6分）先化簡，再求值：（+x﹣1）÷，其中x滿足x2﹣x﹣2＝0．20．（6分）如圖，甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤均被分成3個面積相等的扇形，每個扇形中都標有相應(yīng)的數(shù)字，同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤（當指針指在邊界線上時視為無效，需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），當轉(zhuǎn)盤停止后，把甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤中指針所指數(shù)字分別記為x，y．請用樹狀圖或列表法求點（x，y）落在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的概率．21．（7分）如圖，一段河流自西向東，河岸筆直，且兩岸平行．為測量其寬度，小明在南岸邊B處測得對岸邊A處一棵大樹位于北偏東60°方向，他以1.5m/s的速度沿著河岸向東步行40s后到達C處，此時測得大樹位于北偏東45°方向，試計算此段河面的寬度（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）22．（7分）暑期將至，某校組織學生進行“防溺水”安全知識競賽，老師從中隨機抽取了部分學生的成績（得分取整數(shù)，滿分為100分），整理后繪制成如圖所示的不完整的扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖．其中A組的頻數(shù)a比B組的頻數(shù)b小15．請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次共抽取名學生，a的值為；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，n＝，E組所占比例為%；（3）補全頻數(shù)分布直方圖；（4）若全校共有1500名學生，請根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，估計成績在80分以上的學生人數(shù)．23．（8分）為做好新冠疫情的防控工作，某單位需購買甲、乙兩種消毒液，經(jīng)了解每桶甲種消毒液的零售價比乙種消毒液的零售價多6元，該單位以零售價分別用900元和720元采購了相同桶數(shù)的甲、乙兩種消毒液．（1）求甲、乙兩種消毒液的零售價分別是每桶多少元？（2）由于疫情防控進入常態(tài)化，該單位需再次購買兩種消毒液共300桶，且甲種消毒液的桶數(shù)不少于乙種消毒液桶數(shù)的．由于購買量大，甲、乙兩種消毒液分別獲得了20元/桶、15元/桶的批發(fā)價．求甲種消毒液購買多少桶時，所需資金總額最少？最少總金額是多少元？24．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線AC，點P是射線AC上的動點，連接OP，過點B作BD∥OP，交⊙O于點D，連接PD．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）當四邊形POBD是平行四邊形時，求∠APO的度數(shù)．25．（10分）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如圖1，連接AM，BN，求證：AM＝BN；（2）將△MON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當點M恰好在AB邊上時，求證：AM2+BM2＝2OM2；②當點A，M，N在同一條直線上時，若OA＝4，OM＝3，請直接寫出線段AM的長．26．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，交y軸于點C，動點P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）當以P，B，C為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標及△PBC的周長；（3）若點Q是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，是否存在點Q，使得以A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．2021年內(nèi)蒙古通遼市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題包括10道小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個正確答案，請在答題卡上將代表正確答案的字母用2B鉛筆涂黑）1．|﹣2|的倒數(shù)是（）A．2B．C．﹣2D．﹣【分析】先求出|﹣2|＝2，再根據(jù)倒數(shù)定義可知，2的倒數(shù)是．【解答】解：|﹣2|的倒數(shù)是，故選：B．2．下列計算正確的是（）A．x2+x3＝x5B．2x3﹣x3＝1C．x3?x4＝x7D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6【分析】分別根據(jù)合并同類項法則，同底數(shù)冪的乘法法則、積的乘方與冪的乘方運算法則逐一判斷即可．【解答】解：A．x2+x3，不是同類項，不能合并，故本選項不合題意；B.2x3﹣x3＝x3，故本選項不合題意；C．x3?x4＝x7，故本選項符合題意；D．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6，故本選項不合題意；故選：C．3．為迎接中國共產(chǎn)黨建黨一百周年，某班50名同學進行了黨史知識競賽，測試成績統(tǒng)計如下表，其中有兩個數(shù)據(jù)被遮蓋．成績/分人數(shù)91■92■931942953965976988991010012下列關(guān)于成績的統(tǒng)計量中，與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)的是（）A．平均數(shù)，方差B．中位數(shù)，方差C．中位數(shù)，眾數(shù)D．平均數(shù)，眾數(shù)【分析】通過計算成績?yōu)?1、92分的人數(shù)，進行判斷，不影響成績出現(xiàn)次數(shù)最多的結(jié)果，因此不影響眾數(shù)，同時不影響找第25、26位數(shù)據(jù)，因此不影響中位數(shù)的計算，進而進行選擇．【解答】解：由表格數(shù)據(jù)可知，成績?yōu)?4分、92分的人數(shù)為50﹣（12+10+8+6+5+3+2+1）＝3（人），成績?yōu)?00分的，出現(xiàn)次數(shù)最多，因此成績的眾數(shù)是100，成績從小到大排列后處在第25、26位的兩個數(shù)都是98分，因此中位數(shù)是98，因此中位數(shù)和眾數(shù)與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)，故選：C．4．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根D．無法確定【分析】先計算判別式，再配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到△＞0，再根據(jù)判別式的意義即可得到方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【解答】解：△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+1）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∵（k﹣1）2≥0，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．5．如圖，是由若干個相同的小立方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖，則搭成這個幾何體的小立方體的個數(shù)不可能是（）A．3B．4C．5D．6【分析】主視圖、左視圖是分別從物體正面、左面看，所得到的圖形．【解答】解：根據(jù)主視圖與左視圖，第一行的正方體有1（只有一邊有）或2（左右都有）個，第二行的正方體可能有2（左邊有）或3（左右都有）個，∵1+2＝3，1+3＝4，2+2＝4，2+3＝5，∴不可能有6個．故選：D．6．隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，我國快遞業(yè)務(wù)量逐年增加，據(jù)統(tǒng)計從2018年到2020年，我國快遞業(yè)務(wù)量由507億件增加到833.6億件，設(shè)我國從2018年到2020年快遞業(yè)務(wù)量的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．507（1+2x）＝833.6B．507×2（1+x）＝833.6C．507（1+x）2＝833.6D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：2018年的快遞業(yè)務(wù)量×（1+增長率）2＝2020年的快遞業(yè)務(wù)量，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【解答】解：設(shè)我國2018年至2020年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長率為x，由題意得：507（1+x）2＝833.6，故選：C．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結(jié)論錯誤的是（）A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC【分析】由尺規(guī)作圖的痕跡可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分線，根據(jù)同角的余角相等可判斷A，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷C，證得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分線，不能證明∠BAD＝∠B．【解答】解：根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分線，∵∠C＝90°，∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∵DE不是AB的垂直平分線，故不能證明∠BAD＝∠B，綜上所述：A，C，D不符合題意，B符合題意，故選：B．8．定義：一次函數(shù)y＝ax+b的特征數(shù)為[a，b]，若一次函數(shù)y＝﹣2x+m的圖象向上平移3個單位長度后與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交于A，B兩點，且點A，B關(guān)于原點對稱，則一次函數(shù)y＝﹣2x+m的特征數(shù)是（）A．[2，3]B．[2，﹣3]C．[﹣2，3]D．[﹣2，﹣3]【分析】將一次函數(shù)y＝﹣2x+m的圖像向上平移3個單位長度后，得到解析式y(tǒng)＝﹣2x+m+3，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x1，0），B（x2，0），所以x1與x2是一元二次方程的兩根，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，得到，又A，B兩點關(guān)于原點對稱，所以x1+x2＝0，則，得到m＝﹣3，根據(jù)定義，得到一次函數(shù)y＝﹣2x+m的特征數(shù)是[﹣2，﹣3]．【解答】解：將一次函數(shù)y＝﹣2x+m向上平移3個單位長度后得到y(tǒng)＝﹣2x+m+3，設(shè)A（x1，0），B（x2，0），聯(lián)立，∴2x2﹣（m+3）x﹣3＝0，∵x1和x2是方程的兩根，∴，又∵A，B兩點關(guān)于原點對稱，∴x1+x2＝0，∴，∴m＝﹣3，根據(jù)定義，一次函數(shù)y＝﹣2x+m的特征數(shù)是[﹣2，﹣3]，故選：D．9．如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，點E為射線BC上一個動點，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點B落在點B′處，過點B′作AD的垂線，分別交AD，BC于M，N兩點，當B′為線段MN的三等分點時，BE的長為（）A．B．C．或D．或【分析】分類畫出圖形，設(shè)BE＝x，由折疊得性質(zhì)表示出相關(guān)線段，再用勾股定理列方程即可解得BE的長．【解答】解：①當MB'＝MN時，如圖：Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'＝AB＝1，∴AM＝＝2，∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，∴四邊形ABNM是矩形，∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，設(shè)BE＝x，則B'E＝x，EN＝2﹣x，Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，∴（2﹣x）2+22＝x2，解得x＝，∴BE的長為；②當NB'＝MN時，如圖：∵NB'＝MN＝1，∴MB'＝2，設(shè)BE＝y(tǒng)，同①可得y＝∴BE的長為，，綜上所述，BE的長為故選：D．或．10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，動點P，Q同時從點A出發(fā)，點P沿A→B→C的路徑運動，點Q沿A→D→C的路徑運動，點P，Q的運動速度相同，當點P到達點C時，點Q也隨之停止運動，連接PQ．設(shè)點P的運動路程為x，PQ2為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A．C．B．D．【分析】在Rt△APQ中，利用勾股定理可求出PQ2的長度，分0≤x≤3、3≤x≤4及4≤x≤7三種情況找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，對照四個選項即可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2．當0≤x≤3時，AP＝AQ＝x，∴y＝PQ2＝2x2；當3≤x≤4時，DP＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32+32＝18；當4≤x≤7時，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．故選：C．二、填空題（本題包括7道小題，每小題3分，共21分。將答案直接填在答題卡對應(yīng)題的橫線上）11．冠狀病毒是一類病毒的總稱，其最大直徑約為0.00000012米，數(shù)據(jù)0.00000012用科學記數(shù)法表示為1.2×10﹣7．【分析】絕對值小于1的數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7故答案為：1.2×10﹣7．．12．如圖所示，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率是．【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把開關(guān)S1，S2，S3分別記為A、B、C，畫樹狀圖如圖：共有6種等可能的結(jié)果，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的結(jié)果有2種，∴能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率為＝，故答案為：．13．一副三角板如圖所示擺放，且AB∥CD，則∠1的度數(shù)為75°．【分析】由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得到∠2＝∠C＝30°，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，∠A＝45°，∠C＝30°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠C＝30°，∴∠1＝∠2+∠A＝30°+45°＝75°，故答案為：75°．14．我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長x尺，竿長y尺，則可列方程組為．【分析】設(shè)繩索長x尺，竿長y尺，根據(jù)“用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：設(shè)繩索長x尺，竿長y尺，依題意得：故答案為：．．15．若關(guān)于x的不等式組，有且只有2個整數(shù)解，則a的取值范圍是﹣1＜a≤1．【分析】解每個不等式得出1≤x＜，根據(jù)不等式組整數(shù)解的個數(shù)得出關(guān)于a的不等式組，解之即可．【解答】解：解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，解不等式2x﹣a＜5，得：x＜∵不等式組只有2個整數(shù)解，，∴2＜≤3，解得﹣1＜a≤1，故答案為：﹣1＜a≤1．16．如圖，AB是⊙O的弦，AB＝2，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB＝60°，若點M，N分別是AB，BC的中點，則圖中陰影部分面積的最大值是﹣．【分析】連接OA、OB、OM，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB＝120°，求出OM＝1，OA＝2，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到MN∥AC，MN＝AC，然后根據(jù)三角形相似得到）2＝，故當△ABC的＝（面積最大時，△MBN的面積最大，由C、O、M在一條直線時，△ABC的面積最大，求得△ABC的最大值，進而即可求得△MBN的面積最大值，利用扇形的面積和三角形的面積求得弓形的面積，進而即可求得陰影部分的最大值．【解答】解：連接OA、OB、OM，如圖，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵AM＝BM＝AB＝∴OM⊥AB，，∴tan30°＝∴OM＝，×＝1，∴OA＝2OM＝2，∵點M、N分別是AB、BC的中點，∴MN∥AC，MN＝AC，∴△MBN∽△ABC，∴＝（）2＝，∴當△ABC的面積最大時，△MBN的面積最大，∵C、O、M在一條直線時，△ABC的面積最大，∴△ABC的面積最大值為：×∴△MBN的面積最大值為：∵S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB×（2+1）＝3，，＝﹣＝﹣，∴此時，S陰影＝﹣+＝﹣，故答案為：﹣．17．如圖，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜邊在x軸上的等腰直角三角形，點A1，A2，A3，…，An都在x軸上，點B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，則點Bn的坐標為（+，﹣+）．（用含有正整數(shù)n的式子表示）【分析】由于△OA1B1是等腰直角三角形，可知直線OB1的解析式為y＝x，將它與y＝聯(lián)立，求出方程組的解，得到點B1的坐標，則A1的橫坐標是B1的橫坐標的兩倍，從而確定點A1的坐標；由于△OA1B1，△A1A2B2都是等腰直角三角形，則A1B2∥OB1，直線A1B2可看作是直線OB1向右平移OA1個單位長度得到的，因而得到直線A1B2的解析式，同樣，將它與y＝聯(lián)立，求出方程組的解，得到點B2的坐標，則B2的橫坐標是線段A1A2的中點，從而確定點A2的坐標；依此類推，從而確定點A3的坐標，即可求得點B3的坐標，得出規(guī)律．【解答】解：過B1作B1M1⊥x軸于M1，易知M1（1，0）是OA1的中點，∴A1（2，0）．可得B1的坐標為（1，1），∴B1O的解析式為：y＝x，∵P1O∥A1P2，∴A1B2的表達式一次項系數(shù)相等，將A1（2，0）代入y＝x+b，∴b＝﹣2，∴A1B2的表達式是y＝x﹣2，與y＝（x＞0）聯(lián)立，解得B2（1+，﹣1+仿上，A2（2，0）．）．B3（），+，﹣+依此類推，點Bn的坐標為（+，﹣+），故答案為（+，﹣+）．三、解答題（本題包括9道小題，共69分，每小題分值均在各題號后面標出，請在答題卡上寫出各題解答的文字說明、證明過程或計算步驟）18．（5分）計算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣|．【分析】先計算負整數(shù)次冪、零指數(shù)冪、特殊三角函數(shù)、絕對值的運算，再進行加減運算即可．【解答】解：原式＝2+1﹣2×+2＝﹣＝．19．（6分）先化簡，再求值：（+x﹣1）÷，其中x滿足x2﹣x﹣2＝0．【分析】根據(jù)分式的混合運算法則把原式化簡，利用因式分解法解出方程，根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，代入計算即可．【解答】解：原式＝?＝?＝x（x+1）＝x2+x，解方程x2﹣x﹣2＝0，得x1＝2，x2＝﹣1，∵x+1≠0，∴x≠﹣1，當x＝2時，原式＝22+2＝6．20．（6分）如圖，甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤均被分成3個面積相等的扇形，每個扇形中都標有相應(yīng)的數(shù)字，同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤（當指針指在邊界線上時視為無效，需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），當轉(zhuǎn)盤停止后，把甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤中指針所指數(shù)字分別記為x，y．請用樹狀圖或列表法求點（x，y）落在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的概率．【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，點（x，y）落在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有9種等可能的結(jié)果，點（x，y）落在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的結(jié)果有4種，∴點（x，y）落在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的概率為．21．（7分）如圖，一段河流自西向東，河岸筆直，且兩岸平行．為測量其寬度，小明在南岸邊B處測得對岸邊A處一棵大樹位于北偏東60°方向，他以1.5m/s的速度沿著河岸向東步行40s后到達C處，此時測得大樹位于北偏東45°方向，試計算此段河面的寬度（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）【分析】如圖，作AD⊥BC于D．由題意得到BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，在Rt△ACD中，由三角函數(shù)的定義得到AD＝CD，在Rt△ABD中，由三角函數(shù)的定義得到BD＝根據(jù)BC＝BD﹣CD即可求出AD．，【解答】解：如圖，作AD⊥BC于D．由題意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝＝1，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，∴BD＝，∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），∴AD＝30（+1）≈82（m），答：此段河面的寬度約82m．22．（7分）暑期將至，某校組織學生進行“防溺水”安全知識競賽，老師從中隨機抽取了部分學生的成績（得分取整數(shù)，滿分為100分），整理后繪制成如圖所示的不完整的扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖．其中A組的頻數(shù)a比B組的頻數(shù)b小15．請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次共抽取150名學生，a的值為12；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，n＝144，E組所占比例為4%；（3）補全頻數(shù)分布直方圖；（4）若全校共有1500名學生，請根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，估計成績在80分以上的學生人數(shù)．【分析】（1）A組的頻數(shù)a比B組的頻數(shù)b小15，而A組的頻頻率比B組的頻率小18%﹣8%＝10%，可求出調(diào)查人數(shù)，再根據(jù)頻數(shù)、頻率、總數(shù)之間的關(guān)系求出a的值即可；（2）求出“D組”所占的百分比即可求出相應(yīng)的圓心角度數(shù)及“E組”所占的百分比；（3）求出b的值，“C組”頻數(shù)以及“E組”頻數(shù)即可；（4）求出樣本中成績在80分以上的學生所占的百分比，即可估計整體中成績在80分以上的學生人數(shù)．【解答】解：（1）A組的頻數(shù)a比B組的頻數(shù)b小15，A組的頻頻率比B組的頻率小18%﹣8%＝10%，因此調(diào)查人數(shù)為：15÷（18%﹣8%）＝150（人），a＝150×8%＝12（人），故答案為：150，12；（2）360°×＝360°×40%＝144°，即n＝144，“E組”所占的百分比為1﹣8%﹣18%﹣30%﹣40%＝4%，故答案為：144，4；（3）b＝a+15＝27（人），“C組”頻數(shù)為：150×30%＝45（人），“E組”頻數(shù)為：150×4%＝6（人），補全頻數(shù)分布直方圖如圖所示：（4）1500×＝660（人），答：估計成績在80分以上的學生人數(shù)大約為660人．23．（8分）為做好新冠疫情的防控工作，某單位需購買甲、乙兩種消毒液，經(jīng)了解每桶甲種消毒液的零售價比乙種消毒液的零售價多6元，該單位以零售價分別用900元和720元采購了相同桶數(shù)的甲、乙兩種消毒液．（1）求甲、乙兩種消毒液的零售價分別是每桶多少元？（2）由于疫情防控進入常態(tài)化，該單位需再次購買兩種消毒液共300桶，且甲種消毒液的桶數(shù)不少于乙種消毒液桶數(shù)的．由于購買量大，甲、乙兩種消毒液分別獲得了20元/桶、15元/桶的批發(fā)價．求甲種消毒液購買多少桶時，所需資金總額最少？最少總金額是多少元？【分析】（1）設(shè)乙種消毒液的零售價為x元/桶，則甲種消毒液的零售價為（x+6）元/桶，根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價，結(jié)合該單位以零售價分別用900元和720元采購了相同桶數(shù)的甲、乙兩種消毒液，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買甲種消毒液m桶，則購買乙種消毒液（300﹣m）桶，根據(jù)購進甲種消毒液的桶數(shù)不少于乙種消毒液桶數(shù)的，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，設(shè)所需資金總額為w元，根據(jù)所需資金總額＝甲種消毒液的批發(fā)價×購進數(shù)量+乙種消毒液的批發(fā)