吉林省通化市“BEST合作體”2022年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點(diǎn)，則下列各直線中，不與平面平行的是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線2．在四面體中，為正三角形，邊長(zhǎng)為6，，，，則四面體的體積為（）A． B． C．24 D．3．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則的值是()A． B． C． D．4．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn)，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,26．在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若,，則與相等的向量是（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的焦距為，過左焦點(diǎn)作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．若函數(shù)在時(shí)取得極值，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)，且，則的值為（）A． B． C． D．11．在四邊形中，，，，，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)在邊所在直線上，則的最大值為（）A． B． C． D．12．若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為（）A． B．2 C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，且恒成立，則的值為____________.14．已知一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，側(cè)面積為，則該棱錐的體積為__________．15．秦九韶算法是南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項(xiàng)式簡(jiǎn)化算法，如圖所示的框圖給出了利用秦九韶算法求多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入，的值分別為4，5，則輸出的值為______.16．若函數(shù)在區(qū)間上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）解不等式；（2）若均為正數(shù)，且，求的最小值.18．（12分）如圖，三棱錐中，，，，，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線，的交點(diǎn)分別為、（、異于原點(diǎn)），當(dāng)斜率時(shí)，求的最小值.21．（12分）如圖,設(shè)點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，圓過且斜率為的直線交圓于兩點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)兩點(diǎn)，已知當(dāng)時(shí)，（1）求橢圓的方程.（2）當(dāng)時(shí)，求的面積.22．（10分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．求C；若，求，的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù)，判斷B的正誤.根據(jù)與相交，判斷C的正誤.根據(jù)，判斷D的正誤.【詳解】在正方體中，因?yàn)椋云矫?，故A正確.因?yàn)?，所以，所以平面故B正確.因?yàn)?，所以平面，故D正確.因?yàn)榕c相交，所以與平面相交，故C錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.2、A【解析】

推導(dǎo)出，分別取的中點(diǎn),連結(jié)，則，推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而四面體的體積為，由此能求出結(jié)果.【詳解】解：在四面體中，為等邊三角形，邊長(zhǎng)為6，，，，，，分別取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，且，，，，平面，平面，，四面體的體積為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查四面體體積的求法，考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.3、C【解析】

利用先求出，然后計(jì)算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，,,故當(dāng)時(shí)，,數(shù)列是等比數(shù)列,則，故,解得,故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和的表達(dá)形式，只要求出數(shù)列中的項(xiàng)即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ).4、B【解析】

先求出直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得A，B的縱坐標(biāo)，利用，求出a，b的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率．【詳解】雙曲線1（a＞b＞0）的漸近線方程為y＝±x，∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，∴kl，∴直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得y或y，∵，∴2?，∴ab，∴c＝2b，∴e．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．5、C【解析】

先求出集合U，再根據(jù)補(bǔ)集的定義求出結(jié)果即可．【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C．【點(diǎn)睛】本題考查集合補(bǔ)集的運(yùn)算，求解的關(guān)鍵是正確求出集合U和熟悉補(bǔ)集的定義，屬于簡(jiǎn)單題．6、D【解析】

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可知因?yàn)?，則即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算，用基底表示向量，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

設(shè)線段的中點(diǎn)為，判斷出點(diǎn)的位置，結(jié)合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，由于直線的斜率是，而圓，所以.由于是線段的中點(diǎn)，所以，而，根據(jù)雙曲線的定義可知，即，即.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.8、D【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在時(shí)取得極值，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)在時(shí)取得極值，所以，解得.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，屬于?？碱}型.9、C【解析】

求出函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式．【詳解】由得，在時(shí)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，∴是增函數(shù)，∴由得，解得．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，解題時(shí)可先確定函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)求解．10、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于與關(guān)系，轉(zhuǎn)換成關(guān)于的關(guān)系式，通過變形求解出的周期，進(jìn)而算出.【詳解】為上的奇函數(shù)，，而函數(shù)是上的偶函數(shù)，，，故為周期函數(shù)，且周期為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求出的坐標(biāo)，求出邊所在直線的方程，設(shè)，利用坐標(biāo)表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由，，，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，設(shè)，解得，所在直線的方程為因?yàn)辄c(diǎn)在邊所在直線上，故設(shè)當(dāng)時(shí)故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，屬于中檔題.12、C【解析】

根據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率，則，，解得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點(diǎn)，則由點(diǎn)到直線距離公式可得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用，漸近線方程的求法，點(diǎn)到直線距離公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

易得，所以是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，，因，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，故，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由遞推數(shù)列求數(shù)列中的某項(xiàng)，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力，是一道容易題.14、【解析】

如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，設(shè)，根據(jù)正四棱錐的側(cè)面積求出的值，再利用勾股定理求得正四棱錐的高，代入體積公式，即可得到答案.【詳解】如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，設(shè)，，，，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的側(cè)面積和體積，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力.15、1055【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖中的程序，即可求得結(jié)果.【詳解】模擬執(zhí)行程序如下：，滿足，，滿足，，滿足，，滿足，，不滿足，輸出.故答案為：1055.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的模擬執(zhí)行，屬基礎(chǔ)題.16、；【解析】

求出函數(shù)的零點(diǎn)，讓正數(shù)零點(diǎn)從小到大排列，第三個(gè)正數(shù)零點(diǎn)落在區(qū)間上，第四個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間外即可．【詳解】由，得，，，，∵，∴，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)零點(diǎn)，然后題意，把正數(shù)零點(diǎn)從小到大排列，由于0已經(jīng)是一個(gè)零點(diǎn)，因此只有前3個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上．由此可得的不等關(guān)系，從而得出結(jié)論，本題解法屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段討論法可求不等式的解.（2）利用柯西不等式可求的最小值.【詳解】（1），由得或或，解得.（2），所以，由柯西不等式得：所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）.所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解絕對(duì)值不等式的基本方法有零點(diǎn)分段討論法、圖象法、平方法等，利用零點(diǎn)分段討論法時(shí)注意分類點(diǎn)的合理選擇，利用平方去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)注意代數(shù)式的正負(fù)，而利用圖象法求解時(shí)注意圖象的正確刻畫．利用柯西不等式求最值時(shí)注意把原代數(shù)式配成平方和的乘積形式，本題屬于中檔題.18、（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)，根據(jù)，利用線面垂直的判定定理，可得平面，最后可得結(jié)果.（2）利用建系，假設(shè)長(zhǎng)度，可得，以及平面的一個(gè)法向量，然后利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖由，所以由,平面所以平面，又平面所以（2）假設(shè)，由，，.所以則，所以又，平面所以平面，所以，又，故建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)平面的一個(gè)法向量為則令，所以則直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直、線線垂直的應(yīng)用，還考查線面角，學(xué)會(huì)使用建系的方法來解決立體幾何問題，將幾何問題代數(shù)化，化繁為簡(jiǎn)，屬中檔題.19、（1）.（2）【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性以及極值，從而得出的圖象，將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，由圖，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴切線斜率，又切點(diǎn)∴切線方程為，即.（2），記，令得；∴的情況如下表：2+0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，取極大值又時(shí)，；時(shí)，若沒有零點(diǎn)，即的圖像與直線無公共點(diǎn)，由圖像知的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于中檔題.20、（1）的極坐標(biāo)方程為；曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）【解析】

(1)消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，即可求解.(2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，求得，再把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為，分別代入曲線，的極坐標(biāo)方程，得，，得出，即可基本不等式，即可求解.【詳解】(1)由題曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，則曲線的極坐標(biāo)方程為，即，又因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，即，根據(jù)，代入即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得：，解得，，，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得：，解得，，，，，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.解法2：設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為），代入曲線的極坐標(biāo)方程，得，，把直線的參數(shù)方程代入曲線的極坐標(biāo)方程得：，，即，，曲線的參，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程點(diǎn)互化，以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用和極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，合理應(yīng)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）（2）【解析】

（1）先求出圓心到直線的距離為，再根據(jù)得到，解之即得a的值，再根據(jù)c=1求出b的值得到橢圓的方程.(2)先求出，，再求得的面積.【詳解】(1)因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且斜率.所以直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離為，又因?yàn)椋瑘A的半徑為，所以，即，解之得，或（舍去）.所以，所以所示橢圓的方程為.(2)由(1)得，橢圓的右準(zhǔn)線方程為，離心率，則點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，所以，即，把代入橢圓方程得，，因?yàn)橹本€的斜率，所以，因?yàn)橹本€經(jīng)過和，所以直線的方程為，聯(lián)立方程組得，解得或，所以，所以的面積.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓、橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的方程的求法，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.22、