2023屆浙江省高中發(fā)展共同體高一上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A.0 B.C. D.12．已知直線，與平行，則的值是（）A0或1 B.1或C.0或 D.3．計(jì)算A.-2 B.-1C.0 D.14．函數(shù)f（x）=2x+x-2的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A. B.C. D.5．如圖的曲線就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線，我們叫葫蘆曲線（也像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線），它對(duì)應(yīng)的方程為（其中記為不超過的最大整數(shù)），且過點(diǎn)，若葫蘆曲線上一點(diǎn)到軸的距離為，則點(diǎn)到軸的距離為（）A. B.C. D.6．“”是的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)函數(shù)和在區(qū)間同時(shí)遞增或同時(shí)遞減時(shí)，把區(qū)間叫做函數(shù)的“不動(dòng)區(qū)間”.若區(qū)間為函數(shù)的“不動(dòng)區(qū)間”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.8．設(shè)集合，．若，則()A. B.C. D.9．長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為3、4、5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積是（）A. B.C. D.都不對(duì)10．若a＞b，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，則ab＝_____________.12．如果二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________13．已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的值等于________14．如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為______15．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)簡(jiǎn)稱“北京—張家口冬奧會(huì)”，將于2022.2.4～2022.2.20在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行.某公司為迎接冬奧會(huì)的到來，設(shè)計(jì)了一款扇形的紀(jì)念品，扇形圓心角為2，弧長(zhǎng)為12cm，則扇形的面積為______.16．已知函數(shù)，，若對(duì)任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷奇偶性并證明；（3）當(dāng)時(shí)，若成立，求x的取值范圍.18．已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求的值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由；（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由.20．拋擲兩顆骰子，計(jì)算：（1）事件“兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相同”的概率；（2）事件“點(diǎn)數(shù)之和小于7”概率；（3）事件“點(diǎn)數(shù)之和等于或大于11”的概率.21．如圖是函數(shù)的部分圖像，是它與軸的兩個(gè)不同交點(diǎn)，是之間的最高點(diǎn)且橫坐標(biāo)為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式及上的單調(diào)增區(qū)間；（2）若時(shí)，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】根據(jù)給定條件依次計(jì)算并借助特殊角的三角函數(shù)值求解作答.【詳解】因函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則，所以.故選：A2、C【解析】由題意得：或，故選C.考點(diǎn)：直線平行的充要條件3、C【解析】.故選C.4、C【解析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可得函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間【詳解】解：函數(shù)，，（1），根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可得函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間為，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】先根據(jù)點(diǎn)在曲線上求出，然后根據(jù)即可求得的值【詳解】點(diǎn)在曲線上，可得：化簡(jiǎn)可得：可得：（）解得：（）若葫蘆曲線上一點(diǎn)到軸的距離為，則等價(jià)于則有：可得：故選：C6、A【解析】先看時(shí)，是否成立，即判斷充分性；再看成立時(shí)，能否推出，即判斷必要性，由此可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即“”是的充分條件；當(dāng)時(shí)，，則或，則或,即成立，推不出一定成立，故“”不是的必要條件，故選：A.7、C【解析】若區(qū)間[1，2]為函數(shù)f（x）=|2x﹣t|的“不動(dòng)區(qū)間”，則函數(shù)f（x）=|2x﹣t|和函數(shù)F（x）=|﹣t|在[1，2]上單調(diào)性相同，則（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，進(jìn)而得到答案【詳解】∵函數(shù)y=f（x）與y=F（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴F（x）=f（﹣x）=|2﹣x﹣t|，∵區(qū)間[1，2]為函數(shù)f（x）=|2x﹣t|的“不動(dòng)區(qū)間”，∴函數(shù)f（x）=|2x﹣t|和函數(shù)F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上單調(diào)性相同，∵y=2x﹣t和函數(shù)y=2﹣x﹣t的單調(diào)性相反，∴（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，即1﹣t（2x+2﹣x）+t2≤0在[1，2]上恒成立，即2﹣x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，即≤t≤2，故答案為：C【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查不動(dòng)點(diǎn)定義及利用定義解答數(shù)學(xué)問題的能力，考查指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)正確理解不動(dòng)區(qū)間的定義，得到（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，是解答的關(guān)鍵8、C【解析】∵集合，，∴是方程的解，即∴∴，故選C9、B【解析】由題意長(zhǎng)方體的外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線，就是求出球的直徑，然后求出球的表面積【詳解】解：長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別是3，4，5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，所以長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球的直徑，長(zhǎng)方體的對(duì)角線為：，所以球的半徑為：；則這個(gè)球的表面積是：故選：10、A【解析】由不等式的基本性質(zhì)，逐一檢驗(yàn)即可【詳解】因?yàn)閍＞b，所以a-2＞b-2，故選項(xiàng)A正確，2-a＜2-b，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，-2a<-2b，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，a2，b2無法比較大小，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】將化成對(duì)數(shù)形式，再根據(jù)對(duì)數(shù)換底公式可求ab的值.【詳解】，.故答案為：1.12、【解析】函數(shù)對(duì)稱軸為，則由題意可得，解出不等式即可.【詳解】∵函數(shù)的對(duì)稱軸為且在區(qū)間上是增函數(shù)，∴，即.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，則這個(gè)區(qū)間是這個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.13、-3【解析】先求，再根據(jù)自變量范圍分類討論，根據(jù)對(duì)應(yīng)解析式列方程解得結(jié)果.【詳解】當(dāng)a>0時(shí)，2a=-2解得a=-1，不成立當(dāng)a≤0時(shí)，a+1=-2,解得a=-3【點(diǎn)睛】求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.14、【解析】利用即可得出.【詳解】函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有1個(gè)根，，解得.故答案為：.15、36【解析】首先根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出扇形的半徑，再根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意、cm，所以，即cm，所以；故答案為：16、【解析】由題分析若對(duì)任意,總存在,使得成立,則的最大值小于等于的最大值,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,因?yàn)?對(duì)于函數(shù),則當(dāng)時(shí),是單調(diào)遞增的一次函數(shù),則；當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則,所以的最大值為4；對(duì)于函數(shù),,因?yàn)?所以,所以；所以,即,故,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)恒成立問題,考查分段函數(shù)的最值,考查正弦型函數(shù)的最值,考查轉(zhuǎn)化思想三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）奇函數(shù)，證明見解析；（3）.【解析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0，建立不等式組求解即可；（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷即可；（3）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式求解即可.【詳解】（1）由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）是奇函數(shù).證明如下：，都有，∴是奇函數(shù).（3）由可得，得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，解得解集為.18、（1）（2）或【解析】(1)根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得，列出方程，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算公式解方程即可；(2)根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)，進(jìn)而得到，解不等式即可.【小問1詳解】∵是偶函數(shù)，∴，即，∴【小問2詳解】由(1)知，∴又由解得，∴當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，∴∴又∵恒成立，∴∴m≤－1或m≥319、（1）證明見解析（2）（i）不存在“和諧區(qū)間”，理由見解析（ii）存在，有唯一的“和諧區(qū)間”【解析】（1）利用來證得結(jié)論成立.（2）（i）通過證明方程只有一個(gè)實(shí)根來判斷出此時(shí)不存在“和諧區(qū)間”.（ii）對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合的單調(diào)性以及（1）的結(jié)論求得唯一的“和諧區(qū)間”.【小問1詳解】由已知當(dāng)時(shí)，，得，所以當(dāng)時(shí)，.【小問2詳解】（i）時(shí)，假設(shè)存在，則由知，注意到，故，所以在單調(diào)遞增，于是，即是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，易知不是方程的根，由已知，當(dāng)時(shí)，，令，則有時(shí)，，即，故方程只有一個(gè)實(shí)根0，故不存在“和諧區(qū)間”.（ii）時(shí)，假設(shè)存在，則由知若，則由，知，與值域是矛盾，故不存在“和諧區(qū)間”，同理，時(shí)，也不存在，下面討論，若，則，故最小值為，于是，所以，所以最大值為2，故，此時(shí)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，符合題意.若，當(dāng)時(shí)，同理可得，舍去，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，于是，若即，則，故，與矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，從而，，從而，矛盾，綜上所述，有唯一的“和諧區(qū)間”.【點(diǎn)睛】對(duì)于“新定義”的題目，關(guān)鍵是要運(yùn)用新定義的知識(shí)以及原有的數(shù)學(xué)知識(shí)來進(jìn)行求解.本題有兩個(gè)“新定義”，一個(gè)是泰勒發(fā)現(xiàn)的公式，另一個(gè)是“和諧區(qū)間”.泰勒發(fā)現(xiàn)的公式可以直接用于證明，“和諧區(qū)間”可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性來求解.20、（1）；（2）；（3）【解析】（1）根據(jù)所有的基本事件的個(gè)數(shù)為，而所得點(diǎn)數(shù)相同的情況有種，從而求得事件“兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相同”的概率；（2）根據(jù)所有的基本事件的個(gè)數(shù)，求所求的“點(diǎn)數(shù)之和小于”的基本事件的個(gè)數(shù)，最后利用概率計(jì)算公式求解即可；（3）根據(jù)所有的基本事件的個(gè)數(shù)，求所求的“點(diǎn)數(shù)之和等于或大于”的基本事件的個(gè)數(shù)，最后利用概率計(jì)算公式求解即可試題解析：拋擲兩顆骰子，總的事件有個(gè).（1）記“兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相同”為事件，則事件有6個(gè)基本事件，∴（2）記“點(diǎn)數(shù)之和小于7”事件，則事件有15個(gè)基本事件，∴（3）記“點(diǎn)數(shù)之和等于或大于11”為事件，則事件有3個(gè)基本事件，∴.考點(diǎn)：古典概型.21、（1）（2）【解析】（1）由點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可得