初中相似三角形幾何證明技巧

-.z.初中幾何證明技巧〔分類〕證明兩線段相等1.兩全等三角形中對應(yīng)邊相等。

2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。

*9.同圓〔或等圓〕中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。

*10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項〔或兩后項〕相等的比例式中的兩后項〔或兩前項〕相等。

*12.兩圓的內(nèi)〔外〕公切線的長相等。

13.等于同一線段的兩條線段相等。證明兩個角相等1.兩全等三角形的對應(yīng)角相等。

2.同一三角形中等邊對等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線〔或高〕平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。

5.同角〔或等角〕的余角〔或補角〕相等。

*6.同圓〔或圓〕中，等弦〔或弧〕所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

*7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對應(yīng)角相等。

*9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。

10.等于同一角的兩個角相等。

證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線假設(shè)等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。

3.在一個三角形中，假設(shè)有兩個角互余，則第三個角是直角。

4.鄰補角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對角線互相垂直。

*10.在圓中平分弦〔或弧〕的直徑垂直于弦。

*11.利用半圓上的圓周角是直角。

證明兩直線平行1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補的兩直線平行。

3.平行四邊形的對邊平行。

4.三角形的中位線平行于第三邊。

5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

7.一條直線截三角形的兩邊〔或延長線〕所得的線段對應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。

證明線段的和差倍分1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下局部等于第二條線段。

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。

4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理〔三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等〕。

證明角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路一樣。

2.利用角平分線的定義。

3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

證明線段不等1.同一三角形中，大角對大邊。

2.垂線段最短。

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。

*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一局部。

證明兩角的不等1.同一三角形中，大邊對大角。

2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。

3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。

*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。

5.全量大于它的任何一局部。

證明比例式或等積式1.利用相似三角形對應(yīng)線段成比例。

2.利用內(nèi)外角平分線定理。

3.平行線截線段成比例。

4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。

*5.與圓有關(guān)的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。

6.利用比利式或等積式化得。

證明四點共圓*1.對角互補的四邊形的頂點共圓。

*2.外角等于內(nèi)對角的四邊形內(nèi)接于圓。

*3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓〔頂角在底邊的同側(cè)〕。

*4.同斜邊的直角三角形的頂點共圓。

*5.到頂點距離相等的各點共圓一周強化一、一周知識概述(一)相似三角形1、三個角對應(yīng)相等，且三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形，叫做相似三角形．用符號"∽〞表示相似，讀作"相似于〞．①當且僅當一個三角形的三個角與另一個(或幾個)三角形的三個角對應(yīng)相等，且三條對應(yīng)邊的比相等時，這兩個(或幾個)三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個條件，缺一不可；②相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等；③由相似三角形的定義知如果兩個三角形相似，則它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．2、相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊成比例．②相似比具有順序性．例如△ABC∽△A′B′C′的對應(yīng)邊的比，即相似比為k，則△A′B′C′∽△ABC的相似比，當且僅當它們?nèi)葧r，才有k=k′=1．③相似比是一個重要概念，后繼學(xué)習時出現(xiàn)的頻率較高，其實質(zhì)它是將一個圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點借助相似三角形可觀察得出．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似．判定定理2：兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．判定定理3：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．方法總結(jié)：〔1〕判定兩個三角形相似，至少需要以下條件之一：①兩角對應(yīng)相等；②兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等；③三條邊對應(yīng)成比例．理解時，可類比全等三角形的判定方法．在①中，只要滿足兩個角對應(yīng)相等，這兩個三角形就相似，解題時關(guān)鍵是尋找對應(yīng)角，一般地，在解題過程中要特別注意"公共角〞"對頂角〞"同角的余角(或補角)〞都是相等的，這是常用的判定方法．〔2〕已有兩邊對應(yīng)成比例時，可考慮利用判定定理〔1〕或判定定理〔3〕．但是，在選擇利用判定定理〔3〕時，一對對應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對應(yīng)相等．2、直角三角形相似的判定如圖是一個十分重要的相似三角形的根本圖形，圖中的三角形，可稱為"母子相似三角形〞或"雙直角三角形〞，其應(yīng)用較為廣泛．如圖，可簡單記為：在Rt△ABC中，CD⊥AB，則△ABC∽△CBD∽△ACD．所以AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·BD.(三〕相似三角形的性質(zhì)1、相似三角形的周長的比等于相似比．如圖，其符號語言：2、相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．其符號語言：如圖①∵△ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，②∵△ABC∽△A′B′C′，BF=CF，B′F′=C′F′，③∵△ABC∽△A′B′C′，∠BAE=∠CAE，∠B′A′E′=∠C′A′E′，性質(zhì)(1)與(2)可簡記為：相似三角形中一切對應(yīng)線段及周長之比都等于相似比．3、相似三角形的面積的比等于相似比的平方．二、重點難點疑點突破1、尋找相似三角形對應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問題的一項根本功．通常有以下幾種方法：(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對應(yīng)角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對應(yīng)角；相似三角形中，一對相等的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)角的夾邊是對應(yīng)邊；(2)相似三角形中，一對最長的邊(或最短的邊)一定是對應(yīng)邊；對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．2、常見的相似三角形的根本圖形：學(xué)習三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比擬，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法．如：①"平行線型〞相似三角形，②"相交線型〞相似三角形，③"旋轉(zhuǎn)型〞相似三角形．從根本圖形入手能較順利地找到解決問題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線．以上"平行線型〞是常見的，這類相似三角形的對應(yīng)元素有較明顯的順序，"相交線型〞識圖較困難，解題時要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線構(gòu)造出根本圖形．三、典型例題講解1、尋找相似三角形例1、如圖，在□ABCD中，E是AB延長線上一點，連結(jié)DE，交AC于點G，交BC于點F，則圖中相似的三角形(不含全等三角形)共有〔〕A.6對B.5對C.4對D.3對解：由AE∥DC，可得△AEG∽△CDG，△DFC∽△EFB.由BC∥AD，可得△BFE∽△ADE，△FCG∽△DAG，△DCF∽△EAD.應(yīng)選B.點評：此題主要是考察相似三角形識別的掌握情況．可運用平行線去直接找相似三角形，也可利用相似三角形的判定定理來找相似三角形，但要注意不要漏找．2、畫符合要求的相似三角形例2、在大小為4×4的正方形方格中，△ABC的頂點A、B、C在單位正方形的頂點上，請在圖中畫出一個△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC(相似比不為1)，且點A1、B1、C1都在單位正方形的頂點上．〔1〕〔2〕分析：設(shè)單位正方形的邊長為1，則△ABC的三邊為，從而根據(jù)相似三角形判定定理1或3可畫△A1B1C1，易得點評：在4×4的正方形方格中，滿足題設(shè)的△A1B1C1只能畫出以上三個，假設(shè)正方形方格數(shù)不加限制，則和△ABC相似且不全等的三角形可以畫無數(shù)個．3、利用相似三角形定義求線段長例3、△ABC中，AB=8，AC=6，點D，E分別在AB，AC上，如果以A，D，E為頂點的三角形和以A，B，C為頂點的三角形相似，且相似比為，求AD和AE的長．分析：通過相似比，將AD，AE的長轉(zhuǎn)化到方程中求解．由于的兩個三角形相似，并沒有具體的對應(yīng)關(guān)系，所以結(jié)論具有不確定性，應(yīng)分類討論．解：①如圖(1)所示，當△ADE∽△ABC時，有，，AE=2．②如圖(2)所示，當△ADE∽△ACB時，，小結(jié)：數(shù)形結(jié)合思想方法是解答有關(guān)相似三角形問題的根本方法．在解題時需借助圖形深入理解數(shù)量之間的關(guān)系，并對問題進展全面的、進一步的分析與探索．4、相似三角形的判定例4、根據(jù)以下各組條件，判定△ABC和△A′B′C′是否相似，并說明理由．(1)AB=3.5，BC=2.5，CA=4，A′B′=24.5，B′C′=17.5，C′A′=28；(2)∠A=35°，∠B=104°，∠C′=44°，∠A′=35°；(3)AB=3，BC=2.6，∠B=48°，A′B′=1.5，B′C′=1.3，∠B′=48°．分析：(1)中所給出的是兩個三角形中的六條邊的長，考慮用"三邊對應(yīng)成比例〞；(2)中給出的是兩個三角形中的兩組角，考慮用"兩角對應(yīng)相等〞；(3)中給出的是兩個三角形中的兩組邊、一組角，考慮用"兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等〞．解：(2)因為∠C=180°－∠A－∠B=41°，∠B′=180°－∠A′－∠C′=101°，所以兩個三角形中只有∠A=∠A′，所以△ABC與△A′B′C′不相似．例5、如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過點D垂直于AB的直線交BC于E，交AC延長線于F．求證：(1)△ADF∽△EDB；(2)CD2=DE·DF．分析：(1)△ADF與△EDB都是直角三角形，要證它們相似，只要再找一個角對應(yīng)相等即可；(2)注意到CD是斜邊AB的中線，AD=BD=CD，由結(jié)論(1)不難得出結(jié)論(2)．證明：(1)∵DF⊥AB，∴∠ADF=∠BDE=90°，又∵∠F＋∠A=∠B＋∠A，∴∠F=∠B，∴△ADF∽△EDB．(2)由(1)得，∴AD·BD=DE·DF．又∵CD是Rt△ABC斜邊上的中線，∴AD=BD=CD．故CD2=DE·DF．點評：此題綜合考察了直角三角形的性質(zhì)與相似三角形的判定等．這是一道階梯型問題，第(2)題根據(jù)(1)得出有關(guān)比例式，然后使用"等線代換〞使問題簡捷獲證．其實第(2)題也可這樣思考：把它轉(zhuǎn)化為比例式，證明這三條線段所在的△CDE∽△FDC．請同學(xué)們完成這一證明．例6、如圖，AD是△ABC的角平分線，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求證：．分析：待證式中的四條線段不是在兩個三角形中，無法直接根據(jù)兩個三角形相似得出，需要插入一個"中間比〞，由題設(shè)易證△ABE∽△ACF，△BDE∽△CDF，從中不難找到這個中間比．證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠1=∠2．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠3=∠4=90°，∴△ABE∽△ACF，點評：①當無法直接由兩個三角形相似得出結(jié)論中的比例式時，一般可尋找"中間比〞幫助；5、相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用例7、如下圖，D是BC上一點，△ABC∽△DBA，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點，且AB=28，BC=36，求BE∶BF．解析：BE，BF分別是△ABC，△ABD中AC，AD邊上的中線，而AC，AD又恰是相似三角形ABC和三角形DBA的一組對應(yīng)邊，因而考慮利用相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比來解答．因為△ABC∽△DBA，且BC=36，AB=28，所以相似比．又因為BE，BF分別是△ABC，△ABD中AC，AD邊上的中線，．點撥：利用相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比的性質(zhì)解決問題時，注意把相似三角形的對應(yīng)元素確定準確．例8、如下圖，PN∥BC，AD⊥BC，交PN于E，交BC于D．分析：首先，先說明△APN與△ABC相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和比例的有關(guān)知識結(jié)合條件，就可求出這三個問題的結(jié)論．解：(1)因為PN∥BC，所以可得△APN∽△ABC．又因為相似三角形面積比等于相似比的平方，因為S△ABC=18cm2，所以S△APN=2cm2．小結(jié)：兩個三角形相似，具有的性質(zhì)包括：(1)周長比等于相似比；(2)對應(yīng)高(中線、角平分線)的比等于相似比；(3)面積比等于相似比的平方．此題的關(guān)鍵是由相似三角形面積的比等于相似比的平方這一性質(zhì)建立比例式，列方程求解，表達了數(shù)形結(jié)合的思想．例9、如圖，△ABC是一塊直角三角形余料，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)要把它加工成正方形零件，試說明哪種加工方法的利用率較高．分析：此題實質(zhì)上是比擬兩種圖形中正方形的面積的大小，即比擬這兩個正方形的邊長的大?。猓?1)如圖(1)，設(shè)正方形CDEF的邊長為*cm．∵EF∥AC，．解之得．(2)如圖(2)，設(shè)正方形DEFG的邊長為ycm．作⊥AB于N，交DG于M．由勾股定理得AB=10cm．由，得AC·BC=AB·．．∵DG∥AB，∴△CDG∽△CAB．(相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比)．即．解之，得．由于．所以第(1)種加工方法的利用率較高．反思：有關(guān)三角形的內(nèi)接正方形、矩形的問題的解題方法，通常是利用三角形對應(yīng)高之比等于相似比，當題目中無高時可考慮作適當?shù)拇咕€段以幫助解題．一、填空題1.如果線段a、b、c、d是成比例線段且a=3，b=4，c=5，則d=______________；2.如果兩個相似三角形對應(yīng)高的比為4∶5，則這兩個相似三角形的相似比為____________；對應(yīng)中線的比為____________；對應(yīng)角平分線的比為____________；對應(yīng)周長的比為____________；對應(yīng)面積的比為____________.圖4－703.如圖4－70，線段AC、BD相交于點O，要使△AOB∽△DOC，應(yīng)具備條件___________，還需要補充的條件是______________或______________或______________.4.兩個相似三角形的最短邊分別是9cm和6cm，它們的周長和是60cm，則大三角形的周長=______________cm，小三角形的周長=______________cm.二、選擇題1.兩地實際距離是500m，畫在圖上的距離是25cm，假設(shè)在此圖上量得A、B兩地相距為40cm，則A、B兩地的實際距離是A.800mB.8000mC.32250cmD.3225m2.Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，該圖中共有*個三角形與△ABC相似，*的值為3.以下各組三角形中，相似的為A.△ABC中，∠A=35°,∠B=50°△A′B′C′中，∠A′=35°,∠C′=105°B.△ABC中，AB=1.5，BC=1.25，∠B=38°△A′B′C′中，A′B′=2,B′C′=,∠B′=38°C.△ABC中，AB=12，BC=15，AC=26△A′B′C′中，A′B′=20，B′C′=25，C′A′=40圖7－71三、解答題如圖4－71，△ADE∽△ABC，AD=3cm，DB=3cm，BC=10cm，∠A=70°、∠B=50°.求：〔1〕∠ADE的度數(shù)；〔2〕∠AED的度數(shù)；〔3〕DE的長.參考答案：一、1.d=2.4∶54∶54∶54∶516∶25.3.∠AOB=∠DOC∠B=∠C∠A=∠D4.36cm二、1.A2.B3.B三、〔1〕50°〔2〕60°〔3〕5cm相似圖形精選練習ABCED1、：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，過點D作AC的平行線DE，交ABCED求證：〔1〕△ABC≌△DCB；〔2〕DE·DC＝AE·BD．2、如圖，在△ABC中，∠CAB=60°，點D是△ABC內(nèi)的一點，使∠CDA=∠ADB=∠CDB.ABCD求證：線段DA是線段ABCD3、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，邊AC的垂直平分線EF交AC于點E，交AB于點F，BG⊥AB，交EF于點G．ACBGEF求證：CFACBGEF4、如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是BC上一點，EA⊥AF，AE交CD的延長線于E，連結(jié)EF交AD于G.〔1〕求證：⊿ABF≌⊿ADE；〔2〕求證：BF·FC＝DG·EC；ADBECF5、如圖3，在△ADBECF〔1〕找出圖中相似的三角形，并證明；〔2〕求證：．6、如圖，△ABC中D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E為垂足，連結(jié)AE.求證：(1)ED=DA；(2)∠EBA＝∠EAB；(3)BE2=AD·AC7、如圖△ABC中，∠B=∠C=α〔0<α<600〕.將一把三角尺中300角頂點P放在BC邊上，當P在BC邊上移動時，三角尺中300角的一條邊始終過點A，另一條邊交AC邊于點Q，P、Q不與三角形頂點重合.設(shè)∠CPQ=β.〔1〕用α、β表示∠1和∠2；〔2〕①當β在許可范圍內(nèi)變化時，α取何值總有△ABP∽△PCQ？②當α在許可范圍內(nèi)變化時，β取何值總有△ABP∽△QCP？2ααβ30oABPCQ12ααβ30oABPCQ1參考答案：1、證明：〔1〕∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB，∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD，〔2〕∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∴∠EDA＝∠DBC，∠