復(fù)變函數(shù)論鐘第四章

2020/11/2第四章解析函數(shù)的冪級數(shù)表示第一節(jié)復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)1、復(fù)數(shù)列的極限2、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)3、復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)4、解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù)1.

復(fù)數(shù)列的極限定義記作lim

.nn

}收斂于

.此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列{n設(shè){n

}

(n

1,2,)

為一復(fù)數(shù)列,

其中n

an

ibn

,

又設(shè)

a

ib

為一確定的復(fù)數(shù),如任意給定

0,相應(yīng)地都能找到一個(gè)正整數(shù)N

(

),

使在

n

N

時(shí):

n

成立,那末

稱為復(fù)數(shù)列{n

}當(dāng)n

時(shí)的極限,復(fù)數(shù)列收斂的條件定理

復(fù)數(shù)列

{n

}

{an

ibn

}(n

1,

2

,

)收斂于

a

ib

的充要條件是lim

an

a,

lim

bn

b

.n

n2020/11/22n就能找到一個(gè)正數(shù)N,

當(dāng)n

N

時(shí),

0證

如果limn

,

那末對于任意給定的n

n(an

ibn

)

(a

ib)

,從而有an

a

(an

a)

i(bn

b)

,所以lim

an

a.同理

lim

bn

b.2

2a

a

,

b

b

.n

nlim

bn

b,反之,如果lim

an

a,nn那末當(dāng)n

N

時(shí),從而n

(an

ibn

)

(a

ib)n

(an

a)

i(bn

b)

an

a

bn

b

,所以

limn

.2020/11/23)

;

(1

(1)

ni

πe1n例1

下列數(shù)列是否收斂,如果收斂,求出其極限.n

ncos

in

.(2)

n解

1;1(1)

lim

(1

)1

πn1

lim

(1

)ni

πinn

enennn

(n

)

.2

enen(2)

n

n

cos

in

n定理：復(fù)數(shù)列收斂的Cauchy準(zhǔn)則復(fù)數(shù)列{n

}(n

1,2,2020/11/24)收斂的充要條件是:

>0,N

>0,當(dāng)n

N時(shí),對p

N

:|

n

p

n2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與發(fā)散定義

設(shè){n

}

{an

ibn

}(n

1,2,)為一復(fù)數(shù)列,(4.1)n1

n

表達(dá)式n

1

2

2020/11/25稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù).sn

1

2

n

稱為級數(shù)的部分和.若部分和數(shù)列{sn}(n=1,2,…,)以有限復(fù)數(shù)s為極限,nn1即lim

sn

s(

)則稱復(fù)數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)(4.1)收斂于s,且稱s為(4.1)的和,寫成s

n否則若復(fù)數(shù)列sn(n=1,2,…,)無有限極限,則稱級數(shù)(4.1)為發(fā)散.注復(fù)級數(shù)n收斂于s的

N定義n

0,N

0,n

N

,有|

k

s

|

.k

1

n1

n1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的條件定理4.1

設(shè)n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn為實(shí)數(shù),則復(fù)級數(shù)(4.1)收斂于s=a+ib(a,b為實(shí)數(shù))的充要條件為:實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)

an

,

bn

分別收斂于a及b.注：復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂問題可轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂問題1)

n1

an

,

bn分別收斂于a及bn

s(

a

ib)n1

n12)an

,bn至少一個(gè)發(fā)散n發(fā)散nn1

n1n1

2n1

(1

i

)例1

級數(shù)是否收斂？3n1

i2n1例2

級數(shù)n1n11發(fā)散知原級數(shù)發(fā)散.是否收斂？由n1

2n12020/11/26由

發(fā)散知原級數(shù)發(fā)散.n1

3n定理4.2

(Cauchy準(zhǔn)則)復(fù)級數(shù)(4.1)收斂的充要條件為:對任給ε>0,存在正整數(shù)N(ε),當(dāng)n>N且p為任何正整數(shù)時(shí)|n+1+

n+2+…+

n+p|<ε推論1

收斂級數(shù)的通項(xiàng)必趨于零:

limn

0n(事實(shí)上，取p=1,則必有|an+1|<ε)．推論2

收斂級數(shù)的各項(xiàng)必是有界的.推論3

若級數(shù)(4.1)中略去有限個(gè)項(xiàng),則所得級數(shù)與原級數(shù)同為收斂或同為發(fā)散.2020/11/27|

an

|收斂.n1定義4.2

若級數(shù)3.絕對收斂與條件收斂定理

4.3

復(fù)級數(shù)(4.1)收斂的一個(gè)充分條件為級數(shù)收斂,則原級數(shù)稱n1

n|

a

|n1na

定理:

n絕對收斂

an與

bn絕對收斂n1

n1斂,原級數(shù)稱為條件收斂.

為絕對收斂;若級數(shù)|

an

|

發(fā)散，而級數(shù)

an

收n

n2020/11/28k

k

k

kkkn

n

n

nkk

1k

1k

1

k

1

k

1

k

1|

a

|2

|

b

|2

|

a

|

|

b

||

a

|(|

b

|)

|

z

|

n1

n1

n1事實(shí)上，定理4.4(1)一個(gè)絕對收斂的復(fù)級數(shù)的各項(xiàng)可以任意重排次序,而不改變其絕對收斂性,亦不改變其和.

n1nn1n

,

(2)兩個(gè)絕對收斂的復(fù)級數(shù)可按對角

得到乘積級數(shù)11

(12

2

1

)

(1n

2

n1

n

1

它收斂于

.例2級數(shù)是否絕對收斂？(8i

)nn

!絕對收斂,且有n0例1

當(dāng)|

|1時(shí),級數(shù)

n.

1

1

n0n解因?yàn)閨n!

n!nn1(8i)n|

8而級數(shù)n18nn!收斂，故原級數(shù)絕對收斂。2020/11/294.一致收斂的復(fù)函數(shù)項(xiàng)序列2020/11/210定義1

設(shè)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)序列f1(z)，f2(z)，f3(z)，…，fn(z)，…

(*)的各項(xiàng)均在點(diǎn)集E上有定義,且在E上存在一個(gè)函數(shù)f(z),對于E上的每一點(diǎn)z,序列(*)均收斂于f(z),則稱f(z)為序列(*)的極限函數(shù),記為:

f

(z)

lim

fn

(z)n定義2

對于序列(*),如果在點(diǎn)集E上有一個(gè)函數(shù)f(z),使對任給的ε>0,存在正整數(shù)N=N(ε),當(dāng)n>N時(shí),對一切的z∈E均有|f(z)-fn(z)|<ε,則稱序列(*)在E上一致收斂于f(z)，記作:Efn

(z)

f

(z)(n

.

)定義4.32020/11/211設(shè)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+…

(4.2)n15.一致收斂的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的各項(xiàng)均在點(diǎn)集E上有定義,且在E上存在一個(gè)函數(shù)f(z),對于E上的每一點(diǎn)z,級數(shù)(4.2)均收斂于f(z),則稱f(z)為級數(shù)(4.2)的和函數(shù),記為f

(:z)

fn

(z)定義4.4

對于級數(shù)(4.2),如果在點(diǎn)集E上有一個(gè)函數(shù)f(z),使對任給的ε>0,存在正整數(shù)N=N(ε),當(dāng)n>N時(shí),對一切的z∈E均有|f(z)-sn(z)|<ε,則稱級數(shù)(4.2)在E上一致收斂于f(z)，記作:其中zDn1

fn

(z)

f，(z)f

(z)nkns

(z)

k

1定理4.5

(柯西一致收斂準(zhǔn)則)級數(shù)(4.2)在點(diǎn)集E上一致收斂于某函數(shù)的充要條件是:任給的ε>0,存在正整數(shù)N=N(ε),使當(dāng)n>N時(shí),對于一切z∈E,均有|fn+1(z)+…+fn+p(z)|<ε(p=1,2,…).Weierstrass優(yōu)級數(shù)準(zhǔn)則:如果整數(shù)列Mn(n=1,2,…),使對一切z∈E,有|fn(z)|≤Mn

(n=1,2,…),而且正項(xiàng)2020/11/212級數(shù)收斂,則復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在點(diǎn)集E上絕對收斂且一致收斂:的優(yōu)級數(shù).Mn1

nnf

(z)n1n1

n1這樣的正項(xiàng)級數(shù)

M

n稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

fn

(z)2020/11/213且一致收斂于f(z)n,則1上連續(xù).定理4.6

設(shè)級數(shù)

fn

(z)

的各項(xiàng)在點(diǎn)集E上連續(xù),并n1n和函數(shù)

f

(z)

f

(z)也在E定理4.7

設(shè)級數(shù)

fn

(z)的各項(xiàng)在曲線C上連續(xù),并n1且在C上一致收斂于f(z),則沿C可以逐項(xiàng)積分:C

f

(z)dz

C

fn

(z)dzn1定義4.5設(shè)函數(shù)fn(z)(n=1,2,…)定義于區(qū)域D內(nèi),若級數(shù)(4.2)在D內(nèi)任一有界閉集上一致收斂,則稱此級數(shù)在D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂.定理4.8

設(shè)級數(shù)(4.2)在圓K:|z-a|<R內(nèi)閉一致收斂的充要條件為:對于任意正數(shù)ρ,只要ρ<R,級數(shù)(4.2)在閉圓K:|z-a|≤

ρ上一致收斂.2020/11/2142020/11/2(

p)(

p)nn16.解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù)定理4.9

設(shè)

(1)fn(z)(n=1,2,…)在區(qū)域D內(nèi)解析,級數(shù)

fn

(z)或{fn

(z)}序列在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)f(z),則(1)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析(2)

f

(z)

(z)(z

D,

p

1,

2,).fcnf

(z)dz

0,

n

1,2,

n1證（1）設(shè)z0

D

，若C為Ｄ內(nèi)任一圍線，則由柯西積分定理得由定理4.7得c

f

(z)dz

c

fn

(z)dz

0于是，由摩勒拉定理知，f(z)在C內(nèi)解析，即在z0

D

解析。由于

z0

D

的任意性，故f(z)在區(qū)域

D

內(nèi)解析。15162020/11/2(2)設(shè)z0的某鄰域U的邊界圓K也在D內(nèi)，對于z

K,00p1n1p1(z

z

)(z

z

)fn

(z)

f

(z)一致收斂于

,由定理4.7有

1fn

(z)dz

,

12i f

(z)dz

0p1(z

z

)p10n1KK(z

z

)2i(

p)即f

(z)

(

p)nn1f

(z).12020/11/2第二節(jié)冪級數(shù)1、冪級數(shù)的斂散性2、冪級數(shù)的收斂半徑的求法3、冪級數(shù)的和函數(shù)的解析性4、例題5、小結(jié)4.32020/11/218nn

0

1

2n0c

(z

a)

c

c

(z

a)

c

(z

a)2

形式的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù),其中c0,c1,c2

,…,ann

0

1

2c

z

c

c

z

c

z2

.n11.

冪

級數(shù)的定義：具有都是復(fù)常數(shù).當(dāng)a=0,則以上冪級數(shù)可以寫成如下形式注1一般冪級數(shù)在一定的區(qū)域內(nèi)收斂于一個(gè)解析函數(shù)。注2

在一點(diǎn)解析的函數(shù)在此點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)可以用冪級數(shù)表示出來，因此一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)解析的充要條件是它在這點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開成一個(gè)冪級數(shù)。冪級數(shù)是最簡單的解析函數(shù)項(xiàng)級數(shù),為了搞清楚它的斂散性,先建立以下的阿貝爾(Abel)定理.一、冪級數(shù)的斂散性定理4.10：如果冪級數(shù)(4.3)在某點(diǎn)z1(≠a)收斂,則它必在圓K:|z-a|<|z1-a|(即以a為圓心圓周通過z1的圓)內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂.推論4.11

若冪級數(shù)(4.3)在某點(diǎn)z2(≠a)發(fā)散,則它在以a為圓心并且通過點(diǎn)z2的圓周外部發(fā)散.2.冪級數(shù)的斂散性命題：對于冪級數(shù),若實(shí)系數(shù)實(shí)冪級數(shù)nn0n

(z

z0

)nn0|

|xn的收斂半徑為R,則有n

發(fā)散；n

絕對收斂，n000當(dāng)||zzR

時(shí)，級數(shù)若

R

(1),0||則當(dāng)

zzR

時(shí)，級數(shù)n0n0n

()zz

0

()zzn,則級數(shù)n

0(2)若R

n0

(z

z

)在復(fù)平面上每一點(diǎn)處絕對收斂；nn

0

0(3)若R

0,則級數(shù)n0

(z

z

)在復(fù)平面上除去z

z

外，每一點(diǎn)都發(fā)散。2020/11/219C

(z

z

)

,總存在一個(gè)2020/11/220于是,對任意冪級數(shù)k

0圓周|

z

z0

|

R

(0

R

)，使得冪級數(shù)在圓域|

z

z0

|

R內(nèi)處處收斂圓域|

z

z0

|

R稱為冪級冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對收斂，在收斂圓外發(fā)散。但在圓周上，則可能收斂，也可能發(fā)散。kk

03.冪級數(shù)收斂半徑的求法定理4.12

如果冪級數(shù)(4.3)的系數(shù)cn合于ncnlim

cn1

l,(達(dá)朗貝爾D

'Alembert）或lim

n cnn

l,(柯西阿達(dá)瑪Cauchy

-Hadamard

)或則冪級數(shù)的收斂半徑為:n0nnc

(z

a)R=1/l

(l≠0,l≠+∞)0

(l=+∞);+∞

(l=0).(4.4)lim

n

|

cn

|

l(柯西Cauchy)2020/11/221n定理4.13

(1)冪級數(shù)f

(z)

n

nc

(z

a)n0的和函數(shù)f(z)在其收斂圓K:|z-a|<R(0<R≤+∞)內(nèi)解析.(2)在K內(nèi),冪級數(shù)(4.5)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階,即：(4.5)4.冪級數(shù)的和函數(shù)的解析性f

(

p)

(z)

p!c

(

p

1)

p

2npn(n

(n

p

1)c

(z

a)n

p

(p=1,2,…)(4.6)(4.7)(3)f

(

p)(a)(p=0,1,2,…).p!pc

(4)

級數(shù)（4.5）可沿K內(nèi)曲線C逐項(xiàng)積分，且其收斂半徑與原級數(shù)相同。2020/11/222n0n0

(2)

nn

zn

.(1)(2)n

z

2n

;5.典型例題例1

求下列冪級數(shù)的收斂半徑R:n0例3

求級數(shù)

(n

1)zn

的收斂半徑與和函數(shù).例4

計(jì)算.12(c

n1nz

)dz,

其中c為z

(2)2020/11/223(1)例2

求下列冪級數(shù)在收斂域內(nèi)n的和函數(shù)：z

.nzn1;n1

n1n22020/11/2第三節(jié)解析函數(shù)的泰勒展式1、泰勒(Taylor)定理2、冪級數(shù)和函數(shù)在收斂圓周上的狀況3、一些初等函數(shù)的泰勒展式(4.9)nnn0f

(z)

c

(z

a)(4.8)其中系數(shù)12020/11/225f

(n)

(a)f

(

)cn

2

i

p

(

a)n1

d

n!1.

泰勒(Taylor)定理定理4.14

(泰勒定理)設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,a∈D,只要K:|z-a|<R含于D,則f(z)在K內(nèi)能展成如下冪級數(shù)(

:|

z

|

,

0

R;

n

0,1,

2,)且展式是唯一的.（4.8）稱為f(z)在點(diǎn)a的泰勒展式，（4.9）稱為其泰勒系數(shù)，（4.8）中的級數(shù)稱為泰勒級數(shù)。n2020/11/226

nz

a

|

c

|(0

R,

n

0,1,

2,).定理4.15

f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件為:f(z)在D內(nèi)任一點(diǎn)a的鄰域內(nèi)可展成z-a的冪級數(shù),即泰勒級數(shù).由柯西不等式知若f(z)在|z-a|<R內(nèi)解析,則其泰勒系數(shù)cn滿足柯西不等式max

f

(z)定理4.16

如果冪級數(shù)2020/11/227n0n

nc

(z

a)的收斂半徑R>0,且f

(z)

nn

R)c

(z

a)

,

(z

K

:|

z

a

|n0則f(z)在收斂圓周C：|z-a|=R上至少有一奇點(diǎn)，即不可能有這樣的函數(shù)F(z)存在，它在|z-a|<R內(nèi)與f(z)恒等，而在C上處處解析.2.冪級數(shù)和函數(shù)在收斂圓周上的狀況2!

3!z2

z3

znn!

(|

z

|

)ze

1

z

,

(|

Z

|

);(2n)!cos

z

n0(1)n

z2n,

(|

z

|

).(2n

1)!sin

z

n0(1)n

z2n12

3

nz2

z3zn

(1)n1

.kln (1

z)

2ki

z

3.一些初等函數(shù)的泰勒展式(1

z)

1

z

(

1)

z

2

2020/11/228(

(

1)

2!

n

1)znn!292020/11/2第四節(jié)解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性與唯一性定理1、解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性2、唯一性定理3、最大與最小模原理定義4.7

設(shè)f(z)在解析區(qū)域D內(nèi)一點(diǎn)a的值為零，即：f(a)=0，則稱a為解析函數(shù)f(z)的一個(gè)零點(diǎn).如果在|z-a|<R內(nèi)，解析函數(shù)f(z)不恒為零，我們將它在點(diǎn)a展成冪級數(shù)，此時(shí)，冪級數(shù)的系數(shù)不必全為零，故必有一正數(shù)m(m≥1)，使得f

(a)

f

'(a)

f

(m1)(a)

0,但f

(m

)(a)

0,合乎上述條件的m稱為零點(diǎn)a的

)，a稱為f(z)的m )零點(diǎn)。特別是當(dāng)m=1時(shí)，a也稱為f(z)的簡單零點(diǎn).1.解析函數(shù)的零點(diǎn)及其孤立性2020/11/230定理4.17

不恒為零的解析函數(shù)f(z)以a為m級零點(diǎn)的充要條件為:f

(z)

(z

a)m

(z)其中

(z)在點(diǎn)a的鄰域|z-a|<R內(nèi)解析,且(a)

0.(4.14)證必要性由假設(shè)，只要令即可。充分性是明顯的。

(z

a)(m

1)!m1f

(m1)

(a)m!f

(m)

(a)f

(z)

(z

a)m(z

a)

2020/11/231m! (m

1)!(z)

f

(m1)

(a)f

(m)

(a)零點(diǎn)的孤立性2020/11/232定理4.18

如在|z-a|<R內(nèi)解析的函數(shù)f(z)不恒為零，a為其零點(diǎn)，則必有a的一個(gè)鄰域，使得f(z)在其中無異于a的零點(diǎn)(簡單來說就是，不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)必是孤立的)。推論4.19

設(shè)(1)f(z)在鄰域K:|z-a|<R內(nèi)解析;(2)在K內(nèi)有f(